Определение коэффициентов сил трения скольжения и качения

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ СИЛ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ И КАЧЕНИЯ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: экспериментальное изучение основных закономерностей, возникающих при трении скольжения, а также при трении
качения.
ОБОРУДОВАНИЕ: специальная установка, сменные детали к ней.
УПРАЖНЕНИЕ 1.
Трение скольжения
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Во всех реальных механических процессах и системах имеют место силы трения, действие которых связывают в большинстве
случаев с превращением механической энергии в тепло.
При перемещении одного тела относительно другого по его
поверхности или слоев одного и того же тела относительно друг друга возникает сопротивление, характеризующееся рядом явлений, в
том числе и силой трения.
Различают: силу внешнего трения как силу сопротивления,
тангенциальную относительно перемещения двух твердых тел при их
соприкосновении; и силу внутреннего трения как силу сопротивления, тангенциальную относительно перемещения слоев среды относительно друг друга.
Характерной особенностью внешнего трения является наличие силы трения покоя, определяемой как предельная, тангенци-
альная сила, под действием которой начинается относительное перемещение соприкасающихся тел.
Внешнее трение возникает и между перемещающимися чистыми поверхностями твердых тел, а также между поверхностями,
покрытыми оксидными слоями.
Практически трудно получить чистые поверхности. Оставшиеся, или прилипшие, адсорбированные поверхностно активные
молекулы образуют на поверхности так называемые граничные слои,
сильно влияющие на процесс трения. В этом случае внешнее трение
можно назвать граничным трением.
Основным законом для силы внешнего трения является закон
Амонтона-Кулона, уточненный Е.В.Дерягиным:
FTP K ( N  PO S O ),
(1)
где К - коэффициент трения скольжения;
N - нормальная нагрузка;
PO - удельная адгезия (сила прилипания, отнесенная к единице
площади);
SO - площадь истинного контакта.
Произведение PO SO называется тангенциальной адгезией.
При нулевой нагрузке сила трения равна PO SO и определяется молекулярными силами прилипания поверхностей — их адгезией.
Сила трения определяется коэффициентом трения K. Экспериментальные данные показывают, что величина коэффициента трения не является константой, а зависит от материала поверхностей, их
микрогеометрического профиля, смазки, газовой среды и многих других факторов.
Величина этого коэффициента зависит и от величины относительной скорости движения. При малом диапазоне изменения величины этой скорости коэффициент трения скольжения можно считать постоянной величиной, зависящей только от свойств поверхностей.
Трения скольжения при различных относительных скоростях
движения поверхностей легко получить, прижимая гибкую ленту к
поверхности вращающегося цилиндра. Натяжение между отдельными элементами ленты различны и по направлениям, и по величине, а
это приводит к различному значению нормального давления для каждого элемента ленты. Закон Амонтона-Кулона поэтому следует писать в дифференциальной форме (пренебрегая тангенциальной адгезией)
dF KdN ,
(2)
выражая dF и dN через величину напряжения для элемента длины
ленты.
Пусть лента ABCД (рис. 1) охватывает часть поверхности
цилиндра, определяемую углом . Натяжение свободных концов ленты обозначим через T1 и T2. Выделим на этой ленте бесконечно малый элемент BC и рассмотрим его равновесие под действием всех
приложенных к нему сил. Этими силами являются: натяжения нити
T, T+dT, сила трения dT, реакция связи dN.
Для равновесия элемен-
та необходимо, чтобы алгебраическая сумма всех сил, приложенных к
нему, была равна нулю. Проекция этих сил на ось ординат и ось абсцисс соответственно дают:
dN  (T  dT ) sin
d
d
 (T  dF ) sin
0,
2
2
(T  dT ) cos
d
d
 (T  dF ) cos
0.
2
2
Рис. 1.Силы, действующие на ленту.
Из первого уравнения, заменяя для малых углов sin
d
d
через
2
2
и пренебрегая величинами второго порядка малости, получаем,
dN  T d ,
(3)
из второго уравнения получаем
dF dT .
(4)
Из уравнений (2) – (4) находим
dF  KT d
или
(5)
dT
 K d .
T
(6)
Полагая K постоянной величиной, не зависящей от T, интегрированием по всей длине линии контакта ленты с поверхностью
цилиндра, получаем
ln
T1
K или T1 T2 e K ,
T2
(7)
где e = 2.718… — основание натурального логарифма.
Величина T нарастает с увеличением угла очень быстро. Для
иллюстрации этого напомним, что двумя-тремя оборотами каната вокруг цилиндрической стойки удерживается теплоход на причале.
Для величины коэффициента трения скольжения имеем
1 T
K  ln 1 .
 T2
(8)
Пользуясь этой формулой, вычисляют величину коэффициента силы
трения скольжения.
Описание установки
На оси электромотора укреплен (рис. 2) цилиндр-шкив А, радиуса R. Гибкая лента-ремень прижимается к поверхности шкива,
охватывая его нижнюю половину (угол  = ). Натяжение ленты создается и измеряется пружинными динамометрами В 1 и В2. Перемещением перекладины С динамометры можно перемещать по вертикали, изменяя этим натяжение ремня. Коэффициент силы трения скольжения определяется, следовательно, для пары (материала шкива – материал ленты).
Скорость вращения V поверхности шкива радиуса R можно
измерить с помощью счетчика оборотов двигателя, определив по секундомеру время t совершения N оборотов вала.
V 2Rn,
где
n
(9)
N
.
t
ИЗМЕРЕНИЯ
Ленту укрепите на динамометрах так, чтобы она была прижата к шкиву. При полностью введенном сопротивлении реостата
включите электромотор. Постепенно уменьшая сопротивление, приведите шкив во вращение. Измерения сводятся к одновременным отсчетам показаний счетчиков оборотов двигателя N за время t и натяжений T1 и T 2 на динамометрах. Скорость вращения шкива регулируется реостатом. Каждый отсчет необходимо делать при установившемся вращении.
Сделайте 10-12 замеров по всему диапазону сил натяжения.
Полученные данные измерений оформите в таблицу. Рассчитайте систематическую ошибку величины К.
Графически представьте зависимость коэффициента силы
трения скольжения от скорости K  f (V ).
Трение качения
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Трение качения возникает при перекатывании цилиндра или
шара по поверхности твердого тела. Возникновение трения качения
можно объяснить деформациями цилиндра и плоскости, имеющими
место в реальных условиях. При этом могут возникать как упругие,
так и пластические деформации. Из-за деформации поверхности линия действия силы реакции Q не совпадает с линией действия нормального давления N (рис. 3), в нашем случае равной весу катка.
Нормальная составляющая Qn этой реакции к плоскости практически равна приложенной нормальной нагрузке N, а горизонтальная составляющая представляет собой силу трения Fтр.
Рис.2. Схема установки
Рис.3. Схема сил, действующих на каток
Если цилиндр или шар движется по плоскости без ускорения,
должно выполняться правило равенства моментов. Момент силы трения качения относительно точки О равен произведению силы реакции опоры Q на расстояние смещения К вследствие контактных деформаций точки приложения
FTP R Q n K ,
где К – плечо силы Qn  N;
R – радиус катка.
(10)
Отсюда для силы трения качения получаем следующее выражение
FTP K ( N R ).
(11)
Величину К называют коэффициентом трения качения. Коэффициент
трения качения, таким образом, представляет собой плечо силы Qn и
имеет размерность длины.
В данной работе коэффициент трения качения может быть
определен: а) на установке с катящимся шаром, б) на установке с катящимся цилиндром, в) на установке с наклонным маятником.
УПРАЖНЕНИЕ 2
Описание установки
Рис. 4.Схема установки
Основная часть установки – металлический желоб прямоугольного сечения. Он может поворачиваться вокруг горизонтальной
оси и закрепляться в нужном направлении. Угол наклона желоба к го-
ризонту можно определить, измерив расстояние h (по отвесу) и длину
желоба (см. рис. 4) или по углометру.
Внутренняя поверхность желоба покрыта лентой из материала, деформирующегося при движении стального шарика.
Измерение коэффициентов трения производится, следовательно, для пары: материал ленты – сталь.
На верхнем (правом) торце желоба помещен электромагнит
ЭМ, который удерживает шарик Ш в начальном положении; на нижнем торце установлен стержень С, смещаемый ударом движущегося
шарика, и замыкающий контакты концевого выключателя В. Электромагнит ЭМ и концевой выключатель В связаны с контактами электросекундомера (на рисунке не показан), которым измеряется время движения шарика на расстоянии Х.
Если переключатель тумблера (в нижнем левом торце желоба) поставить в правое положение, то электромагнит ЭМ будет удерживать шарик, а если переключатель тумблера переключить в левое
положение, то электромагнит освобождает шарик и одновременно
включает секундомер; при ударе шарика о стержень цепь размыкается и секундомер останавливается.
Стержень, смещаемый при ударе шарика, перед следующим
измерением необходимо вернуть в исходное положение, предварительно поставив переключатель тумблера в правое положение.
Обозначим:
К — коэффициент трения покоя;
К1 — коэффициент трения скольжения;
К2 — коэффициент трения качения.
Коэффициенты трения К, К 1, К2 можно определить из измерения
скорости движения шарика по желобу.
1
При незначительных углах наклона желоба к горизонту ша-
рик, находящийся в желобе, будет в состоянии покоя. Наибольший
угол, при котором шарик еще не начинает скатываться, получим из
условий равновесия (рис. 5а).
mg sin  1  F 0,
Fr  K 2 mg cos  1 0,
(12)
где m – масса шарика,
F – параллельная плоскости сила трения покоя,
r – “плечо” силы,
g – ускорение силы тяжести.
Рис. 5. Схема сил, действующих на шар
Эти уравнения дают
K 2 rtg 1 .
(13)
Если величина угла
 1 известна (см. ниже), то из уравнения (13)
можно вычислить коэффициент К2.
2.
При увеличении угла наклона желоба с угла,
  1 начинает-
ся качение шарика без скольжения. Для желоба прямоугольного сечения (рис. 5б) уравнение движения шарика запишутся в виде
..
m x mg sin   F ,
mg cos   N 0,
..
I  Fr  K 2 N ,
..
(14)
..
x r  ,
2
5
2
При этом I  mR ,
R — радиус шарика,
I — момент инерции шарика,
r R 1 2 ,
..
x — ускорение движения центра масс шарика,
..
 — угловое ускорение шарика.
Из этих уравнений получим
K
1
F  mg (4 sin   5 2 cos  ),
9
r
..
K
5
x  g (sin   2 cos  ).
9
r
Так как по закону Кулона F Kmg cos  ,
(15)
(16)
то уравнение
K
1
F Kmg cos  2  mg (4 sin   5 2 cos  2 ).
9
r
(17)
определяет наибольшее значение угла   2 , при котором еще возможно движение без скольжения.
Из уравнения (17) получим
4
5 K2
K  tg 2 
.
9
9 r
(18)
Если  2 и K 2 известны (см. ниже), уравнение (18) позволяет вычислить коэффициент К.
Из уравнения (16) видно, что центр масс шарика движется
равноускоренно. Если его начальная скорость была равна нулю, то
для расстояния Х, проходимого им за время t, имеем:
1 ..
x  x t 2.
2
(19)
Уравнения (16) и (19) дают
K2 
где
9r 5
2x
1
( g sin   2 )
,
5g 9
cos 
t
(20)
5
g sin  a – ускорение движения точки центра масс шарика
9
без учета трения качения.
Уравнение (20) позволяет определить коэффициент К 2 , измеряя время скатывания шарика для различных углов наклона желоба.
3.
При углах наклона желоба
 > 2
движение шарика можно
(приближенно) считать чистым скольжением. Уравнение движения
центра масс может быть написано в виде
..
m x mg sin   K 1 mg cos  .
(21)
Из уравнений (19) и (21) получим
K 1 ( g sin  
2x
1
)
.
2
g cos 
t
(22)
Уравнение (22) позволяет определить коэффициент К 1 для различных
углов наклона желоба.
Измерения и обработка результатов
Измерьте время движения при различных углах наклона желоба. Для каждого положения желоба время движения шарика следует измерить не менее трех раз и взять из них среднее арифметическое. По формуле (19) вычислите для всех углов наклона желоба величину ускорения шарика.
Полученные результаты необходимо представить в виде графика на миллиметровой бумаге, откладывая по оси абсцисс углы наклона, по оси ординат величину ускорения шарика. Удобен масштаб:
1 см - 10 и 1 см – 10 см/с 2 (размер бумаги 30х30 см). На эту же бумагу
5
9
наносят график функции a  g sin  , то есть ускорение движения
шарика без учета трения качения. Наблюдаемое пересечение кривых
на графике может быть формально объяснено тем, что сила трения
качения уменьшается с увеличением скорости движения шарика.
Так как сила нормального давления в условиях задачи изменяется крайне незначительно, то уменьшение силы трения качения,
по-видимому, связано с уменьшением коэффициента К2 . Уменьшение
коэффициента объясняется уменьшением деформации ленты при увеличении скорости движения шарика.
Точка пересечения графиков определяет угол
 2' очевидно
близкий к углу  2 , при котором возникает скольжение, так как даже
при К2 = 0 график ускорения шарика может пересечь теоретическую
..
5
9
кривую x  g sin  только после появления проскальзывания.
Для этого угла, полагая К2 = 0, из уравнения (18) получим
4
K  tg 2 .
9
(23)
..
Экстраполяцией графика x  f ( ) до пересечения с осью абсцисс
определите величину угла. Вычисление К2 для углов, больших
но меньших  2 произведите по формуле (20), для угла
1 ,
 1 по фор-
муле (13). Коэффициент К вычислите по формуле (23). Для углов
больших  2 , но значительно меньших 900, К вычислите по формуле
(22). Полученные значения коэффициентов трения следует сопоставить между собой.
Данные измерений и расчетов оформите в виде таблицы
(форму таблицы разработайте самостоятельно). Рассчитайте систематические ошибки для коэффициентов трения.
УПРАЖНЕНИЕ 3
Описание установки
В установке применяется металлический цилиндр А, находящийся на плоской металлической плите В (рис. 6). Через цилиндр
пропущена спица С, служащая стрелкой к шкале Н. На другом конце
спицы, проходящем через отверстие в
плите, закреплен груз Д. Подвижная
часть установки может быть названа
“маятником”. При отклонении ее от
положения равновесия она совершает
затухающие колебания. Ось цилиндра
при этом двигается
поступательно, а
сам цилиндр вращается вокруг этой
оси.
Следовательно, отклонение стрелки
Рис. 6. Схема установки
по шкале будет суммой двух отклонений (см. рис. 7).
a1 Rtg ,
(24)
a Ltg ,
(25)
где  – угол поворота цилиндра,
R – его радиус,
L – расстояние от оси цилиндра до шкалы,
а1 – отклонение оси цилиндра,
а – отклонение, вызванное вращением цилиндра вокруг его оси.
Для суммарного отклонения получим
S a (1 
R
).
L
(26)
При R << L можно пренебречь величиной R/L и считать за отклонение по шкале
S a Ltg .
(27)
Если  < 50 , то для начального отклонения а 0, 0 и отклонения после
n полных колебаний аn, n получим
O 
aO
;
L
n 
an
.
L
(28)
Уменьшение угла отклонения за известное число периодов колебаний маятника дает возможность вычислить величину
коэффициента трения качения.
Выведем формулу для
расчета коэффициента трения ка-
Рис. 7.Схема отклонения
чения на описанной установке. стрелки-указателя
Считая коэффициент трения качения независящим от скорости движения маятника, воспользуемся законом сохранения энергии.
При начальном отклонении
маятника на угол  его потенциальная энергия может быть представлена (см. рис. 8) в виде
E O mghO mgl (1  cos  O ),
(29)
Рис. 8. Начальное отклонение маятника
где h0 – перемещение
по вертикали точки
центра тяжести маят-
ника,
m – масса маятника,
g – ускорение свободного падения,
l – расстояние между точкой центра тяжести и осью маятника.
Через один полный период колебаний маятника аналогично получим:
E1 mgl (1  cos  1 ),
(30)
где 1 – угол отклонения маятника через один полный период колебаний.
Уменьшение потенциальной энергии будет
E 2mgl (sin 2
O

 sin 2 1 ).
2
2
(31)
При  < 50 получим
E 0,5mgl ( O2   12 ).
(32)
Это уменьшение энергии вызвано работой против сил трения качения
(если пренебречь силами трения о воздух). За один полный период
колебаний маятника эта работа может быть записана так (см. рис. 9)
A mgK ( O   O1   O1   1 ),
(33)
где К – коэффициент трения качения,
 O1 - угол отклонения после одного полупериода.
1
Исключим из этого уравнения угол  O . Пусть  уменьшение угла отклонения за один полупериод. Пользуясь этим
можем написать
 O1  O   ,
 1  O1   .
(34)
Из уравнение (33) и (34) получим
A 2mgK ( O   1 ).
(35)
Приравнивая (32) и (35) имеем
1
K  l ( O   1 ).
4
(36)
Для n полных периодов колебаний
имеем
1   n
K l O
.
4
n
(37)
Используя (28), окончательно получим
K
Рис. 9. Углы отклонения
маятника
1 l aO  an
.
4L n
(38)
Этой формулой и пользуются для вычисления величины коэффициента тре-
ния качения.
ИЗМЕРЕНИЯ
Для вычисления коэффициента трения качения по формуле
(38) необходимо измерить:
1.
начальное отклонение маятника а0,
2.
его отклонение аn после n полных периодов его колебаний,
3.
число n таких периодов (величины l, L определяются измерением).
Удобно заранее установить разность а0 - аn, задав начальное и
конечное (после n полных периодов колебаний) отклонения по шкале.
В этом случае все измерения сводятся только к отсчету числа n полных периодов колебаний маятника.
Отсчет производится не менее пяти раз. Пользуясь средним
арифметическим значением этой величины, по формуле (38) вычислите коэффициент трения качения, оцените ошибку его измерения.
Цилиндр на плите должен занимать положение, не препятствующее его перекатыванию.
Шкала может перемещаться в горизонтальном направлении.
Это позволяет совместить стрелку покоящегося маятника с удобным
для отсчета делением.
Отклонение маятника необходимо производить очень осторожно. Перекатывание цилиндра при отклонении маятника не должно сопровождаться его проскальзыванием по плите.
После определения коэффициента трения качения для пары
материал цилиндра – материал пластины их определяют и для других
материалов. Для этого под цилиндр подкладывают пластинки различных (полученных у лаборанта) материалов.
УПРАЖНЕНИЕ 4
В данном упражнении коэффициент трения качения шара по
плоскости определяется методом наклонного маятника.
Маятник представляет собой шарик, подвешенный на нити и
катящийся по наклонной плоскости, затухание колебаний этого маятника обусловлено, главным образом, трением качения. Измерение
силы трения с помощью наклонного маятника основано на измерении
уменьшения амплитуды его колебаний за определенное число циклов.
Формулу для расчета коэффициента трения можно получить, прирав-
няв работе сил трения энергию E P , рассеянную за цикл колебаний
маятника.
Рис. 10. Схематическое изображение наклонного маятника
За n циклов колебаний при переходе из положения
ложение
B в по-
B 1 (рис. 10) маятник теряет энергию E P mgh , рав-
ную работе сил сопротивления на пройденном пути S:
E P A  A1 ,
где
(39)
A — работа силы трения,
A1 — работа по преодолению сопротивления среды и трения в
подвесе маятника,
h — потеря высоты центром тяжести.
Пренебрегая A1 , ввиду ее малости, имеем
mgh FTP S .
(40)
Учитывая формулу (11) и то, что нормальная составляющая силы тяжести создает нормальное давление N mg cos  , а составляющая
силы тяжести, направленная вдоль нити равна mg sin  , имеем
mgh sin  Kmg cos 
Отсюда K 
S
.
R
Rh sin 
.
S cos 
(41)
(42)
Если  O - амплитудное значение угла отклонения маятника в начальный момент,
 n - амплитуда отклонения маятника через n колебаний (рис.
10),
L – длина маятника,
то путь, который проходит центр тяжести маятника за n колебаний,
равен
S 4 Ln CP ,
O n
.
2
где  CP 
Из рисунка 10 очевидно, что h ОЕ – ОД =
L
L(cos  n  cos  O )  ( O   n )( O   n ).
2
(Использовано, что cos  1 
2
).
2
После подстановки выражений для S и h в (42) окончательно
имеем:
K Rtg (
O  n
).
4n
(43)
Здесь  n и  O - углы, выраженные в радианах.
ИЗМЕРЕНИЯ
1.
Отрегулируйте длину маятника с помощью устройства на верхнем кронштейне таким образом, чтобы при колебаниях маятника
шарик перемещался по рабочей поверхности образца, не касаясь
шкалы.
2.
Проверьте положение нити подвеса маятника (она должна совпадать с нулевым делением шкалы). При необходимости проведите
регулировку опор.
3.
Установите с помощью маховичка угол наклона образца равным
90, при этом должно осуществляться касание шарика поверхности исследуемого образца (при отсутствии силы нормального
давления). При необходимости подрегулируйте опоры.
4.
Нажмите на кнопку “Сеть”, расположенную на лицевой панели
прибора, при этом должны загореться цифровые индикаторы.
5.
Отклоните рукой маятник на угол 5 – 60, нажмите кнопку
“Сброс” и без толчка отпустите его. Убедитесь, что маятник совершает колебательные движения и миллисекундомер производит отсчет времени и количество полных колебаний маятника.
6.
После совершения 15 – 20 колебаний маятника нажмите на кнопку “Стоп”, при этом убедитесь, что счет времени и количество
полных колебаний прекращается в момент окончания очередного
периода колебаний.
7.
Выбирая  O и  n , а также углы  , проведите измерения
числа полных колебаний n маятника для предложенных образцов.
Определите величину R. Рассчитайте по формуле (43) коэффициенты трения качения К и погрешности
 К. Полученные значе-
ния коэффициентов трения качения сравните между собой.
Контрольные вопросы
1.
Какова причина возникновения сил трения?
2.
Каков вид графика FTP  f (V )?
3.
Чему равна сила сухого трения, когда тело покоится, и как она
направлена?
4.
Какую роль играет явление застоя при работе измерительных
приборов?
5.
В чем состоит явление заноса? В каких обстоятельствах оно
опасно, в каких – полезно?
6.
Зависит или нет сила трения покоя от площади соприкосновения
тел?
7.
Почему отсутствует трение качения для абсолютно твердых тел?
8.
От каких факторов зависит сила трения качения?
9.
Пусть катящийся без скольжения цилиндр останавливается из-за
потерь энергии на преодоление сил трения качения. В какие формы энергии и каким путем превратилась кинетическая энергия
катящегося цилиндра?
10. Почему отсутствует трения качения, если деформации абсолютно
упруги?
ЛИТЕРАТУРА
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики: В 5 т. Т.1. Механика.—М.:
Наука,1979.— §§ 17.
2. Хайкин С.Э. Физические основы механики.— М.: Наука, 1971.
— §§ 44 - 46, 49 - 52, 97.
3. Стрелков С.П. Механика.—М.:Наука, 1965.— §§ 38, 41,42.
4. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности.— М.: Высшая школа, 1986.—§ 36.