Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких переменных А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Многочлены над кольцом матриц В теме 1-9 было определено понятие кольца многочленов над полем. Точно так же можно определить кольцо многочленов K [x] над кольцом K , называемым кольцом коэффициентов. Свойства кольца многочленов K [x] зависят от свойств кольца коэффициентов K . Рекомендуется проверить, что если если K является или коммутативным, или ассоциативным кольцом, или кольцом с единицей, или кольцом без делителей нуля, то соответствующим свойством обладает и кольцо K [x]. Пусть F – поле, n – натуральное число. Рассмотрим кольцо многочленов F n×n [x] над кольцом квадратных матриц F n×n . Элементы этого кольца можно рассматривать и как матрицы, состоящие из многочленов, т.е. элементы матриц F [x]n×n . Пусть A0 + A1 x + . . . + Am x m ∈ F n×n [x] кольца (s) и As = αij для s = 1, . . . , m. Тогда по правилам действий над матрицами получаем A0 + A1 x + . . . + Am x m = G , где G = (gij ) ∈ F [x]n×n , (0) (1) (1) и многочлены gij = αij + αij x + . . . + αij x m для всех i, j = 1, . . . , n. При этом действия над одними и теми же многочленами по правилам умножения многочленов и умножения матриц приводят к одинаковым результатам. А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Пример Рассмотрим пример записи многочлена из F 3×3 [x] в виде матрицы из F [x]3×3 . 1 0 1 1 2 3 3 0 1 0 5 −1 + 2 1 0 x + 0 1 0 x2 = 1 0 1 6 0 1 −1 1 5 1 + 3x + x 2 2 3 + x + x2 . 2x 5 + x + x2 −1 = 2 2 6−x +x x 1 + 5x + x А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Характеристический многочлен Пусть F – поле, A ∈ F n×n . Определения Характеристической матрицей матрицы A называется матрица A − xEn . Характеристическим многочленом матрицы A называется многочлен |A − xEn| – определитель характеристической матрицы A − xEn . Обозначение: χA (x). В развернутом виде характеристический многочлен матрицы A = (αij )n×n имеет вид α11 − x α12 ... α1n α21 α − x . . . α 22 2n . χA (x) = ... ... ... ... αn1 αn2 . . . αnn − x Вспоминая определение определителя порядка n (сл.6 т.1-7), получаем, что χA (x) = |A| + . . . + (−1)n−1 (α11 + α22 + . . . + αnn )x n−1 + (−1)n x n , поскольку χA (0) = |A| и члены, содержащие x n , x n−1 , могут получиться только из произведения (α11 − x)(α22 − x) . . . (αnn − x). В частности, α11 − x α12 = α11 α22 − (α11 + α22 )x + x 2 . α21 α22 − x А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Теорема Гамильтона-Кэли Пусть F – поле, A ∈ F n×n , f ∈ F [x]. Определение Будем говорить, что многочлен f аннулирует матрицу A, если f (A) = O. Теорема Для любой матрицы A ∈ F n×n ее характеристический многочлен χA (x) аннулирует A. Доказательство. Запишем присоединенную матрицу (A − xEn )∼ (см. сл.37 т.1-7) к характеристической матрице A − xEn в виде матричного многочлена (так как при этом каждое алгебраическое дополнение получается из определителя порядка n − 1 и имеет степень по x не выше n − 1, указанный многочлен также имеет степень не выше n − 1): (A − xEn )∼ = B0 + B1 x + . . . + Bn−1 x n−1 , где B0 , B1 , . . . , Bn−1 ∈ F n×n . Пусть χA (x) = γ0 + γ1 x + . . . + γn x n . Так как (A − xEn )∼ · (A − xEn ) = |A − xEn |En , имеем γ0 En + γ1 xEn + . . . + γn x n En = (B0 + B1 x + . . . + Bn−1 x n−1 )(A − xEn ). Раскрывая скобки и приравнивая матрицы-коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем цепочку равенств, приведенную на следующем слайде (слева от каждого равенства записана соответствующая степень x). А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Окончание доказательства теоремы Гамильтона-Кэли x0 B0 A = γ0 En x1 B1 A − B0 = γ1 En A x2 B2 A − B1 = γ2 En A2 ... ... ... xk Bk A − Bk−1 = γk En Ak ... ... ... x n−1 Bn−1 A − Bn−2 = γn−1 En An−1 xn −Bn−1 = γn En An Умножим каждое равенство, начиная со второго, справа на соответствующую степень матрицы A (эти степени записаны справа от каждого равенства) и сложим все равенства. Все слагаемые слева взаимно уничтожатся, а справа получится значение χA (A). Теорема доказана. В силу теоремы Гамильтона-Кэли для любой матрицы A ∈ F n×n существует многочлен степени n, аннулирующий ее. Ясно, что существует ненулевой многочлен наименьшей степени, аннулирующий A. Назовем такие многочлены минимальными аннулирующими для матрицы A. А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Минимальный многочлен матрицы Предложение Пусть A ∈ F n×n , m(x) – минимальный аннулирующий многочлен для A, f (x) – произвольный многочлен, аннулирующий A. Тогда m(x) делит f (x). Доказательство. По определению минимального аннулирующего многочлена имеем deg(m) ≤ deg(f ). Разделим f на m с остатком: f (x) = q(x)m(x) + r (x) (см. сл.6 т.1-9). От противного, предположим, что r (x) 6= 0. Тогда deg(r ) < deg(m). Из равенства f (x) = q(x)m(x) + r (x) получаем f (A) = q(A)m(A) + r (A). Так как f (A) = O и m(A) = O, заключаем, что и r (A) = O. Это противоречит выбору многочлена m(x). Предложение доказано. Из предложения следует, что любые два минимальные аннулирующие многочлены одной и той же матрицы ассоциированы. Определение Минимальным многочленом квадратной матрицы A называется ее минимальный аннулирующий многочлен со старшим коэффициентом 1. Обозначение: µA (x). А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Примеры минимальных многочленов Предлагается проверить следующие утверждения. 1 Минимальный многочлен скалярной матрицы λEn есть µλEn = x − λ. 2 Минимальный многочлен квадратной матрицы порядка 2, не являющейся скалярной, равен ее характеристическому многочлену. λ 0 0 ... 0 0 1 λ 0 ... 0 0 0 1 λ . . . 0 0 Минимальный многочлен матрицы ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... λ 0 0 0 0 ... 1 λ порядка n есть (x − λ)n – многочлен, ассоциированный с ее характеристическим многочленом. 3 А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Построение кольца многочленов от нескольких переменных Пусть F – поле. Положим K1 = F [x1 ] – кольцо многочленов от переменной x1 и K2 = K1 [x2 ], где x2 – независимая переменная, отличная от x1 . Любой P j многочлен из K2 можно записать в виде m j=0 fj (x1 )x2 = Pk Pm P = i =0 j=0 αij x1i x2j , где fj (x1 ) = ki=0 αij x1i . Положим F [x1 , x2 ] = K2 . Продолжая по индукции, получим F [x1 , x2 , . . . , xn ] = F [x1 , x2 , . . . , xn−1 ][xn ]. Определение Кольцо F [x1 , x2 , . . . , xn ] называется кольцом многочленов над полем F от (коммутирующих) переменных x1 , x2 , . . . , xn . Любой элемент кольца F [x1 , x2 , . . . , xn ] является суммой конечного числа одночленов вида αx1s1 x2s2 . . . xnsn , где α ∈ F , s1 , s2 , . . . , sn – неотрицательные s1 s2 0 sn целые числа, Pиn xj = 1. При α 6= 0 степенью одночлена αx1 x2 . . . xn называется j=1 sj . Так как кольцо многочленов от одной переменной над кольцом без делителей нуля само является кольцом без делителей нуля, справедливо следующее Наблюдение Кольцо F [x1 , x2 , . . . , xn ] не содержит делителей нуля. А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Лексикографический порядок Определение Говорят, что одночлен αx1s1 x2s2 . . . xnsn ниже одночлена βx1t1 x2s2 . . . xntn , если α, β 6= 0 и либо s1 < t1 , либо существует индекс m, 1 ≤ m ≤ n − 1 такой что sj = tj при j = 1, . . . , m и sj+1 < tj+1 . Обозначение: αx1s1 x2s2 . . . xnsn ≺ βx1t1 x2s2 . . . xntn . Бинарное отношение ≺ называется лексикографическим порядком на множестве ненулевых одночленов кольца F [x1 , x2 , . . . , xn ]. Любой ненулевой многочлен этого кольца имеет высший член – такой одночлен, что все остальные ненулевые одночлены, входящие в данный многочлен, ниже его. Например, многочлен x12 x3 + x1 x210 + x220 x3100 имеет высший член x12 x3 . А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Лемма о высшем члене произведения Лемма Высший член произведения двух ненулевых многочленов кольца F [x1 , x2 , . . . , xn ] равен произведению их высших членов. Доказательство. Пусть αx1s1 x2s2 . . . xnsn – высший член многочлена f , γx1p1 x2s2 . . . xnpn – другой его ненулевой одночлен (если такой существует), βx1t1 x2s2 . . . xntn – высший член многочлена g , δx1q1 x2s2 . . . xnqn – другой его ненулевой одночлен (если такой существует). Докажем, что αδx1s1 +q1 x2s2 +q2 . . . xnsn +qn ≺ αβx1s1 +t1 x2s2 +t2 . . . xnsn +tn . Это очевидно, если q1 < t1 . Пусть qj = tj при j = 1, . . . , m и qm+1 < tm+1 . Тогда sj + qj = sj + tj при j = 1, . . . , m и sm+1 + qm+1 < sm+1 + tm+1 , что и требуется доказать. Аналогично доказывается, что βγx1p1 +t1 x2p2 +t2 . . . xnpn +tn ≺ αβx1s1 +t1 x2s2 +t2 . . . xnsn +tn . Докажем, что γδx1p1 +q1 x2p2 +q2 . . . xnpn +qn ≺ αβx1s1 +t1 x2s2 . . . xnsn +tn . Это очевидно, если p1 < s1 или q1 < t1 . Пусть pj = sj при j = 1, . . . , m, pm+1 < sm+1 и qj = tj при j = 1, . . . , `, q`+1 < t`+1 . Пусть k – наименьшее из чисел m, `. Тогда ясно, что pj + qj = sj + tj при j = 1, . . . , k и pk+1 + qk+1 < sk+1 + tk+1 . Лемма доказана. А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Симметрические многочлены Пусть f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ F [x1 , x2 , . . . , xn ], σ – подстановка на множестве {1, 2, . . . , n}. Обозначим через fσ многочлен f (xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) ), полученный из многочлена f (x1 , x2 , . . . , xn ) заменой переменных x1 , x2 , . . . , xn переменными xσ(1) , xσ(2) если , . . . , xσ(n) . Например, 1 2 3 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + 2x1 x2 x3 и σ = , то fσ = x1 x32 + 2x12 x2 x3 . 3 1 2 Определение Многочлен f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ F [x1 , x2 , . . . , xn ] называется симметрическим, если для любой подстановки σ на множестве {1, 2, . . . , n} имеет место равенство fσ = f . Из определения сразу следует Наблюдение Высший член любого симметрического многочлена f (x1 , x2 , . . . , xn ) имеет вид αx1k1 x2k2 . . . xnkn , где k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn . Каждый одночлен αx1k1 x2k2 . . . xnkn , где k1 P ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn , порождает однородный симметрический многочлен σ∈Sn (αx1k1 x2k2 . . . xnkn )σ . А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Элементарные симметрические многочлены Определение Следующие симметрические многочленыPот n переменных называются элементарными: s1 = x1 + . . . + xn , s2 = 1≤j<k≤n xj xk , . . . , P sm = 1≤j1 <...<jm ≤n xj1 . . . xjm , . . . , sn = x1 . . . xn . Например, s1 (x, x2 , x3 , x4 ) = x1 + x2 + x3 + x4 , s2 (x, x2 , x3 , x4 ) = x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 , s3 (x, x2 , x3 , x4 ) = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 , s4 (x, x2 , x3 , x4 ) = x1 x2 x3 x4 . Теорема Для любого ненулевого симметрического многочлена f (x1 , . . . , xn ) существует единственный многочлен g (y1 , . . . , yn ) такой что f (x1 , . . . , xn ) = g (s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn )). Доказательство. Пусть αx1k1 x2k2 . . . xnkn – высший член симметрического многочлена f (x1 , . . . , xn ). Учитывая, что k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn , определим kn−1 −kn kn многочлен g1 (y1 , . . . , yn ) = αy1k1 −k2 . . . yn−1 yn , где нулевая степень r переменной равна 1. Легко понять, что высший член многочлена sm равен r r x1 . . . xm , поэтому согласно лемме сл.11 высший член g1 (s1 , . . . , sn ) равен αx1k1 −k2 (x1 x2 )k2 −k3 . . . (x1 . . . xn−1 )kn−1 −kn (x1 . . . xn )kn = αx1k1 x2k2 . . . xnkn . А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Окончание доказательства теоремы Следовательно, многочлен f1 (x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn )− −g1 (s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn )) имеет высший член ниже αx1k1 x2k2 . . . xnkn . Применяя к его высшему члену те же рассуждения, получаем одночлен g2 (y1 , . . . , yn ) такой, что f1 (x1 , . . . , xn ) − g2 (s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn )) имеет высший член ниже высшего члена f1 (x1 , . . . , xn ). Так как существует лишь конечное число одночленов вида βx1`1 x2`2 . . . xn`n со свойством `1 ≥ `2 ≥ . . . ≥ `n , которые ниже αx1k1 x2k2 . . . xnkn , через конечное число шагов многочлен g (y1 , . . . , yn ) будет построен. Установим единственность. Предположим, что существуют различные многочлены g (y1 , . . . , yn ) и h(y1 , . . . , yn ) такие, что g (s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn )) = h(s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn )). Тогда (g − h)(s1 (x1 , . . . , xn ), . . . , sn (x1 , . . . , xn )) = 0 и g − h 6= 0. Для одночлена γy1r1 . . . ynrn высший член симметрического многочлена γs1r1 . . . snrn имеет вид x1r1 (x1 x2 )r2 . . . (x1 . . . xn−1 )rn−1 (x1 . . . xn )rn = = x1r1 +...+rn x2r2 +...+rn . . . xnrn . По этому одночлену степени переменных одночлена γy1r1 . . . ynrn определяются однозначно. Выберем среди одночленов многочлена g − h такой одночлен p, у которого высший член q соответствующего симметрического многочлена выше высших членов симметрических многочленов для остальных одночленов. Тогда q не может взаимно уничтожиться при замене ym на sm в g − h. Получаем противоречие. Теорема полностью доказана. А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Метод неопределенных коэффициентов P Выразить симметрический многочлен f (x1 , x2 , x3 ) = σ∈S3 (x14 x22 x3 )σ + P + σ∈S3 (x13 x22 )σ через элементарные симметрические многочлены. Применим метод неопределенных коэффициентов. Запишем возможные распределения показателей при x1 , x2 , x3 высших членов симметрических многочленов, которые ниже x14 x22 x3 (соотв. ниже x13 x22 ): x1 x2 x3 x1 x2 x3 4 2 1 s12 s2 s3 3 2 0 s1 s22 3 3 1 s22 s3 3 1 1 s12 s3 2 3 2 2 s s 2 2 1 s2 s3 P1 3 P Положим f1 = σ∈S3 (x14 x22 x3 )σ и f2 = σ∈S3 (x13 x22 )σ . Тогда f1 = s12 s2 s3 + +αs22 s3 + βs1 s32 и f2 = s1 s22 + γs12 s3 + δs2 s3 . Для определения α, β, γ, δ придадим x1 , x2 , x3 конкретные значения и вычислим соответствующие значения f1 , f2 , s1 , s2 , s3 . Получим уравнения относительно α, β, γ, δ. x1 x2 x3 f1 f2 s1 s2 s3 1 1 1 6 6 3 3 1 6 = 27 + 9α + 3β 6 = 27 + 9γ + 3δ 1 −1 1 2 2 1 −1 −1 2=1−α+β 2 = −γ + δ Решая системы уравнений, получаем α = −2, β = −1, γ = − 47 , δ = − 14 . Таким образом, f (x1 , x2 , x3 ) = g (s1 , s2 , s3 ), где g (y1 , y2 , y3 ) = y12 y2 − 2y2 y3 − −y1 y32 + y1 y22 − 47 y12 y3 − 14 y2 y3 = y12 y2 − 47 y12 y3 + y1 y22 − y1 y32 − 49 y2 y3 . А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Обобщенная теорема Виета Рассмотрим многочлен (y − x1 )(y − x2 ) . . . (y − xn ) от переменных y , x1 , . . . , xn . Раскрывая скобки и записывая полученный многочлен как элемент из K [x1 , . . . , xn ][y ] и принимая во внимание, что y n−k получается, когда из некоторых n − k скобок берется y , а из оставшихся k скобок – −xj , приходим к формуле (y − x1 )(y − x2 ) . . . (y − xn ) = y n − s1 (x1 , . . . , xn )y n−1 + s2 (x1 , . . . , xn )y n−2 + + . . . + (−1)k sk (x1 , . . . , xn )y n−k . . . + (−1)n sn (x1 , . . . , xn ), (1) где sk (x1 , . . . , xn ) – элементарный симметрический многочлен (см. сл.13). Теорема Пусть f (x) ∈ C[x], f (x) = a0 + a1 x + . . . + an x n , an 6= 0, и λ1 , . . . , λn – все корни многочлена f (x) с учетом кратности. Тогда для k = 1, . . . , n a . справедливо равенство sk (λ1 , . . . , λn ) = (−1)k n−k an Для доказательства достаточно записать неприводимое разложение f (x) = an (x − λ1 )(x − λ2 ) . . . (x − λn ) и сравнить с формулой (1). При n = 2 получается известная из школьного курса математики теорема Виета для корней квадратного уравнения. А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п Вычисление значений симметрического многочлена от корней многочлена Обобщенная теорема Виета вместе с теоремой сл.13 позволяет вычислять значения симметрического многочлена от n переменных от всех комплексных корней многочлена n-й степени из C[x], не вычисляя эти корни. Рассмотрим пример. Найти значение симметрического многочлена f (x1 , x2 , x3 ), указанного на сл.15, от комплексных корней λ1 , λ2 , λ3 многочлена h(x) = 4x 3 + 8x 2 + 5x + 7. Вычислим с помощью теоремы сл.16 значения элементарных симметрических многочленов s1 (λ1 , λ2 , λ3 ) = −2, s2 (λ1 , λ2 , λ3 ) = 45 , s3 (λ1 , λ2 , λ3 ) = − 74 . Представим f (x1 , x2 , x3 ) в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов, используя результаты сл.15: f (x1 , x2 , x3 ) = g (s1 , s2 , s3 ), где g (y1 , y2 , y3 ) = y12 y2 − 47 y12 y3 + y1 y22 − y1 y32 − . − 94 y2 y3 . Следовательно, f (x1 , x2 , x3 ) = g (−2, 54 , − 47 ) = 25 11 64 Заметим, что если коэффициенты многочлена h(x) и симметрического многочлена f (x1 , . . . , xn ) принадлежат числовому полю F , то и значения элементарных симметрических многочленов sk (x1 , . . . , xn ) от всех корней h, и коэффициенты многочлена, посредством которого f выражается через sk , также принадлежат полю F , и потому значение f (x1 , . . . , xn ) от всех корней h принадлежит полю F . А. Я. Овсянников Тема 1-11: Многочлены и матрицы. Многочлены от нескольких п