Расширение Вселенной и гравитация звезд Д.Е.Бурланков Нижегородский университет им. Н.И. Лобачевского 2010 Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Принцип эквивалентности В 1911 году Альберт Эйнштейн (1879-1955) изучая физические явления в свободно падающей лаборатории (лифте), предположил, что в этой лаборатории реализована инерциальная система, в частности, свет распространяется прямолинейно. В ней отсутствует гравитационный потенциал. Тогда относительно Земли при наличии гравитационного потенциала траектории света криволинейны. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Динамика пробного тела в СТО В 1906 году Макс Планк (1858-1947) вывел релятивистскую динамику из принципа наименьшего действия: Z p Z 2 2 2 S = −m c c dt − d r = L dt. Лагранжиан r L = −m c 2 1− v2 c2 определяет импульс и энергию тела: p= dL mv =q ; 2 dv 1 − cv2 m c2 E = (pv) − L = q . 2 1 − cv2 В 1912 году √ Марсель Гроссман p предложил Эйнштейну 2 2 2 обобщение: c dt − d r → gαβ dx α dx β . Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Общая теория относительности (ОТО) В 1912 – 1915 гг с помощью Гроссмана Эйнштейн создает ОТО. Пространство и время неразделимы и связаны в единое четырехмерное пространство-время, определяемое десятикомпонентным тензором gαβ , определяющего инвариантный интервал: ds 2 = gαβ dx α dx β . Зависимость его компонент от четырех координат определяется из 10-и уравнений Эйнштейна: Gβα = Rβα − 1 8π k R δβα = 4 Tβα . 2 c Здесь Rβα – тензор Риччи, определяющий кривизну пространства, R – его свертка, скалярная кривизна, а Tβα – тензор энергии-импульса материи, находящейся в пространстве. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Решение Шварцшильда Сразу же после создания ОТО в 1915 году астрофизик Карл Шварцшильд (1868-1916) нашел решение уравнений Эйнштейна, описывающие метрику пространства-времени вне сферическго тела с массой M. ds 2 = 1− 2κ M c2 r c 2 dt 2 − Д.Е.Бурланков dr 2 − r 2 d ω2. 2κ M 1 − c2 r (1) Расширение Вселенной и гравитация звезд Метрика Пэнлеве В 1921 году Пэнлеве (1863-1933), исследуя преобразование метрики Шварцшильда при преобразовании переменной времени dt = d t̃ + w (r ) dr , нашел метрику [3]: r 2M 2M 2 2 dr dt − dr 2 − r 2 d ω 2 , ds = dt 1− +2 (2) r r где 2 M – гравитационный радиус тела, выраженный в световых годах. Например, для Солнца 2 M = 3.2 · 10−13 (световых) лет (3 км). Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Орбиты в метриках Шварцшильда-Пэнлеве Общие финитные траектории имеют вид вращающегося эллипса и в общем случае незамкнутые. При малых значениях максимального и минимального радиусов угол вращения значительно увеличивается. Среди этих траекторий есть и замкнутые, вот, например: Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд А вот примеры граничных траекторий: Траектории асимптотически накручиваются на неустойчивую окружность. Небольшое уменьшение момента приводит к падению частицы на центр. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Разбегание галактик Эдвин Хэббл (1889-1953) в 1916 – 21 гг в горах Калифорнии в обсерватории Маунт-Вильсон на новом 2.5метровом телескопе открыл около сотни галактик и наблюдал их спектры поглощения, по которым обнаружил, что они, в основном, разбегаются от нас. Закон Хэббла (1929): v = H r , где v – скорость убегания галактики, r – ее расстояние от нас, а H – постоянная Хэббла. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Красное смещение в спектрах галактик Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Космологическое решение Фридмана Александр Александрович Фридман (1888-1925) в 1922 году построил динамическое космологическое решение уравнений Эйнштейна: весь Мир – трехмерная сфера радиуса r , зависящего от времени по циклоиде, определяемой дифференциальным уравнением ṙ 2 + c 2 = 8π κ ρ 2 r . 3 Здесь ρ – плотность энергии вещества. При ρ = 0 – без вещества – динамика с точки зрения ОТО невозможна. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Однородная модель Наиболее распространенное описание расширяющейся Вселенной представляется метрикой Эйнштейна - де Ситтера: ds 2 = dt 2 − σ 2 (t) (dR 2 + R 2 d ω 2 ). (3) Здесь d ω 2 = d ϑ2 + sin2 ϑ d ϕ2 – метрика двумерной сферы единичного радиуса. Длины измеряются в световых годах, а время в годах, так что скорость света равна единице. Функция σ(t) определяется из дифференциального уравнения: σ̇ 2 = 8π κ ρ ; 3 3 H2 = ρ. 8πκ (4) С точки зрения наблюдаемых σ̇ = H – постоянная Хэббла, а ρ – средняя плотность вещества во Вселенной. По результатам наблюдений левая часть в 25 раз больше правой. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Преобразование к расстояниям Расстояние от центра – точки, в которой полагается R = 0, – до любой другой точки пространства с координатой R определяется величиной r = σ(t) R. С течением времени это расстояние меняется. При переходе от координат в пространстве R к параметризации расстояниями r метрика (3) изменяется: r 1 σ̇ σ̇ 2 R= ; dR = dr − r ; = . σ(t) σ σ σ 3 (t0 + t) Подставляя эти дифференциалы в (3), получаем метрику ds 2 = (1 − V 2 ) dt 2 + 2 V dr dt − dr 2 − r 2 d ω 2 , где V ≡ Vσ = Д.Е.Бурланков 2r . 3 (t0 + t) (5) (6) Расширение Вселенной и гравитация звезд Тензор Эйнштейна для ρ ρV (Gji ) = 0 0 этой метрики принимает значения 0 0 0 4 0 0 0 , ρ = , 0 0 0 3 (t0 + t)2 0 0 0 (7) В момент времени t = −t0 плотность ρ обращалась в бесконечность – так называемый “большой взрыв”. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Сшивание Так как обе сшиваемые метрики имеют вид (5), обобщим в метрике (5) лишь выражение для поля скоростей (6): V = 2r Vr (r ) →V = 3 (t0 + t) t0 + t (8) и вычислим тензор Эйнштейна, а затем приведем его к виду (7). Равенство нулю давления, определяемого компонентой G11 = Vr (r ) (Vr (r ) + 2 r (Vr0 (r ) − 1)) , r 2 (t + t0 )2 приводит к дифференциальному уравнению первого порядка на функцию Vr (r ): Vr (r ) + 2 r (Vr0 (r ) − 1) = 0, (9) решение которого содержит константу интегрирования C : 2r C Vr (r ) = +√ . 3 r Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Метрика, создаваемая массой в расширяющемся Мире Первое слагаемое однозначно определяет расширение и мало́ при малых r , где основную роль играет второе слагаемое. При t = 0 оно совпадает с полем скоростей метрики Пэнлеве (2), √ если выбрать константу C = t0 2 M. Тогда полное поле скоростей: ! r 2r 2M 1 + t0 . V = (10) t0 + t 3 r Это решение переходит в метрику Пэнлеве при t0 → ∞ или в метрику Эйнштейна – де Ситтера при t0 → 0. Общий вид метрики (5): ds 2 = (1 − V 2 ) dt 2 + 2 V dr dt − dr 2 − r 2 d ω 2 . Сечение t = const, dt = 0 определяет метрику евклидова пространства dl 2 = −ds 2 = dr 2 + r 2 (d ϑ2 + sin2 ϑ d ϕ2 ). Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Движение пробных тел Динамика свободной материальной точки определяется гамильтонианом h – выражением энергии через радиальный импульс и момент через обратный метрический тензор (все импульсы отнесены к массе): g αβ pα pβ = 1; α, β = 0 . . . 3; p0 = −h. (11) Гамильтониан свободной частицы h определяется из соотношения (11) для метрики (5) через обратную метрику: 1 V 0 0 V V2 − 1 0 0 ; (g αβ ) = 1 0 0 − r2 0 1 0 0 0 − r 2 sin2 ϑ L2 (−h + V p) − p + 2 r 2 Д.Е.Бурланков 2 = 1; Расширение Вселенной и гравитация звезд Гамильтониан определяет уравнения движения r h= 1+ p2 L2 p Vr (r ) + 2 + ; r t0 + t dr ∂h = ; dt ∂p dr p =q dt 1 + p2 + 2r Vr (r ) = + t0 3 dp ∂h =− ; dt ∂r L2 r2 dp L2 = q dt r 3 1 + p2 + − p t0 + t (12) r 2M ; r ! √ 2 t0 2 M ; − 3 2 r 3/2 dϕ L = q dt r 2 1 + p2 + Д.Е.Бурланков 2M . r dϕ ∂h =− . dt ∂L 2r t0 + + 3 (t0 + t) t0 + t L2 r2 r L2 r2 . (13) (14) (15) Расширение Вселенной и гравитация звезд При очень больших t0 – далеко по времени от “большого взрыва” – в составляющей скорости основную роль играет часть с массой. Если время обращения по орбите мало по сравнению с t0 , то изменение масштаба при каждом обороте незначительно и траектории практически совпадают с траекториями в метрике Шварцшильда. Однако за большое число оборотов или при не очень большом t0 изменение масштаба приводит к значительному изменению траекторий. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Сравним (сильно релятивистские орбиты при 2 M = 1) с r0 = 100 при t0 = 106 и t0 = 250000 на интервале времени 100000: С течением времени орбиты не только увеличивают свой радиус, но и в конце концов частица улетает в бесконечность. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Зависимость гравитационной массы от времени Это связано с исключительно важным свойством поля скоростей (10). Масса гравитирующего тела входит в него не как отдельная константа, а в виде зависящего от времени выражения M t02 Mt = (16) . (t0 + t)2 Гравитирующие свойства центрального тела в настоящий момент (t = 0) определяются величиной M, однако по мере расширения мира его гравитационная масса падает обратно пропорционально квадрату абсолютного времени, так что в конце концов оказывается не в состоянии удержать тело, первоначально вращавшееся по (почти) круговой орбите. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Назад по времени Этот эффект особенно существенен при рассмотрении траекторий в обратном по времени направлении. Тяготеющая масса возрастает, а радиус орбиты уменьшается, так что в конце концов достигается предел r = 3M Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Условно эллиптические орбиты Условно эллиптические орбиты образуют более сложные узоры из вращающихся эллипсов уменьшающихся (назад по времени) размеров. Орбиты также как и условно круговые доходят до предельно малых размеров. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Назад по времени Пусть имеется звезда радиуса R и массой M с малым в настоящий момент гравитационным радиусом rg = 2 M/r . При движении назад по времени ее гравитационный радиус возрастает и в какой-то момент достигает внешнего радиуса. Гравитационный радиус (при малых r в абсолютном времени t) достигает радиуса R при условии: r rg 2 M t02 rg = = R; tg = t0 . tg2 R Здесь rg –гравитационный радиус звезды в настоящий момент. Например, для Солнца R = 695 500 км, rg = 3 км, откуда tg = 27 000 000 лет. Раньше этого времени Солнце не могло существовать. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Вращение Кроме массы звезда характеризуется моментом, определяющим вдали от звезды поле Лензе – Тирринга. Точное решение вакуумных уравнений Эйнштейна определяется метрикой Керра, содержащей параметр вращения a. Метрика Керра была переведена в глобальное время, но в отличие от метрики Пэнлеве пространственная часть не является плоской. Однако в линейном приближении по a – на радиусах r a – пространственная часть переходит в евклидово пространство: ds 2 = dt 2 − (dr − V r dt)2 − r 2 d ϑ2 − r 2 sin2 ϑ (d ϕ − Ω dt)2 . (17) В расширяющемся Мире r 2r 2κM t0 r V = + ; 3 (t0 + t) r (t0 + t) Ω= 2M a 3κL = . 3 r 2 c r3 L – момент импульса вращающейся звезды. От времени не зависит. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Выводы При рассмотрении ранних стадий развития Вселенной особенности возникают значительно позже времени Большого Взрыва. В решении Фридмана не было параметров, поэтому особенность только при tabs = 0. Большое красное смещение квазаров может быть связано не только с кинематическим изменением длины волны за счет расширения, но и с мощным гравитационным красным смещением в удаленных от нас по времени звездах, имевших во время излучения значительно бо́льшие гравитационные массы. Если на ранних стадиях расширения притяжение превалировало над вращением, то с ростом масштаба роль вращения начинают превалировать над притяжением. Этим может объясняться спиралевидность большого числа галактик, а также эффекты аномального распределения скоростей во вращающихся галактиках, обычно объясняемые некоей “темной материей”. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд ОТО и Динамика пространства Основное решение (10) было найдено еще в 2008 году С.Ю. Губановым [8] (чуть в другом виде – без t0 ) как вакуумное решение динамической теории пространства в глобальном времени с единственной константой интегрирования. С точки зрения ОТО для реализации такого решения требуется нетривиальное пылевидной материи распределение √ 3 t0 2 M 4 . ρ = 3 (t0 +t)2 1 + 2 r 3/2 В ОТО за время может быть выбрана любая функция (принцип общей ковариантности). При выборе в качестве времени глобального времени ТГВ, плотность полной энергии везде и всегда равна нулю. В ТГВ девять уравнений, в ОТО десять. Десятое уравнение ОТО и есть требование равенства нулю плотности энергии. Таким образом решения ОТО образуют подмножество решений ТГВ с равной нулю плотностью энергии. Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Литература Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация, в 3-х томах, М.: Мир, 1977. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля , М., (1967). P. Painlevé, C.R. Acad. Sci. (Paris). 173, 677 (1921). Д.Е. Бурланков. УФН т. 174, вып. 8, 899-910, 2004. Д.Е. Бурланков. Пространство, время, Космос, кванты. Нижний Новгород: ННГУ, 2007. Д.Е. Бурланков. Время, пространство, тяготение. Москва-Ижевск: РХД, 2006. Д.Е. Бурланков. Динамика пространства. Нижний Новгород: ННГУ, 2005. С.Ю. Губанов. http://elementy.ru/blogs/users/ sergeygubanov/22058, (2008). Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд Спиральные галактики M81 и М82 Д.Е.Бурланков Расширение Вселенной и гравитация звезд