Пропедевтический курс углубленного изучения алгебры 5

Рабочая программа курса
Пропедевтический курс углубленного изучения алгебры
5-7 классы
Пояснительная записка
В основу программы положена программа по математике для общеобразовательных учреждений и программа для
классов с углубленным изучением математики. Программа рассчитана на 1 ч в неделю (всего 34 ч) в 5– 7-ом классах. На
занятиях учащиеся углубляют знания по основному курсу, получаемые на уроках, приобретают умения решать трудные и
разнообразные задачи; создается возможность целенаправленной подготовке учащихся к углубленному изучению математики в
8-м классе и успешному ее усвоению.
Цели обучения:
 овладение математическими знаниями, необходимыми для дальнейшего углубленного изучения предмета и продолжения
образования;
 интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности;
 формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания
действительности.
Организация учебных занятий. Учитель вправе выбирать формы и методы проведения занятий с учетом возрастных
особенностей учащихся, учитывая при этом, что теоретический материал осознается и усваивается преимущественно в
процессе решения задач. При решении задач можно использовать различные игровые формы проведения занятий,
практические и лабораторные работы; применять различные способы решения задач.
Основные требования к уровню подготовки учащихся. В результате изучения учащиеся научатся :
 правильно употреблять и записывать термины, связанные с понятием множества, обозначением множества и его
элементов; понимать и верно указывать пересечение, объединение множеств, принадлежность элементов множеству;
 находить значение выражений, содержащих степень; знать и уметь применять признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
11, 13;
 находить значение выражения с переменными;
 решать простейшие линейные уравнения, содержащие знак модуля, простейшие системы линейных неравенств;
 применять формулы разности и суммы кубов для разложения многочленов на множители; сокращать простейшие
алгебраические дроби, используя свойства степени: уметь раскладывать многочлены на множители с помощью формул
сокращенного умножения.
Содержание программы
1. Числа и вычисления
Рациональные числа. Свойства множества рациональных чисел. Выполнимость арифметических операций во множестве
рациональных чисел, свойства этих операций. Числовые неравенства и их свойства.
2. Выражения и их преобразования
Выражения с переменными. Тождественно равные выражения. Степень с натуральным показателем и ее свойства.
Многочлен. Сложение, вычитание и умножение многочленов. Разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного
умножения: a2 - b2; (a ± b)2; a3 ± b3; (a ± b)3. Применение формул сокращенного умножения для разложения многочленов на
множители. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители. Алгебраические дроби. Основное
свойство дроби. Сокращение алгебраических дробей.
3. Уравнения и неравенства
Уравнение с одним неизвестным, корень уравнения. Линейное уравнение с одним неизвестным. Линейное уравнение с
параметром. Неравенство с одной переменной. Числовые промежутки. Решение неравенств с одной переменной и их систем.
Линейные неравенства с двумя переменными. Геометрическая интерпретация решения линейных неравенств с двумя
переменными и их систем.
4. Функции
Функция. Область определения функции. Способы задания функции. График функции. Элементарные функции:
линейная, прямая пропорциональность. Построение графиков кусочных функций; графиков, связанных с модулем.
Тематическое планирование
5 класс
(1 ч в неделю, всего 34 ч)
1. Натуральные числа (4 ч)
Цифры и числа. Понятие множества. Элементы множества. Принадлежность элемента множеству. Множество
натуральных чисел. Бесконечность и упорядоченность множества натуральных чисел. Свойства множества натуральных чисел.
2. Умножение и деление натуральных чисел (15 ч)
Степень с натуральным показателем. Приемы устного счета. Свойства делимости: делимость суммы и разности.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13.
3. Десятичные дроби (6 ч)
Десятичная запись дробных чисел. Частные случаи умножения и деления десятичных дробей на число.
4. Решение задач (9 ч)
Задачи на движение: встречное, в противоположных направлениях, в одном направлении.
Тематическое планирование учебного материала
№ урока
1-2
3-4
5
6-7
8-9
10
11-12
13-14
15-17
18
19
20
21
22-23
24
25-27
28-30
31-33
34
Содержание учебного материала
Множество. Элементы множества. Принадлежность элемента множеству
Натуральное число. Множество натуральных чисел. Свойства множества натуральных чисел.
Приемы устного счета
Степень с натуральным показателем
Свойства делимости суммы и произведения
Признаки делимости на 2, 5, 10
Признаки делимости на 3 и 9
Признаки делимости на 4, 6 и 8
Признаки делимости на 7, 11, 13
Повторение
Десятичная запись дробных чисел
Умножение десятичных дробей на 10, 100, ..., 0,1, 0,01, ...
Деление десятичных дробей на 10, 100, ..., 0,1, 0,01, ...
Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, ..., 0,1, 0,01, ...
Повторение
Решение задач на встречное движение
Решение задач на движение в противоположных направлениях
Решение задач на движение в одном направлении
Повторение
Тематическое планирование
6 класс
(1 ч в неделю, всего 34 ч)
1. Множества (12 ч)
Множество, равные множества. Число элементов множества. Пустое множество. Способы задания множеств.
Подмножества. Пересечение и объединение множеств. Разбиение множества на подмножества. Дополнение множества.
Решение логических задач.
2. Алгебраические выражения (12 ч)
Числовые выражения и выражения с переменными. Сравнение значений выражений. Преобразование выражений:
раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых.
3. Уравнение (10 ч)
Уравнение. Корень уравнения. Решение уравнений.
Тематическое планирование учебного материала
№ урока
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13-14
15-16
17-18
19-24
Содержание учебного материала
Множество, элементы множества, конечные и бесконечные множества
Равные множества
Пустое множество
Способы задания множеств, характеристическое свойство множеств
Подмножество, включение одного множества в другое, собственное подмножество множества
Пересечение и объединение множеств
Разбиение множества на подмножества
Дополнение множества
Решение логических задач. Логические таблицы
Решение логических задач. Задачи на взвешивание
Решение логических задач. Решение задач на расположение элементов по окружности
Решение логических задач. Решение задач на таблицы, а также на строки чисел
Числовые выражения
Выражения с переменной
Сравнение значений числовых выражений и выражений с переменной
Преобразование выражений: раскрытие скобок, приведение подобных
25-27
28-29
30-34
Уравнение. Корень уравнения
Простейшие уравнения с модулем
Решение задач с помощью уравнений
Тематическое планирование
7 класс
(2 ч в неделю, всего 68 ч)
1. Множества и операции над ними (5 ч)
Множество. Элемент множества. Пустое множество. Перечисление и объединение множеств. Подмножество. Конечное и
бесконечное множества. Число элементов объединение и пересечения двух конечных множеств.
Основная цель: систематизировать и обобщить сведения о множествах, полученных в курсе математики 5-х и 6-х классов;
познакомить учащихся с операциями над множествами.
2. Неравенства (18 ч)
Числовые неравенства. Решение неравенств с одной переменной. Доказательство неравенств. Решение неравенств и их
систем.
Основная цель: ввести понятие «неравенства с одной переменной», «неравенства с двумя переменными», сформировать у
учащихся умения решать линейные неравенства с одной переменной, неравенства, содержащие знак модуля, давать
геометрическую интерпретацию решения линейного неравенства с двумя переменными, систем неравенств.
3. Многочлен. Формулы сокращенного умножения (16 ч)
Многочлен. Сложение, вычитание и умножение многочленов. Разложение многочленов на множители с помощью
группировки и формул сокращенного умножения.
Основная цель: выработать умения выполнять действия с многочленами; применять формулы сокращенного умножения
2
a - b2; (a ± b)2; a3 ± b3; (a ± b)3; раскладывать квадратный трехчлен на множители; ввести понятие алгебраической дроби,
выработать умение выполнять сокращение алгебраических дробей.
4. Уравнения (14 ч)
Понятие «равносильности уравнения», свойства равносильности. Исследование вопроса о числе корней. Линейные
уравнения, линейные уравнения со знаком модуля. Решение текстовых задач.
Основная цель: ввести понятие равносильности уравнений, отработать умение решать линейные уравнения; уравнения,
содержащие знак модуля; отработать умение решать текстовые задачи с помощью уравнений, решать системы линейных
уравнений.
5. Функция (10 ч)
Функция, область определения. Числовые функции. Способы задания функций. График функции. Функция y = kx,
y = kx + b, y = k|x|, y = k|x| + b, y = |kx + b|. Графики кусочных функций.
Основная цель: познакомить учащихся с основными функциональными понятиями; выработать умения чтения,
построения и преобразования графиков, навыков графического решения систем линейных уравнений и неравенств.
6. Повторение (5 ч)
Тематическое планирование учебного материала
№ урока
1
2
3
4
5
6
7-8
9-11
12-13
14-17
18-21
22
23
24
25
26-27
28-29
30-31
32
33
34-35
36-38
39
40
41
42-44
45-47
48-50
51-52
Содержание учебного материала
Множество. Элемент множества. Пустое множество
Перечисление и объединение множеств. Подмножество
Конечные и бесконечные множества
Число элементов объединения и пересечения двух конечных множеств
Повторение
Числовые неравенства и их свойства
Решение линейных неравенств с одной переменной
Решение линейных неравенств со знаком модуля
Доказательство неравенств
Решение систем линейных неравенств
Геометрическая интерпретация решения линейных неравенств с двумя переменными
Обобщающее занятие
Повторение
Многочлен. Стандартный вид многочлена
Сложение, вычитание и умножение многочленов
Формулы сокращенного умножения a3 ± b3
Разложение многочленов на множители с помощью группировки и по формулам сокращенного умножения
Разложение квадратного многочлена на множители
Понятие алгебраической дроби. Сокращение дробей
Сокращение алгебраических дробей
Действия с алгебраическими дробями
Преобразование выражений
Повторение
Понятие равносильных уравнений
Исследование вопроса о числе корней уравнения
Линейные уравнения со знаком модуля
Линейные уравнения с параметром
Системы линейных уравнений
Решение текстовых задач
Повторение
Функция, область определения, способы задания, числовые функции
Функция, область определения, способы задания
Содержание учебного материала
График функции
Функции y = kx, y = kx + b, графики функций y = kx, y = kx + b
Графики функций y = k|x|, y = |kx|
Графики функций y = k|x| + b, y = |kx + b|
Графики кусочных функций
Повторение
Повторение. Множества
Повторение. Неравенства
Повторение. Формулы сокращенного умножения
Повторение. Уравнения
Повторение. Функции
53
54
55
№ урока
56
57
58
59-60
61-62
63
64
65
66
67
68
Примерные задачи
1. Назовите известные вам множества военнослужащих.
2. Назовите три элемента, принадлежащих множеству:
а) чисел кратных 3 и не делящихся на 5;
б) полных десятков;
в) квадратов натуральных чисел;
г) простых чисел принадлежащих промежутку [81; 99].
3. Даны множества A = {2, 3}, B = {2, 7, 5}, C = {9}, D = {3, 5, 8}, E = ∅, F = {2, 3, 9, 7, 5}. Какие из них являются
подмножествами множества K = {2, 3, 5, 7, 9}?
4. Даны множества: A = {x | x = 100n, n ∈ N}, B = {x | x = 10n, n ∈ N}, C = {x | x = 5n, n ∈ N}, D = {x | x = 2n, n ∈ N}.
Запишите, используя символ , какие из этих множеств являются подмножествами другого множества.
5. Найдите пересечение множества натуральных делителей числа 56 и множества натуральных делителей числа 70.
6. Даны множества: A = {15, 17, 18, 21, 29}, B = {12, 17, 21, 37, 43}, C = {18, 21, 29, 43}. Найдите:
а) A∩B; б) A B; в) B∩C; г) B C; д) A∩C; е) A C; ж) A∩(C B); з) A (B∩C).
7. Найдите объединение множеств: K = {x | x = 5n, n ∈ N, x ≤ 40} и L = {x | x = 4n, n ∈ N, x ≤ 40}.
8. Угадайте, по какому закону составлено бесконечное множество:
3 4 5
6
2 4 6
8
1 1 1
1
1
1
а) { ; ; ; ; … }; б) { ; ; ; ; … }; в) { ; ; ; ; ; ; … }; г) {2, 12, 36, 80, 150, ...}.
4
9
16
25
5
8
11
14
2
6
12
20
30
42
𝐵 𝐴
𝐵
𝐴
9. Пусть A = [1,4], B = [2; 6]. Найдите множества , . Чему равно множество ( ) ( )?
𝐴 𝐵
𝐴
𝐵
10. Встретились три друга – Белов, Серов и Чернов. Чернов сказал другу, одетому в серый костюм: «Интересно, что на
одном из нас белый костюм, на другом – серый и на третьем – черный, но на каждом костюм, цвет которого не соответствует
фамилии». Какой цвет костюма у каждого из друзей?
11. Среди 18 монет одна фальшивая. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивая монета отличается по весу от
настоящих. За какое наименьшее число взвешиваний на правильных чашечных весах без гирь можно определить, легче или
тяжелее фальшивая монета, чем настоящая? (Находить фальшивую монету не нужно).
12. За круглым столом сидели четыре студента. Филолог сидел против Козина, рядом с историком. Математик сидел
рядом с Волковым. Соседи Шатрова – Егоркин и физик. Какая профессия у Козина?
13. Однажды я решил проехаться по кресельной канатной дороге. В некоторый момент я обратил внимание, что идущее
мне на встречу кресло имеет номер 95, а следующее – 0, дальше 1, 2 и т.д. я взглянул на номер своего кресла, он оказался
равным 66. Проехал ли я половину пути? При встрече с каким креслом я поеду половину пути?
14. Заполните все 25 клеток квадрата 5 × 5 буквами А, Р, Б, У, З хотя бы одним способом так, чтобы в каждой строке, в
каждом столбце и на каждой из двух диагоналей все буквы были различны.
15. Квадратная площадь размером 100 × 100 м выложена квадратными плитками со стороной 1 м четырех цветов: белого,
красного, черного и серого. Никакие две плиты одного цвета не имеют общей стороны или общей вершины. Сколько может
быть плит каждого цвета?
16. 12 учениц родились в разные месяцы одного года. Перемножив номер месяца на число дня рождения, они получили:
3 – Соня; 14 – Надя; 42 – Валя; 49 – Оля; 52 – Маша; 81 – Тамара; 128 – Таня; 13 – Лиза; 135 – Лена; 143 – Галя; 153 – Катя;
300 – Нина. Определите число и день рождения каждой из них.
17. Имеется полстакана молока и полстакана черного кофе. Ложку молока перелили из первого стакана во второй, а затем
ложку образовавшейся смеси – из второго стакана в первый. Чего оказалось больше: кофе в первом стакане или молока во
втором?
18. Вычислите:
1
4
(8 −3,51) ∶ 2,37
а) 1
1
∙3,17−2,205 ∶ 3
5
2
;
3
3
5
5
б) −3 ∶ 2,7 + 2,7 ∶ 3 ;
1
2
1
1
в) 4,51 ∙ 3 − 7 − (−5,49 ∙ 3 + 10 ).
2
3
2
3
19. Упростите выражения:
а) 2(x – 1) – 3(x – 2) + x;
б) 8x – (3x + 5) – (2x – 9);
в) 3(x – 5) + 5(x + 1) + 10.
20. Найдите значения выражений:
3
а) 3,2(x – 3,2) + 5,5(x – 2) при x = 3,2; –3; б) (7x + 8y) – (5x – 2y) при x = − , y = 0,025.
4
21. Решите уравнения:
а) 15 – 3x = 0;
в) 5|x| = 1,15;
д)
1−𝑏𝑥
𝑎
= 1;
б) 3(x – 7) – 6 = –x;
г) ax – 3 = b;
е) |3x| = 0,03.
22. Сумму 74 р. заплатили девятнадцатью монетами по 2 р. и 5 р. Сколько было монет по 2 р.?
23. На солнышке грелось несколько кошек. У них вместе лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на
солнышке?
24. У пятнадцати треугольников и четырехугольников 53 угла. Сколько треугольников и четырехугольников в
отдельности?