Курс Числа вращения и модули эллиптических кривых

Курс «Числа вращения и модули
эллиптических кривых»
Наталия Гончарук, natalka@mccme.ru
13 сентября 2011 г.
Цепные дроби
Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной цепной дроби:
1
ρ = k0 +
.
k1 + k2 + 1 1
k3 +...
Такую дробь мы будем обозначать [k0 , k1 , k2 . . . ].
Для этого нужно, положив сначала x = ρ, выполнять такую последовательность действий:
1 Запомнить целую часть числа x.
2 Вычесть из числа x целую часть, оставив {x}.
3 Перейти к обратному числу
1
.
{x}
4 Вернуться к пункту .
1
Тогда запомненные числа и будут числами ki .
√
1. Разложите в цепную дробь число
5+1
.
2
2. Какое число имеет цепную дробь [a, b, a, b, a, b . . . ]?
Если цепную дробь оборвать на i-м месте, получим подходящую дробь
pi
:
qi
pi
1
= k0 +
qi
k1 + k2 +1
=: [k0 , . . . , ki ],
1
... 1
ki
где дробь pqii несократима.
Значения подходящих дробей стремятся к ρ (этого мы пока не доказали).
Следующие задачи можно решать или независимо, или с помощью конструкции вытягивания носов, которая описана ниже.
1
3. Докажите, что для любой цепной дроби [k0 , k1 . . . ] найдётся число ρ,
имеющее такую цепную дробь.
4. Докажите, что
p2n
q2n
< ρ, и ρ <
p2k−1
q2k−1
для любых k, n ∈ N.
5. Докажите, что pn+1 = kn+1 pn + pn−1 , qn+1 = kn+1 qn + qn−1 .
6. Докажите, что pn+1 qn − pn qn+1 = (−1)n .
7. Докажите, что limn→∞
pn
qn
= ρ. Оцените разность ρ −
pn
.
qn
Вытягивание носов
На клетчатой плоскости Oxy нарисуем прямую y = ρx. Пусть ~a0 = (1, 0), ~a1 =
(0, 1) (см. рис. 1).
Будем выполнять следующую последовательность действий.
Рис. 1: Вытягивание носов, ρ =
√
2
1 Прибавить к вектору ~ai вектор ~ai+1 наибольшее возможное количество
раз ki , чтобы векторы ~ai+1 и ~ai + ki~ai+1 остались по разные стороны
от нашей прямой. Запомнить число ki .
2 Заменить пару векторов (~ai , ~ai+1 ) на пару векторов (~ai + ki~ai+1 , ~ai+1 ).
3 Поменять векторы местами: перейти к паре (~ai+1 , ~ai+2 ), где ~ai+2 =
~ai + ki~ai+1 .
4 Вернуться к шагу .
1
2
1 –
4 в точности соответствуют шагам 1 –
8. Докажите, что эти шаги 4 в построении цепной дроби числа ρ. В частности, числа ki в обоих
случаях одинаковы.
9. Докажите, что ~ai = (qi−2 , pi−2 ) (в исходном базисе). Переформулируйте и докажите задачи 4 – 6 с помощью вытягивания носов.
10. Докажите, что (для i > 0) из дробей со знаменателем, не большим qi ,
дробь pqii лучше всех приближает число ρ.
Орбита поворота на иррациональный угол ρ
Следующая задача объясняет, почему для изучения орбит отображений
общего вида нам нужно изучить орбиты поворота.
11. Пусть ρ ∈
/ Q. Докажите, что точки орбиты поворота на угол ρ упорядочены на окружности так же, как и точки орбиты любого отображения f с числом вращения ρ.
Структура орбиты поворота тесно связана с цепной дробью, в которую
разлагается число ρ. В конструкции вытягивания носов рассмотрим точку
пересечения прямой y = ρx с вертикальной прямой x = k, k ∈ N. Это точка
(k, ρk): её абсцисса k соответствует количеству итераций поворота, целая
часть ординаты [ρk] — это количество сделанных полных оборотов, дробная
часть ординаты {ρk} — положение точки орбиты на окружности.
Поэтому в следующих задачах нужно перевести уже доказанные факты
на язык поворота окружности.
12. Опишите в терминах орбиты поворота числа ki , qi , pi .
13. а) Рассмотрим первые несколько точек орбиты поворота: 0, ρ, 2ρ, . . . , nρ.
Эти точки делят окружность на n + 1 отрезок. Сколько среди этих
отрезков может быть отрезков разной длины?
б) Какой длины могут быть эти отрезки?
3