Арифметика и алгебра - Приемная комиссия ВлГУ

Утверждаю
Ректор университета Председатель
Приемной комиссии ВлГУ
Морозов В. В.
2010 г.
ПРОГРАММА
по математике для проведения
вступительных экзаменов в ВлГУ в 2010 г.
(на базе основного общего образования — 9 кл.)
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ
Арифметика и алгебра
Натуральные числа N. Чтение и запись натуральных чисел. Сравнение
натуральных чисел. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных
чисел.
Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального числа.
Четные и нечетные числа. Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9. Деление
с остатком. Простые и составные числа. Разложение натурального числа
на простые множители. Наибольший общий делитель, наименьшее общее
кратное.
Обыкновенная дробь. Чтение и запись дробных чисел. Сравнение обыкновенных дробей. Правильные и неправильные дроби. Целая и дробная часть
числа. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей. Среднее арифметическое
нескольких чисел. Основные задачи на дроби.
Десятичная дробь. Чтение и запись десятичных дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей. Приближенное значение
числа . Округление чисел. Проценты. Основные задачи на проценты.
Положительные и отрицательные и числа. Модуль числа, его геометрический смысл. Сравнение положительных и отрицательных чисел. Сложение,
вычитание, умножение и деление положительных и отрицательных чисел.
Понятие о числе как о результате измерения. Рациональные числа. Представление рациональных чисел в виде периодических бесконечных десятичных дробей.. Свойства арифметических действий.
Числовые выражения. Применение букв для записи выражений. Числовое значение буквенного выражения. Вычисления по формулам, буквенная
запись свойств арифметических действий. Простейшие преобразования выражений: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых.
Пропорция. Основное свойство пропорции. Понятие о прямой и обратной
пропорциональности величин. Решение задач с помощью пропорций.
Составление и решение линейных уравнений. Изображение чисел на прямой. Координата точки. Прямоугольная система координат на плоскости,
абсцисса и ордината точки.
Действительные числа. Понятие об иррациональных числах. Действительные числа. Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и
умножение числовых неравенств.
Измерение величин. Абсолютная и относительная погрешности приближенного значения. Запись чисел в стандартном виде. Выполнение арифметических действий над приближенными значениями.
Квадратный корень.
Радианное измерение углов. Синус, косинус, произвольного угла.
Тождественные преобразования выражений. Многочлен. Степень многочлена. Сложение, вычитание и умножение многочленов. Разложение многочлена на множители. Формулы сокращенного умножения. Применение формул сокращенного умножения к разложению многочленов на множители.
Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители.
Алгебраическая дробь. Сокращение алгебраических дробей. Сложение,
вычитание, умножение и деление алгебраических дробей. Тождественные
преобразования рациональных алгебраических выражений.
Степень с натуральным показателем и ее свойства. Степень с целым показателем. Свойства квадратных корней. Преобразования выражений, содержащих квадратные корни.
Корень n-ой степени и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства.
Основные
тригонометрические
тождества:
2
2
sin x + cos x = 1; tgx = sinx/ cosx. Формулы приведения (без доказательства). Синус и косинус суммы и разности двух углов, синус и
косинус двойного угла. Тождественные преобразования тригонометрических
выражений.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена и
суммы n первых членов прогрессии.
Уравнения и неравенства. Уравнение. Корни уравнения. Линейные уравнения с одним неизвестным. Квадратное уравнение: формулы корней. Решение рациональных уравнений.
Системы уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными и его геометрическая интерпретация. Решение простейших
систем, содержащих уравнение второй степени. Решение текстовых задач
методом составления уравнений и систем.
Линейное неравенство с одним неизвестным, система линейных неравенств с одним неизвестным. Решение неравенств второй степени с одним
неизвестным. Решение рациональных неравенств; метод интервалов.
Элементарные функции. Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной у = ах2 + Ьх + с, степенной у = ахп (п еЩ, у = f,
арифметического корня у = фс, модуля у = \ х \ . И х графики.
Геометрия
Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные и перпендикулярные прямые.
Треугольник. Свойства равнобедренного треугольника. Сумма углов треугольника. Теорема Пифагора.
Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма. Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства. Трапеция. Правильные многоугольники.
Окружность и круг. Касательная к окружности и ее свойства.
Свойство серединного перпендикуляра к отрезку; окружность, описанная
около треугольника. Свойство биссектрисы угла; окружность, вписанная в
треугольник.
Понятие о равенстве фигур. Признаки равенства треугольников (без доказательства).
Понятие о подобии фигур. Признаки подобия треугольников.
Примеры преобразования фигур, виды симметрии.
Основные задачи на построение с помощью циркуля и линейки.
Геометрические величины. Длина отрезка и ее свойства. Расстояние между точками. Расстояние от точки до прямой.
Величина угла и ее свойства. Измерение вписанных углов.
Длина окружности. Длина дуги. Число π.
Понятие о площади, основные свойства площади. Площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции. Отношение площадей подобных фигур (без доказательства). Площадь круга и его частей.
Элементы тригонометрии. Синус, косинус, тангенс угла. Соотношения
между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Теоремы синусов
и косинусов (без доказательства). Решение треугольников.
Координаты и векторы. Прямоугольные координаты на плоскости. Формула расстояния между двумя точками плоскости с заданными координатами. Уравнения прямой и окружности.
Вектор. Длина и направление вектора. Угол между векторами. Коллинеарные векторы. Сложение векторов и его свойства. Разложение вектора по
осям координат. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов и
его свойства. Проекции вектора на ось.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ
Алгебра
Степень с рациональным показателем и ее свойства.
Корень n–й степени и его свойства.
Формула n–го члена арифметической прогрессии.
Формула n–го члена геометрической прогрессии.
Функция y = kx, ее свойства и график.
Функция y = xk, ее свойства и график.
Функция y = kx + b, ее свойства и график.
Функция y = xn, ее свойства и график.
Функция y = ax2 + bx + c, ее свойства и график.
Решение квадратных уравнении. Формулы корней квадратного уравнения.
Разложение квадратного трехчлена на множители Формулы сокращенного умножения
Решение линейных уравнений и сводящихся к ним (на конкретных примерах).
Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств (на конкретных примерах).
Решение системы уравнений
Г CL1X + Ь 1У = С1,
U2X + Ъ2У = С2.
Геометрия
Свойства равнобедренного треугольника.
Свойства биссектрисы угла.
Признаки параллельности прямых.
Теорема о сумме углов треугольника.
Признаки подобия треугольников.
Свойства параллелограмма и его диагоналей.
Свойства прямоугольника, ромба и квадрата.
Окружность, описанная около треугольника.
Окружность, вписанная в треугольник.
Теорема о вписанном угле в окружность.
Свойство касательной к окружности.
Теорема Пифагора.
Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30°,45°,60°
Сложение векторов и его свойства.
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции.
Уравнение прямой и окружности.