УДК 539.4:539.375 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТРЕЩИН ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ И КОМПОЗИТНЫХ ТЕЛ Э. С. Сибгатуллин, Н. А. Батнидзе Камская государственная инженерно-экономическая академия, Набережные Челны, Россия Рассмотрено квазиоднородное анизотропное тело с макротрещиной, которое в каждой своей точке обладает плоскостью упругой симметрии, нормальной к оси z. Критерий прочности для сплошного анизотропного тела, находящегося в совместных условиях плоской и антиплоской задач теории упругости принят в виде A xx2 2 B xx yy C yy2 2 D xx 2 E yy L xy2 2 P xx xy 2 R yy xy 2Q xy K xz2 2M xz yz N yz2 1. (1) Здесь ij i, j x, y, z – компоненты тензора напряжений. Коэффициенты A, .., N определяются по результатам испытаний материала на прочность. В малой окрестности вершины трещины напряжения определяются следующими формулами: xx (c1K I c2 K II ) r , yy (c3 K I c4 K II ) r, (2) r , yz c7 K III r , zx c8 K III r . Здесь KI, KII, KIII – коэффициенты интенсивности напряжений (КИН), начала систем координат Oxyz и Orθz совпадают с вершиной О трещины, направление оси x совпадает с начальной ориентацией макротрещины, ось z ортогональна плоскости рисунка. Коэффициенты с1,…,с8 определяются формулами xy (c5 K I c6 K II ) ss s2 s1 1 Re 1 2 , 2π cos θ s1 sin θ s1 s2 cos θ s2 sin θ 1 s22 s12 1 c2 Re , 2π cos θ s1 sin θ s1 s2 cos θ s2 sin θ c1 s3 1 Re . 2π cos θ s3 sin θ Значения s1 , s2 , s3 зависят от упругих характеристик материала. Подставив (2) в (1), c8 получаем критерий разрушения S ec 1 2 A11 K I2 2 A12 K I K II A22 K II2 A33 K III2 B1K I B2 K II 1 . r* r* Здесь A11 Ac12 2 Bc1c3 Cc32 Lc52 2 Pc1c5 2 Rc3c5 , ............................................................................... B1 Dc1 Ec3 Qc5 , B2 Dc2 Ec4 Qc6 . (3) Пусть внешние силы растут пропорционально параметру нагружения p , тогда (4) K i bi p , i I , II , III . Здесь bi – коэффициенты, зависящие от геометрий тела и трещины, от конфигурации внешней нагрузки. Подставив (4) в (3), получаем: p2 2p 2 B1bI B2bII 1. (A11bI2 2 A12bI bII A22bII2 A33bIII ) r* r* (5) Уравнение (5) определяет поверхность r* r* p, , z в пространстве переменных r, θ, z, соответствующую фиксированному значению параметра нагрузки p – это поверхность процесса разрушения. Используя только (5), невозможно определить две неизвестные величины – pc и r*c . Для решения этой проблемы необходимо принять дополнительные гипотезы. В работе использованы алгоритмы и соответствующие программы для раздельного решения задач определения предельной нагрузки для тела с трещиной и определения направления роста макротрещины. Ниже приведены некоторые результаты, полученные с их использованием. Рассмотрим бесконечную пластину с макротрещиной при плоском напряженном состоянии. Материал пластины – однонаправлено армированный стеклопластик. Первоначальное направление макротрещины параллельно направлениям армирующих волокон. На рис. 1 показан элемент этой пластины, нагруженный равномерно распределенными по его торцам нормальными (σ) и касательными (τ) силами. Начальная длина трещины равна 2l. На рис. 2а приведена линия процесса разрушения (график функции r* ( ) ) для случая с σ c 2.354 МПа , 0 (экспериментальные значения внешних разрушающих нагрузок). По нашей методике было получено значение σ с 2.625 МПа . Эта оценка предельной нагрузки на 11.5% больше, чем соответствующее значение экспериментальной предельной нагрузки c . Y,мм σ 0.6 Y,мм 0.2 0.4 X,мм 0.2 y r θ τ О -0.4 τ x -0.2 0.2 0.6 0.8 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X,мм -0.4 2l ℓ 0.4 b -0.2 -0.6 -0.4 σ -0.6 Рис.1. Рис.2. На рис. 2b приведена линия процесса разрушения для случая с 0 , * τ c 9.061 МПа . Для этого случая было найдено значение с 10.388 МПа , что на a 14.6% больше, чем соответствующее экспериментальное значение τ*c . Для линии процесса разрушения в случае с KI≠0, KII=0 ( с 2.625 МПа, с 0 ) на рис. 3а приведены графики функций главных напряжений σ1 и σ2. Анализ функций, графики которых приведены на рис. 2а, 3а, позволяет сделать вывод, что макротрещина в случае нормального отрыва ее берегов может развиваться в направлении с c 0 . Для этого направления α0 = 0 (соответствует направлению главного напряжения σ1 в системе xОy). На рис. 3b приведено сечение предельной поверхности для рассматриваемого материала плоскостью главных напряжений 1 , 2 . Точка 1 с координатами σ1 34.91 МПа , σ 2 20.16 МПа , лежащая на этой кривой, соответствует рассматриваемому варианту задачи. Максимально возможные значения растягивающих главных напряжений в соответствии с кривой на рис. 3b следующие: Следовательно, max σ1 1700 МПа , max σ 2 20.4 МПа . σ1 max σ1 0.021, σ 2 max σ 2 1 , напряжения σ 2 являются доминантными, микротрещины образуются перпендикулярно σ 2 , то есть параллельно армирующим волокнам. Соответствующие расчеты показали, что для случая с KI=0, KII≠0 ( с 0 , с 10.388 МПа ) макротрещина может развиваться в направлении с с = - 51.60. Для этого направления α0 =14.80, микротрещины образуются перпендикулярно σ1, имеют направления с 75.2 и не коллинеарны направлению роста макротрещины. Аналогичные исследования проведены для случая с KI≠0, KII≠0 ( с 1.672 МПа , с 6.436 МПа ). Было выяснено, что макротрещина в случае комбинации нормального отрыва и поперечного сдвига берегов трещины может развиваться в направлении с с 31.9 . Для этого направления α0=19.30, микротрещины образуются перпендикулярно σ1, имеют направления с 70.7 и не коллинеарны направлению роста макротрещины. Было выяснено, что направление роста макротрещины коррелирует с направлением, где имеет место локальный минимум радиуса r* (рис. 2а, рис. 2b).