Минимаксная задача размещения источников физического поля

МИНИМАКСНАЯ ЗАДАЧА РАЗМЕЩЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ
ФИЗИЧЕСКОГО ПОЛЯ, КОТОРОЕ ОПИСЫВАЕТСЯ
СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ
С.И. ЯРЕМЧУК,
В.Б.КРЫЖАНОВСКИЙ,
Житомирский государственный технологический
университет, Житомир, Украина
yaremchuk_s@mail.ru
kryzhanivskyy@mail.ru
Предложен метод решения минимаксной задачи размещения
источников физического поля, которое описывается
смешанной краевой задачей для уравнения Пуассона. Функция
цели – максимальное значение физического поля на конечном
множестве точек области. Множество допустимых
значений параметров размещения источников определяется
условиями взаимного непересечения и невыхода источников
за пределы области. Предложен способ вычисления частных
производных решения краевой задачи по параметрам
размещения.
Ключевые слова: минимаксная задача, оптимальное
размещение, частные производные по параметрам
размещения.
Ряд технических систем содержат дискретные источники
теплоты. Примерами таких систем могут быть однокристальные
системы (system on a chip, SoC) [1], радиационные печи без
конвекционной секции (radiant furnace) [2]. Другие примеры
подобных систем можно найти в [3]. Их функционирование в
значительной степени зависит от положения источников теплоты,
которые они содержат. Как отмечено в [1], современные
технологии электронных приборов оперируют с миллионами
транзисторов, работающих на гигагерцовых частотах. Оборотной
стороной этой ситуации является то, что в результате выделяется
значительное количество энергии, проявлением которой является
повышение температуры. Эти термические эффекты имеют
нежелательные
последствия
на
функционирование
однокристальных систем. Например, большие градиенты
508
температуры могут приводить к возникновению значительных
термонапряжений, которые могут даже разрушить микросхему,
или просто привести к появлению ошибок при функционировании.
Поэтому на этапе проектирования таких однокристальных систем
возникает задача размещения тепловыделяющих элементов таким
образом, чтобы минимизировать негативное влияние значительных
перепадов температуры. Поскольку проектирование в настоящее
время
осуществляется
с
помощью
соответствующего
программного обеспечения (CAD / CAE системы), то оценки
альтернативных проектных решений и выбор оптимального, по
определенному критерию, решения является перспективным
направлением совершенствования и развития CAD/CAE систем.
Подробнее рассмотрим еще один пример [2]. Речь идет о
радиационной печи, в которой для обрабатываемой детали следует
получить
равномерное
распределение
температуры.
Тепловыделяющие элементы находятся на стенках рабочей зоны
печи. Технологически они размещаются в виде матрицы. За счет
изменения их тепловыделения и формируется желаемое
температурное поле. С точки зрения оптимизации такую задачу
можно классифицировать как размещение источников различной
интенсивности на заданные посадочные места. И опять же, на
этапе подготовки производства определение размещения
источников в матрице осуществляется путем проверки проектных
решений с помощью САD/CAE систем.
Для того чтобы рассчитать температурное поле в заданной
области следует решить краевую задачу для уравнения
теплопроводности. Де-факто стандартным методом решения таких
краевых задач в САD/CAE системах является метод конечных
элементов.
С одной стороны, рассмотренные задачи касаются
оптимизации систем с распределенными параметрами, с другой
необходимо учесть геометрические ограничения на взаимное
расположение источников. Долгое время данными проблемами
занимаются в Институте проблем машиностроения им. А.Н.
Подгорного НАН Украины под руководством чл.-корр. НАН
Украины Стояна Ю.Г. Методы, алгоритмы, особенности и
классификация задач данного класса подробно рассмотрены в
следующих публикациях [3,4,5 и др.]. Было выяснено [6], что
509
одним из перспективных направлений разработки указанных
методов
является
использование
минимаксных
методов
математического программирования. Поскольку критерий качества
размещения источников зависит от решения краевой задачи, то
возникает необходимость исследования зависимости решения
краевой задачи от параметров размещения источников. Для одного
класса краевых задач дифференцируемость их решения по
параметрам размещения была доказана в [7,8]. Однако краевые
задачи в большинстве случаев можно решать только численными
методами, в частности методом конечных элементов. Поэтому
дальнейшие исследования были направлены на поиск алгоритмов
численного дифференцирования решений краевых задач по
параметрам размещения. Один из подходов предложен в [9]. В
данной работе рассматривается минимаксная задача оптимального
размещения источников в случае, когда распределение
температуры описывается смешанной краевой задачей для
эллиптического уравнения.
Литература
1. Chen C. C.-P., Tsai J.-L. and all Temperature-Aware Placement
for SOCs // Proceedings of the IEEE. – 2006. – Vol.94, №8. –
P. 1502 – 1517.
2. Chopade R. P., Mishra S. C., Mahanta P., Maruyama S. Effects
of locations of a 3-D design object in a 3-D radiant furnace for
prescribed uniform thermal conditions // Applied Thermal
Engineering. – 2011. – Volume 31, Issue 16. – P. 3262–3274.
3. Стоян Ю.Г., Путятин В.П. Оптимизация технических
систем с источниками физических полей. – Киев: Наук.
думка, 1988. – 192 с.
4. Стоян Ю.Г.,
Путятин В.П., Чуб И.А. Оптимизация
температурного поля перфорированной пластины с
дискретными тепловыми источниками // Докл. АН УССР. –
Сер.А. – 1985. - № 11. – С.64-67.
5. Яремчук С.И., Бурда Р.В., Матущенко С.С. Алгоритм
решения дискретной минимаксной задачи размещения
источников физического поля // Кібернетика і системний
аналіз. – 2009. №5. С. 153-163.
510
6. Чувашева С.И. Численные методы решения одного класса
оптимизационных
задач
размещения
источников
физических полей: дисс. … кандидата физ.–мат. наук :
01.01.07 / С.И. Чувашева. – Харьков, 1984. – 107 с.
7. Стоян Ю.Г., Яремчук С.И., Крыжановский В.Б.
Дифференцируемость поля дискретных источников по
параметрам их размещения / // Доповіді НАН України. –
1995. №10. С. 38-40.
Problem of optimal
8. Yaremchuk S., Kryzhanivskyy V.
placement of discrete physical field sources // Applied
Numerical Mathematics. – 2004. № 50. С. 121-131.
9. Крижанівський В.Б. Чисельне диференціювання розв’язку
крайової задачі за параметрами розміщення джерел
фізичного поля // Математичні машини і системи. – 2011. –
№3. – С.73-79.
511