Математический анализ. курс лекций
реклама
Логинов А.С.
Часть 1. Дифференциальное исчисление
Глава 1.
Ведение
Операции над графиками
1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики
В разделе рассматриваются основные понятия теории множеств, определение множества действительных чисел. Приводится необходимая терминология математической логики.
1.1.1. Множество, операции над множествами, обозначения
Множество - совокупность некоторых различимых объектов.
Задать множество - задать признаки, характеризующие эти объекты.
Примеры:
N - натуральные числа, Z - целые числа, Q - рациональные
числа, R - вещественные числа, [a,b] – отрезок, (a, b) – интервал,
(a,b],[a,b) – полуинтервалы.
Элемент принадлежит множеству x E, элемент не принадлежит множеству x E.
Подмножество A E.
- пустое множество E, EE.
Обозначение множества перечислением - {a, b, c}.
Обозначение множества указанием характеризующего свойства – { x : x удовлетворет свойству P}.
Пример: N={xZ: x > 0}; [a,b]={x: axb}
Дополнение множества A (или разность двух множеств)
E\A={xE: xA}
1
Рис. 1.1
Пересечение двух множеств AB ={x: xA и xB}
Рис. 1.2
Если два множества не пересекаются, то это можно записать в
виде AB=.
Объединение двух множеств AB ={x: xA или xB}
Рис. 1.3
Основные операции над множествами
2
Произведение множеств AB ={(x,y): xA и yB}.
Произведение множеств
2
Пример R = R R - плоскость.
1.1.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие,
счетное и несчетное множества
Даны множества A и B. Отображение из A в B (или функция определенная на A со значениями в B) - соответствие или закон (обозначим его f ), которое каждому a A сопоставляет
f
B, f: A B, b=f(a).
единственное b B. Обозначения: A
a - прообраз, b - образ при отображении f.
Отображение из A в B называется взаимно-однозначным, если
1) разные элементы из A имеют разные образы,
2) каждый элемент из B является образом некоторого элемента из A.
Эквивалентные множества A B или множества одинаковой
мощности, если существует взаимно-однозначное соответствие
между элементами этих множеств.
Счетное множество A N.
Пример: Множество рациональных чисел счетно.
Одно из важных свойств счетных множеств:
Объединение конечного или счетного числа счетных множеств
является счетным множеством.
Несчетные множества. Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным. Множество [0,1] имеет
большую мощность, чем N. Множество эквивалентные по мощности отрезку [0,1] называются множествами мощности континуума.
Множество действительных чисел R - несчетное множество, это
множество является множеством мощности континуума.
1.1.3.Некоторые понятия математической логики (Дж.
Маллас Пролог)
Примеры:
Квантор
Субъект
Связка
1
Все
числа
являются
2
Некоторые
натуральные
числа
-
3
Предикат
не рациональными
четны
В последнем случае подразумевается связка “являются”. Вместо
термина предикат мы будем использовать также термин свойство.
Суждения бывают истинными или ложными. Противоположное
свойство P или отрицание свойства P обозначается значком P
или P .
В традиционной логике допускаются два типа суждений, каждый из которых характеризует возможные отношения между двумя
классами (классом субъектов и классом предикатов):
Все S являются P (каждый из S удовлетворяет свойству P)
Некоторые из S являются P ( существует представитель из S,
удовлетворяющий свойству P )
Здесь S обозначает класс субъектов, а P - класс предикатов (или
некоторое свойство, характеризующее этот класс ). Все, каждый,
любой, произвольный называются универсальным квантором или
квантором общности. Квантор общности обозначается значком .
Некоторые из, существует - экзистенциальные кванторы. Квантор существования обозначается значком . Таким образом, основные типы суждений можно записать в следующей форме (логической связке соответствует символ двоеточия ):
1)
xS: P (для любого x из S выполнено свойство P).
2)
xS: P (существует x из S, для которого выполнено
свойство P).
Предикат и субъект в суждении могут быть составными, в частности они сами могут быть суждениями. Например, рассмотрим
высказывание (суждение):
> 0 > 0 x,|x - x0|< : | f(x) – 2 |< .
Это высказывание следует читать так: Для любого эпсилон
больше нуля существует дельта больше нуля, (что) для всех икс,
удовлетворяющих неравенству |x - x0|< , выполнено неравенство
| f ( x) 2 | . Это суждение является составным и может быть разложено на простейшие суждения следующим образом:
S1 : P1, где S1 - класс субъектов, именно: S1={xR,x > 0}, P1
- предикат,
P1=(S2 : P2), где S2=S1, P2 - предикат,
P2=(xS3: P3), S3= S3()={xR:|x - x0|<}, P3 – предикат (свойство) |f(x)-2|<.
4
Прямая и обратная теоремы, эквивалентность, метод математической индукции
Структура простейшей теоремы выглядит следующем образом:
дано свойство A (условие), из него выводится свойство B (заключение).
В этом случае говорят A влечет B (из A следует B) и пишут A
B . Последняя запись подразумевает, на самом деле, истинность выражения A B.
Если к тому же B A, то говорят, что верна и обратная теорема и пишут A B, при этом A и B называются эквивалентными.
Теорема. Отрицание суждения должно строиться по следующим формальным правилам:
1. квантор заменяется на квантор .
2. квантор заменяется на квантор .
3. предикат P заменяется на свое отрицание.
Пример: >0 >0 x,|x - x0|< : |f(x)-2| < .
его отрицание >0 >0 x,|x - x0|< : |f(x)-2| .
Доказательство достаточно провести для двух типов простейших суждений:
1. x: P.
2. x: P.
Для таких суждений сформулированная теорема достаточно
очевидна. Например, для первого суждения. Если для любого x
выплнено P , то отрицанием будет: найдется x для которого P не
будет выполнено. Это означает, что x : P . Если эта теорема доказана для простейших суждений 1 и 2, то остается еще раз заметить,
что любое суждение можно представить, как составное и последовательно применять доказанное утверждение для простейших суждений, составляющих данное суждение.
Метод математической индукции
Имеется последовательность свойств Pn. Если доказано свойство P1 и для всех k:
Pk Pk+1, то свойства Pn справедливы для всех n N.
1.1.4.Вещественные числа
Рассматривается множество R, со следующими свойствами
1. Свойство упорядоченности
Для любых элементов этого множества a, b выполнено: либо a
< b, либо a = b, либо a > b
5
1.1 a < b, b < c a < c ( свойство транзитивности ).
Определение: ( a < b ) или ( a = b ) , то пишут a b.
2. Свойства операции сложения. Имеется отображение из R2 в
R: a,b a+b.
2.1 a + b = b + a (коммутативность).
( в терминах суждений можно было бы написать
a:( b: a + b = b + a) ).
2.2
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c (ассоциативность).
2.3
0 a R : a + 0 = a.
2.4
a противоположный - a : a + (-a) = 0.
Определение: b – a = b + (-a).
2.5 a < b a + c < b + c , ( c ).
3.
Свойства операций умножения (Имеется отображение
a,b ab).
3.1
a b = b a (коммутативность).
3.2
a ( b c ) = ( a b ) c (ассоциативность).
3.3
в множестве существует элемент обозначаемый 1, такой, что
a R : 1 a = a.
3.4 a0 a -1(обратный ): a a -1 = 1.
a
ab 1 .
b
3.5 a < b и c > 0 a c < b c .
a<b и c<0 a c > b c .
Определение:
4. Связь операций
4.1 ( a + b ) c = a c + b c ( дистрибутивность ).
Определение
a, a 0
|a| =
a, a 0.
Свойства: | a + b | | a | + | b |, | | a | - | b | | | a – b |.
5. Свойство Архимеда (постулат Архимеда)
Из двух неравных линий, двух неравных поверхновтей или двух неравных тел большая величина может оказаться меньше той величины, которую мы
получим, если повторим меньшую надлежащее чило
раз.
6
Архимед.
a nN: n > a.
Следствие: a>0 b n N: na > b.
6. Свойство непрерывности вещественных чисел или Принцип
вложенных отрезков.
Вначале некоторые определения.
Отрезок или сегмент - [a,b]={x:axb}, b - a – длина отрезка.
Система вложенных отрезков. Система отрезков {[aj,bj]}
называется системой вложенных отрезков, если k:
[ak+1,bk+1][ak,bk] .
Принцип вложенных отрезков. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы один a R, общий для всех отрезков.
Множество элементов, удовлетворяющее свойствам 1 - 6
называется множеством вещественных чисел и обозначается R.
Числовая ось - изображение действительных чисел. Для вещественных чисел используется геометрическая терминология «точки».
Определение. Система отрезков стягивается к 0, если
>0 N n>N: bn -an < .
Лемма Кантора. Для всякой системы вложенных стягивающихся к нулю отрезков [ak,bk] существует единственное число,
принадлежащее всем отрезкам данной системы.
Доказательство. Одно число существует по свойству 6. Предположим, что существуют два таких числа x , y и x < y. Тогда
n: an x < y bn n: y – x bn - an.
Возьмем = y – x. Для него N, n > N: bn - an < , что противоречит предыдущему неравенству.
n
Примеры работы с символом суммы
a
k 0
k
a0 a1 ... an .
Пример 1: Докажем сначала равенство для биномиальных коэффициентов
7
Cnk + Cnk-1= C nk1 , где C nk
n!
, n! =12…n, 0! 1.
k!(n k )!
Действительно, распишем подробно сумму биномиальных коэффициентов
n!
n!
=
(k 1)!(n k 1)! k!(n k )!
(n 1)n!
kn!
(n k 1)n!
(n 1)!
=
=
= C nk1 .
k !(n k )! k !(n k 1)! (k 1)!(n k )!
k !(n 1 k )!
Cnk 1 Cnk
Доказанное свойство является одним из свойств треугольника
Паскаля. В таблице в левом столбце указана степень бинома. По
стронам треугольника проставляются единицы, а каждый биномиальный коэффициент внутри треугольника получается сложением
двух, стоящих над ним коэффициентов.
n
Биномиальные коэффициенты
0
1
1
1
2
1
3
1
4
6
1
1
2
1
3
1
5
1
4
5
3
6
4
10
6
15
1
10
20
1
5
15
1
6
1
Треугольник Паскаля
Пример 2: Доказать равенство ( a n 1 b n 1 ) ( a b)
n
a b
k
nk
.
k 0
n
n
n
k 0
k 0
k 0
(a b) a k b n k = a k 1b n k a k b n 1 k . В первой сумме
сделаем замену индекса суммирования k+1 =m, k=m-1. Когда k
меняется в пределах 0,…,n индекс m будет изменяться в пределах
8
от
1
n
a
до
a
результате
n
n 1
k 0
m 1
этой
замены
получим:
a k b n 1 k = a mb n 1 m a k b n 1 k =
k 1 n k
b
k 0
n
В
n+1.
n
k 0
n
a n 1b 0 a 0b n 1 a k b n 1 k .
m n 1 m
b
m 1
В последнем равен-
k 1
n
стве суммы
a
n
m n 1 m
и
b
m 1
a b
k
n 1 k
, очевидно, совпадают и,
k 1
таким образом, в результате получается разность a n 1 b n 1 .
Пример 3: Доказать по индукции равенство (бином Ньютона)
n
(a b) n Cnk a k b n k , где Cnk
k 0
n!
n(n 1)...( n k 1)
k!(n k )!
k!
.
Формула верна при n =1. Предположим, что она верна для n ,
докажем ее для n+1.
n
(a b) n 1 (a b)( a b) n (a b) Cnk a k b n k =
k 0
n
n
Cnk a k 1b n k Cnk a k b n 1k =
k 0
k 0
n 1
(замена m=k+1)=
C
m 1
m 1 m n 1 m
n
a b
n
n
Cnk a k b n 1 k =
k 0
n
Cnn a n 1b 0 Cnm 1a mb n 1 m Cnk a k b n 1 k Cn0 a 0b n 1 =
m 1
k 1
n
Cnn a n 1b0 Cnk Cnk 1 a k b n 1 k Cn0 a 0b n 1 =
k 1
n
Cnn11a n 1b0 Cnk1a k b n 1 k Cn01a 0b n 1 =
k 1
n 1
C
k 0
a b n 1 k .
k
k
n 1
1.2. Комплексные числа
Определение комплексного числа и свойста комплексных чисел.
9
1.2.1. Определение комплексного числа
Множество комплексных чисел определяется, как множество
упорядоченных пар действительных чисел, в котором опрелелены
операции сложения и умножения по правилам, описанным ниже.
Комплексное число обозначают z = (x, y). Первое число из такой
пары называется вещественной частью комплексного числа и обозначаются x = Re z, второе число называется мнимой частью комплексного числа и обозначаются y = Im z.
Два комплексных числа z1 , z2 равны z1 = z2 , если равны их вещественные и мнимые части
z1 = z2 { Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2 }.
Операции сложения и умножения определяются по следующим
правилам:
Сложение z1 = (x1,y1), z2 = (x2,y2), z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2).
Сложение комплексных чисел
Умножение z1z2 ( x1x2 y1 y2 , x1 y2 y1x2 ) .
Множество комплексных чисел обозначается C (комплексная
плоскость).
Геометрическая интерпретация. Комплексное число z=(x,y)
можно интерпретировать, как радиус вектор в точку плоскости с
координатами (x,y). Таким образом, по горизонтальной оси откладывается вещественная часть комплексного числа, а по вертикали
откладывается мнимая часть.
Рис. 1.4
1.2.2. Свойства комплексных чисел
Ниже перечисленные свойства проверяются непосредственно,
исходя из определения операций сложения и умножения комплексных чисел.
1) z1 +z2 = z1 + z2 .
2) z1 +( z2 + z3) = (z1 + z2) + z3.
10
~
3) обозначим 0 = (0, 0), тогда для любого z будет выполнено z
~
+ 0 = z.
4) zC можно определить противоположное комплексное
число -z=(-x,-y), которое обладает следующим свойством:
~
z ( z ) 0 .
5) z1 z2 = z2 z1.
6) z1 ( z2 z3) = (z1 z2) z3.
~
~
7) определим комплексную единицу: 1 =(1,0) , тогда z: z 1 =
z.
~
8) для z 0 существует обратное комплексное число z-1:
zz 1 1.
Существование обратного числа. Пусть z=(x,y). Будем искать
число
z-1=(u,v),
удовлетворяющее
нужным
свойствам:
xu yv 1
1
, ( zz (1,0) . Решая эту систему, получим
yu xv 0
x
y
.
u 2
,y 2
2
x y
x y2
Частное двух комплексных чисел определяется по формуле
w
wz 1 .
z
9) Свойвство дистибутивности: z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
1.2.3. Алгебраическая форма записи
Рассмотрим отображение c(x) из R в C: x ~
x ( x,0) , где xR,
~
~
x C . Множество комплексных чисел (x,0), обозначим R {x С
: Im z 0} . Отображение c(x) взаимно-однозначно, причем
1) c(x+y) = c(x)+c(y).
2) c(xy) = c(x)c(y).
3) c(0) = 0.
4) c(1) = 1.
Следствие: c(-x)=-c(x), c(x-1)=c(x)-1 или c(1/x)=1/c(x).
11
x с вещественЭти свойства позволяют отождествлять числа ~
ными числами x. В дальнейшем волну будем опускать. Множество
чисел (x,0) называется вещественной осью.
Мнимая единица. Введем обозначение i=(0,1). Это комплексное
число называется мнимой единицей. Отметим, что i 2 (1,0) 1.
Рассмотрим запись x+iy=(x,0)+(0,1)(y,0)=(x,y)=z , таким образом
можно записать z=(x,y)=x+iy. Представление комплексного числа
z=(x,y)=x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Множество чисел (0, y)=iy называется мнимой осью.
1.2.4. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное
сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных
чисел
Для z=(x,y), определяется комплексно сопряженное число
z ( x, y) . На комплексной плоскости сопряженное число расположено по отношению к данному числу симметрично относительно вещественной оси.
Модуль комплексного числа определяется по формуле:
| z | x 2 y 2 . Отметим, что z z | z |2 .
Рис. 1.5
2 3i
в алгеб1 i
раической форме домножим числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя: 1 i . В результате получим:
(2 3i)(1 i) 2 3 i(3 2) 1
(1 5i).
(1 i)(1 i)
11
2
Определение аргумента комплексного числа.
Главным значением аргумента комплексного числа называется
угол между положительным направлением вещественной оси и
Пример. Для представления комплексного числа
12
радиус вектором комплексного числа, лежащий в диапазоне [0,2).
Главное значение аргумента обозначается arg z . Аргумент комплексного числа Arg z arg z 2k . Например, для первой четверти
комплексной плоскости arg z = arctg y/x .
Тригонометрическая форма представления комплексного числа:
z = x + iy = r( cos + i sin ),
(1)
где =Arg z, x r cos , y r sin .
Рис. 1.6
Формулы Эйлера.
Введем обозначения
ei = cos + i sin , откуда следует, что
e i e i
e i e i
cos =
, sin =
.
2
2i
Замечание. Определение комплексного числа ez в общем случае
z=x+iy производится по формуле e z e x eiy .
Свойства символа ei. Непосредственно из определения следует
ei(+) = ei ei, (ei)n=ein .
Проверка: ei ( ) cos( ) i sin( ) =
cos cos sin sin + i(sin cos cos sin ) .
С другой стороны тоже самое получится, если перемножить
i i
e e :
eiei (cos i sin )(cos i sin ) = cos cos sin sin +
+ i(sin cos cos sin ) .
Используя обозначение ei комплексное число можно представить в виде
z = rei
(2)
13
Выражения (1) и (2) - тригонометрические формы записи комплексного числа.
1.2.5. Формула Муавра
Была найдена А.Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.
zn=rnein=rn( cos n + i sin n).
(3)
Формула (3) доказывается индукцией по n.
Умножение комплексных чисел
При n 1 она, очевидно, верна. Предположим, что она верна
для некоторого n, докажем ее для n+1. Имеем:
z n 1 z n z r n ein rei r n 1ei ( n 1) , ч.т.д.
Для заданного w ei найдем z rei , удовлетворяющее
уравнению z n w . Другими словами, найдем корень n-ой степени
из комплексного числа. Имеем rnein=ei n=+2k, kZ, r= n ,
откуда получаем формулы
2k
, k 0,..., n 1, r n ,
n
n
которые используются для вычисления корня n-ой степени из
комплексного числа w ei . Процесс нахождения корня n – ой
степени из комплексного числа z можно описать следующим образом. Если это число не равно 0, то таких корней будет ровно n. Все
они будут являться вершинами правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса
| z | . Одна из вершин этого многоarg z
угольника имеет аргумент, равный
.
n
Пример. Вычислить 3 1 . В этом случае 1, , поэтому
3
n
1 принимает три значения:
i
2
i
3
z0 e 3 , z1 e 3
14
4
i
3
, z1 e 3
.
Рис. 1.7
Замечание: Знаки сравнения меньше, больше (<, >) не определены в C.
1.3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел
Ограниченность и грани множества.
1.3.1.Ограниченное множество. Точные грани
Ограниченное сверху множество E: b xE : x b.
b - верхняя грань множества:
xE:x b.
Ограниченное снизу множество:a xE : x a.
a - нижняя грань множества: xE : x a.
Точная верхняя грань множества: b = sup E – это число, удовлетворяющее двум свойствам:
1) (b - верхняя грань) xE : xb.
2) ( нет меньшей) >0 xE: x > b-.
Аналогично определяется точная нижняя грань a = inf E. Ограниченное множество E: b xE: | x | b .
Замечание: Если b = sup E, то -b = inf E , где E- зеркальное к E
множество, E={xR:(-x)E}.
1.3.2.Существование точной верхней грани у ограниченного
сверху множества
Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.
Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и aE.
a b
, b , если в нем есть точки
Обозначим через [a1,b1] отрезок
2
15
из E. В противном случае через [a1,b1] обозначим отрезок
a b
a, 2 .
Рис. 1.8
Отметим свойства этого построенного отрезка:
1) xE: x b1.
2) E[a1,b1] .
Эту процедуру повторим для [a1,b1], и т. д. В результате получим последовательность вложенных отрезков [ak,bk], удовлетворяющих свойствам:
1)xE: x bk .
2) E[ak,bk] .
Доказательство этого проводится по индукции. Предположим,
что построен отрезок [ak,bk] с указанными свойствами. Разделим
ak bk
. Через [ak+1,bk+1] обозначим тот из
2
a bk ak bk
,
, bk , который имеет непустое пеотрезков ak , k
2 2
его пополам точкой
ресечение с E. Если оба содержат
Рис. 1.9
точки из E, то [ak+1,bk+1] пусть будет правый отрезок
ak bk
2 , bk . Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2).
Длины этих отрезков bk - ak=(b - a)/2k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это
число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:
16
1) xE: x c.
Предположим противное: xE:x>c, возьмем x c , для него
существует n : bn an x c, тогда bn c bn an x c , откуда следует bn < x, что противоречит условию x[an,bn].
Рис. 1.10
2) xE: x c - .
Для любого существует n: bn - an < . Выберем какое либо
x[an,bn] . В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того
c-x bn - an < . Таким образом, найдено требуемое x.
Рис. 1.11
Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного
снизу множества существует точная нижняя грань.
Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.
Доказательство: Пусть имеются две точных грани b2 , b1, b1<b2.
Возьмет = b2 - b1 > 0. По определению точной верхней грани (для
b2) xE: x > b2 - = b1, что противоречит тому, что b1 верхняя
грань.
Рис. 1.12
Замечание. Аналогично доказывается, что точная нижняя грань
единственна.
Если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +, аналогично, если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -.
Глава 2. Последовательности
2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
Числовая последовательность и различные понятия, связанные с последовательностями. В частности, грани, предел, монотонность.
17
2.1.1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя
(нижняя) грань. Монотонные последовательности
Определение. Последовательность {an } определяется как
отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an }: n an .
Ограниченность сверху. b nN: an b. Такое b называется
верхней гранью последовательности {an}. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у нее существует хотя бы одна верхняя грань.
Ограниченность снизу. a nN: an a. Существует нижняя
грань.
Ограниченность. c nN: |an| c. Существуют верхняя и
нижняя грани.
n
Примеры: {(-1)n}, sin n, n (-1)
Определение точной верхней грани. b = sup {xn}:
1)
nN: xn b (b есть верхняя грань).
2)
>0 nN: xn > b - (никакое меньшее число не является верхней гранью).
Аналогично определяется точная нижняя грань, обозначаемая
inf.
Пример. Написать на кванторах утверждение b sup {xn}.
b sup {xn} означает отрицание b = sup {xn}. Таким образом,
выполнено: или отрицание 1), или отрицание 2).
Другими словами:
или выполнено 1) nN: xn > b,
или выполнено 2) > 0 nN: xn b - .
Монотонно возрастающая последовательность {an}: nN: an
an+1.
Строго монотонно возрастающая последовательность {an}:
nN: an < an+1.
Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей.
2.1.2. Предел последовательности
(a lim xn ) запись на кванторах 0N n N :| xn a | .
n
{xn} сходится a 0N n N :| xn a | (у последовательности есть конечный предел).
18
Если последовательность не является сходящейся, то говорят,
что она расходится. Построить отрицание предыдущего высказывания.
Замечание. (a lim xn ) (lim( xn a) 0).
n
n
Бесконечно малая последовательность {xn} : lim xn 0 .
n
Замечание. {xn} a xn=a+n, где n - бесконечно малая последовательность.
2.1.3. Несобственные пределы
(lim xn ) bN n N : xn b.
n
(lim xn ) bN n N : xn b.
n
(lim xn ) bN n N :| xn | b.
n
Последовательность, удовлетворяющая одному из этих условий
называется бесконечно большой (б.б.).
Отметим, что ( lim xn ) lim xn и ( lim xn )
n
n
n
lim xn .
n
Поэтому бесконечно большой будет последовательность, которая удовлетворяет условию lim xn .
n
В определении lim xn и в определении lim xn можно
n
n
писать:
b 0Nn N : xn b и b 0Nn N :| xn | b .
Замечание. Бесконечно большая последовательность расходится.
Геометрическое определение предела
Интервал (a-, a+) называется - окрестностью точки a .
Окрестностью - называется множество вида (-,b) .
Окрестностью + называется множество вида (b,+) .
Окрестностью называется множество вида {x: |x|>b} =
=(-,-b) (b,+). Отметим, что при отрицательных b это
множество всех вещественных чисел.
Геометрическое определение предела (общее для чисел и символов). Число или символ a называется пределом последовательно19
сти {xn}, если вне любой окрестности a имеется лишь конечное
число членов этой последовательности.
2.2. Теоремы о пределах последовательностей
Основные свойства сходящихся последовательностей. Свойства монотонных последовательностей.
2.2.1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей
Отбрасывание или добавление конечного числа членов последовательности не нарушает сходимости последовательности и величины ее предела.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
Доказательство: Предположим противное, существует два
предела: a lim xn , b lim xn , a b . Возьмем какое нибудь , удоn
n
влетворяющее условиям: 0 ,a b . Например, можно взять
ba
. По определению предела будет существовать N1 такое,
2
что a xn a при n N1 . Точно также существует N 2 такое,
что
b xn b
при
n N2 .
Тогда
при
n N max{ N1, N2}
будут
выполнены
неравенства
xn a b xn . Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.
Рис. 2.1
Т еорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: a lim xn . Возьмем =1 по определению
n
предела для него существует Nn>N:a -1<xn<a+1. В таком случае
20
для числа b=max{|x1|,…,|xN|,|a-1|,|a+1|} для любого n будет выполнено |xn|<b.
Теорема 3 (О трех последовательностях). Если для трех последовательностей
неравенства
{xn },{ yn },{ zn } выполнены
xn yn zn , и lim xn lim zn a , то
n
n
lim yn a.
n
Теорема 4 (Переход к пределу в неравенству). Если для всех n
выполнены неравенства xn yn и lim xn a, lim yn b , то a b .
n
n
Следствие 1. (n, xn b, lim xn a) (a b).
n
Следствие 2. (n,| xn a | n , lim n 0) (lim xn a).
n
n
Замечание. (n, xn yn , lim xn a, lim yn b) (a b).
n
n
2.2.2. Монотонные последовательности
Теорема 5. Всякая ограниченная сверху, монотонно возрастающая последовательность {xn} имеет конечный предел
( lim xn sup{ xn })
n
Доказательство. Пределом будет число b= sup{ xn } . Докажем
это. Берем произвольное >0. Из определения точной верхней грани следует, что найдется N такое, что b- < xN b <b+ .
Все последующие члены последовательности будут располагаться в этой -окрестности числа b в силу монотонности последовательности, ч.т.д.
Рис. 2.2
Замечание 1. Аналогично доказывается, что всякая ограниченная снизу монотонно убывающая последовательность сходится.
Замечание 2. Если {[an,bn]} система вложенных стягивающихся
к нулю отрезков и с[an,bn], то lim an lim bn c .
n
n
Доказательство:
lim (bn an ) 0 lim (bn c) 0 . Аналогично,
n
n
21
lim (bn an ) 0 lim (c an ) 0 .
n
n
Пример. Число e . Число Эйлера или неперово число.
Индукцией по n доказывается формула (Бином Ньютона):
n
(a b) n Cnk a k b n k , Cnk
k 0
n!
n(n 1)...( n k 1)
.
k!(n k )!
k!
Используя формулу бинома Ньютона для последовательности
n
1
xn= 1 получим:
n
n
k
n
1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1
1
k1
1 Cn 1 n
n
2
3!
n2
n3
n k 0 n
n(n 1)( n 2)...( n n 1) 1
n(n 1)(n 2)...(n k 1) 1
+…
+…+
k!
nk
n!
nn
=
1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 ...
2 n 3! n n
1 1 2 n 1
1 1 1
.
n! n n
n
Для n+1 будет выполнено, соответственно,
1
1 1
1
2
1 1 1
1
1
...
2 n 1 3! n 1 n 1
1
1
2 n 1
1
1
1
n! n 1 n 1 n 1
1
1
2
n
1
1
1
.
(n 1)! n 1 n 1 n 1
При переходе от n к n+1 каждое слагаемое в этой сумме увеличивается и общее число слагаемых увеличивается на один, поэтому
xn<xn+1. Далее, каждая скобка <1 и
xn 2
1
1
k 1 , поэтому
k! 2
1 1
1
2 ... n 1 . Монотонно возрастающая ограничен2 2
2
ная последовательность сходится к некоторому числу, которое
обозначается e.
22
Это трансцендентное
e=2.718281828459045…
число
называется
числом
Эйлера
2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со
свойством непрерывности вещественных чисел
Дальнейшие свойства сходящихся и ограниченных последовательностей.
Подпоследовательность.
2.3.1.Подпоследовательность. Теорема БольцаноВейерштрасса
Определение. Дана последовательность {xn} и последовательность натуральных чисел {nk}, 1n1<n2<…<nk<nk+1<…, тогда числовая последовательность {yk}, yk xn k называется подпоследовательностью последовательсти {xn}.
Пример: xn= sin n, nk=2k, xn k = sin 2k.
Замечание. Отметим, что из условия nk < nk+1 следует, что
k nk (доказывается индукцией по k) .
Теорема 1. Если lim xn a (a - число или символ), то для люn
бой ее подпоследовательности {yk}, yk xn k
,будет выполнено:
lim yk a .
k
Доказательство: Вне любой окрестности a содержится лишь
конечное число членов {xn}, следовательно, и конечное число подпоследовательности { xn k }, ч.т.д.
Теорема 2. (Больцано, Вейерштрасс) Из любой ограниченной
последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть последавательность лежит на
[a,b] {xn}.
Разделим отрезок [a,b] пополам, обозначим [a1,b1] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a1,b1], его индекс обозначим n1.
Разделим отрезок [a1,b1] пополам, обозначим через [a2,b2] тот из
полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много
членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a2,b2] и имеющий индекс больший,
23
чем n1, его индекс обозначим n2. Продолжая этот процесс, мы построим подпоследовательность {xnk }, xnk [ak , bk ] . Система отрезков [ak,bk] представляет собой систему вложенных, стягивающихся
к нулю отрезков (bk-ak=(b-a)/2k). Общую точку обозначим c. Так
как c[ak,bk], то | xnk c | bk ak 0 . Откуда следует, что
lim xn k c (Следствие 2 из Теоремы 4 §2).
n
Определение. Предел подпоследовательности называется ча-
стичным пределом (в том числе , ). Просто договоримся
частичным пределом не считать.
Замечание 1. Частичных пределов у последовательности может
быть много.
Пример: Последовательность всех рациональных чисел {rn}
имеет своим частичным пределом любое вещественное число.
Замечание 2. Для того, чтобы a (число или символ) было частичным пределом последовательности {xn} необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность a содержала бесконечно много
членов последовательности {xn}.
Следствие. Если некоторая окрестность a содержит конечное
число членов последовательности, то a не является частичным
пределом.
Замечание 3. У любой последовательности существует хотя бы
один частичный предел (конечный или бесконечный).
Доказательство: Рассмотреть два случая: Ограниченная последовательность. В этом случае утверждение теоремы является следствием теоремы Больцано-Вейерштрасса. В случае неограниченной последовательности для выделения подпоследовательности
имеющей пределом используется определение предела последовательности, имеющей несобственный предел. Например, пусть
lim xk , тогда nxk n : xk n n . Условие nk> nk-1 можно обесk
печить, используя то, что в любой окрестности + имеется бесконечно много членов последовательности.
2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности
Определение. (Наибольший частичный предел последовательности {xn} называется ее верхним пределом, lim xn sup X , где X
n
– множество всех частичных пределов. Можно показать, что
24
lim bn lim sup bk . Аналогично, определяется нижний предел
n
n k n
lim xn inf X .
n
Замечание.
Если
lim xn a ,
n
(число
или
символ),
то
lim xn lim xn a . Это является непосредственным следствием
n
n
теоремы 1.
Теорема. У любой последовательности существует как верхний, так и нижний пределы.
Без доказательства.
1) Если последовательность неограниченна сверху, то
xnk : lim xnk .
k
2) Ограничена сверху. A- множество конечных частичных пределов
A lim xn lim xn .
n
n
A b sup A .
Осталось показать, что b есть частичный предел. Действительно, в любой окрестности b есть хотя бы один частичный предел,
следовательно, бесконечно много членов {xn}.
2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий
Коши для последовательности
Условие Коши: > 0Nn > Np:|xn+p - xn|<
Определение. Фундаментальной последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.
Теорема. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была
фундаментальна.
Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится
lim xn a
. Пусть >0 . Для =/2Nn>N:|xn -a|</2 для тех же n
(n>N) и p будет выполнено |xn+p -a|< /2. Таким образом, для
n>Np:|xn+p - xn| |xn+p - a|+|a - xn| < /2+/2=.
Достаточность. Пусть >0. Для ' / 2
M n M p :| xn p xn | .
2
(1)
n
25
Таким образом, все члены последовательности начиная с номера M+1 оказались в окрестности числа xM 1 , следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса
существует сходящаяся подпоследовательность
xn k a
{ xn k }
, пусть
. Докажем, что a является пределом последовательности
{xn } . Для ранее выбранного
K k K :| xnk a | .
2
Тогда можно выбрать достаточно большое k
(2)
так, что
2 и nk M . Тогда, при n N nk будет выполнено:
| xn a || xn xnk | | xnk a |
2 2
. Ч.т.д .
xnk a
2.4. Свойства последовательностей
Операции над последовмтельностями, свойства пределов.
2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями
Определения операций. Сумма двух последовательностей,
умножение на число. Сумма двух последовательностей {xk}, {yk}
определяется, как {xk +yk}. Произведение последовательности {xk}
на число c определяется, как последовательность {c xk}.
Последовательность n называется бесконечно малой (б.м.),
lim n 0
если n
.
Последовательность n называется бесконечно большой (б.б.),
lim n
если n
.
1) если |n| б.м. , то {n} б.м.
2) если n , n б.м., то {n+ n} б.м.
Следствие. {n+ n+…+n} б.м., если все n , n ,… б.м.
Определение. Произведением двух последовательностей {xk},
{yk} называется последовательность {xkyk}.
26
3) произведение б.м.последовательности на ограниченную является б.м. последовательностью.
Следствие. Произведение конечного числа б.м. является б.м..
4) {1/n} б.б., если {n} б.м. n0.
Доказательство: Возьмем произвольное b 0 , тогда для
1
1
1
или
Таким
образом,
N n N :| n |
b.
n
b
b
b 0N n N :
1
b,
n
следовательно,
последовательность
1
- бесконечно большая.
n
5) {1/n} б.м., если {n} б.б., n0.
6) Ранее отмечалось, что существование конечного предела
a lim xn равносильно существованию б.м. {n} такой, что
n
xn a n .
7)
{xn},{yn} сходятся,
lim xn yn lim xn lim yn .
n
n
то
сходится
{xn+yn}
и
n
Следствие. Свойство 7) распространяется и на конечные суммы.
Замечание. Свойство 7) нарушается, если хотя бы один из пределов равен .
8)
{xn},{yn}
сходятся,
то
сходится
{xnyn}
и
lim xn yn lim xn lim yn .
n
n
n
Доказательство. xn a n , yn b n .
xn yn (a n )(b n ) ab b n an nn .
Следствие 1.Если {xn} сходятся, то сходится {сxn} и
lim cxn c lim xn.
n
n
Следствие 2. xna xnk a k .
9) xna |xn||a|.
x
a
10) xna, ynb, yn0, b0 n .
yn
b
Лемма. Если ynb, yn0, b0, то |1/yn| ограничена.
27
lim | yn || b |
Доказательство: n
, тогда для
|b|
|b|
|b|
N n N :| b |
| yn || b | .
2
2
2
|b|
1
2
N n N :| yn |
n N :
.
2
| yn | | b |
Таким образом,
Доказательство свойства 10).
xn a a n a bn an
1
| b n an | .
yn b
b n b
b(b n )
byn
.
1
by
Последовательность n по лемме ограничена, последовательность | b n an | - бесконечно малая.
Глава 3. Предел функции. Непрерывность
3.1. Основные понятия, относящиеся к функции
Основные понятия, связанные с функциями. Элементарные функции.
3.1.1. Определение функции. Монотонность. Обратная функция. Суперпозиция
Понятие функции является частным случаем общего понятия
отображения.
X , X * множества вещественных чисел. Функция определяетf
ся, как отображение из X в X *, f : X
X * . X называется
областью определения функции. Областью значений Y функции
называется множество всевозможных значений f (x ) , когда
x X .
Определение. Функция f(x) называется монотонно возрастающей на X, если для x1, x2 X , x1 x2 : f ( x1 ) f ( x2 ) . Функция f(x)
называется монотонно убывающей на
X, если для
x1, x2 X , x1 x2 : f ( x1 ) f ( x2 ) . Функция f(x) называется строго
монотонно
возрастающей
на
X,
если
для
x1, x2 X , x1 x2 : f ( x1 ) f ( x2 ) . Функция f(x) называется стро-
28
го
монотонно
убывающей
на
X,
если
для
x1, x2 X , x1 x2 : f ( x1 ) f ( x2 ) .
Если различным значениям x отвечают различные значения y ,
то yY!xX:f(x)=y.
Полученная зависимость yx называется обратной функцией
и обозначается f -1. Область значений прямой функции становится
областью определения обратной функции и наоборот, область
определения прямой функции превращается в область значений
обратной функции.
Теорема. Если f(x) строго монотонна на X и имеет область
значений Y, то на Y существует обратная функция f 1 .
Для доказательства этого утверждения достаточно отметить
выполнение
условия
единственности
x
в
выражении
yY!xX:f(x)=y , которое следует из строгой монотонности
функции.
Графиком функции называется геометрическое место точек на
плоскости вида: {( x, y ) : x X , y f ( x)} или, что тоже, геометрическое место точек ( x, f ( x)), x X .
Суперпозиция g:TX,f:XY, f g :TY. Пишут также
y = f(g(t)).
3.1.2.Ограниченность. Точные грани
Пусть функция f определена на X.
Функция f (x ) ограничена на множестве : bxX:|f(x)|b.
Функция f (x ) ограничена сверху на множестве X. bxX :
f(x) b.
Функция f (x ) ограничена снизу на множестве X. bxX :
f(x) b.
Точная верхняя грань sup f ( x) b,
xX
1.xX :f(x)b
2.>0xX :f(x)>b -
Верхняя грань b sub f ( x) достигается, если xX :f(x)=b.
xX
3.1.3.Элементарные функции
29
Функции: константа y=const, степенная y=xa, показательная
y=ax (a>0),ее обратная, y log a x, (a 0) , тригонометрические и
их обратные называются основными элементарными функциями.
Всякая функция, полученная применением конечного числа
арифметических операций и суперпозиций над основными элементарными функциями называется элементарной функцией.
Примеры: Многочлен n степени
m
y ak x k = a0+ a1x+…+ am-1xm-1+ amxm (am0),
k 0
дробно рациональная функция
m
y
ak x k
k 0
n
bk x k
a0 a1 x ... am x m
, am 0, bm 0.
b0 b1 x ... bn x n
k 0
3.2. Предел функции
Предел функции. Критерий Коши. Локальные свойства функции, связанные с
пределами.
3.2.1. Определение предела по Коши
В начале выпишем базовые определения разного типа окрестностей.
Окрестность числа a обозначается U(a)=(a-, a+), > 0,
окрестность символа + обозначается Ub(+)=(b,+) (b –
любое число),
окрестность - обозначается Ua(-)=(-,a) (a – любое число),
окрестность обозначается Uc()=(-,c)(c,) (c – любое
число).
Проколотая окрестность U (a) (a , a ) \{a} , a - число.
Проколотая окрестность U b () = Ub(+).
Проколотая окрестность U a () = Ua(-).
Проколотая окрестность U c () = Uc().
Определение предела функции по Коши: Задана функция f(x) с
областью определения X. Будем предполагать, что X содержит
некоторую проколотую окрестность точки a.
30
A lim f ( x)
, если >0>0x,0<|x - a|<, xX : |f(x) - A|< .
Геометрическое определение: A – является пределом функции
f(x) при x a, если для любой окрестности A существует прокоx a
лотая окрестность a, такая, что (x U (a) X)(f(x)U(A)).
В геометрическом определении A, a числа или символы. Всего в
этом определении содержится 16 различных вариантов определения предела ( a -число, a ,, , A -число, A ,, ).
Рис. 3.1
Пример:
lim f ( x) b>0x,0<|x – x0|<, xX: f(x)>b.
x x0
lim f ( x) cax, x<a, xX: |f(x)|>c.
x
3.2.2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
Пусть f(x) определена на интервале X= (c,a) , где a – число.
Предел слева A lim f ( x) определяется следующим образом:
xa 0
U ( A) 0x (a , a) X : f ( x) U ( A) .
Стандартное обозначение одностороннего предела слева:
f (a 0) lim f ( x) . Аналогично определяется предел справа,
xa 0
именно A lim f ( x) .
xa 0
U ( A) 0x (a, a ) X : f ( x) U ( A) .
Стандартное обозначение одностороннего предела справа:
f (a 0) lim f ( x).
x a 0
3.2.3. Связь предела с односторонними пределами
Пусть функция f(x) определена на (a,b) за исключением, быть
может, точки x0(a,b) .
31
Теорема. Для того, чтобы существовал предел lim f ( x) A ,
x x0
(A – число) н. и д. существование односторонних пределов и их равенство числу A.
lim f ( x) A
x x0 0
lim f ( x) A
x x0
lim f ( x) A.
x x0 0
Доказательство этого утверждения следует непосредственно из
определения.
Замечание. Теорема верна и для A=+ ,-, но формально не
верна для A=.
Пример: f(x)=1/x, x0=0,
lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x) .
x 0
x 0 0
x 00
3.2.4. Определение предела по Гейне
Вспомогательные определения.
Последовательностью типа Гейне {xn} при x x0 (или в x0) заданной функции f(x) c областью определения X называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям
1)
{xn}X.
2)
xn x0.
lim xn x0 .
3)
n
Последовательностью типа Гейне {xn} при xx0 – 0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям
1) {xn}X.
2) xn x0 .
3) lim xn x0 .
n
Последовательностью типа Гейне {xn} при x x0+0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям
1) {xn}X.
2) xn x0 .
3) lim xn x0 .
n
Последовательностью типа Гейне {xn} при x называется
последовательность, удовлетворяющая следующим условиям
1) {xn}X.
2) -----32
3) lim xn =.
n
Последовательностью типа Гейне {xn} при x+ называется
последовательность, удовлетворяющая следующим условиям
1) {xn}X.
2) -----3) lim xn =+.
n
Последовательностью типа Гейне {xn} при x - называется
последовательность, удовлетворяющая следующим условиям
1) {xn}X.
2) -----3) lim xn .
n
Определение предела по Гейне . Пусть f определена в проколотой окрестности a (число или символ), A - число или символ называется пределом f(x) при x a по Гейне, если для любой последовательности типа Гейне при xa будет выполнено
lim f ( xn ) A .
xa
Предел слева, справа определяется аналогично. Меняется только тип последовательности Гейне.
Эквивалентность двух определений
Доказательство. Kоши Гейне (общий случай: A, a – числа
или символы).
Пусть lim f ( x) A по Коши. Пусть {xk} последовательность
xa
типа Гейне при xa. Для данной окрестности U(A) существует
проколотая окрестность U (a) такая, что
(x U (a) X) (f(x)U(A)).
(1)
Так как lim xn =a , то для U(a) существует N n>N: xn U(a).
n
Поскольку xn a, то n>N: xn U (a) , следовательно n>N : xn
U (a) X откуда, согласно (1), будет выполнено f(xn)U(A), т.е.
lim f ( xn ) A .
xa
33
Доказательство. Гейне Kоши (частный случай, a и A - числа). Предположим противное: 0>0>0 x,0<|x - a|<:|f(x) - A|
0 . Для n=1/n будет существовать xn, 0<| xn - a|<1/n такое, что
|f(xn)-A|0 . Построенная последовательность { xn } является последовательностью типа Гейне при xa , тогда по условию
lim f ( xn ) A , но это противоречит неравенству |f(xn) - A| 0.
n
В случае символов это утверждение доказывается аналогично.
Замечание 1. Определения односторонних пределов так же эквивалентны по Коши и по Гейне.
Замечание 2. Определение предела по Гейне позволяет переносить ранее доказанные свойства пределов последовательностей на
пределы функций.
Докажем это для предела суммы двух функций.
Дано: Существуют пределы lim f ( x) A , lim g ( x) B . Пусть
xa
x a
последовательность типа Гейне при xa, тогда
lim f ( xn ) A , lim g ( xn ) B . По свойству пределов последова-
{xk}
n
n
тельностей будет выполнено lim f ( xn ) g ( xn ) A B . Таким
n
образом, для любой последовательности типа Гейне {xk} оказыватся выполненным равенство: lim f ( xn ) g ( xn ) A B . Поn
следнее означает, что lim f ( x) g ( x) A B .
xa
3.2.5. Критерий Коши существования конечного предела
функции
Пусть X область определения функции f содержит проколотую
окрестность точки a .
Условие Коши для f(x) в окрестности a (для предела x a ):
> 0 U (a) x,x U (a) X : |f(x) - f(x)| < .
Сформулируем условие Коши для других случаев.
Односторонние пределы:
Предел справа ( x a 0 ) : >0>0x,x(a,a+)X: |f(x) f(x)|<.
Предел слева ( x a 0 ) : >0>0x,x( a-, a)X: |f(x)
- f(x)|<.
34
Условие Коши для + ( x ): f определена в окрестности
+
-
>0bx,x(b,+)X :|f(x) - f(x)|<.
Условие Коши для - ( x ): f определена в окрестности
>0ax,x(-,a)X:|f(x) - f(x)|<.
Условие Коши для ( x ): f определена в окрестности
>0ax,x(-,a) (,a)X:|f(x) - f(x)|<.
Теорема. (Критерий Коши) Для существования конечного предела lim f ( x) A , где a число или символ н. и д., чтобы f удовлеxa
творяла условию Коши в окрестности a.
Необходимость. Пусть > 0, для /2 U (a) x U (a) X:
|f(x) - A|</2. Для x,x U (a) X получим требуемое неравенство
|f(x) - f(x)|<|f(x) - A|+|f(x) -A| < /2+/2=.
Достаточность. Пусть >0. Тогда U (a) x,x U (a)
X:|f(x)-f(x)|< . Если {xn} последовательность типа Гейне для a ,
то из сходимости {xn}a и условия xna следует, что существует
Nn>N, p:xn U (a) и xn+p U (a) . Тогда для
n>N, p : |f(xn) - f(xn+p)|< . Таким образом, последовательность
{f(xn)} будет фундаментальна, поэтому существует некоторый предел lim f ( xn ) B . Докажем, что для любой другой последоваn
тельности типа Гейне {yn} предел будет также равен B. Составим
последовательность
x , n 2k 1
zn n
, {zn}={x1, y1,x2, y2,x3, y3,…}.
yn , n 2k
Эта последовательность будет последовательностью типа Гейне
при xa и, как уже доказано, предел lim f ( zn ) должен существоn
вать. Тогда все частичные пределы должны совпадать, в частности,
lim f ( yn ) = lim f ( xn ) .
n
n
35
3.2.6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
Область определения X функции f содержит некоторую проко
лотую окрестность U (a) .
Функция f локально ограничена в точке a, если она ограничена
в некоторой окрестности этой точки. Для числа a определение локальной ограниченности выглядит следующим образом:
M>0xU(a)X : |f(x)|M.
Для a = + MbxUb(+)X:|f(x)|M.
Теорема. Функция f(x) , имеющая конечный предел в при x a ,
локально ограничена в a.
Доказательство: =1, M=max{|A-1|,|A+1|,f(a)} или M=max{|A1|,|A+1|} (последнее в случае, если функция не определена в a ).
Замечание. Теорема верна и в случае lim f ( x) A ,
xa 0
lim f ( x) A, lim f ( x) A, lim f ( x) A, lim f ( x) A .
xa 0
x
x
x
3.2.7. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел
в точке
Будем предполагать, что область определения X функции f содержит некоторую U (a). Тогда справедлива следующая
A
Теорема. lim f ( x) A 0 U (a)x U (a) : f ( x) .
x a
2
В этом случае говорят, что функция f(x) сохраняет знак числа A
в некоторой окрестности a.
Доказательство. Для
A
A
A
= U (a)x U (a) : A f ( x) A .
2
2
2
Замечание 1.
lim f ( x) A 0 U (a)x U (a) :| f ( x) |
xa
Замечание 2. Теорема верна и в случае
lim f ( x) A, lim f ( x) A, lim f ( x) A.
x
x
x
36
| A|
2
Рис. 3.2
3.2.8. Предел сложной функции
Пусть функция f(x) определена на X, функция g(t) определена на
T с областью значений GX. Тогда на T определена суперпозиция
F(t)=f(g(t)),tT. При этих условиях справедлива
Теорема. Пусть g(t) определена на
T= (,)\{t0},t0 (,).Функция f(x) определена на (a,b)\{x0},
lim g (t ) x0 и g(t)x0, если tt0 , lim f ( x) =A.
t t 0
x x0
Тогда lim F (t ) lim f ( g (t )) lim f ( x).
t t0
t t0
x x0
Доказательство: Возьмем > 0 для него >0x U ( x0 ) :
f(x) U(A), далее, для существует >0t U (t0 ) :g(t) U ( x0 ) ,
если tt0 , то g(t)x0. таким образом, g(t) U (t0 ) и следовательно
f[g(t)] U(A).
3.3 Свойства пределов
Дальнейшие свойства пределов функций. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
3.3.1. Переход к пределу в неравенствах
Теорема. Если f(x), g(x) определены на (a, b) \ {x0 } , x0(a,b) и
f(x) g(x) на (a, b) \ {x0 } и существуют пределы
lim f ( x) A, lim g ( x) B , А и B числа, то AB.
x x0
x x0
Аналогично, для случая f(x)<g(x).
37
Теорема. Если f(x), g(x) определены на (a, b) \ {x0 } , x0(a,b) и
f(x)<
на
g(x)
и
(a, b) \ {x0 }
существуют
пределы
lim f ( x) A, lim g ( x) B , А и B числа, то AB.
x x0
x x0
Эти утверждения следуют из соответствующих теорем о пределах последовательностей, используя определение предела по
Гейне.
3.3.2. Арифметические операции над пределами
Везде в этом пункте рассматриваются конечные пределы.
1) lim c c , lim cf ( x) c lim f ( x) , если lim f ( x) .
x x0
x x0
x x0
x x 0
2) lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) , если существуют
x x0
x x0
x x0
конечные пределы lim f ( x) , lim g ( x) .
x x 0
x x0
3) lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) , если существуют коx x0
x x0
x x0
нечные пределы lim f ( x) , lim g ( x) .
x x 0
x x0
k
Следствие: lim f k ( x) lim f ( x) , если существует конеч-
x x0
x x0
ный предел lim f ( x) .
x x 0
4) lim f ( x) A lim | f ( x) || A |
x x0
x x0
f ( x) A
.
x x0 g ( x )
B
Замечание. Аналогичные свойства имеют место для односторонних пределов.
3.3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение. Бесконечно малой в x0 называется функция f(x)
такая, что lim f ( x ) 0.
5) g(x)0, lim g ( x) B 0 , lim f ( x) A lim
x x0
x x0
x x0
Свойства бесконечно малых функций
1) Критерий существования конечного предела функции
lim f ( x) A б.м. функция (x) при xx0 :f(x)=A+(x).
x x0
2) (x),(x) б.м. (x)+(x) б.м..
38
3) Произведение б.м. функции на ограниченную является б.м.
функцией.
4) Произведение б.м. функций является б.м. функцией.
Определние. f(x), определенная в проколотой окрестности x0 ,
называется бесконечно большой б.б. в т. x0, если lim f ( x) .
x x0
5) Если (x) б.м. при xx0 и (x)0, то 1/(x) является б.б. и
наоборот. Символически это записывают в виде 1/=0, 1/0= .
3.3.4. Сравнение б.м. и б.б. функций. Символы O,o
Пусть функции f,g определенны в некоторой проколотой
окрестности x0.
Пишут f ( x) O( g ( x)), x x0 ,если
U ( x0 )Cx U ( x0 ) :| f ( x) | C | g ( x) | .
Аналогично определяется O при xx0+0, xx0 - 0, x, x .
Пример: f(x)=O(1), x означает локальную ограниченность
функции в .
Определение. Если при xx0 , f(x)=O (g) и g(x)=O (f) , то f(x),
g(x) называются функциями одного порядка.
Пример: Функции x3,x2 являются функциями одного порядка
при x1.
Определение o (о малое). Пусть f(x), g(x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x0. Пишут f(x)=o(g(x)), xx0,
если U ( x0 ) бесконечно малая (x) при xx0 , такая, что
x U ( x0 ) : f(x)=(x)g(x).
Аналогично определяется o при xx0+0, xx0 - 0, x, x .
Пример: f(x)=o (1), при xx0 означает, что f(x) б.м. при xx0 .
Некоторые примеры работы с символами o для случая x0 .
o(xn) o(xn)= o(xn),
xm o(xn) = o(xn+m),
c o(xn) = o(xn) (c-константа),
o(xn) o(xn+p)= o(xn), здесь p натуральное.
o(xn+p)/xp= o(xn) В частности, o(xp)/xp= o(1).
o(an xn an+1 xn+1… an+p xn+p)= o(xn).
Если , бесконечно малые и =o(), то говорят, что бесконечно малая более высокого порядка, чем .
39
Определение. Функции f(x), g(x) называются эквивалентными в
x0 ( говорят так же, в окрестности x0 ), если выполнено хотя бы
одно из двух условий
f ( x) g ( x) o( g ( x)), x x0 , ( в этом случае g называется
главной частью f при x x0)
g ( x) f ( x) o( f ( x)), x x0 ( f - главная часть g при x x0).
Условие эквивалентности записывается в виде fg , при xx0 .
Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, то будет
выполнено и второе.
Замечание 2. Эти условия можно записать в другой форме.
Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности
точки имеет место равенство f(x)=h(x)g(x), lim h( x) =1.
x x0
Замечание 3. Если, например, g(x)0, то первое условие можно
f ( x)
записать в виде lim
1.
x x0 g ( x)
Определение. Если для некотрого C выполняется:
f(x) C ( x x0 ) при xx0 , то f(x) называется бесконечно малой
порядка при xx0 ( - положительное вещественное число).
Вместо условия xx0 может быть x x0 0, x x0 0 . Если для
некотрого C выполняется f(x) C | x x0 | при xx0 , то в этом
случае также говорят о бесконечно малой порядка при xx0 .
Так, например, функция
малая порядка 2).
x 4 x 6 | x |2 при x0 (бесконечно
Если для некотрого C выполняется:
f(x)
C
( x x0 )
C
при xx0 , то f(x) называется бесконечно большой по
| x x0 |
рядка при xx0.
Если f(x) б.б. при x и f(x) эквивалентна | x | при x , то
f(x) называется бесконечно большой порядка при x. Аналогично определяется порядок бесконечно большой при
x , x .
40
Замечание. Если f(x) б.м. порядка , то 1/f(x) будет б.б. порядка
и наоборот.
Примеры. Определить характер функций
f ( x) x 4 x 5 ,
f ( x) ( x 4 x 6 )( x 1) 2 в 0, 1,+.
x4 x5 x 2 при x0 (бесконечно малая порядка 2)
x 4 x6
2 при x1,
x 4 x6 | x |3 при x (бесконечно большая порядка 3).
( x 4 x 6 )( x 1) 2 x 2 при x0 (бесконечно малая порядка 2),
( x 4 x 6 )( x 1) 2
2 | x 1 | при x1 (бесконечно малая по-
рядка 1),
( x 4 x 6 )( x 1) 2 x 4 при x (бесконечно большая порядка
4).
Пример. Функция f ( x)
но малой порядка
x sin x при x0 является бесконеч-
3
.
2
Пример. Функция f ( x ) ln x при x1 является бесконечно
малой неопределенного порядка. Не существует такого C и действительного числа , что ln x c | x 1| при x1.
Пример.
3
1
1
2
1
x
2
2
, при x .
1=
2
3
x
x
2
2 3
3 1
1 1
x
x
При вычислении пределов полезна следующая теорема.
Теорема. Пусть f эквивалентна f1, g эквивалентна g1 при xx0 .
Если существует предел
lim
x x0
lim
x x 0
f1
, тогда существует и
g1
f
f
lim 1 .
g x x0 g1
41
Если существует
предел
lim f1g1 , тогда существует и
x x0
lim fg lim f1g1 .
x x0
x x0
x4 x6
| x |2
lim
lim x 0 .
x 0 x
x 0
x
Пример. lim
x 0
3
Пример. lim
x
x2 x x
3
x2 1
lim
3
x
x 2 3 1 x 1 x 1 / 6
3
x
23
1 x2
=1.
x
2
x 2 1
Пример. lim 3 1 1 lim
.
x 2
x
x 2 3 x 3
3.4 Замечательные пределы
Замечательные пределы, основные эквивалентности.
sin x
1
x 0
x
3.4.1. Первый замечательный предел. lim
Отметим,
что
для
0 x
sin x x tg x смотри рисунок
x tg x в конце пункта).
выполнены
2
(доказательство
неравенства
неравенства
Рис. 3.3
Откуда следуют неравенства
1
x
1
.
sin x cos x
42
(1)
Далее | 1 cos x | = 2 sin 2
чаем, что lim
x
x 0 sin x
x | x |2
lim cos x 1 и из (1) полуx 0
2
2
1.
Отметим, что попутно были доказаны следующие соотношения:
1) x : | sin x || x | .
2) lim cos x 1 .
x 0
Доказательство неравенства x tg x .
Рис. 3.3.1
Дуга x (на рис. 3.3.1 - это AD ) есть предел длин вписанных ломаных с равноотстоящими узлами ( AB, BC ,..., CD) при стремлении к бесконечности числа звеньев. Легко показать, что последовательность длин этих ломаных является монотонно возрастающей
последовательностью, ограниченной длиной AD ' сверху. Например, | BC || B ' C ' | , см. рис. 3.3.2.
43
Рис. 3.3.2
Для доказательства этого в угле BOC проведена биссектриса.
Легко проверяются неравентва: | BE || B ' E '' || B ' E ' || E ' C ' | .
Откода следует, что длина хорды
| BC | 2 | BE | 2 | B ' E ' || B ' E ' | | E ' C ' || B ' C ' | ,
Другими словами, длина хорды ломаной меньше соответствующей
составляющей тангенса.
3.4.2. Второй замечательный предел. lim(1
x 0
1
x) x
e
Лемма 1.Если lim xn=a, {nk} - последовательность натуральn
ных чисел такая, что lim nk=+ , то lim xn k =a.
k
k
Отметим, что {xn k } не обязана быть подпоследовательностью.
Доказательство: По условию lim xn=a , т.е.
n
Nn>N : |xn - a|<.
Далее, используя второе условие lim nk=+
k
(2)
можно для N
найти Kk >K: nk>N . Тогда из (2) будет следовать, что
| xn k - a|<, ч.т.д.
1
xk
Лемма 2. Если lim xk=0, xk>0, то lim (1 xk ) =e.
k
k
44
Доказательство: Так как lim xk=0 , то можно считать, что для
k
всех k справедливо : xk 1 . Для целой части числа
1
1
, nk =
xk
xk
будут выполнены неравенства:
1
1
1
nk
nk 1 ,
xk
xk
nk 1
nk
Поэтому
n
1
k
1
1
x
1
(1 xk ) k 1
nk 1
nk
nk 1
n
(3)
n 1
k
k
1
1
Пределы последовательностей 1
, 1 , со nk 1 nk
гласно лемме 1, равны числу e. Для того, чтобы это проверить, эти
последовательности можно представить в виде:
n 1
1
1
nk 1
nk
k
1
1
nk 1
nk
nk 1
1
1
1
, 1
1 1
1 nk
nk nk
1
nk 1
.
Переходя к пределу в (3) при k , по теореме о трех последовательностях, получим требуемое утверждение.
1
Следствие 1. lim (1 x) x e .
x 0 0
Действительно, утверждение леммы 2 означает, что для любой
последовательности {xk} типа Гейне при x0+0 будет выполнено
1
xk
1
x
lim (1 xk ) =e и, следовательно, lim (1 x) e .
k
x 0 0
Аналогичное утверждение справедливо для любой последовательности {xk} типа Гейне при
x 0 0 и, поэтому,
1
x
lim (1 x) e .
x 0 0
45
y
1
e , lim 1 e . Первое утверждеСледствие 2. lim(1
x 0
y
y
ние следует из теоремы о связи предела с односторонними пределами. Последнее равенство получено с помощью замены x = 1/y.
1
x) x
1
Следствие 3. lim(1 ( x)) ( x ) e , если ( x) -бесконечно малая
x a
при x a.
Пример 1 (Раскрытие неопределенностей типа: 1 ). Вычислить
предел lim f ( x) g ( x ) , где lim f ( x) 1 и lim g ( x) .
xa
x a
x a
В этом случае будет существовать бесконечно малая ( x) при
1
x a такая, что f ( x) 1 ( x), x a . Тогда lim(1 ( x)) ( x ) e и
x a
если
мы
найдем
lim ( x) g ( x) A ,
предел
x a
( x) g ( x)
то
1
lim f ( x)
lim 1 ( x) ( x )
e A . Отметим, что здесь a
x a
x a
может быть: a x0 - число, a x0 0, x0 0,,, . A -может
быть числом или символом ,, .
g ( x)
Пример. Вычислить предел lim sin xtg x .
x
2
tg x
lim(sin x) tg x lim(1 (sin x 1))
x
2
x
2
.
x
2 cos
2
sin x 1 sin x sin 2sin
2
2
2
1
x
x cos x 2 cos 2 x 2 2 =
2 2 4
x
2
1
1
= x sin x x .
2
2
2 2
2
46
tg x =
sin x
cos x
1
cos x
2 2
1
sin x
2
1
x
2
.
1
Поэтому (sin x 1) tg x x и A lim(sin x 1)tg x 0 .
2
2
x
2
Откуда получаем, что lim sin xtg x e0 1 .
x
2
Выпишем часто используемые основные эквивалентности
sin x x, x0,
a x 1 x ln a, x 0 ,
ln( 1 x) x, x0.
Второе и третье соотношения будут доказаны в последующем.
Стандартные эквивалентности
3.5 Непрерывные функции
Понятие непрерывности. Свойства непрерывных функций. Классификация
разрывов. Теоремы Вейерштрасса. Нули непрерывных функций. Равномерная
непрерывность.
3.5.1.Непрерывность в точке и на множестве
Определение. Функция f(x), заданная на множестве X , содер
жащем некоторую проколотую окрестность точки x0, X U ( x0 ) ,
называется непрерывной в точке x0 , если она определена в точке
x0 и lim f ( x) f ( x ) .
x x0
0
Определение непрерывности в точке по Коши
x
Функция определена в точке 0 и >0>0x X,|x - x0|<:
|f(x) - f(x0)|<.
Определение непрерывности в точке по Гейне
Функция определена в точке
x0
и xn, {xn}x0, {xn}X : lim
n
f(xn)=f(x0).
Непрерывность справа:
47
Функция определена в точке
+: |f(x) - f(x0)|< .
Непрерывность слева:
x0 и >0>0x X, x x < x
0
0
x
Функция определена в точке 0 и >0>0x X, x0 - < x
x0 : |f(x) - f(x0)|< .
Непрерывность на множестве:
Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в
каждой точке этого множества.
3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций
1) Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в
точке является непрерывной функцией в этой точке.
Следствие: Сумма, разность и произведение двух непрерывных
функций на множестве является непрерывной функцией на этом
множестве.
2) Сохранение знака непрерывной функции:
f ( x0 )
f(x0)>0U(x0) x U ( x0 ) : f ( x)
.
2
3) Если f(x) непрерывна в точке x0, g(x) непрерывна в x0, g(x0)0,
f ( x)
то функция
непрерывна в x0.
g ( x)
4) Функция |f(x)| непрерывна, если непрерывна f(x).
5) Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.
Если f(x) определена в окрестности x0 и непрерывна в x0,
g(x) определена в окрестности t0 и непрерывна в t0, g(t0)=x0. Тогда в некоторой окрестности тоски t0 определена суперпозиция
F(t)=f(g(t)) и F(t) непрерывна в t0.
Все перечисленные свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов функций.
Классификация точек разрыва
Если f(x) не является непрерывной в точке x0 , то x0 – точка
разрыва. В этом случае говорят, что функция разрывная (разрывна) в точке x0 , или , функция претерпевает разрыв в точке x0 .
Определение. Если существуют конечные пределы
def
f(x0 - 0)
def
lim f(x) и f(x0+0) lim f(x)
x x0 0
x x0 0
48
и f(x) разрывна в точке x0 , то такой разрыв называется разрывом
первого рода. Если при этом f ( x0 0) f ( x0 0) , то разрыв
называется устранимым.
Разрыв не первого рода называется разрывом второго рода.
Различают конечные и бесконечные разрывы второго рода.
Аналогично классифицируются разрывы для функции, определенной в полуокрестности точки. Например, пусть функция f(x)
определена на отрезке [a,b]. Если существует конечный предел
def
f(a+0) lim f ( x) и f (a ) f (a 0) , то разрыв называется
xa 0
разрывом первого рода
Пример 1. Функция y f ( x)
sin x
имеет устранимый разрыв
x
первого рода в точке x0 0 .
Рис. 3.4
График функции y
Пример 2. Функция
в точке x0 0.
y f ( x) cos
sin x
x
1
x имеет разрыв второго рода
49
Рис. 3.5
Пример 3. Функция y f ( x) = sign x имеет не устранимый разрыв первого рода в точке x0 0.
Пример 4. Функция y f ( x) = sign x имеет устранимый разрыв
первого рода в точке x0 0 справа.
Пример 5. Функция y f ( x) = sign x имеет устранимый разрыв
первого рода в точке x0 0 слева.
Рис. 3.6
3.5.3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
Лемма. Если {xn}[a,b] и lim xn=x0, то x0[a.b].
n
Доказательство. Теорема о переходе к пределу в неравенствах:
a xn b .
Теорема 1 (Первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на
[a,b] функция f ограничена на [a,b].
Доказательство
(От
противного).
Ограниченность:
Mx[a,b]:|f(x)|M. Отрицание Mx[a,b]:|f(x)|>M. В частности, n xn[a,b]:|f(xn)|>n. По теореме Больцано-Вейерштрасса
50
найдется сходящаяся подпоследовательность { xn k } x0, x0[a,b].
Тогда, с одной стороны |f( xn k )|>nk, с другой стороны f( xn k )f(x0).
Теорема 2. Непрерывная на [a,b] функция f(x) достигает
своих точных верхней и точной нижней граней.
Доказательство. Пусть M= sup f(x), тогда, беря в качестве
[ a ,b ]
1
1
nxn : M f ( xn ) M . Выберем сходящуюся подпослеn
n
1
довательность {xn k } x0, x0[a,b], M f ( xnk ) M . Переходя
nk
к пределу в этих неравенствах при k получим требуемое равенство f(x0)=M.
Рис. 3.7
3.5.4.Теорема о промежуточных значениях непрерывной
функции
Теорема. Если непрерывная на [a,b] функция f(x) принимает на
концах промежутка [a,b] значения разных знаков, то c(a,b):
f(c)=0.
Доказательство. Пусть, например, A=f(a)< 0, B=f(b)> 0. Далее
производится последовательное деление отрезка пополам так, что
f(an)< 0< f(bn). Общий шаг этого процесса. Дано: f(an)< 0< f(bn).
Обозначим середину отрезка [an, bn] через cn=
51
an bn
.
2
Рис. 3.8
Если f cn 0 , то нужная точка c cn найдена.
Если f cn 0 , то полагаем an 1 cn , bn 1 bn .
Если f cn 0 , то полагаем an 1 an , bn 1 cn .
Этот процесс может оборваться на некотором шаге и, таким образом, нужная точка c будет найдена. В противном случае в результате этой процедуры будет построена последовательность
вложенных, стягивающихся к нулю отрезков {[an, bn]} , таких, что
f(an)<0< f(bn). Пусть c – общая точка для этих отрезков: an c bn.
Тогда из условия bn - an 0 следует, что lim an=c= lim bn , даn
n
лее из условия f(an)< 0< f(bn) получим, что f(c) 0 f(c).
Следствие 1. Если f непрерывна на [a,b], f(a)f(b). Тогда для M
из промежутка f(a), f(b) c[a,b]:f(c)=M.
Доказательство: Пусть, например, A=f(a)<B=f(b), доказанную
теорему применяем к функции F(x)=f(x) – M .
Рис. 3.9
52
Следствие 2. Пусть f(x) непрерывна на отрезке X и
m inf f ( x), M sup f ( x) , тогда множеством значений этой
функции будет отрезок [m,M].
Действительно, по второй теореме Вейерштрасса точные верхние грани достигаются. Таким образом, существуют a, b такие,
что m inf f ( x) f (a) и M sup f ( x) f (b) . К точкам a, b
применяем следствие 1.
Рис. 3.10
3.5.5.Критерий непрерывности монотонной функции
Теорема. Для того, чтобы монотонная функция f(x), определенная на [a,b], была непрерывна на [a,b], необходимо и достаточно,
чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)], либо [f(b), f(a)]).
Доказательство.
Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке
функции существуют: f ( x0 0) sup f ( x) для x0(a,b], и
[ a , x0 )
f ( x0 0) inf f ( x) для x0[a,b).
( x0 ,b ]
Доказательство леммы. Положим для некоторого x0(a,b], A=
sup f ( x) , тогда для x[a,x0) :f(x)A и для >0 x[a,x0):A-
[ a , x0 )
<f(x).
53
Рис. 3.11
Так как функция монотонно возрастает, то x(x,x0):A- < f(x)
f(x)A. Таким образом, равенство f ( x0 0) sup f ( x) доказано.
[ a , x0 )
Аналогично для предела справа f ( x0 0) inf f ( x) . Для моно( x0 ,b ]
тонно убывающей функции справедливо аналогичное утверждение.
Следствие 1. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b]
функция имеет конечные односторонние пределы.
Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b]
функция может иметь там лишь разрывы первого рода.
Доказательство критерия. Функцию будем предполагать монотонно возрастающей. Необходимость уже была доказана ранее
(пункт 4, следствие 2).
Достаточность. Предположим противное. В точке x0 имеется
разрыв. Этот разрыв обязан быть разрывом первого рода и, следовательно, должно нарушаться одно из двух соотношений:
f ( x0 0) f ( x0 ) , f ( x0 ) f ( x0 0) .
Пусть, например, f ( x0 ) f ( x0 0) . Так как функция возрастает, то это означает, что
лемме
f ( x0 ) f ( x0 0) .По
f ( x0 0) lim f ( x) inf f ( x) .
x x0 0
( x0 ,b ]
Имеем f ( x) f ( x0 ) при x x0, f(x0) < f(x0+0) f(x) при x x0 .
Таким образом, значения между f(x0), f(x0+0) не достигаются, что
противоречит условию теоремы.
54
Рис. 3.12
Аналогично проводится доказательство в случае существования
разрыва слева.
Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство
проводится заменой f на –f.
3.5.6.Непрерывность обратной функции
Еще раз определение обратной функции. Пусть f(x) определена
на X и Y – множество ее значений. Предположим, что различным
значениям x1 и x2 соответствуют различные значения y1 =f(x1),
y2=f(x2). Тогда для любого y Y !xX: y=f(x), такое соответствие
y x называется обратной функцией и обозначается x=f -1(y). У
обратной функции областью определения будет Y , а областью значений X.
Лемма. Обратная функция строго монотонно возрастающей
функции будет строго монотонно возрастать. Обратная функция строго монотонно убывающей функции будет строго монотонно убывать.
Доказательство. Например, пусть f(x) строго монотонно возрастает. Если y1 ,y2 из области значений функции f(x) и y1 < y2 , то
f -1(y1) < f -1(y2). Действительно, если предположить противное:
x1 f 1 ( y1 ) x2 f 1 ( y2 ) , то из условия монотонного возрастания функции f(x) получим неравенство y1= f(x1) f (x2)=y2 , что
противоречит условию y1 < y2 . Аналогично доказывается, что обратная к монотонно убывающей функции является монотонно
убывающей функцией.
Теорема ( существование и непрерывность обратной функции у
монотонной )
55
Если y=f(x) строго монотонно возрастает на [a,b] и непрерывна там, то на Y=[f(a),f(b)] существует обратная функция и является непрерывной на этом множестве.
Доказательство. Существование обратной функции следует из
строгой монотонности. Кроме того, обратная функция также будет
монотонной с областью значений [a,b]. Из критерия непрерывности монотонной функции следует ее непрерывность. Аналогичная
теорема имеет место для строго монотонно убывающей функции.
3.5.7.Непрерывность элементарных функций
1) Непрерывность функции ax, a>0.
Справедливо равенство lim
n
n
a 1.
a) Если a>1, обозначим n n a 1 , a=(n+1)n > nn, n<a/n ,
следовательно n – б.м..
Замечание. Отметим, что точно также можно доказать равенn(n 1) 2
ство lim n n 1 . Именно, n n n 1 , n=(n+1)n >
n ,
n
2
2
n<
, следовательно n – б.м..
n 1
b) Если a <1, то
n
a
n
1
, b > 1.
b
Докажем, что lim a 1 (непрерывность в 0 функции ax ).
x
x 0
1 a> 1.
Докажем вначале, что
lim a x 1 . Пусть {xk} последователь-
x 0 0
ность типа Гейне для x 0 0 , то есть, xk0, xk>0. Можно счи1
тать, что xk 1 . Для последовательности целых частей nk
xk
будут выполнены неравенства nk
1
1
1
nk 1,
xk . Отxk
nk 1
nk
1
nk 1
1
nk
a a , далее,
куда, в частности, следует, что nk+ и a
переходя к пределу при k , получим требуемое равенство
(определение одностороннего предела по Гейне). Аналогично рас56
xk
сматривается случай x 0 - 0. Из существования и равенства односторонних пределов следует доказываемое утверждение: lim a x 1 .
x 0
2 Если a<1, то b =1/a ,где b=1/a > 1.
2) Функция ax непрерывна в точке x0 . Это следует из равенства
x
a a x0 a x0 (a x x0 1) .
3). Функция y=logax непрерывна, как обратная к непрерывной
строго монотонной функции x=ay .
4). Степенная функция y=x. Докажем непрерывность при x>0.
Имеем x=e ln x, далее следует воспользоваться теоремой о непрерывности суперпозиции. Если допускает отрицательные значения x для функции y=x , то для доказательства непрерывности
этой функции при x 0 функцию можно представить в виде:
y (1) | x | . Непрерывность в нуле рекомендуется попробовать
доказать самостоятельно (непосредственно по определению).
ln(1 x)
5). lim
1 . Другими словами, ln(1 x) x, x 0 или
x 0
x
ln(1 x) x o( x), x 0.
x
x
1
1
ln(1 x) ln(1 x) x непрерывна, как
x
непрерывной и имеющей предел функции:
Доказательство. Функция
суперпозиция
lim ln(1
x 0
1
x) x
lim ln e 1 .
x 0
Аналогично
доказывается,
что
1
lim log a (1 x) log a e.
x 0 x
ax 1
6) lim
= ln a . Другими словами, a x 1 x ln a, x 0 или
x 0
x
a x 1 x ln a o( x), x 0 .
Доказательство. Обозначим ax - 1=y, тогда x ln a=ln(1+y),
Стремление к нулю x 0 эквивалентно стремлению к нулю y 0,
ax 1
y ln a
ln a .
x
ln(1 y )
57
ex 1
1.
x 0
x
Таким образом, e x 1 x, x 0 или e x 1 x o( x), x 0 .
Пример 1 (Следствие из предыдущего примера). lim
x x aa
.
xa x a
x x aa
x x a x a x aa
lim
lim
.
x a x a
x a
xa
xx ax
a x aa
Отдельно вычислим пределы lim
и lim
xa x a
xa x a
x
x
x ln x
x ln a
x a
e
e
e x (ln x ln a ) 1
lim
= lim
= lim e x ln a
=
xa x a
xa
x a
xa
xa
x
x(ln x ln a) a
= lim a a
= a lim x ln / x a =
xa
x a
a
xa
Пример 2. Вычислить предел lim
x
x
ln 1 1
a a 1
a a
=aa ,
a a lim a
= a lim
x a
x
a
xa
xa
x
a
xa
a a
a 1 a
lim
= lim a a
=a ln a .
xa x a
xa
xa
x x aa
lim
=aa(ln a + 1).
xa x a
(1 x) 1
. Таким образом, (1 x) 1 x, x 0 или
7) lim
x 0
x
(1 x) 1 x o( x), x 0 .
Доказательство. Обозначим (1+x) - 1=y, тогда ln(1+x) =
ln(1+y).
(1 x) 1
y
ln(1 x)
.
x
ln(1 y )
x
a x xa
.
xa x a
Пример 3. Вычислить предел lim
58
a x xa
a x aa aa xa
lim
.
x a x a
x a
xa
a x aa
aa xa
.
Отдельно вычислим пределы lim
и lim
xa x a
xa x a
a x aa
a xa 1 a
lim
= lim a a
=a ln a,
xa x a
xa
xa
lim
a
x
x
1
1 a 1 1
a
a
a x
a
a a
lim
=- lim a
= a lim
=
x
a
xa x a
xa
x
a
xa
x
a 1
a
= a a lim
=-aa.
x a
xa
a x xa
lim
= aa(ln a - 1).
xa x a
a
8) Вычислить предел lim
x 0
cos x 3 cos x
.
tg 2 x
1
cos x 1 (cos x 1)) 1 (cos x 1) o(cos x 1), x 0,
2
1
3
cos x 3 1 (cos x 1) 1 (cos x 1) o(cos x 1), x 0,
3
1
тогда cos x 3 cos x (cos x 1) o(cos x 1), x 0.
6
1
2
x
x2
(cos x 1) sin 2
, x0.
Поэтому cos x 3 cos x
6
6
2
12
2
3
cos x cos x
1 x
1
lim
lim
.
2
2
x 0
x 0 12 x
12
tg x
9) Непрерывность sin x .
x x0
x x0
cos
|sin x –sin x0|=2 sin
| x x0 | .
2
2
Непрерывность cos x следует из свойств непрерывных функция:
cos x = sin(x+/2).
59
Непрерывность тригонометрических функция tg x, ctg x, arcsin,
arcos, arctg, arcctg в своих областях определения следует из свойств
непрерывных функций. Например, tg x непрерывен для всех x
кроме точек k , в которых имеется разрыв второго рода.
2
n
многочлен Pn(x)=
10) f=const,
a x
k 0
k
k
, an 0 является непре-
рывными функциями всюду, рациональная функция
n
Rn ,m ( x)
a x
k
b x
k
k 0
m
k 0
k
, an 0, bm 0 непрерывна всюду, кроме ну-
k
лей знаменателя.
3.5.8.Равномерная непрерывность
Функция f(x), определенная на Х называется равномерно непрерывной на Х, если
x,xX,|x-x|<: |f(x)-f(x)|<.
Непосредственно из определения следует, что всякая равномерно непрерывная функция на Х непрерывна в любой точке этого
множества. Здесь предполагается выполненным предусловие непрерывности. Именно, если x0 X , то f (x ) определена хотя бы в
проколотой окрестности точки x0 , быть может, односторонней.
Обратное, вообще говоря, неверно. То есть, непрерывная на X
функция не обязана быть равномерно непрерывной на этом мно1
жестве. Примером может служить функция f ( x) sin , X (0,1).
x
Однако, справедлива теорема
Теорема ( Кантор). Всякая непрерывная на [a,b] функция f равномерно непрерывна на [a,b].
Доказательство. От противного.
0>0>0 u,v [a,b],|u-v|<:|f(u) - f(u)|0. Для =1/n un,vn,|
un-vn|<1/n:
|f(un) - f(vn)|0.
(1)
60
По теореме Больцано-Вейрштрасса {un k } : lim un k = x0[a,b],
k
тогда и lim vn k = x0. В силу непрерывности функции,
k
lim f (unk ) lim f (vnk ) f ( x0 ) . Таким образом,
k
k
lim | f (unk ) f (vnk ) | 0 , что противоречит (1).
k
Приведем достаточное условие отсутствия равномерной непрерывности функции.
Теорема. Пусть функция f (x ) непрерывна на X и существуют две последовательности {xk },{ yk } из области X , сходящиеся
к
некоторому
общему
значения
x0
и
такие,
что
lim f ( xk ) lim f ( yk ) . Тогда функция f (x ) не является равно-
k
k
мерно непрерывной на X .
Доказательство. Для определенности будем считать, что
lim f ( xk ) A lim f ( yk ) B . Выпишем отрицание равномерной
k
k
непрерывности:
0>0>0 u,v X,|u-v|<:|f(u) - f(u)|0
(2)
| A B|
Возьмем 0
и для произвольного 0 выберем k
2
так, чтобы
а) | xk yk | и
| A B|
.
б) | f ( xk ) f ( yk ) | 0
2
Выполнение первого условия для достаточно больших k следует
из равенства пределов lim xk lim yk . Что касается второго услоk
k
вия,
то
оно
может
быть
получено
из
условия
lim | f ( xk ) f ( yk ) || A B | из которого и следует выполнение
k
условия б) для достаточно больших номеров. Таким образом,
утверждение (2) доказано.
Пример. Воспользуемся доказанной теоремой, чтобы доказать,
1
что функция f ( x) sin не является равномерно непрерывной на
x
X (0,1) . В качестве требуемых последовательностей {xk },{ yk }
61
выберем
последовательности:
{xk }: sin
1
0,
xk
то
есть,
1
1
, k 1,2,... , а { yk } выберем так, что sin 1 , то есть
k
yk
1
2
yk
, k 1, 2,... Указанные последовательности
(1
4
k
)
2k
2
удовлетворяют условиям теоремы и требуемое утверждение доказано.
xk
Глава 4 Дифференциальное исчисление
4.1 Производная
Производная. Дифференцируемость и дифференциал. Правила дифференцирования, производные элементарных функций.
4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости
Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.
Терминология
x=x - x0 – приращение аргумента.
y= f =f(x) - f(x0) – приращение функции.
Определение. Производная в точке x0 определяется, как предел
приращения функции к приращению аргумента при стремлении
последнего к нулю
f
f ( x) f ( x0 )
f(x0)= lim
= lim
.
x 0 x
x x0
x x0
Обозначения для производной
df ( x0 )
Лейбниц, f(x0) Лагранж, f (x) Ньютон, Df(x0) Коши.
dx
Аналогично определяются односторонние производные
f(x0+0), f(x0-0).
f ( x) f ( x0 )
f ( x) f ( x0 )
f(x0+0)= lim
, f(x0 - 0)= lim
.
x x0 0
x x0 0
x x0
x x0
Теорема. Для существования производной f(x0) необходимо и
достаточно существования обеих односторонних производных
f(x0+0), f(x0 - 0) и их равенство.
62
Непосредственно следует из соответствующей теоремы об односторонних пределах.
Если f существует всюду на множестве Х, то мы получаем новую функцию f (x), которая называется производной функцией.
Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x0
называется дифференцируемой в точке x0, если существует число
А, такое, что приращение функции представимо в виде
f = f(x) - f(x0) = A(x - x0)+o (x – x0), xx0
Теорема. Для существования f (x0) необходимо и достаточно,
чтобы f была дифференцируема в точке x0.
Для доказательства можно воспользоваться критерием существования предела в терминах бесконечно малых.
f ( x) f ( x0 )
f ( x) f ( x0 )
lim
A
A ( x), lim ( x) 0 .
x x0
x x0
x x0
x x0
Замечание. Отметим, что A= f (x0).
Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.
Геометрическая интерпретация. Предельное положение хорды,
соединяющей точки ( x0 , f ( x0 )), ( x, f ( x)) графика, при x x0
называется касательной к графику функции f(x) в точке x0 .
f ( x) f ( x0 )
= lim arctg
=arctg f(x0).
x x 0
x x0
Рис. 4.1
Для точек (x,y), лежащих на касательной будет выполнено раy y0
венство
f '( x0 ) ,
x x0
y f ' ( x0 )x . Тангенс угла наклона касательной к графику
функции f(x) в точке x0 равен f '( x0 ) , tg f '( x0 ) . Таким образом,
63
уравнение касательной
y y0 f '( x0 )( x x0 ) .
к
графику
функции
в
точке
x0:
Рис. 4.2
Последнее равенство можно сравнить с определением дифференцируемости в точке y y0 f ' ( x0 )x o(x) .
Нормаль в точках, где касательная не горизонтальна:
y y0
1
( x x0 ) . Уравнение нормали в общем случае:
f ' ( x0 )
x x0 f ' ( x0 )( y y0 ) 0 .
Теорема ( Необходимое условие дифференцируемости ) Если
функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой
точке.
Следует непосредственно из определения дифференцируемости.
Пример функции всюду дифференцируемой, имеющей разрыв
производной в нуле.
4.1.2. Дифференциал функции
Главная линейная часть приращения функции Ax в определении дифференцируемости функции
f=f(x) - f(x0)=A(x - x0)+o (x – x0), xx0
называется дифференциалом функции f(x) в точке x0 и обозначается
df(x0)=f(x0)x= Ax.
Дифференциал зависит от точки x0 и от приращения x. На x
при этом смотрят, как на самостоятельное переменное, так что в
каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения x.
64
Если в качестве функции рассмотреть f(x)=x , то получим
dy
dx=x, dy=Adx. Это согласуется с обозначением Лейбница f ' .
dx
Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения
ординаты касательной.
Рис. 4.3
4.1.3.Основные правила дифференцирования
1)
f=const, f=0, df=0x=0.
2)
f=u+v, f=u+v, df = du+dv.
3)
f=uv, f=uv+vu, df = u dv + v du.
Следствие. (cf(x))=cf(x), (c1f1(x)+…+cnfn(x))= c1f1(x)+…+ cn
fn(x)
4)
f=u/v, v(x0)0 и производная существует, то f=(uv-vu)/v2.
Для краткости будем обозначать u=u(x), u0=u(x0), тогда
u
v 1 u u0
x
x v v0
=
1 uv0 vu0 1 uv0 u0v0 u0v0 vu0
x vv0 x
vv0
u
v
v0 u0
1 uv0 vu0
x
x
x
vv0
vv
0
Переходя к пределу при x 0 получим требуемое равенство.
5) Производная сложной функции.
65
Теорема. Если существуют f(x0), g(x0) и x0=g(t0), то в некоторой окрестности t0 определена сложная функция f(g(t)), она дифференцируема в точке t0 и
df ( g (t0 ))
f ' ( x0 ) g ' (t0 )
dt
t0
Доказательство.
f(x) - f(x0)=f(x0)(x-x0)+(x)(x-x0), xU(x0).
Можно считать (x0)=0.
f(g(t))- f(g(t0))= f(x0)( g(t)- g(t0))+( g(t))( g(t)- g(t0)).
Поделим обе части этого равенства на (t - t0) и перейдем к пределу при tt0.
6) Вычисление производной обратной функции.
Теорема. Пусть f непрерывна и строго монотонна на [a,b].
Пусть в точке x0(a,b) существует f(x0) 0, тогда обратная
функция x=f -1(y) имеет в точке y0 производную, равную
df 1 ( y0 )
1
dy
f '( x0 )
Доказательство. Считаем f строго монотонно возрастающей,
тогда f -1(y) непрерывна, монотонно возрастает на [f(a),f(b)]. Положим y0=f(x0), y=f(x), x - x0=x,
y - y0=y. В силу непрерывности обратной функции y0
x0, имеем
x
1
. Переходя к пределу, получим требуемое равен
y y / x
ство.
7) Производная четной функции нечетна, производная нечетной
функции четна.
Действительно, если x - x0 , то -x x0, поэтому
f ( x) f ( x0 )
f (( x)) f ( x0 )
f '( x0 ) lim
lim
x x0
x x0
x ( x0 )
(( x) x0 )
f (u ) f ( x0 )
lim
.
u x0
(u x0 )
f (u ) f ( x0 )
f (u ) f ( x0 )
Для четной функции
, для не(u x0 )
(u x0 )
четной функции
66
f (u ) f ( x0 ) f (u ) f ( x0 )
.
(u x0 )
(u x0 )
4.1.4.Производные элементарных функций
1) f=const, f(x)=0.
2) f(x)=x, f(x)=1.
e x x0 1 x0
e x e x0
3) f(x)=ex, f(x)= ex , lim
lim e x0
e .
x x0 x x
x x0
x x0
0
4) f(x)=ax, (ax) = ax ln a.
a x a x0
a x x0 1
x
lim a x0
5) lim
a 0 ln a.
x x0 x x
x x0
x
x
0
0
1
1
1 1
6) f(x)=ln x , f '( x) , (ln x)' y y .
x
x
(e )' e
1
Следствие. (ln | x |)' (производная четной функции нечетна)
x
1
6) (log a x)'
x ln a
1
1
1
(log a x)' y y
.
x
ln
a
(a )' a ln a
7) (x)=x -1, x>0, x=e ln x.
8) (sin x)=cos x,
x x0
sin
sin x sin x0
x x0
x x0
1
2 cos x x0 cos x .
2sin
cos
0
2
x x0
x x0
2
2
x x0
2
9) (cos x)=-sin x, (cos x)=(sin(x+/2))= cos(x+/2)=-sin x.
10) (tg x)=1/cos2x.
11) (ctg x)=-1/sin2x.
12) (arcsin x )'
(arcsin x)'
1
1 x2
.
1
1
1
1
.
2
(sin y )' cos y
1 sin y
1 x2
67
13) (arccos x)'
(arccos x)'
1
1 x2
.
1
1
1
1
.
2
(cos y )'
sin y
1 cos y
1 x2
1
.
1 x2
1
1
(arctg x)'
(tg y )' 1
2
cos
14) (arctg x)'
15) (arcctg x)'
y
1
1
.
2
1 tg y 1 x 2
1
1 x2
1
1
1
1
.
2
(ctg y )'
1
1 ctg y
1 x2
2
sin y
16)
sh x, ch x.
d e x e x e x e x
(sh x)'
ch x .
dx
2
2
d e x e x e x e x
(ch x)'
sh x .
dx
2
2
(arcctg x)'
4.1.5. Логарифмическое дифференцирование
f ' ( x)
, откуда следует, что f(x)=f(x)(ln f(x)) .
f ( x)
Ту же формулу можно получить иначе f(x)=eln f(x), f=eln f(x)(ln
f(x), (ln f ( x))'
f(x)).
Пример. Вычислить производную функции f=xx.
d x x d
d
1
x =x
ln x x = xx x ln x = xx ln x x = xx(ln x +1).
dx
dx
dx
x
4.1.6.Функции, заданные параметрически
Геометрическое место точек на плоскости
68
x x(t )
, t [, ] .
y y (t )
будем называть графиком функции, заданной параметрически.
Говорят также о параметрическом задании функции.
Замечание 1. Если x, y непрерывны на [,] и x(t) строго монотонна на отрезке [,] (например, строго монотонно возрастает), то
на [a,b] , a=x(), b=x() определена функция f(x)=y(t(x)), где t(x) –
обратная к x(t) функция. График этой функции совпадает с графиком функции
x x(t )
, t [, ] .
y y (t )
Если область определения [,] параметрически заданной
функции можно разбить на конечное число отрезков [k ,k ],
k=1,2,…,n, на каждом из которых функция x(t) строго монотонна,
то параметрически заданная функция распадается на конечное
число обычных функций fk(x)=y(t -1(x)) с областями определения
[x(k ), x(k )] для участков возрастания x(t) и с областями определения [x(k), x(k )] для участков убывания функции x(t). Полученные таким образом функции называются однозначными ветвями
параметрически заданной функции.
На рисунке показан график параметрически заданной функции
x sin(2t )
, t [0, 2]
y cos(t )
При выбранной параметризации область определения [0,2]
разбивается на пять участков строгой монотонности функции
3
3 5
5 7
sin(2t), именно: t 0, , t , , t , , t , ,
4
4 4
4 4
4 4
7
t , 2 и, соответственно, график распадется на пять одно4
значных ветвей, соответствующих этим участкам.
69
Рис. 4.4
Рис. 4.5
Можно выбрать другую параметризацию того же геометрического места точек
x sin(2t )
1 7
, t , .
y cos(t )
4 4
В этом случае таких ветвей будет только четыре. Они будут со
ответствовать участкам строгой монотонности t , , t
4 4
3
3 5
5 7
4 , 4 , t 4 , 4 , t 4 , 4 функции sin(2t).
70
Рис. 4.6
Четыре участка монотонности функции sin(2t) на отрезке длинной 2 .
Рис. 4.7
Изображение обоих графиков на одном рисунке позволяет приблизительно изобразить график параметрически заданной функции, используя участки монотонности обеих функций.
Рассмотрим для примера первую ветвь, соответствующую от
резку t , . На концах этого участка функция x=sin(2t) при 4 4
нимает значения -1 и 1 , поэтому эта ветвь будет определена на [1,1] . После этого нужно смотреть на участки монотонности второй
функции y=cos(t), у нее на , два участка монотонности
4 4
4 ,0 , 0, 4 . Это позволяет сказать, что у первой ветви имеется
два участка монотонности. Найдя концевые точки графика можно
соединить их прямыми для того, чтобы обозначить характер монотонности графика. Проделав это с каждой ветвью, получим участ71
ки монотонности однозначных ветвей графика (на рисунке они выделены красным цветом)
Рис. 4.8
Первая однозначная ветвь f1(x)=y(t(x)) , соответствующая
участку , будет определена для x[-1,1]. Первая однознач 4 4
ная ветвь t , , x[-1,1].
4 4
Все остальные три ветви будут иметь областью определения
тоже множество [-1,1].
Рис. 4.9
3
Вторая ветвь t , x[-1,1].
4 4
72
Рис. 4.10
3 5
Третья ветвь t , x[-1,1]
4 4
Рис. 4.11
5 7
Четвертая ветвь t , x[-1,1]
4 4
Рис. 4.12
73
Замечание 2. Одна и та же функция может иметь различные параметрические задания. Различия могут касаться, как самих функций x(t), y(t) , так и области определения [,] этих функций.
Пример различных параметрических заданий одной и той же
функции
x sin(t )
x t
, t , и
t[-1, 1].
y sin(t )
2 2 y t
Замечание 3. Если x,y непрерывны на [,] , x(t)- строго монотонна на отрезке [,] и существуют производные y(t0), x(t0)0, то
dy y ' (t0 )
.
dx x' (t0 )
df (t ( x)) df dt y ' (t )
Действительно,
.
dx
dt dx x' (t )
существует f(x0)=
Последнее утверждение распространяется и на однозначные
ветви параметрически заданной функции.
4.2 Производные и дифференциалы высших порядков
Старшие производные и дифференциалы. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Формула Лейбница.
4.2.1.Производные высших порядков
Определение. Пусть f(x) определена на (a,b) и имеет в некоторой окрестности точки x0(a,b) производную g(x)=f(x). Если в
точке x0 существует g( x0), то она называется производной второго порядка от f в точке x0 и обозначается f(x0). Производной nго порядка называется производная от производной (n-1)- го порядка
f ( n 1) ( x) f ( n 1) ( x0 )
f ( n ) ( x0 ) lim
.
x x0
x x0
d n f ( x0 )
Обозначение Лейбница f ( x0 )
.
dx n
Отметим, что для существования n-ой производной в точке,
предыдущая (n-1)-я производная должна существовать в некоторой
окрестности.
(n)
74
Аналогично определяются односторонние производные старших порядков.
Функция f называется n-раз дифференцируемой на X, если в
каждой точке X существует n-ая производная.
f называется n-раз непрерывно дифференцируемой на X, если nая производная на X существует и непрерывна на X.
Классы C(X), C[a,b], Cn(X), Cn[a,b].
Cn(X) – множество всех n-раз непрерывно дифференцируемых
на X функций.
Cn[a,b] – множество всех n-раз непрерывно дифференцируемых
на [a,b] функций. C(X)-множество всех непрерывных на X функций.
C[a,b]-множество всех непрерывных на [a,b] функций.
Пример. Вычисление второй производной функции, заданной
параметрически
x x(t )
, t [, ], t0 (, ) , x(t) строго монотонна,
y y (t )
dy y
g (t ),
dx x
d2y d
yx yx 1 yx yx
g (t ) g '(t )t 'x
.
2
dx
dx
x2 x
x3
Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.
d3y
Пример. Вычислить
для функции
dx 3
x sin(t )
, t [0, 2].
y cos(t )
4.2.2. Вычисление производных функций, заданных неявно
Обозначим через F(x,y) некоторое выражение, содержащее параметры x, y. Говорят, что задана функция двух переменных.
Функцией, заданной неявно уравнением
F(x,y)=0
(1)
называется любая функция y=f(x) с областью определения X , при
подстановке которой в левую часть (1), это равенство превращается в тождество:
xX:F(x, f(x))=0.
f ( x) y(t ( x)),
75
Такие функции называется также однозначными ветвями неявно заданной функции.
Для вычисления производной y(x) функции, заданной неявно
уравнением (1) достаточно продифференцировать тождество F(x,
f(x))=0 по переменному x. В результате такого дифференцирования
всегда будет получаться соотношение вида
A(x,y)+B(x,y)y=0 ,
(2)
где A(x,y), B(x,y) будут представлять собой некоторые выражения,
включающие в себя x и y . Из равенства (2) можно найти выражение для y в нужной точке.
Пример 1: x2+y2=1, найти
d2y
.
dx 2
x
. Для нахождения второй производной слеy
дует использовать равенство x+yy=0, дифференцируя которое,
2x+2yy=0, y=
получим 1+(y)2+yy=0, откуда следует y=
1 ( y ') 2
.
y
Пример 2: xy+exy=0.
4.2.3. Формула Лейбница
n
( fg )
(n)
Cnk f ( k ) g ( n k ) под «нулевыми» производными подk 0
разумеваются сами функции f ( 0) f , g ( 0) g .
Индукция по n. Для n=1 формула верна (fg)=fg+gf. Предположим, что формула доказана для n. Вычислим (n+1)-ю производную
( fg )( n 1) (( fg )( n ) ) '
n
n
Cnk ( f ( k ) g ( n k ) ) ' Cnk f ( k 1) g ( n k )
k 0
k 0
n
Cnk f ( k ) g ( n 1 k )
k 0
n 1
n
k 1
k 0
Cnk 1 f ( k ) g ( n 1 k ) Cnk f ( k ) g ( n 1 k )
76
n
Cn0 f ( 0 ) g ( n1) (Cnk 1 Cnk ) f ( k ) g ( n1k ) Cnn f ( n1) g ( 0 )
k 1
n 1
Cnk1 f ( k ) g ( n 1k ) .
k 0
Пример: найти f(100)(x) для функции f(x) = x2ex.
4.2.4. Дифференциалы высших порядков
dx=x=x - x0 , dy=f(x0)dx, x-независимое переменное.
Определение. d 2f = f dx2, dx=x,
d nf=d(d n-1 f)=d(f (n-1)dxn-1)=f (n)dxn.
При вычислении последующих дифференциалов приращение
dx=x берется одно и то же.
Из определения следует, что
dn f
f ( n ) , что согласуется с обозначением Лейбница для проdx n
изводной.
Замечание. Если x – независимое переменное, то dn x = 0, при
n=2,3,…
Простейшие свойства дифференциалов
u vdu udv
1) d(u+v)=du+dv, d(uv)=udv+vdu , d
.
v2
v
2) dn(cu)=c dn u, c=const.
3) dn(u+v)=dn u+ dn v.
4)
d n (uv)
n
Cnk d k u d n k v,
d0u=u, d0v=v.
k 0
4.2.5. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
Пусть задана сложная функция y=F(t)=f(g(t)), y=f(x), x=g(t).
dy=(f(g(t)) dt=f(x)g(t)dt=f(x)dg=f(x)dx. Вид первого дифференциала такой же, как если бы x являлось независимой переменной. Это свойство называется свойством инвариантности дифференциала первого порядка.
Для дифференциалов высших порядков свойства инвариантности, вообще говоря, нет.
dy=fdx, d2y=fdx2+fd 2x, например, для функции x=t2, второй
дифференциал d 2x 0.
77
Замечание. (Важный частный случай, когда свойство инвариантности наблюдается и для старших дифференциалов). В случае,
когда внутренняя функция суперпозиции линейна, свойство инвариантности сохраняется для дифференциалов произвольных порядков.
d ny, y=f(x), x=at+b, dx = a dt, d 2x=…=d nx=0. Таким образом,
n-ый дифференциал d nf=f(n)dxn имеет такой же вид, как и в случае независимого переменного x.
4.2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
Рассмотрим функцию, заданную неявно уравнением
F(x,y)=0
и пусть y=f(x) однозначная ветвь этой функции с областью определения X.
Для вычисления дифференциала dy(x0) функции достаточно
продифференцировать равенство F ( x, y ) 0 . В результате такого
дифференцирования получится соотношение вида
A(x,y)dx+B(x,y)dy=0,
где A(x,y), B(x,y) будут представлять собой некоторые выражения,
включающие в себя x и y . Из последнего соотношения можно
найти выражение для dy в нужной точке.
Пример 1: x2+y2=1, найти d2y.
2xdx+2ydy=0, dy=
x
dx. Для нахождения второго дифференциала
y
следует использовать равенство xdx+ydy=0, дифференцируя которое, получим
dxdx+xd2x+dydy+yd2y=0 или dx2+dy2+ yd2y=0 , откуда получаем
2
x
dx dx 2
2
2
dx dy
y 2 x2 2
1
y
dx 3 dx 2 .
d2y=
3
y
y
y
y
2
4.3 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
Теормы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
4.3.1. Теорема Ферма о нуле производной
Теорема. Если f(x) – определена на (a,b) и дифференцируема в
точке x0(a,b), принимает в точке x0 наибольшее или наименьшее
значение, то f(x0)=0.
78
Доказательство. Для случая наименьшего значения
f ( x) f ( x0 )
f ( x) f ( x0 )
f(x0+0)= lim
0, f(x0-0)= lim
0
x x0 0
x x0 0
x x0
x x0
откуда следует, что f(x0)=0.
Геометрическая интерпретация. Во внутренних точках, где
функция принимает наибольшее или наименьшее значение, касательная к графику функции будет горизонтальна.
Рис. 4.13
4.3.2. Теорема Ролля о нуле производной
Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b)
и f(a)=f(b). Тогда x0(a,b):f(x0)=0.
Доказательство. Положим m inf f ( x) f ( x1 ) ,
[ a ,b ]
M sup f ( x) f ( x2 ) . Хотя бы одна из точек x1, x2 будет внут[ a ,b ]
ренней ( (a, b) ) и для этой точки утверждение следует из теоремы
Ферма.
79
Рис. 4.14
4.3.3. Теорема Лагранжа о конечных приращениях
Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b),
то
(a,b):f(b)-f(a)=f()(b-a).
Доказательство. Рассмотрим функцию
bx
x a
. Для этой функции
F ( x) f ( x) f (a )
f (b)
ba
b a
F(a)=F(b)=0, и к ней применима теорема Ролля
1
1
f (b) f (a)
.
0 F '() f '() f (a)
f (b)
f '()
ba
b a
ba
Геометрическая интерпретация.
Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде,
соединяющей точки A и B графика функции.
Рис. 4.15
Следствие 1. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на
(a,b) и f(x)0 на (a,b), то f(x)const.
Применяя теорему к произвольному отрезку [a,x], где x произвольная фиксированная точка, получим f(x) - f(a)=f()(x - a)=0, т.е.
f(x) = f(a).
Следствие 2. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на
(a,b) и f(x)=g(x) на (a,b), то f(x)=g(x)+ const.
4.3.4. Теорема Коши о конечных приращениях
Теорема. Если f, g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на
(a,b), то существует (a,b) такая, что
g '()( f (b) f (a)) f '()( g (b) g (a)) .
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
80
F(x) = g(x)(f(b) - f(a)) - f(x)(g(b) - g(a)).
Для этой функции будет выполнено
F(a)= g(a)(f(b) - f(a)) - f(a)(g(b) - g(a))= g(a)f(b) - f(a)g(b) ,
F(b)= g(b)(f(b) - f(a)) - f(b)(g(b) - g(a))= - f(a)g(b) +g(a)f(b), таким
образом, F(a)=F(b)
и к этой функции применима теорема Ролля: существует точка
(a,b) для которой выполняется равенство
0=F(b)-F(a)=F()(b-a)=[g()(f(b)-f(a))-f()(g(b)-g(a))](b-a).
f (b) f (a) f '()
Следствие. Если g(x)0 на (a,b), то :
.
g (b) g (a) g '()
Доказательство. Если g(x)0 , то g(b)-g(a) 0. Иначе, в случае
g(b)=g(a), по теореме Ролля нашлась бы точка , где g()=0.
4.4 Правило Лопиталя
Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов.
4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0
Дано: f(x), g(x) определены на (x0,b) и
1) lim f ( x) lim g ( x) 0.
x x0 0
x x0 0
2) f, g дифференцируемы на (x0,b).
3) g(x)0 на (x0,b).
f ( x)
f '( x)
Тогда lim
, если существует конечный или
lim
x x0 0 g ( x)
x x0 0 g '( x)
f '( x)
бесконечный предел lim
.
x x0 0 g '( x)
Доказательство. Доопределим функции f и g в точке x0 по непрерывности нулем: f(x0)=g(x0)=0. По теореме Коши, примененной
к отрезку [x0,x], будет существовать (x): x0<(x)< x и
f ( x) f ( x0 ) f '()
, из условия x0<(x)<x
следует, что
g ( x) g ( x0 ) g '( )
lim ( x) x0 ,
причем
(x)x0,
если
xx0.
Тогда
x x0 0
f ( x) f ( x0 )
f ( x)
f '(( x))
f '( x)
. По lim
lim
lim
x
x
0
x
x
0
x
x
0
g ( x)
g ( x) g ( x0 )
g '(( x))
g '( x)
0
0
0
следнее равенство справедливо по теореме о существовании предела суперпозиции, ч.т.д.
lim
x x0 0
81
Замечание. Аналогично, это утверждение доказывается для левой окрестности. Откуда получаем утверждение для x x0.
Следствие 1. Если
1) Существуют f(k) ,g(k), k=1,2,…,n на (x0,b).
2) lim f ( k ) ( x) lim g ( k ) ( x) 0 , k=0,1,…,n-1.
x x0 0
x x0 0
3) Существуeт g (x)0 на (x0,b), то
f ( x)
f ( n ) ( x)
lim
lim ( n )
,
x x0 0 g ( x )
x x0 0 g
( x)
(n)
f ( n ) ( x)
существует, конечный или бесконечный.
x x0 0 g ( n ) ( x )
Следствие 2. Если f, g дифференцируемы для x>a,
lim f ( x) lim g ( x) 0, g '( x) 0, x 0 ,то
если lim
x
x
f ( x)
f '( x)
lim
lim
, если последний существует, конечный
x g ( x)
x g '( x)
или бесконечный.
Доказательство. Сделаем замену
1
1 1
f
f 'x 2
1
f ( x)
t
t t lim f '( x)
x , lim
lim lim
t x g ( x) t 0 0 1 t 0 0
1 1 x g '( x)
g
g 'x 2
t
t t
Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x -.
4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида /
f,g определены на (x0,b) и
1) lim f ( x) lim g ( x) .
x x0 0
x x0 0
2) f, g дифференцируемы на (x0,b).
3) g(x)0 на (x0,b).
f ( x)
f '( x)
Тогда lim
, если последний существует ко lim
x x0 0 g ( x)
x x0 0 g '( x)
нечный или бесконечный.
Без доказательства.
Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x x0 0, x x0, x +, x -.
82
4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
В некоторых случаях порядок бесконечно малой или бесконечно большой можно определить, последовательно вычисляя производные. Предположим, что f(x) – бесконечно малая при x x0 и в
точке x0 обращаются в ноль все производные до (n-1)-го порядка
включительно f(x0)=0, f(x0)=0,…, f ( n 1) ( x0 ) 0 и f ( n ) ( x0 ) 0 . В
этом случае порядок этой бесконечно малой будет равен n . При
f ( n ) ( x0 )
( x x0 ) n . Это
этом главная часть x x0 будет равна
n!
f ( x)
f ( n ) ( x)
lim ( n )
утверждение следует из равенства lim
, в
x x0 0 g ( x )
x x0 0 g
( x)
котором в качестве функции g(x) берется (x-x0)n.
f ( x)
f ( n ) ( x) f ( n ) ( x0 )
lim
lim
.
x x0 0 ( x x ) n
x x0 0
n!
n!
0
Похожее утверждение можно сформулировать и для бесконечно
больших функций.
Пример: Выделить главную часть функции
f(x)= 3sh x - 3sin x – x3 при x 0.
f(x)= 3ch x- 3cos x 3x 2
x 0
=0, f(x)= 3sh x 3sin x 6 x x 0 =0,
f(x)= 3ch x 3cos x 6 x 0 =0, f(4)(x)= 3sh x 3sin x x 0 =0,
f(5)(x)= 3ch x 3cos x x 0 =0, f(6)(x)= 3sh x 3sin x x 0 =0,
f(7)(x)= 3ch x 3cos x x 0 =60.
Таким образом, порядок этой бесконечно малой равен 7 и f(x)
6 7 x7
x=
, x0.
840
7!
4.4.4.Раскрытие неопределенностей вида 0, 1 , 00, 0, -
Неопределенности вида 0 сводятся к уже рассмотренным ранее.
Примеры.
1) lim x ln x 0, 0 .
x0
83
ln x
0, a 0 .
x x a
xn
nx n 1
n!
... lim x
0, a 0 .
3) lim x lim x
x a
x a ln a
x a (ln a ) n
4) -
lim f ( x) , lim g ( x) .
2) lim
x a
x a
1 1
Можно, например, так f g fg , 0.
g f
0
5) Неопределенности вида 1 , 0 , 0 сводятся к уже рассмотренным ранее логарифмированием
y=uv=ev ln u
1
sin x 1cos x
Пример1. lim
.Вычисление.
x 0 x
1
x
sin x 1cos x sin x x sin x x
1
x
x
sin x x 1
x 1 cos x
. Этот предел рассматриx
ваем,
как
lim f ( x)
x0
g ( x)
,
где
sin x x sin x x
f ( x) 1
,
x
а
sin x x
1
. Из теоремы о существовании предела суx 1 cos x
перпозиции двух функций следует, что lim f ( x) e . Далее
g ( x)
x 0
sin x x
1
sin x x
1
, заменяя знаменатель на экви
x
x
1 cos x
x
2sin 2
2
валентную бесконечно малую получим:
sin x x
(sin x x)'
lim g ( x) lim 3
=
2lim
x 0
x 0 x / 2
x 0
( x3 )'
cos x 1
sin x
2lim
2lim
=
2
x 0
x
0
6x
3x
cos x
1
. Таким образом, lim f ( x) g ( x ) e1/3 .
= 2lim
x0
x 0
6
3
84
1
ln x
Пример 2. lim arctg x . Представим функцию в следуx 2
1
1
ln arctg x
ln x
ющем виде: arctg x e ln x 2
и вычислим предел
2
ln( / 2 arctg x)
1 / (1 x 2 )
1/ x
lim
lim
lim
x
x ( /2-arctg x )1/x
x ( /2-arctg x)
ln x
1 / x2
1.
x 1/(1 x 2 )
lim
4.5 Формула Тейлора
Формула Тейлора. Различные остатки в формуле Тейлора.
4.5.1.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным
членом Rn
Пусть у функции f существует f(n)(x0) ( это предпологает существование всех производных до (n-1)-го порядка в некоторой
окрестности U=(x0-a,x0+a) точки x0 ). Многочленом Тейлора в точке x0 называется многочлен вида
( x x0 ) n
Pn ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) ... f ( n ) ( x0 )
n!
n
k 0
f ( k ) ( x0 )
( x x0 ) k .
k!
Производные многочлена Тейлора будут равны:
nm f ( m k ) ( x )
0
Pn( m) ( x)
( x x0 ) k .
(1)
k!
k 0
Из (1) следует
1 f ( n 1 k ) ( x )
0
Pn( n 1) ( x)
( x x0 ) k = f ( n 1) ( x0 ) f ( n) ( x0 )( x x0 ).
k!
k 0
(2)
В частности, из дифференцируемости функции f ( n1) ( x) в точке x0 получаем:
85
f ( n1) ( x) Pn( n1) ( x) f ( n1) ( x) f ( n1) ( x0 ) f ( n) ( x0 )( x x0 ) =
(3)
o( x x0 ), x x0 .
Далее, из (1) получается замечательное свойство многочлена
Тейлора: он имеет в точке x0 такие же производные, что и сама
функция до порядка n включительно («нулевая производная» - это
сама функция):
dP ( x ) df ( x0 )
d n P( x0 ) d n f ( x0 )
Pn(x0)=f(x0), n 0
(4)
,...,
.
dx
dx
dx n
dx n
В частности, lim f ( k ) ( x) Pn( k ) ( x) 0 , k=0,1,…,n-1.
x x0
Обозначим Rn(x)=f(x) - Pn(x), тогда
n f (k ) ( x )
0
f ( x)
( x x0 )k Rn ( x).
(5)
k!
k 0
Выражение (5) называется формулой Тейлора функции f в
окрестности точки x0 с остаточным членом Rn. Основная задача
будет состоять в представлении остатка в удобной для оценок
форме.
Пример. Для функции y sh x найти многочлен P (x ) , имеющий такие же прозводные в точке 0 , что и sh x , до 5-го порядка
включительно.
4.5.2. Остаток в форме Пеано
Теорема 1. Если у функции f(x) существует f(n)(x0), то имеет
место равенство
Rn ( x) o[( x x0 )n ], x x0 .
Другими словами
n f (k ) ( x )
0
f ( x)
( x x0 ) k o[( x x0 ) n ], x x0
(6)
k
!
k 0
Доказательство. Для краткости будем обозначать R(x)=Rn(x),
тогда можно выписать следующие равенства для последующего
использования по правилу Лопиталя
n f (k ) ( x )
0
f ( x)
( x x0 )k
R( x)
k!
k 0
(10)
( x x0 ) n
( x x0 ) n
86
f ( k 1) ( x0 )
( x x0 )k
k!
k 0
n( x x0 ) n 1
…
n 1
R '( x)
[( x x0 ) n ]'
f '( x)
(11)
f ( k m ) ( x0 )
( x x0 ) k
R ( x)
k!
k 0
(1m)
[( x x0 )n ]( m )
n...(n m 1)( x x0 )n m
…
( n 1)
( n 1)
( n 1)
f
( x) f
( x0 ) f ( n ) ( x0 )( x x0 )
R
( x)
(1n-1)
n !( x x0 )
[( x x0 ) n ]( n 1)
Как уже отмечалось (формула (3))
f ( n 1) ( x) f ( n 1) ( x0 ) f ( n ) ( x0 )( x x0 )
R ( n 1) ( x)
n!( x x0 )
[( x x0 ) n ]( n 1)
f ( m ) ( x)
(m)
nm
o( x x0 )
o(1), x x0
n!( x x0 )
По правилу Лопиталя
R( x)
R '( x)
R ( n 1) ( x)
lim
lim
...
lim
0.
x x0 ( x x ) n
x x0 [( x x ) n ]'
x x0 [( x x ) n ]( n 1)
0
0
0
Теорема 2. (Единственность представления функции по формуле Тейлора) Если f имеет n–ю производную в точке x0 и
n
f ( x) ak ( x x0 ) k o( x x0 ) n , x x0 , то
k 0
ak
f ( k ) ( x0 )
, k 0,1,..., n.
k!
Лемма. Если
n
bk ( x x0 )k o( x x0 )n 0, x x0 ,
(2)
k 0
то bk=0, k=0,1,…,n.
Доказательство. В формуле (2) перейдем к пределу при x x0 ,
получим b0 = 0,
87
делим
b1 ( x x0 ) b2 ( x x0 )2 ... bn ( x x0 )n o( x x0 ) n 0 ,
полученное выражение на (x-x0) и переходим к пределу при x x0 и
т.д.
Доказательство теоремы.
n f (k ) ( x )
n
0
f ( x)
( x x0 )k o( x x0 )n ak ( x x0 ) k o( x x0 ) n ,
k!
k 0
k 0
x x0 .
откуда и следует утверждение.
4.5.3.Другие формы остатка в формуле Тейлора
Пусть функция f(x) (n+1)–раз дифференцируема в окрестности
Ua(x0)=(x0-a,x0+a) и (x) дифференцируема в U a ( x0 ) , 0 в
U a ( x0 ) , (x) непрерывна в U a ( x0 ) .
Возьмем x(x0-a,x0+a), xx0 и фиксируем. Для определенности
будем считать x0<x и рассмотрим на [x0,x] функцию
n f (k ) ( z)
( z ) f ( x)
( x z ) k . Отметим следующие свойства
k!
k 0
этой функции
1)
(x)=0.
2)
(x0)=Rn(x).
3)
(z) непрерывна на [x0,x], дифференцируема на (x0,x).
f ( n 1) ( z )
'( z )
( x z )n .
4)
n!
Не очевидным является только четвертое свойство
n f (k ) ( z)
d
'( z ) f ( x)
( x z)k =
dz
k!
k 0
n f ( k 1) ( z )
n f (k ) ( z)
( x z )k
k ( x z )k 1 =
=
k!
k!
k 0
k 1
n 1 f ( m 1) ( z )
f ( n 1) ( z )
f ( k 1) ( z )
( x z )n .
( x z )k
( x z)m =
n
!
k
!
m
!
k 0
m 0
К функциям и применим теорему Коши о конечных приращениях на отрезке [x0,x]
n
88
( x0 ) ( x) '()
( x0 ) ( x)
. Откуда Rn ( x) '()
и, далее,
( x0 ) ( x) '()
'()
( x) ( x0 )
f ( n 1) ()
( x ) n
(1)
n!
'()
Следствие 1. Если функция f является (n+1)-раз дифференцируемой на (x0-a, x0+a), то
n f (k ) ( x )
f ( n 1) ()
0
f ( x)
( x x0 ) k
( x ) n p 1 ( x x0 ) p ,
k!
n! p
k 0
где (x0,x) (или (x,x0)),p>0. Полученный остаток называется
остатком в форме Шлемильха-Роша.
Для доказательства этой формулы в качестве функции (z)
нужно взять (z)=(x - z)p.
Следствие 2. (Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа) Если f является (n+1)–раз дифференцируемой на (x0-a, x0+a),
то
n f (k ) ( x )
f ( n 1) ()
0
f ( x)
( x x0 ) k
( x x0 ) n 1 .
k!
(n 1)!
k 0
Этот остаток получен из общей формулы при p=n+1.
Замечание. Формулу Тейлора с остатком Лагранжа можно
представить в виде
n d (k ) f ( x )
d ( n 1) f ()
0
f f ( x) f ( x0 )
.
k!
(n 1)!
k 1
Следствие 3. Если f (n+1)–раз дифференцируема на (x0 - a,
x0+a), то справедлива формула Тейлора с остатком в форме Коши
n f (k ) ( x )
f ( n 1) ()
0
f ( x)
( x x0 )k
( x )n ( x x0 ).
k!
n!
k 0
Этот остаток получен из общей формулы при p=1.
4.5.4. Разложение некоторых элементарных функций по
формуле Тейлора
1) Экспонента ex, x0=0
n xk
e
ex
x n 1 ,(0,x), если x>0 или (x,0) в случае
( n 1)!
k 0 k !
Rn ( x)
x <0. Например, при |x|<1, |Rn(x)|
3
.
(n 1)!
89
2) sin x, x0=0
Вспомогательная формула:
(sin x)( p ) sin( x p).
2
0, p 2k
f ( p ) (0) sin p
.
k
2
(1) , p 2k 1
m f ( p ) (0)
m
x 2 k 1
sin x
x p o( x m ) = (1) k
o( x m ) , x0,
p
!
(2
k
1)!
p 0
p 2 k 1
выберем m=2n+2 , тогда
n
x 2 k 1
f (2 n 2) (0) 2 n 2
x
o( x 2 n 2 ) , x0,
sin x= (1) k
(2k 1)! (2n 2)!
k 0
откуда, с учетом равенства f(2n+2)(0)=0, получаем разложение для
синуса
n
x 2 k 1
o( x 2 n 2 ) , x0.
sin x= (1) k
(2k 1)!
k 0
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
n
x 2 k 1
(1) n 1 2 n 2
sin x (1) k
cos
x
, (0,x) (или
(2k 1)!
(2n 2)!
k 0
(x,0)). Действительно,
n
x 2 k 1
f (2 n 2) (0) 2 n 2 f (2 n 3) () 2 n 3
sin x (1) k
x
x
(2k 1)! (2n 2)!
(2n 3)!
k 0
sin( (2n 3))
2 k 1
n
x
2
(1)k
x 2 n 3 =
(2k 1)!
(2n 3)!
k 0
n
(1) k
k 0
n
(1) k
k 0
x 2 k 1
cos( (n 1)) 2 n 3
x
=
(2k 1)!
(2n 3)!
x 2 k 1
(1) n 1 2 n 3
cos
x
. Откуда следует, что
(2k 1)!
(2n 3)!
| Rn |
| x |2 n 3
.
(2n 3)!
1) cos x, x0=0.
Вспомогательная формула:
90
p) .
2
0, p 2k 1
.
f ( p ) (0) cos p
k
2
(1) , p 2k
(cos x)( p ) cos( x
m
x2k
f ( p ) (0) p
o( x m ) , x0,
x o( x m ) = (1) k
(2k )!
p!
p 0, p 2 k
p 0
выберем m=2n+1 , тогда
n
x2k
f (2 n 1) (0) 2 n 1
cos x (1) k
x
o( x 2 n 1 ) , x0,
(2k )! (2n 1)!
k 0
откуда, с учетом равенства f(2n+1)(0)=0, получаем разложение для
косинуса
n
x2k
o( x 2 n 1 ) , x0.
cos x= (1) k
(2k )!
k 0
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
n
x2k
(1) n 1 2 n 2
cos
x
cos x = (1) k
, (0,x) ( или (x,0) ).
(2k )!
(2n 2)!
k 0
Действительно,
n
x2k
f (2 n 1) (0) 2 n 1 f (2 n 2) () 2 n 2
cos x (1) k
x
x
(2k )! (2n 1)!
(2n 2)!
k 0
cos( (2n 2))
2k
n
x
2
(1)k
x2n2 =
(2k )!
(2n 2)!
k 0
cos x
m
n
(1)k
k 0
n
x2k
cos( (n 1)) 2 n 2
x
=
(2k )!
(2n 2)!
(1) n 1
x2k
(1)k (2k )! cos (2n 2)! x 2 n 2 .
k 0
Откуда следует, что | Rn |
| x |2 n 2
.
(2n 2)!
2) ln(1+x), x0=0.
1
1
( 1) k 1 ( k 1)!
(k )
f '
, f ''
,...,
f
.
1 x
(1 x) 2
(1 x) k
91
xk
o( x n ) , x0.
k!
k 1
3) (1+x) , x0=0, интерес представляет случай, когда не является натуральным числом.
f=(1+x)-1,…,f(k)=( - 1)…( - k+1)(1+x) - k.
n ( 1)...( k 1)
(1 x) 1
x k o ( x n ) , x0
k
!
k 1
Важный частный случай
1
(1)
(1)(2) 2
(1 x)1
1
( x)
x ...
1 x
1!
2!
n
ln(1 x) (1) k 1
n
n ( 1) k !
(1)(2)...(k )
( x)k o( x n ). = x k o( x n ). .
( x)k ... o( x n ) 1
k!
k!
k 1
k 1
k
6) sh x, x0=0.
x 2 k 1
ch
x 2 n 3 .
(2n 3)!
k 0 (2k 1)!
n
sh x
7) ch x, x0=0.
x2k
sh
x2n2 .
(2
k
)!
(2
n
2)!
k 0
4.5.5. Примеры использования стандартных разложений для
представления функций по формуле Тейлора и для вычисления
пределов
e x e x 2 x
x2
Пример 1. lim
,
e
1
x
o( x 2 )
x 0
2
x2
n
ch x
cos x e
x 0
x4
Пример 2. lim
e
x2
2
1
x2
2
1
x2 x4
,cos x 1 o( x5 ),
12
2 4!
x2 x4
o( x 4 ) .
2
8
Пример 3. Разложить функцию f(x)= e 2 x x по формуле Тейлора
с остатком Пеано по степеням x до x5 включительно.
2
e2 x x e2 xe x . Для решения задачи возьмем разложения
2
2
функции
92
4 x 2 8 x3 16 x 4 32 x5
o( x5 ).
2!
3!
4!
5!
4
2
x
e x 1 x 2
o( x 5 ) ,
2!
2
4 x 2 8 x3 16 x 4 32 x5
e2 x x 1 2 x
o( x 5 )
2!
3!
4!
5!
e2 x 1 2 x
x4
4
8
1 x 2
o( x 5 ) 1 2 x 1 x 2 2 x 3
2!
2!
3!
16 1 4
32 2 8
+ x4+ x5+o(x5)=
4! 2! 2!
5! 2! 3!
=1+2x+x2
2 3 5 4 1 5
x x
x +o(x5).
3
6
15
Пример 4. Разложить функцию f(x)=1/cos x по формуле Тейлора
с остатком Пеано по степеням x до x5 включительно. Представим
функцию в виде
1
1
=1+u+u2+u3+o(u3),
2
cos x
x
x4
1 o( x 5 )
2 4!
x2 x4
o( x5 ) . Тогда
2 4!
1
x2 x4
o( x 5 ) +
=1+u+u2+u3+o(u3)=1+
cos x
2 4!
где u =
2
3
3
x2 x4
x2 x4
x2 x4
5
5
o ( x ) + o( x ) + o o ( x 5 ) .
2 4!
2 4!
2 4!
k
x2 x4
При вычислении степеней o( x5 ) нас интересуют
2 4!
только слагаемые степеней не выше x5, более высокие степени
2
x2 x4
x4
войдут в o(x ). Таким образом, o( x5 ) = o( x 5 ) ,
4
2 4!
5
93
3
3
x2 x4
x2 x4
5
5
5
5
o( x ) = o( x ) , o o( x ) = o( x ) . Выраже 2 4!
2 4!
3
x2 x4
ние o( x5 ) = o( x5 ) показывает, что в разложении
2 4!
1
1
=1+u+u2+u3+o(u3) можно, с самого
cos x
x2 x4
1 o( x 5 )
2 4!
начала, ограничится второй степенью
1
1
=1+u+u2+o(x5). Подставляя нужные
2
cos x
x
x4
1 o( x 5 )
2 4!
выражения в это равенство, получим
1
x2 x4
=1+ o( x5 ) +
2 4!
cos x
x4
x2 5x4
o( x 5 ) + o( x5 ) =1+
o( x 5 ).
4
2
24
Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера,
разложить функцию f(x)=tg x по формуле Тейлора с остатком Пеано по степеням x до x6 включительно.
x 2 5 x 4
sin x
x3 x5
o( x 5 ) =
tg x=
= x o( x6 ) 1
3! 5!
2
4!
cos x
1 1
1 5 1 1 6
6
x+x2(0)+x3 +x4(0)+x5
+x (0)+o(x )=
3! 2
5! 4! 3! 2
x3 2 x5
o( x 6 ) .
=x
3 15
Пример 6. Разложить функцию f(x)=(1+x) - (1 - x) по формуле
Тейлора с остатком Пеано.
2 n 1 ( 1)...( k 1)
(1 x) 1
x k o( x 2 n 1 ), x 0
k!
k 1
2 n 1 ( 1)...( k 1)
(1 x) 1
(1) k x k o( x 2 n 1 ), x 0.
k!
k 1
k = 2l+1,
94
( 1)...( 2l ) 2l 1 f (2 n 2) (0) 2 n 2
x
x
(2l 1)!
(2n 2)!
l 0
n
(1 x) (1 x) 2
o( x 2n 2 ), x 0. Таким образом,
( 1)...( 2l ) 2l 1
x o( x 2n 2 ), x 0.
(2l 1)!
l 0
n
(1 x) (1 x) 2
Следствие. (1 x) (1 x) 2x o( x 2 ), x 0 .
Пример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найти
предел
lim
x
6
x6 x5 6 x6 x5 .
Имеем:
6
1
1
x6 x5 6 x6 x5 | x | 6 1 6 1 =|x|
x
x
1
2 1
1 1
o 2 = sign x +o( ).
x
x 3
6 x
1 x x2
по формуле Тей1 x x2
лора с остатком Пеано по степеням x до x4 включительно.
1
Сначала выпишем разложение функции
по степеням x
1 x x2
до x3 включительно.
1
1
Положим u=x - x2 , тогда
=
=1+u+u2+u3+o(u3) =
2
1 u
1 x x
1+ x - x2+(x – x2)2+(x – x2)3+o(x3)=1+x – x3 +o(x3). Далее,
2x
1 x x2
=1
=1+2x(1+x–x3+o(x3))=1+2x+2x2-2x4+o(x4).
2
1 x x2
1 x x
1 x x2
Второй способ. Так как lim
1 , то на первом шаге выx 0 1 x x 2
деляем единицу:
2x
1 x x2
=1
. Второе слагаемое представляем в виде
2
1 x x2
1 x x
Cxng2(x) так, чтобы lim g 2 ( x) 1 , после чего следует представить
Пример 8. Разложить функцию f(x)=
x 0
функцию g2(x) в виде g2(x)= 1+g3(x) и т.д. В нашем случае:
95
x x2
2x
1
1 x x2
=
=
=
=
1
2
x
1
1
2
x
1
2
1 x x2
1 x x2
1 x x2
1 x x
x x2
1 x
= 1 2 x 2 x2
=1+2x+
1 2x 2x
2
2
1 x x
1 x x
x2
+ 2 x 2 1
=
2
1 x x
1
=1+2x+2x2 2 x 4
=1+2x+2x2-2x4+o(x4).
2
1 x x
4.5.6. Формула Тейлора для четных и нечетных функций
Теорема 1. Если функция f(x) четна и существует f(2n+1)(0), то
имеет место следующее разложение этой функции
n f (2 k ) (0)
f ( x)
x 2 k o( x 2 n 1 ), x 0 .
(2
k
)!
k 0
Если функция f(x) нечетна и существует f(2n+2)(0), то имеет место следующее разложение этой функции
n f (2 k 1) (0)
f ( x)
x 2 k 1 o( x 2 n 2 ), x 0 .
k 0 (2k 1)!
Теорема 2. Если функция f(x) четна и существует f(2n+2)(x) в некоторой окрестности U(0), то для xU(0) справедливо равенство
n f (2 k ) (0)
f (2 n 2) () 2 n 2
f ( x)
x2k
x
,
(2n 2)!
k 0 (2k )!
где (0,x) или (x,0).
Если функция f(x) нечетна и существует f(2n+3)(xi в некоторой
окрестности U(0), то для xU(0) справедливо равенство
n f (2 k 1) (0)
f (2 n 3) () 2 n 3
f ( x)
x2k
x
,
(2n 3)!
k 0 (2k 1)!
где (0,x) или (x,0).
Доказательство. Как уже отмечалось ранее, у четной функции
все производные нечетного порядка являются нечетными функциями и, поэтому, они равны нулю с точке x0 0
f(2k+1)(0) = 0 , если f(x) четна.
96
Отсюда и получаются указанные формулы, если использовать
многочлен Тейлора до порядка 2n+1 включительно. У нечетной
функции все производные четного порядка будут нечетными
функциями и
f(2k)(0) = 0 , если f(x) нечетна.
В этом случае необходимо использовать многочлен Тейлора до
порядка 2n+2 включительно.
4.6 Исследования характера поведения функций
Исследование функций. Монотонность, экстремумы, выпуклость, точки перегиба, асимптоты.
4.6.1.Условие монотонности функции
Теорема 1. Для того, чтобы непрерывная на [a,b] и дифференцированная на (a,b) функция f(x) была постоянной на [a,b] н. и д.,
чтобы f(x)0 на (a,b).
См. следствие теоремы Лагранжа о конечных приращениях.
Теорема 2. Для того, чтобы непрерывная на [a,b], дифференцируемая на (a,b) функция f(x) была не убывающей ( не возрастающей ) на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 (f(x)0) на (a,b).
Доказательство. Необходимость
f ( x) f ( x0 )
0 далее к перейти пределу.
x x0
Достаточность. Если x < x, то по теореме Лагранжа
f(x) - f(x)=f()(x- x) откуда и следует требуемая монотонность.
Пример. Оценить погрешность приближения функции sin x
x3
многочленом третьей степени x
на отрезке [0, /2].
3!
Рассмотрим функцию f(x) = sin x – x +x3/6. Имеем f(x)=cos x – 1
x2
x x2
x2 x2
2sin 2 - 2
0 , на [0,
+ x2/2 и далее cos x 1
2
2 2
4
2
/2] . Отсюда следует, что функция f(x) монотонно возрастает на
указанном отрезке и, таким образом, достигает максимума в точке
/2. max |sin x – x +x3/6|=1 - /2 + 3/480.075.
Теорема 3. Для того, чтобы непрерывная на [a,b], дифференцируемая на (a,b) функция f(x) была строго монотонно возрастающей (убывающей ) на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 (f(x)0) на (a,b) и
97
чтобы не существовало промежутка [,][a,b], на котором
f(x)0.
Утверждение теоремы является непосредственным следствием
теоремы 2.
Следствие. Для непрерывной на [a,b], дифференцируемой на
(a,b) функции f(x) условие f(x)>0 (f(x)<0 ) на (a,b) влечет строгое
монотонное возрастание (убывание).
Пример. Доказать, что для любого n функция
fn(x)=x(/2-arctg nx) строго монотонно возрастает на [0, +) и
1
sup f n ( x) .
n
x[0, )
nx
fn(x) =
- arctg nx –
=
- g(nx), где g(u) = arctg u +
2 2
2
2
1 n x
1
1 u2
2
u
0.
.Имеем
g
(u)=
2
2 2
2
1 u
(1 u )
(1 u 2 )2
1 u
g(0)=0, g(+)=/2. Таким образом, g(nx) < /2 и, следовательно,
fn(x) =
- g(nx) > 0.
2
Отсюда следует, что sup f n ( x) lim f n ( x). Для вычисления поx[0, )
x
следнего предела воспользуемся правилом Лопиталя
/ 2 arctg (nx)
n
lim f n ( x) lim
lim
2
x
x
x (1 n x 2 )(1/ x 2 )
1/ x
nx 2
1
.
x (1 n 2 x 2 )
n
lim
4.6.2.Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
Определение. Пусть f(x) задана на [a,b] и x0(a,b), x0 называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой
окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x) f(x0).
Строгий максимум, если в некоторой проколотой окрестности
точки x0 выполнено неравенство f(x)< f(x0).
Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.
Экстремум локальный: в точке локальный минимум или локальный максимум.
98
Экстремум строгий: в точке строгий локальный минимум или
строгий локальный максимум. Это можно сформулировать, как
сохранение знака приращения функции f(x) – f(x0) в некоторой проколотой окрестности точки x0 .
Теорема ( Необходимое условие экстремума ).
Если x0 – точка экстремума функции f и существует f(x0), то
f(x0)=0.
Доказательство. Следует из теоремы Ферма.
Определение. Точка, в которой f(x0)=0 называется стационарной точкой.
Замечание. Таким образом, у дифференцируемой функции экстремум следует искать среди стационарных точек.
Пример. f(x)=x3.
Теорема. ( Первое достаточное условие экстремума )
Пусть f непрерывна в точке x0. Если в некоторой проколотой
окрестности точки x0 функция f(x) дифференцируема и f(x) меняет знак при переходе через точку x0 , то x0 есть точка строгого
экстремума, причем
производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум,
производная меняет знак с плюса на минус, то это максимум.
Доказательство. Применить теорему 3 на [x0-, x0] и на
[x0, x0+].
Другими словами, теорему можно сформулировать так: Если f
непрерывна в x0, дифференцируема в некоторой проколотой
окрестности точки x0 причем f(x)0 на (x0-, x0), f(x)0 на (x0,
x0+),
тогда в точке x0 локальный минимум. Аналогично, для максимума
достаточно выполнения условий:
f(x) 0 на (x0-, x0), f(x) 0 на (x0, x0+).
Пример. |x|.
Теорема (Второе достаточное условие экстремума)
Пусть x0 – стационарная точка функции f и f(x0)0, тогда,
если f(x0)>0, то в точке строгий минимум, если f(x0)<0, то в
точке строгий максимум
Доказательство. Пусть f(x0)>0,
f '( x) f '( x0 )
lim
f ''( x0 ) 0.
x x0
x x0
99
Из теоремы о сохранении знака в некоторой проколотой
окрестности будет выполнено неравенство
f '( x) f '( x0 )
f '( x)
0 , или
0 . Тогда для x > x0 будет
x x0
x x0
f(x) > 0 , а для x < x0 : f(x) < 0.
Аналогично для случая f(x0)<0.
Задача. Из квадратного листа сделать выкройку коробки, открытой сверху, наибольшего объема
Рис. 4.16
Объем коробки равен (a-2x)2x. Для поиска максимального объема вычислим производную
f(x)=( 4x3- 4ax2 +a2x)= 12x2 - 8ax+ a2 . Нули производной
8a 64a 2 48a 2 8a 4a a a
;
24
24
2 6
a
Таким образом, x = .
6
x1,2
100
Рис. 4.17
4.6.3. Исследование функций на экстремум по знаку высших
производных
Пусть x0 стационарная точка функции f, f(x) n-раз непрерывно
дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 причем
f(x0)= f(x0)=…= f(n-1)(x0)=0, f(n)(x0)0. В этом случае по формуле
Тейлора с остатком Лагранжа будет выполнено равенство
f ( n ) ( )
f ( x) f ( x0 )
( x x0 ) n .
n!
1) n=2k
Если f(2k)(x0)>0 , то в x0 наблюдается строгий локальный min.
Если f(2k)(x0)<0 , то в x0 наблюдается строгий локальный max.
2) n=2k+1
x0 не является точкой экстремума, так как приращение функции
f(x) – f(x0) имеет разные знаки по разные стороны от точки x0 .
x4
Пример f(x) = ch x + cos x - , в точке 0.
12
3
x
f(x)=sh x – sin x , f (0)=0,
3
f(x)=ch x – cos x –x2, f(0)=0,
f(x)=sh x + sin x –2x, f(0)=0,
f(4)(x)=ch x + cos x –2, f(4) (0)=0,
f(5)(x)=sh x - sin x, f(5) (0)=0,
f(6)(x)=ch x - cos x, f(6) (0)=0,
f(7)(x)=sh x + sin x, f(7) (0)=0,
f(8)(x)=ch x + cos x, f(8) (0)=2 >0 . Поэтому в точке 0 имеется строгий локальный min .
4.6.4. Выпуклость функции, точки перегиба
Хорда, соединяющая точки M1(x1, f(x1)), M2(x2, f(x2)) графика
функции f(x) задается функцией
x x
x x1
y=L(x, x1, x2 ) = f ( x1 ) 2
+ f ( x2 )
(*)
x2 x1
x2 x1
Это проверяется подстановкой координат x1, x2 в правую часть
(*).
Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх на [a,b],
если для x1<x<x2 из [a,b]
101
L( x, x1 , x2 ) f ( x1 )
x2 x
x x1
f ( x2 )
f ( x).
x2 x1
x2 x1
(1)
Рис. 4.18
Аналогично определяется выпуклая вниз функция. Можно дать
определение строгой выпуклости, заменив нестрогое неравенство
на строгое в (1) .
Теорема ( Достаточное условие выпуклости )
Если f непрерывна на [a,b], дважды дифференцируема на (a,b) и
f(x)>0 на (a,b), то f строго выпукла вниз.
Доказательство. Для любых x1, x, x2 , ax1<x<x2b имеем
x2 x
x x1
f ( x2 )
=
x2 x1
x2 x1
x x
x x1
f ( x) f ( x1 ) 2
f ( x ) f ( x2 )
x2 x1
x2 x1
f ( x) L( x, x1 , x2 ) f ( x) f ( x1 )
( x x1 )( x2 x)
( x x)( x x1 )
f '(2 ) 2
x2 x1
x2 x1
( x x1 )( x2 x)
f ''(3 )(2 1 )
0.
x2 x1
Участвующие в этих соотношениях величины расположены на
оси в показанном на рисунке порядке.
f '(1 )
Рис. 4.19
Определение. Точка x0 называется точкой перегиба функции f,
если в точке x0 существует касательная и в некоторой окрестности точки x0 график f лежит по разные стороны от касательной.
102
Рис. 4.20
Теорема 1. ( Необходимое условие точки перегиба )
Если f дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности
точки перегиба x0, то f(x0)=0.
Доказательство. Противное f(x0) 0. По теореме о сохранении
знака f(x) сохраняет знак в окрестности точки x0 . По формуле
Тейлора с остатком Лагранжа
Левая часть этого равенства имеет смысл уклонения точки графика функции от касательной. Это, в свою очередь, означает, что
график функции лежит с одной стороны от касательной.
f ''()
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
( x x0 )2 не меняет знак.
2
Рис. 4.21
Теорема 2 ( Достаточное условие точки перегиба )
1) f(x) в U(x0) и f(x0)=0
2) f меняет знак при переходе через точку x0 .
Тогда x0 точка перегиба.
Доказательство. По формуле Тейлора с остатком Лагранжа
f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )
f ' ' ( )
( x x0 ) 2 .
2
Следствие. Если f(x0)=0 и f(x0) 0, то x0 – точка перегиба.
Доказательство. При данных условиях f будет монотонной, и
будет менять знак при переходе через x0 .
103
4.6.5. Асимптоты функций
Определение. Пусть f определна на полуоси x>c. Прямая
y=ax+b называется наклонной асимптотой при x+ , если
lim f ( x) ax b 0 .
x
Пусть f определна на полуоси x < c . Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой при x-, если lim f ( x) ax b 0
x
.
Пример.
x 2 2 x 3 ( x 1) 2 4 x 4 6
6
x 1 4
.
x 1
x 1
x 1
В дальнейшем рассматривается лишь случай +.
Теорема. Пусть f(x) определена на [c,+ ). Для того, чтобы
прямая y=ax+b была асимптотой функции f необходимо и достаточно, чтобы
f ( x)
f ( x)
a
x
x
2) lim f ( x) ax b
1) lim
x
Пример.
1
x sin | x |, x 0
y f ( x)
x
0,
x0
Рис. 4.22
Наклонные асимптоты: в + линия y= - x+1, в - линия y =
x+1.
Вертикальная асимптота
Функция f определена на (a,a+). Линия x=a называется вертикальной асимптотой, если lim f ( x) , аналогично при xa xa 0
0.
104
Для нахождения наклонных асимптот параметрически заданных
функций поступают похожим образом. Вначале разыскиваются
значения параметра t0 , для которых lim x(t ) и lim y(t ) .
t t 0
t t 0
Далее коэффициенты наклонной асимптоты находятся из соотношений
1) lim
t t 0
y (t )
a
x(t )
2) lim (y(t) – a x(t)) = b ,
t t0
при условии, что указанные пределы существуют.
Для нахождения вертикальной асимптоты вида x=x0 параметрически заданных функций находят t0 такие, что lim x(t ) x0 ,
t t 0
lim y(t ) . Для горизонтальной асимптоты
t t 0
lim y(t ) y0 ,
t t 0
lim x(t )
t t 0
4.6.6. Общая схема построения графиков
Можно рекомендовать следующую последовательность исследования поведения функции.
1 Область определения. Симметрия ( четность, нечетность ).
Периодичность.
2 Асимптоты
3 Интервалы монотонности, экстремумы ( заполняется таблица, как показано ниже )
4 Дополнительные исследования ( если необходимо, выпуклость, точки перегиба, пересечение с осями и т. п. )
Замечание. Отыскание глобальных максимумов и минимумов
на отрезке производится среди точек трех типов:
1)
стационарные точки
2)
особые точки (где не существует производная)
3)
граничные точки.
Пример.
y 3 x 2 ( x 3) Асимптоты y/x1, x
105
x 3 3x 2 x 3
y ( x) x
2
3
( x ( x 3)) x ( x 3) x
2
при x .
Асимптота y=x-1
y'
5
3
x2
1
3
x ( x 3)
2
3
, y' '
2
3x 2
2
3
3 3
3
x 1 (1 ) (1 )
x
x
2
2
4
3
5
x ( x 3) 3
Особые точки ( в первом приближении только для первой производной ) 0,2,3
Рис. 4.23
Таблица для построения графика функции
x = 2t - t 2 , y = 3t - t 3 .
t
x
x
Диапазон
x
dy/dx
y(x)
d2y/dx2
(-,-1)
+
- -3
(-,-3)
-1
-2
+
0
-2
-3
106
(-1,1)
+
-3 1
(-3,1)
1
+
-22
+
3
2
1
(1,)
1 -
(-,1)
+
-2
-
Пример. Исследовать поведение кардиоиды r = 2(1 + cos t) в
окрестности точек t = 0, t = .
x 2(1 cos t ) cos t
, t [0, 2].
y 2(1 cos t )sin t
dy
2( sin 2 t (1 cos t )cos t )
cos 2t cos t d 2 y
=
.
dx 2( sin t cos t (1 cos t )sin t )
sin 2t sin t dx 2
(2sin 2t sin t )(sin 2t sin t ) (2cos 2t cos t )(cos 2t cos t )
(sin 2t sin t )2
1
2(sin 2t sin t )
1
(2sin 2 2t sin t sin 2t 2sin 2t sin t sin 2 t
3
2(sin
2
t
sin
t
)
2
2cos 2t cos t cos 2t 2cos 2t cos t cos 2 t )
3 3sin 2t sin t 3cos t cos 2t
1 cos t
= 3
.
3
(sin 2t sin t )
(sin 2t sin t )3
Для нахождения точек перегиба полезно методом сложения
графиков построить приблизительно график функции sin 2t sin t
. Из этого графика видно, что направление выпуклости меняется в
1
районе точек и точки (из за знаменателя). Около точки
3
числитель не меняет знак, а знаменатель меняет, так образом, это
тоже точка перегиба.
107
Рис. 4.24
Рис. 4.25
Глава 5. Элементы теории кривых
5.1 Векторная функция скалярного аргумента
Кривые на поскости и в пространстве. Векторная функция.
108
5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями
На плоскости
x x(t )
t [, ] , r(t)=x(t)i+y(t)j .
y y (t )
В пространстве
x x(t )
y y (t ) t [, ] , r(t)=x(t)i+y(t)j +y(t)k .
z z (t )
Операции над вектор функциями
1) p(t), q(t) p(t)+ q(t).
2) (t)r(t).
3) Скалярное произведение (p(t) , q(t)).
4) В трехмерном пространстве определено векторное произведение [ p(t) , q(t) ].
5.1.2. Предел вектор функции
Определение
lim r(t)=a lim ( x(t ) ax )2 ( y(t ) a y )2 ( z(t ) az )2 0.
t t 0
t t0
Или, что тоже, lim |r(t) – a|=0 .
t t0
Замечание 1. Это определение не зависит от выбора базиса i , j ,
k.
Геометрическая интерпретация.
Рис. 4.26
109
Теорема. (Критерий существования предела вектор функции)
Для существования предела
lim r(t) = a необходимо и достаточно существования пределов
t t0
координат вектор функции
lim x(t ) a
x
t t 0
lim r(t) = a lim y (t ) a y
t t
t t0
0
z (t ) az
tlim
t 0
Доказательство. Для заданного значения параметра t обозначим
(t) = max{|x(t)-ax|,| y(t)-ay |,| z(t)-az |}. Для любого t справедливо
неравенство
(t)
( x(t ) ax )2 ( y(t ) a y )2 ( z(t ) az )2 =|r(t) – a|.
С другой стороны |r(t)–a|=
( x(t ) ax )2 ( y(t ) a y )2 ( z (t ) az )2
3 (t).
Из этих неравенств и следует требуемое утверждение.
Замечание 2. Для существования предела необходимо требовать, чтобы r(t) была определена в некоторой проколотой окрестности точки t0. Можно рассматривать односторонние производные.
Из теорем о пределах функций, с помощью доказанного критерия, получаются соответствующие теоремы для пределов вектор
функций. Перечислим некоторые из них.
1) Предел, если он существует, единственен.
2) Предел суммы и произведения на обычную функцию
lim ( p(t)+q(t) )= lim p(t)+ lim q(t).
t t0
t t0
t t0
lim ((t) p(t))= lim (t) lim p(t).
t t0
t t0
t t0
3) lim (p(t) , q(t))=(a , b).
t t0
a= lim p(t) , b = lim q(t) .
t t0
t t0
110
Доказательство. Пусть p(t)= ( x(t ), y (t ), z (t )) ,q(t)=
(u (t ), v(t ), w(t )) , a= ( x0 , y0 , z0 ) , b = (u0 , v0 , w0 ) . Тогда ( p(t),q(t))=
x(t )u(t ) y(t )v(t ) z (t ) w(t ) x0u0 y0v0 z0 w0 = ( a , b ).
4) lim [ p(t) , q(t)]=[ a , b ] , если a= lim p(t) , b = lim q(t) .
t t0
t t0
t t0
Для краткости введем обозначения:
x x(t ), y y (t ), z z (t ), u u (t ), v v(t ), w w(t ) .
i
[p(t),q(t)]= x(t )
u (t )
j
k
y (t ) z (t ) yw zv, zu xw, xv yu
v(t ) w(t )
i
y0 w0 z0v0 , z0u0 x0 w0 , x0v0 y0u0 x0
u0
j
y0
v0
k
z0 [ a , b ].
w0
5.1.3. Непрерывность вектор функции
r(t) определена на [,] и t0(,)
r(t) непрерывна, если lim r(t) = r(t0)
t t 0
Аналогично определяется непрерывность справа, слева.
Непрерывность на множестве.
Свойства
p(t) , q(t) , (t) непрерывны в точке t0 непрерывны p(t) + q(t),
(t)p(t) ,( p(t), q(t)), [ p(t) , q(t)] .
5.1.4. Дифференцируемость вектор функции
Пусть r(t) определена в окрестности точки t0.
Производной в точке t0 называется нижеследующий предел, если он существует,
lim
r(t)= t t 0 (r(t) – r(t0))/(t – t0).
Теорема. Производная вектор функции r(t) в точке t0 существует тогда и только тогда, когда существуют x(t0), y(t0), z(t0) и
x '(t0 )
r(t0)= y '(t0 ) .
z '(t )
0
111
Утверждение следует из критерия существования предела вектор функции.
Замечание. Если у r(t) существует r(t0) в точке t0, то r(t) непрерывна в этой точке.
Определение. Векторная функция r(t) называется дифференцируемой в точке t0, если в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство
r(t) - r(t0) =a(t – t0) +(t) (t – t0),
(1)
где lim (t) = 0.
t t0
Векторная функция a t = a (t – t0) = a dt называется дифференциалом функции r(t) в точке t0 и обозначается dr = a dt .
Условие (1) можно записать в координатной форме
x(t ) x(t0 ) ax t x (t )t
(2)
y (t ) y (t0 ) a y t y (t )t
z (t ) z (t0 ) az t z (t )t
где a =(ax, ay, az), = (x , y , z ) .
Теорема. Дифференцируемость r(t) в точке t0 эквивалентна
дифференцируемости в точке t0 координат функции r(t).
Следствие. Для дифференцируемости r(t) в точке t0 необходимо
и достаточно существование r(t0).
x x (t )
Геометрический смысл производной r(t): y y (t )
z z (t )
Рис. 4.27
5.1.5. Правила дифференцирования вектор функций
112
d
( r) = ' r + r.
dt
d
2)
(r1 + r2 ) = (r1 + r2 ).
dt
d
3)
(r1 , r2 ) = (r1 , r2 ) + (r1 , r2 ).
dt
1)
Для краткости будем рассматривать плоские вектора.
r1= ( x1 (t ), y1 (t )) , r2= ( x2 (t ), y2 (t )) . Тогда (r1,r2)=
x1 (t ) x2 (t ) y1 (t ) y2 (t ) и
d
(r1 , r2 )=
dt
x1 '(t ) x2 (t ) x1 (t ) x2 '(t ) y1 (t ) ' y2 (t ) y1 (t ) y2 '(t ) =
= x1 ' (t ) x2 (t ) y1 (t )' y2 (t ) x1 (t ) x2 ' (t ) y1 (t ) y2 ' (t ) =
=(r1 , r2 ) + (r1 , r2 ).
4)
d
[r1 , r2 ] = [r1 , r2 ] + [r1 , r2 ].
dt
5.1.6. Гладкие кривые
Определение. Кривая
:
x x (t )
y y (t ) tT
z z (t )
называется непрерывной, если непрерывны x(t), y(t), z(t). (Можно определять непрерывность в точке или на множестве).
x x(t )
Для заданной параметризации y y (t ) , t[ , ] начало криz z (t )
вой – точка A(x(),y(),z()), конец кривой – точка
B(x(),y(),z()).
Замкнутая кривая это кривая, у которой конец совпадает с
началом.
Кривая называется непрерывно дифференцируемой, если функции x(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы.
Гладкой называется кривая, которая непрерывно дифференцируема и для которой выполнено условие t : r(t)0.
113
Кусочно гладкая кривая – кривая, которая непрерывна и состоит из конечного числа гладких кусков.
5.2 Длина кривой
Длина кривой. Спрямляемость.
5.2.1.Спрямляемая кривая
Разбиенем отрезка [,] называется набор точек t0 , t1 ,…. tn
таких, что =t0< t1<….< tn=. Разбиение отрезка будем обозначать ={=t0< t1<….< tn= } .
Пусть : r(t) -непрерывно дифференцируемая на [,] кривая
и ={=t0< t1<….< tn= } – некоторое разбиение отрезка [,].
Для данного разбиения можно построить вписанную ломаную с
узлами в точках Ak=(x(tk), y(tk), z(tk)), k=0,1,…,n. Радиус вектор в
точку Ak обозначим rk. Длину ломаной обозначим (,)
n 1
(,)= |rk+1 – rk|
k 0
Рис. 5.1
рисунок для плоского случая
Определение. Кривая называется спрямляемой, если конечна
точная верхняя грань s sup (, ) , где точная верхняя грань бе
рется по всевозможным разбиениям отрезка [,]. Эта величина s называется длиной кривой .
Пример непрерывной, не спрямляемой кривой.
114
Рис. 5.2
Длина основания очередного прямоугольника равна половине
длины основания соседнего прямоугольника справа. Число звеньев
ломаной, вписанной в прямоугольник берется таким, чтобы длина
участка ломанной, попавшей в прямоугольник была > 1.
Теорема 1. Кривая, составленная из двух спрямляемых кривых
спрямляема и ее длина равна сумме длин исходных компонент.
Доказательство. Пусть = +. Для любого разбиения кривой существуют разбиения , кривых , такие, что ( , )
( , )+( , ) . На рисунке на участке стыка двух кривых
хорда AB заменяется на две хорды AC и CB. Все остальные хорды
разбиения кривой оставляем без изменения
Рис. 5.3
Так как AB AC + CB , то отсюда получаем соотношение для
длин кривых s s + s. С другой стороны любая пара , разбиений кривых , образует разбиение кривой , так что ( , )
= ( , )+( , ) , поэтому справедливо обратное неравенство
s s + s.
Теорема 2. Если кривая непрерывно дифференцируема, то она
спрямляема и ее длина s удовлетворяет неравенству
115
m12 m22 m32
s
M 12 M 22 M 32 ,
где m1 inf | x' (t ) | , m2 inf | y' (t ) | , m3 inf | z ' (t ) |
[ , ]
[ , ]
[ , ]
M1 sup | x '(t ) | , M 2 sup | y '(t ) | , M 3 sup | z '(t ) | ,
[ ,]
[ , ]
[ , ]
r (t ) ( x(t ), y(t ), z (t )) , t[,].
Доказательство. Пусть ={=t0<t1<…<tn=}, тогда по теореме
Лагранжа
|r(tk+1 –r(tk)|=
[ x(tk 1 ) x(tk )] [ y (tk 1 ) y (tk )]2 [ z (tk 1 ) z (tk )]2 =
2
= (tk 1 tk ) x'2 ( k ) y '2 ( k ) z '2 ( k ) и
( - )
n 1
m12 m22 m32 = (tk 1 tk ) m12 m22 m32 ( , )=
k 0
n 1
=
(t
k 0
k 1
tk ) x'2 ( k ) y '2 ( k ) z '2 ( k )
n 1
(t
k 0
k 1
tk ) M 12 M 22 M 32 =
= ( - ) M 12 M 22 M 32 .
Для верхней грани получим ( - )
m12 m22 m32 s ( - )
M 12 M 22 M 32 .
Откуда и следуют требуемые неравенства.
Теорема 3. Если кривая гладкая, то длина дуги s(t) от начала
кривой до точки, соответствующей значению параметра t, является строго монотонно возрастающей, непрерывно дифференцируемой функцией и
116
ds
x'2 (t ) y '2 (t ) z '2 (t ) =|r(t)|
dt
Доказательство. На участке [t,t+t] по теореме 2 выполнены
неравенства
m12 m22 m32
s
M 12 M 22 M 32
t
(1)
Рис. 5.4
Требуемое равенство получится при переходе к пределу при
t0, если учесть, что левая и правая части (1) будут иметь общий
предел x '2 (t ) y '2 (t ) z '2 (t ). Например,
m1 inf | x '(u ) || x '(t ) || x '(t ) |, t 0. Строгое монотонное воз[ t ,t t ]
растание
функции
s(t)
следует
из
условия
ds
x '2 (t ) y '2 (t ) z '2 (t ) 0, выполненного для гладкой кривой.
dt
Следствие 1. Для гладкой можно выбрать в качестве параметра длину дуги от начала кривой до данной точки s=s(t).
Действительно, для этой функции существует обратная t=t(s) и,
следовательно, r (t)= r (t(s))
В этом случае |dr/ds|=|r(t)t(s)| =|s(t)t(s)|=
ds dt
=1.
dt ds
Следствие 2. ds x'2 (t ) y '2 (t ) z '2 (t ) dt, ds2=dx2+dy2+dz2, ds
– элемент длины дуги.
Пример. Длина цепной линии y = ch x .
Параметризацию кривой выберем в виде x = t, y = ch t , t[0, t0].
117
Рис. 5.5
s(t)=|r(t)|=|i + sh t j|= 1 sh 2t =ch t. Таким образом, s(t) = (sh t)
. Согласно следствия из теоремы Лагранжа s(t)=sh t + C. s(0)=0
s(t) = sh t .
5.3 Плоские кривые
Кривизна, радиус кривизны.
5.3.1.Понятие кривизны и ее вычисление
Рассмотрим концентрические окружности. Будем определять
кривизну окружности радиуса R как величину k=1/R. Центром кривизны назовем центр окружности, а ее радиус – радиусом кривизны. Обобщим эти понятия на произвольную гладкую кривую. Рассмотрим гладкую кривую с параметризацией x(t), y(t), для краткости будем использовать обозначения:
x0=x(t0), x=x(t), y0=y(t0),y=y(t),u0=x(t0), u=x(t), v0=y(t0), v=y(t).
В процессе рассмотрения t0 будет фиксирована, а t будет рассматриваться, как текущая точка. Составим уравнения нормалей в
точках (x0,y0), (x,y).
X x0 v0 p
X x vp
, p (, ) .
, p (, ) .
Y y up
Y y0 u0 p
Найдем точку пересечения этих прямых.
x0 v0 p x vq
v0 p vq x0 x
или
.
y0 u0 p y uq
u0 p uq y y0
118
Умножим первое уравнение на u, а второе на –v и сложим.
(uv0 - vu0)p = u(x0-x) + v(y0 – y) откуда
u ( x x0 ) v( y y0 )
.
p
(v v0 )u0 (u u0 )v0
Далее перейдем к пределу при tt0 (uu0, vv0). Получим
u02 v02
x '2 (t0 ) y '2 (t0 )
p0
.
y ''(t0 )u0 x ''(t0 )v0 y ''(t0 ) x '(t0 ) x ''(t0 ) y '(t0 )
Подставляя найденной значение параметра для предельной точки пересечения нормалей, получим координаты предельной точки
x '2 (t0 ) y '2 (t0 )
X 0 x0 y '(t0 )
,
y ''(t0 ) x '(t0 ) x ''(t0 ) y '(t0 )
x '2 (t0 ) y '2 (t0 )
.
y ''(t0 ) x '(t0 ) x ''(t0 ) y '(t0 )
Полученная таким образом точка называется центром кривизны
кривой в заданной точке, а расстояние от этой точки до центра
кривизны называется радиусом кривизны.
Y0 y0 x '(t0 )
R0 ( X 0 x0 )2 (Y0 y0 )2
( x '2 y '2 )3/2
. Величина обрат| y '' x ' x '' y ' | t t
0
ная радиусу кривизны называется кривизной
| y '' x ' x '' y ' |
.
k0 1 / R0
( x '2 y '2 )3/2 t t
0
Рис. 5.6
Окружность с центром в (X0,Y0) и радиуса R0 называется соприкасающейся окружностью.
119
5.3.2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
Рассмотрим кривую , заданную в виде y = f(x), x[a,b]. В качестве параметризации выберем x = t, y = f(t), t[a,b]. Тогда
X 0 x0 f '
1 f '2
f ''
, Y0 y0
x x0
1 f '2
f ''
, R0
x x0
(1 f '2 )3/2
| f '' |
.
x x0
5.3.3.Порядок соприкосновения кривых
Пусть 1 , 2 представлены функциями y=f1(x), y=f2(x) и пересекаются в точке (x0, y0). Кривые 1 , 2 имеют порядок соприкосновения n в точке (x0, y0), если
| f ( x) f1 ( x) |
lim 2
0 , для всех k=0,1,…,n, и
x x0
| x x0 |k
| f ( x) f1 ( x) |
lim 2
0.
x x0
| x x0 |n 1
Достаточными условиями для того, чтобы кривые имели порядок касания n являются следующие условия:
Функции n+1 непрерывно дифференцируемы в окрестности
точки x0 и
f1( k ) ( x0 ) f 2( k ) ( x0 ), k 0,..., n, f1( n1) ( x0 ) f 2( n1) ( x0 ).
Для доказательства обозначим f(x)=f2(x) - f1(x). Тогда в окрестности точки x0 имеет место разложение по формуле Тейлора с
f ( n 1) (( x))
( x x0 ) n 1 , тогда
остатком в форме Лагранжа f ( x)
(n 1)!
| f 2 ( x) f1 ( x) | | f ( n 1) () || x x0 |n 1 | f ( n 1) () || x x0 |n k 1
,
(n 1)!
| x x0 |k
(n 1)!| x x0 |k
k=0,1,…,n+1.
Таким образом, будут выполнены условия из определения порядка касания.
120
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. – М.: Наука, 1971.
2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа.Т.1.–
М.: Наука, 1968.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1966.
4. Никольский С. М. Курс математического анализа. Т.1. –
М.: Наука, 1973.
5. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т.1. – М.: Высшая школа, 1973.
6. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1972.
7. Бугров Я. С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988.
8. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933.
9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций
и функционального анализа. – М.: Наука, 1972.
10. Брудно А.Л., Теория функций действительного переменного. – М.: Наука, 1971.
11. Хавин В. П. Основы математического анализа. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной вещественной
переменной. Издательство «Лань», 1998.
12. Маллас Дж. Реляционный язык пролог и его применение. – М.:
Наука, 1990.
121