1С:Математический конструктор 5.5 107 • Методические указания к интерактивным моделям Определение расстояния до корабля Класс: 8-9 Тема: Подобные треугольники, Теоремы косинусов и синусов Назначение: Имитация выполнения практической работы на местности, состоящей в измерении расстояния от берега до корабля, находящегося в море Как изучать: Под руководством учителя, самостоятельно дома *** Модуль содержит модель для решения практической задачи на измерение расстояния до недоступного объекта. На чертеже изображены береговая линия, корабль, находящийся в море, и два луча с началом на берегу, направление которых можно регулировать. Лучи символизируют возможные положения наблюдателей на берегу. Цель задания – определить расстояние от корабля до береговой линии (в условных единицах, с точностью до 0,1). При этом прямое измерение считается невозможным (нельзя «залезать в море»), но зато можно измерять любые расстояния и углы на берегу. Лучи AB и CD играют роль теодолитов – геодезических приборов для определения направлений на удалённые объекты и измерения углов. В дополнение к инструментам «Измерение длины» и «Измерение величины угла» в модели даны кнопки для вычисления тригонометрических функций, выполнения арифметических действий над измерениями и вызова калькулятора. 1С:Математический конструктор 5.5 • Методические указания к интерактивным моделям ЗАМЕЧАНИЕ: поскольку в реальной ситуации размеры корабля малы в сравнении с искомым расстоянием, то будем считать корабль точкой (красная точка на чертеже около изображения корабля). Методические рекомендации по работе с модулем В зависимости от выбранного способа измерения модуль можно использовать при изучении нескольких тем школьного курса планиметрии: в 9 классе при изучении темы «Теоремы косинусов и синусов» или в 8 классе при изучении темы «Подобие треугольников». Модуль может использоваться непосредственно на уроке под руководством учителя или как домашняя работа. Урок по теме «Теоремы косинусов и синусов» 1. Покажите учащимся модель и объясните, какую реальную ситуацию она описывает. Выясните, какие измерения можно проводить на чертеже, а какие – нет. 2. ВОПРОС: кто-нибудь стрелял из ружья в тире? Объясните, для чего служат целик и мушка, образующие прицел. ОТВЕТ: для того, чтобы навести ствол ружья на цель, то есть, чтобы прямая, продолжающая ствол, прошла через цель. Вот и в нашем случае точки A, B и C, D будут играть роль прицела, с помощью которого можно более точно навести луч на интересующую нас цель – корабль. В реальной ситуации можно расположить в точке A наблюдателя, а в точке B вбить шест. При этом шест будет играть роль мушки: наблюдатель должен расположиться так, чтобы шест и корабль были на одной линии с наблюдателем. 3. Попросите учащихся как можно точнее навести лучи AB и CD на корабль (точнее, на красную точку около него). Заметим, что точность наводки увеличивается с расстоянием между точками A и B (C и D). Кроме того, точки можно двигать не только мышью, но и клавишами со стрелками, предварительно выделив нужную точку. 4. Обозначим красную точку, символизирующую корабль, буквой K. ВОПРОС: у нас имеется треугольник AKC и четырёхугольник ABDC. Какие измерения в них можно провести? ОТВЕТ: можно измерить любые попарные расстояния между точками A, B, C, D, а также угол, образованный любой тройкой этих точек. Но это ещё не позволяет найти нужное расстояние. 5. ВОПРОС: давайте попробуем расположить точки B и D не произвольно, а на береговой линии. Что изменилось? ОТВЕТ: теперь искомое расстояние – это высота в треугольнике BKD. А в этом треугольнике мы можем измерить основание BD и углы при основании (точнее дополнительные к ним). По теореме синусов можем найти BK и KD, а значит, и высоту. 6. Далее учащиеся самостоятельно проводят необходимые измерения и расчёты. 7. Перед проверкой ответа учтите, что наводка лучей на корабль в любом случае выполнена приблизительно. Поэтому полученной вами точности может не хватить для того, чтобы ответ был засчитан. Рекомендуем провести несколько измерений, по-разному располагая лучи, а затем взять их среднее арифметическое. Именно так поступают и в реальных ситуациях, когда нужно избавиться от случайной (не систематической) погрешности измерений: проводят серию независимых измерений, а затем берут среднее. Этот метод основан на известном в теории вероятностей законе больших чисел. 8. ВНИМАНИЕ: положение корабля разыгрывается случайно при загрузке модели, поэтому у учеников будут получаться разные ответы. Это позволяет, в частности, запускать модель несколько раз, получая задачи с разными исходными данными. 1С:Математический конструктор 5.5 • Методические указания к интерактивным моделям Урок по теме «Подобие треугольников» 1. Подготовительные пункты 1-4 аналогичны рассмотренным выше. 2. ВОПРОС: давайте попробуем расположить точки B и D не произвольно, а на береговой линии. Что изменилось? ОТВЕТ: теперь искомое расстояние – это высота в треугольнике BKD. 3. ВОПРОС: будут ли треугольники BKD и AKC подобны? ОТВЕТ: нет. Для этого нужно, чтобы отрезок AC был параллелен BD, т.е. береговой линии. Но у нас нет в распоряжении инструментов для точного построения параллельной прямой. 4. ВОПРОС: предложите какой-нибудь приближённый «практический» способ сделать AC и BD параллельными. ОТВЕТ (возможный): измеряем углы ∠BCA и ∠CBD и делаем их равными, двигая одну из точек – A или C. 5. Итак, получили AC || BD и при этом B и D лежат на береговой линии. Треугольники AKC и BKD подобны. Отсюда имеем: KB BD KD . = = KB + BA AC KD + DC Измерив BA, BD, AC и DC находим отсюда KB и KD. 6. В треугольнике KBD нам известны все стороны. Нужно найти высоту, опущенную на BD. Это можно сделать, используя, например, теорему Пифагора. 7. Далее учащиеся самостоятельно проводят необходимые измерения и расчёты.