Программа дисциплины Теория вероятностей, случайные

Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное учреждение
высшего профессионального образования
"Казанский (Приволжский) федеральный университет"
Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского
УТВЕРЖДАЮ
Проректор
по образовательной деятельности КФУ
Проф. Минзарипов Р.Г.
__________________________
"___"______________20___ г.
Программа дисциплины
Теория вероятностей, случайные процессы Б3.Б.9
Направление подготовки: 010100.62 - Математика
Профиль подготовки: Общий профиль
Квалификация выпускника: бакалавр
Форма обучения: очное
Язык обучения: русский
Автор(ы):
Муштари Д.Х.
Рецензент(ы):
Володин И.Н.
СОГЛАСОВАНО:
Заведующий(ая) кафедрой:
Протокол заседания кафедры No ___ от "____" ___________ 201__г
Учебно-методическая комиссия Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского :
Протокол заседания УМК No ____ от "____" ___________ 201__г
Регистрационный No
Казань
2013
Регистрационный номер
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
Содержание
1. Цели освоения дисциплины
2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины /модуля
4. Структура и содержание дисциплины/ модуля
5. Образовательные технологии, включая интерактивные формы обучения
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
7. Литература
8. Интернет-ресурсы
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины/модуля согласно утвержденному
учебному плану
Регистрационный номер
Страница 2 из 21.
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
Программу дисциплины разработал(а)(и) Муштари Д.Х.
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины (модуля) "Теория вероятностей, случайные процессы" являются:
фундаментальная подготовка в области построения и анализа вероятностных моделей, в том
числе сложных стохастических моделей, овладение современным математическим аппаратом
для дальнейшего использования в разнообразных приложениях
2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы высшего
профессионального образования
Данная учебная дисциплина включена в раздел " Б3.Б.9 Профессиональный" основной
образовательной программы 010100.62 Математика и относится к базовой
(общепрофессиональной) части. Осваивается на 3, 4 курсах, 6, 7 семестры.
Курс входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части обучения.
Для его успешного освоения необходимы знания и умения, приобретенные в результате
обучения предшествующим (а также параллельно изучаемым) дисциплинам: математический
анализ, комплексный анализ, функциональный анализ, алгебра.
Освоение теории вероятностей и теории случайных процессов необходимо для дальнейшего
изучения математической статистики. Знание теории вероятностей и теории случайных
процессов может существенно помочь при построении и анализе различных математических
моделей, возникающих в физике, химии, биологии, медицине, экономике, финансовой и
актуарной областях, а также в технике. Кроме того, методы теории вероятностей широко
применяются в целом ряде направлений современной математики.
Слушатели должны владеть знаниями по дисциплинам функциональный анализ,
математический анализ, алгебра, дифференциальные уравнения, уравнения в частных
производных, теория функций комплексного переменного.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
/модуля
В результате освоения дисциплины формируются следующие компетенции:
В результате освоения дисциплины студент:
1. должен знать:
определения и свойства основных объектов изучения теории вероятностей, а также
формулировки наиболее важных утверждений, методы их доказательств, возможные сферы
приложений.
2. должен уметь:
решать задачи вычислительного и теоретического характера в области теории вероятностей,
устанавливать взаимосвязи между вводимыми понятиям, доказывать как известные
утверждения, так и родственные им новые.
3. должен владеть:
разнообразным математическим аппаратом, подбирая сочетания различных методов, для
описания и анализа вероятностных моделей.
4. Структура и содержание дисциплины/ модуля
Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных(ые) единиц(ы) 252 часа(ов).
Форма промежуточного контроля дисциплины экзамен в 6 семестре; зачет в 7 семестре.
Регистрационный номер
Страница 3 из 21.
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
Суммарно по дисциплине можно получить 100 баллов, из них текущая работа оценивается в 50
баллов, итоговая форма контроля - в 50 баллов. Минимальное количество для допуска к зачету
28 баллов.
86 баллов и более - "отлично" (отл.);
71-85 баллов - "хорошо" (хор.);
55-70 баллов - "удовлетворительно" (удов.);
54 балла и менее - "неудовлетворительно" (неуд.).
4.1 Структура и содержание аудиторной работы по дисциплине/ модулю
Тематический план дисциплины/модуля
Регистрационный номер
Страница 4 из 21.
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
N
Раздел
Дисциплины/
Модуля
Тема 1. Вероятность.
Пространство исходов;
операции над
событиями: Алгебра и
сигма-алгебра
элементарных
событий; измеримое
пространство;
сигма-алгебра
борелевских
множеств;
аксиоматика А.Н.
Колмогорова; свойства
вероятности.
Классическая модель
теории вероятностей.
Элементы
комбинаторики:
выборки
упорядоченные,
неупорядоченные, с
возвращениями,без
возвращения.
Статистики
Больцмана-Максвелла
и Бозэ-Эйнштейна.
Геометрическая
1.
модель теории
вероятностей.
Условная вероятность;
формула полной
вероятности; формула
Байеса. Урновая
модель.
Независимость
событий;
независимость в
совокупности,
эквивалентные
определения
независимости в
совокупности. Задача
о разорении игрока;
задача о распаде
атома. Надежность
электрической цепи.
Прямое произведение
вероятностных
пространств. Схема
Бернулли; предельные
теоремы для схемы
Бернулли (без
доказательств).
Регистрационный номер
Страница 5 из 21.
Виды и часы
аудиторной работы,
их трудоемкость
Неделя
Текущие формы
Семестр
(в часах)
семестра
контроля
Практические Лабораторные
Лекции
занятия
работы
6
1-5
0
0
0
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
N
Раздел
Дисциплины/
Модуля
Тема 2. Вероятностное
пространство как
математическая
модель случайного
эксперимента;
теорема об
эквивалентности
аксиом счетной
аддитивности и
непрерывности
вероятности;
дискретное
вероятностное
пространство;
классическое
определение
вероятности; функция
распределения
вероятностной меры;
ее свойства; теорема о
продолжении меры с
алгебры интервалов на
сигму-алгебру
борелевских
множеств;
взаимнооднозначное
соответствие между
вероятностными
мерами и функциями
2. распределения;
непрерывные и
дискретные
распределения;
примеры
вероятностных
пространств.
Монотонные классы,
связь с алгеброй и
сигма-алгеброй.
Случайные величины и
векторы; функции
распределения
случайных величин и
векторов; функции от
случайных величин;
дискретные и
непрерывные
распределения; сигма
алгебры. Независимые
случайные величины.
Независимость
функций наборов
независимых
Регистрационный номер
Страница 6 из 21.
Виды и часы
аудиторной работы,
их трудоемкость
Неделя
Текущие формы
Семестр
(в часах)
семестра
контроля
Практические Лабораторные
Лекции
занятия
работы
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
случайных величин. Многомерное нормальное распределение.
6
Регистрационный номер
Страница 7 из 21.
6-13
0
0
0
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
N
Раздел
Дисциплины/
Модуля
Тема 2. Случай
совместного
нормального
распределения.
Пример двух
зависимых
симметричных
случайных величин с
нулевым
коэффициентом
2.
корреляции. Задача о
регрессии в
дискретном,
абсолютно
непрерывном и
нормальном случаях.
Неотрицательная
определенность
матрицы вторых
моментов.
Регистрационный номер
Страница 8 из 21.
Виды и часы
аудиторной работы,
их трудоемкость
Неделя
Текущие формы
Семестр
(в часах)
семестра
контроля
Практические Лабораторные
Лекции
занятия
работы
0
0
0
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
N
Раздел
Дисциплины/
Модуля
Тема 2. Лемма о
вращении
стандартного
нормального
случайного вектора.
Распределения,
связанные с
нормальным
(логнормальное,
хи-квадрат,
Стьюдента, Коши).
Математическое
ожидание; интеграл
Лебега;
математическое
ожидание случайной
величины; формула
замены переменной.
дисперсия; теоремы о
математическом
ожидании и
дисперсии;
вычисление
математического
ожидания и дисперсии
для некоторых
распределений;
Вычисление среднего
2. в случае дискретного
или непрерывного
распределений.
Дисперсия и ее
свойства. Вычисление
среднего и дисперсии
для некоторых
распределений
(биномиальное,
нормальное,
равномерное,
Пуассона, хи-квадрат,
Стьюдента). Пример
отсутствия среднего.
Моменты и другие
характеристики.
Математическое
ожидание
произведения
независимых
случайных величин.
ковариация;
коэффициент
корреляции;
Коэффициент
Регистрационный номер
Страница 9 из 21.
Виды и часы
аудиторной работы,
их трудоемкость
Неделя
Текущие формы
Семестр
(в часах)
семестра
контроля
Практические Лабораторные
Лекции
занятия
работы
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
корреляции и его свойства. Связь с независимостью.
0
Регистрационный номер
Страница 10 из 21.
0
0
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
N
Раздел
Дисциплины/
Модуля
Тема 3. Сходимость по
вероятности.
Неравенство
Чебышева. Слабый
закон больших чисел.
Применение к частоте
события. Метод
Монте-Карло. Слабая
сходимость
распределений.
Эквивалентность двух
определений (на
языке интегралов и
функций
распределений. Лемма
Бореля --- Кантелли.
Критерий Коши
сходимости ряда почти
наверное.
Неравенство
Колмогорова.
Сходимость по Чезаро
и связь с обычной
сходимостью.
Усиленный закон
3.
больших чисел для
разно распределенных
случайных величин со
вторым моментом.
Усиленный закон
больших чисел
Колмогорова для
одинаково
pаспределенных
случайных величин.
Характеристическая
функция случайной
величины. Формула
обращения. Теорема
единственности.
Теорема о слабой
компактности.
Критерий слабой
компактности
семейства
распределений.
Неравенство для
усечений. Теорема
непрерывности.
Регистрационный номер
Страница 11 из 21.
Виды и часы
аудиторной работы,
их трудоемкость
Неделя
Текущие формы
Семестр
(в часах)
семестра
контроля
Практические Лабораторные
Лекции
занятия
работы
6
14-18
0
0
0
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
N
Раздел
Дисциплины/
Модуля
Тема 4. Определение
случайного процесса.
Совместные
4.
распределения,
среднее и ковариация
процесса.
Тема 5. Одномерное
случайное блуждание.
Задача о пьяном
гуляке и принцип
отражения. Задача о
баллотировке.
Марковское свойство
случайного блуждания.
Задача о постоянном
5. везении. Задача о
возвращении
случайного блуждания
в начало на прямой, на
плоскости, в
пространстве. Задача
о продолжительном
везении.
Распределение
арксинуса.
Тема 6. Цепи Маркова.
Равенство
Чепмена-Колмогорова.
Задача о
существовании
инвариантного
состояния.
6. ТеоремаБрауэра (без
доказательства).
Теорема о
существовании
инвариантного
состояния у
дискретной цепи
Маркова. Примеры.
Регистрационный номер
Страница 12 из 21.
Виды и часы
аудиторной работы,
их трудоемкость
Неделя
Текущие формы
Семестр
(в часах)
семестра
контроля
Практические Лабораторные
Лекции
занятия
работы
7
1
0
0
0
7
1-3
0
0
0
7
4
0
0
0
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
N
Раздел
Дисциплины/
Модуля
Виды и часы
аудиторной работы,
их трудоемкость
Неделя
Текущие формы
Семестр
(в часах)
семестра
контроля
Практические Лабораторные
Лекции
занятия
работы
Тема 7. Пуассоновский
процесс: параметры,
вывод распределений,
ковариация,
совместное
распределение.
Винеровский процесс:
параметры, вывод
распределений,
ковариация,
совместное
распределение .
Теорема Колмогорова
о задании процесса
согласованным
набором совместных
распределений.
Оценка параметров
сноса и диффузии
процесса Винера.
Теорема Колмогорова
о непрерывности
траекторий.
Непрерывность
7.
7
траекторий процесса
Винера. Применение
--- сходимость почти
наверное к
коэффициенту сноса
процесса.
Недифференцируемость
траекторий
винеровского
процесса.
Распределение
максимума
винеровского
процесса. Принцип
инвариантности
Донскера-Прохорова
(без доказательства).
Броуновский мост,
применение к выводу
распределения
статистики
Колмогорова-Смирнова
(без доказательства).
Регистрационный номер
Страница 13 из 21.
5-8
0
0
0
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
N
Раздел
Дисциплины/
Модуля
Виды и часы
аудиторной работы,
их трудоемкость
Неделя
Текущие формы
Семестр
(в часах)
семестра
контроля
Практические Лабораторные
Лекции
занятия
работы
Тема 8. Марковские
процессы. Процессы
гибели и
8.
7
размножения.
Производящая
функция.
Тема 9.
Диффузионные
9. процессы. Прямое и
7
обратное уравнения
Колмогорова.
Тема 10.
Стационарные
процессы.Стохастический
интеграл по случайной
мере с
ортогональными
приращениями.
Теорема
Бохнера-Хинчина.
Спектральная
плотность для
10.
7
стационарного
процесса с
дискретным временем.
Процессы скользящего
среднего и
авторегрессии.
Процесс Орнстейна --Уленбека. Прогноз для
стационарного
процесса с
дискретным временем.
Тема 11. Интеграл
Ито. Формула Ито. Два
вывода интеграла Ито
от винеровского
процесса по
винеровскому
11. процессу. Пример
7
применения формулы
Ито для решения
одного
стохастического
дифференциального
уравнения.
Регистрационный номер
Страница 14 из 21.
9
0
0
0
10-11
0
0
0
12-13
0
0
0
14-15
0
0
0
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
N
Раздел
Дисциплины/
Модуля
Виды и часы
аудиторной работы,
их трудоемкость
Неделя
Текущие формы
Семестр
(в часах)
семестра
контроля
Практические Лабораторные
Лекции
занятия
работы
Тема 12. Заряды.
Теоремы Хана и
Радона - Никодима.
Понятие об условном
среднем. Условная
вероятность
относительно
сигма-алгебры.
12. Мартингалы. Примеры.
Теорема Дуба о почти
наверное сходимости
мартингала. Задача об
оптимальном моменте
остановки.
Применение: задача о
разборчивой невесте.
7
Тема . Итоговая
форма контроля
Тема . Итоговая
.
форма контроля
.
Итого
16-18
0
0
0
6
0
0
0
7
0
0
0
0
0
0
экзамен
зачет
4.2 Содержание дисциплины
Тема 1. Вероятность. Пространство исходов; операции над событиями: Алгебра и
сигма-алгебра элементарных событий; измеримое пространство; сигма-алгебра
борелевских множеств; аксиоматика А.Н. Колмогорова; свойства вероятности.
Классическая модель теории вероятностей. Элементы комбинаторики: выборки
упорядоченные, неупорядоченные, с возвращениями,без возвращения. Статистики
Больцмана-Максвелла и Бозэ-Эйнштейна. Геометрическая модель теории вероятностей.
Условная вероятность; формула полной вероятности; формула Байеса. Урновая
модель. Независимость событий; независимость в совокупности, эквивалентные
определения независимости в совокупности. Задача о разорении игрока; задача о
распаде атома. Надежность электрической цепи. Прямое произведение вероятностных
пространств. Схема Бернулли; предельные теоремы для схемы Бернулли (без
доказательств).
Тема 2. Случай совместного нормального распределения. Пример двух зависимых
симметричных случайных величин с нулевым коэффициентом корреляции. Задача о
регрессии в дискретном, абсолютно непрерывном и нормальном случаях.
Неотрицательная определенность матрицы вторых моментов.
Регистрационный номер
Страница 15 из 21.
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
Тема 2. Лемма о вращении стандартного нормального случайного вектора.
Распределения, связанные с нормальным (логнормальное, хи-квадрат, Стьюдента,
Коши). Математическое ожидание; интеграл Лебега; математическое ожидание
случайной величины; формула замены переменной. дисперсия; теоремы о
математическом ожидании и дисперсии; вычисление математического ожидания и
дисперсии для некоторых распределений; Вычисление среднего в случае дискретного
или непрерывного распределений. Дисперсия и ее свойства. Вычисление среднего и
дисперсии для некоторых распределений (биномиальное, нормальное, равномерное,
Пуассона, хи-квадрат, Стьюдента). Пример отсутствия среднего. Моменты и другие
характеристики. Математическое ожидание произведения независимых случайных
величин. ковариация; коэффициент корреляции; Коэффициент корреляции и его
свойства. Связь с независимостью.
Тема 2. Вероятностное пространство как математическая модель случайного
эксперимента; теорема об эквивалентности аксиом счетной аддитивности и
непрерывности вероятности; дискретное вероятностное пространство; классическое
определение вероятности; функция распределения вероятностной меры; ее свойства;
теорема о продолжении меры с алгебры интервалов на сигму-алгебру борелевских
множеств; взаимнооднозначное соответствие между вероятностными мерами и
функциями распределения; непрерывные и дискретные распределения; примеры
вероятностных пространств. Монотонные классы, связь с алгеброй и сигма-алгеброй.
Случайные величины и векторы; функции распределения случайных величин и
векторов; функции от случайных величин; дискретные и непрерывные распределения;
сигма алгебры. Независимые случайные величины. Независимость функций наборов
независимых случайных величин. Многомерное нормальное распределение.
Тема 3. Сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева. Слабый закон больших
чисел. Применение к частоте события. Метод Монте-Карло. Слабая сходимость
распределений. Эквивалентность двух определений (на языке интегралов и функций
распределений. Лемма Бореля --- Кантелли. Критерий Коши сходимости ряда почти
наверное. Неравенство Колмогорова. Сходимость по Чезаро и связь с обычной
сходимостью. Усиленный закон больших чисел для разно распределенных случайных
величин со вторым моментом. Усиленный закон больших чисел Колмогорова для
одинаково pаспределенных случайных величин. Характеристическая функция
случайной величины. Формула обращения. Теорема единственности. Теорема о слабой
компактности. Критерий слабой компактности семейства распределений. Неравенство
для усечений. Теорема непрерывности.
Тема 4. Определение случайного процесса. Совместные распределения, среднее и
ковариация процесса.
Тема 5. Одномерное случайное блуждание. Задача о пьяном гуляке и принцип
отражения. Задача о баллотировке. Марковское свойство случайного блуждания.
Задача о постоянном везении. Задача о возвращении случайного блуждания в начало
на прямой, на плоскости, в пространстве. Задача о продолжительном везении.
Распределение арксинуса.
Тема 6. Цепи Маркова. Равенство Чепмена-Колмогорова. Задача о существовании
инвариантного состояния. ТеоремаБрауэра (без доказательства). Теорема о
существовании инвариантного состояния у дискретной цепи Маркова. Примеры.
Тема 7. Пуассоновский процесс: параметры, вывод распределений, ковариация,
совместное распределение. Винеровский процесс: параметры, вывод распределений,
ковариация, совместное распределение . Теорема Колмогорова о задании процесса
согласованным набором совместных распределений. Оценка параметров сноса и
диффузии процесса Винера. Теорема Колмогорова о непрерывности траекторий.
Непрерывность траекторий процесса Винера. Применение --- сходимость почти
наверное к коэффициенту сноса процесса. Недифференцируемость траекторий
винеровского процесса. Распределение максимума винеровского процесса. Принцип
инвариантности Донскера-Прохорова (без доказательства). Броуновский мост,
применение к выводу распределения статистики Колмогорова-Смирнова (без
доказательства).
Регистрационный номер
Страница 16 из 21.
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
Тема 8. Марковские процессы. Процессы гибели и размножения. Производящая
функция.
Тема 9. Диффузионные процессы. Прямое и обратное уравнения Колмогорова.
Тема 10. Стационарные процессы.Стохастический интеграл по случайной мере с
ортогональными приращениями. Теорема Бохнера-Хинчина. Спектральная плотность
для стационарного процесса с дискретным временем. Процессы скользящего среднего
и авторегрессии. Процесс Орнстейна --- Уленбека. Прогноз для стационарного процесса
с дискретным временем.
Тема 11. Интеграл Ито. Формула Ито. Два вывода интеграла Ито от винеровского
процесса по винеровскому процессу. Пример применения формулы Ито для решения
одного стохастического дифференциального уравнения.
Тема 12. Заряды. Теоремы Хана и Радона - Никодима. Понятие об условном среднем.
Условная вероятность относительно сигма-алгебры. Мартингалы. Примеры. Теорема
Дуба о почти наверное сходимости мартингала. Задача об оптимальном моменте
остановки. Применение: задача о разборчивой невесте.
5. Образовательные технологии, включая интерактивные формы обучения
лекции, лабораторные занятия, контрольные работы, коллоквиум, зачёт и экзамен. В течение
семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем, к каждому лабораторному
занятию. В каждом семестре проводятся контрольные работы (на лабораторных занятиях).
Зачет выставляется по положительным результатам выполнения контрольных работ и
самостоятельной работы в течении семестра, а также успешной сдачи теоретического
материала по прилагаемой программе. К экзамену допускаются студенты, показавшие
положительные результаты по текущей работе в течение семестра.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов
Тема 1. Вероятность. Пространство исходов; операции над событиями: Алгебра и
сигма-алгебра элементарных событий; измеримое пространство; сигма-алгебра
борелевских множеств; аксиоматика А.Н. Колмогорова; свойства вероятности.
Классическая модель теории вероятностей. Элементы комбинаторики: выборки
упорядоченные, неупорядоченные, с возвращениями,без возвращения. Статистики
Больцмана-Максвелла и Бозэ-Эйнштейна. Геометрическая модель теории вероятностей.
Условная вероятность; формула полной вероятности; формула Байеса. Урновая модель.
Независимость событий; независимость в совокупности, эквивалентные определения
независимости в совокупности. Задача о разорении игрока; задача о распаде атома.
Надежность электрической цепи. Прямое произведение вероятностных пространств.
Схема Бернулли; предельные теоремы для схемы Бернулли (без доказательств).
Тема 2. Случай совместного нормального распределения. Пример двух зависимых
симметричных случайных величин с нулевым коэффициентом корреляции. Задача о
регрессии в дискретном, абсолютно непрерывном и нормальном случаях.
Неотрицательная определенность матрицы вторых моментов.
Регистрационный номер
Страница 17 из 21.
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
Тема 2. Вероятностное пространство как математическая модель случайного
эксперимента; теорема об эквивалентности аксиом счетной аддитивности и
непрерывности вероятности; дискретное вероятностное пространство; классическое
определение вероятности; функция распределения вероятностной меры; ее свойства;
теорема о продолжении меры с алгебры интервалов на сигму-алгебру борелевских
множеств; взаимнооднозначное соответствие между вероятностными мерами и
функциями распределения; непрерывные и дискретные распределения; примеры
вероятностных пространств. Монотонные классы, связь с алгеброй и сигма-алгеброй.
Случайные величины и векторы; функции распределения случайных величин и
векторов; функции от случайных величин; дискретные и непрерывные распределения;
сигма алгебры. Независимые случайные величины. Независимость функций наборов
независимых случайных величин. Многомерное нормальное распределение.
Тема 2. Лемма о вращении стандартного нормального случайного вектора.
Распределения, связанные с нормальным (логнормальное, хи-квадрат, Стьюдента,
Коши). Математическое ожидание; интеграл Лебега; математическое ожидание
случайной величины; формула замены переменной. дисперсия; теоремы о
математическом ожидании и дисперсии; вычисление математического ожидания и
дисперсии для некоторых распределений; Вычисление среднего в случае дискретного
или непрерывного распределений. Дисперсия и ее свойства. Вычисление среднего и
дисперсии для некоторых распределений (биномиальное, нормальное, равномерное,
Пуассона, хи-квадрат, Стьюдента). Пример отсутствия среднего. Моменты и другие
характеристики. Математическое ожидание произведения независимых случайных
величин. ковариация; коэффициент корреляции; Коэффициент корреляции и его
свойства. Связь с независимостью.
Тема 3. Сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева. Слабый закон больших
чисел. Применение к частоте события. Метод Монте-Карло. Слабая сходимость
распределений. Эквивалентность двух определений (на языке интегралов и функций
распределений. Лемма Бореля --- Кантелли. Критерий Коши сходимости ряда почти
наверное. Неравенство Колмогорова. Сходимость по Чезаро и связь с обычной
сходимостью. Усиленный закон больших чисел для разно распределенных случайных
величин со вторым моментом. Усиленный закон больших чисел Колмогорова для
одинаково pаспределенных случайных величин. Характеристическая функция
случайной величины. Формула обращения. Теорема единственности. Теорема о слабой
компактности. Критерий слабой компактности семейства распределений. Неравенство
для усечений. Теорема непрерывности.
Тема 4. Определение случайного процесса. Совместные распределения, среднее и
ковариация процесса.
Тема 5. Одномерное случайное блуждание. Задача о пьяном гуляке и принцип
отражения. Задача о баллотировке. Марковское свойство случайного блуждания. Задача
о постоянном везении. Задача о возвращении случайного блуждания в начало на
прямой, на плоскости, в пространстве. Задача о продолжительном везении.
Распределение арксинуса.
Тема 6. Цепи Маркова. Равенство Чепмена-Колмогорова. Задача о существовании
инвариантного состояния. ТеоремаБрауэра (без доказательства). Теорема о
существовании инвариантного состояния у дискретной цепи Маркова. Примеры.
Тема 7. Пуассоновский процесс: параметры, вывод распределений, ковариация,
совместное распределение. Винеровский процесс: параметры, вывод распределений,
ковариация, совместное распределение . Теорема Колмогорова о задании процесса
согласованным набором совместных распределений. Оценка параметров сноса и
диффузии процесса Винера. Теорема Колмогорова о непрерывности траекторий.
Непрерывность траекторий процесса Винера. Применение --- сходимость почти наверное
к коэффициенту сноса процесса. Недифференцируемость траекторий винеровского
процесса. Распределение максимума винеровского процесса. Принцип инвариантности
Донскера-Прохорова (без доказательства). Броуновский мост, применение к выводу
распределения статистики Колмогорова-Смирнова (без доказательства).
Регистрационный номер
Страница 18 из 21.
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
Тема 8. Марковские процессы. Процессы гибели и размножения. Производящая
функция.
Тема 9. Диффузионные процессы. Прямое и обратное уравнения Колмогорова.
Тема 10. Стационарные процессы.Стохастический интеграл по случайной мере с
ортогональными приращениями. Теорема Бохнера-Хинчина. Спектральная плотность для
стационарного процесса с дискретным временем. Процессы скользящего среднего и
авторегрессии. Процесс Орнстейна --- Уленбека. Прогноз для стационарного процесса с
дискретным временем.
Тема 11. Интеграл Ито. Формула Ито. Два вывода интеграла Ито от винеровского
процесса по винеровскому процессу. Пример применения формулы Ито для решения
одного стохастического дифференциального уравнения.
Тема 12. Заряды. Теоремы Хана и Радона - Никодима. Понятие об условном среднем.
Условная вероятность относительно сигма-алгебры. Мартингалы. Примеры. Теорема
Дуба о почти наверное сходимости мартингала. Задача об оптимальном моменте
остановки. Применение: задача о разборчивой невесте.
Тема . Итоговая форма контроля
Тема . Итоговая форма контроля
Примерные вопросы к зачету и экзамену:
все виды текущего контроля успеваемости и аттестации по итогам освоения дисциплины
оцениваются по 100-балльной рейтинговой системе, принятой к КФУ. Экзамены оцениваются
переводом набранных по дисциплине баллов в оценки: неудовлетворительно, посредственно,
удовлетворительно, хорошо, очень хорошо, отлично. Варианты контрольных заданий и
программы зачёта и экзамена приведены в приложениях 1 и 2. Распределение баллов по
видам контроля приведены в приложении 3.
7.1. Основная литература:
1 .А.А. Боровков. Теория вероятностей. Наука, 1986.
2. И.Н. Володин. Лекции по теории вероятностей и математической статистике.
Изд-во КГУ. 2006. 271 с.
3. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. М. Наука, 1988.
4. Г.Д. Климов. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд-во МГУ. 1983
5 Б.А. Севастьянов. Курс теории вероятностей и математической статистики.
М. Наука, 1982.
6. А.Н..Ширяев. Вероятность. Наука, 1989.
7. А.М. Зубков. Сборник задач по теории вероятностей. Изд. МГУ. 1989
8. Л.Д. Мешалкин. Сборник задач по теории вероятностей. Изд. МГУ. 1963.
9. А.В. Сульдин, Е.А. Беговатов, С.В. Григорьев. Сборник задач по теории вероятностей и
математической статистике. Изд. Казанского университета. Казань. 1980. 94 с.
7.2. Дополнительная литература:
1. А.В. Булинский, А.Н. Ширяев. Теория случайных процессов. Физматлит, 2003.
2. А.Д. Вентцель. Курс теории случайных процессов. Наука, 1975.
3. И.Н. Володин, О.Е. Тихонов, Е.А. Турилова. Математические основы
вероятности. Изд-во КГУ, 2006. 163 с.
4. Ю.А. Розанов. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика.
Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
5. В.Н. Тутубалин. Теория вероятностей. Изд-во МГУ, 1972.
6. R. Bhattacharya, E.C. Waymire. A Basic Course in Probability theory. Springer. Universitext.
2007. ix+211.
Регистрационный номер
Страница 19 из 21.
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
7. L.B. Koralov, Ya.G.Sinai. Theory of Probability and Random Processes. Springer. Universitext.
2007. xi + 353 p.
8. Практические занятия по теории вероятностей (И.И. Адгамов, Д.Х. Муштари).
Методическое пособие. Изд. КГУ, 1989. 38 c.
9. А.В. Прохоров. Задачи по теории вероятностей. Изд. МГУ.
10. Б.А. Севастьянов. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике.
Изд. МГУ.
7.3. Интернет-ресурсы:
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины/модуля согласно утвержденному
учебному плану
Освоение дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы" предполагает
использование следующего материально-технического обеспечения:
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО и учебным планом по
направлению 010100.62 "Математика" и профилю подготовки Общий профиль .
Регистрационный номер
Страница 20 из 21.
Программа дисциплины "Теория вероятностей, случайные процессы"; 010100.62 Математика; Муштари Д.Х.
Автор(ы):
Муштари Д.Х. ____________________
"__" _________ 201 __ г.
Рецензент(ы):
Володин И.Н. ____________________
"__" _________ 201 __ г.
Регистрационный номер
Страница 21 из 21.