Моделирование глобальных течений на Солнце

Міжнародна конференція "Високопродуктивні обчислення"
HPC-UA’2012 (Україна, Київ, 8-10 жовтня 2012 року)
________________________________________________________________________________________________________________________
Моделирование глобальных течений на Солнце
Логинов А.А.1 , Сальников Н.Н.1 , Сирик С.В.2 ,Черемных О.К.1
Институт космических исследований НАНУ
Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт"
1
2
salnikov.nikolai@gmail.com
Аннотация. Предложена методика расчета глобальных течений по данным гелиосейсмологии о структуре
дифференциального вращения Солнца, которая базируется на гидродинамическом механизме возникновения
глобальных течений, основанном на потере устойчивости дифференциального вращения Солнца. Эта
неустойчивость обнаруживается при исследовании профиля вращения по критерию Релея. Вид глобальных
течений находится при решении задачи об устойчивости дифференциального вращения Солнца. Результаты
расчетов качественно совпадают с наблюдательными данными, а полученные при этом пространственные
структуры мод значительно сложнее тех, которые рассматривались до сих пор в литературе. В частности,
в предлагаемом подходе процессы пространственно-временной вариации меридионального течения и
торсионных колебаний, которые, как правило, в литературе изучаются
отдельно друг от друга,
представляются полоидальной и азимутальной компонентами одной колебательной моды глобального
течения.
Ключевые слова
Метод Галеркина, метод конечных элементов глобальные течения на Солнце, полоидальное течение,
торсионные колебания Солнца, течение Куэтта, критерий Релея, вихри Тейлора.
1 Введение
Одной из фундаментальных проблем солнечной физики является вопрос о происхождении магнитного поля
Солнца и его пространственно-временные вариации, такие как, например, известные периоды в 11 лет
(определяемые исходя из анализа чисел Вольфа) и 22 года (магнитные циклы Хэйла) [1], имеющие выраженный
циклический колебательный характер. Данные явления в настоящее время в основном связываются с
некоторыми динамическими процессами в конвективной зоне Солнца, проявлением которых являются
приповерхностные полоидальные течения (циклические течения от экватора к полюсам) и торсионные
колебания (чередующиеся мигрирующие узкие зоны быстрого и медленного углового вращения) [1, 2].
Указанные процессы доступны прямому наблюдению, а некоторые количественные данные об их
параметрах получают методами гелиосейсмологии [3]. Существуют различные подходы к объяснению
возникновения данных процессов. Например, считается [4], что полоидальная циркуляция возникает из-за
наличия момента центробежных сил между полюсами и экватором, и момента архимедовых сил между
экватором и полюсами. Но расчеты глобального полоидального течения Солнца, основанные на этих двух
факторах, имеют некоторые противоречия (например, в результате получается полоидальное течение,
направленное противоположно наблюдаемому). Более подробные обзоры исследований в данных направлениях
можно найти в [2, 5, 6].
В работах [2, 5, 6] предложен иной механизм генерации глобальных течений на Солнце, основанный на
изучении потери устойчивости дифференциального вращения Солнца (первоисточником данных работ
выступает работа [8], посвященная механизму генерации меридиональной составляющей течений в жидком
ядре Земли вследствие дифференциального вращения); при этом ключевой идеей выступает качественная
аналогия между дифференциальным вращением Солнца и течением Куэтта (течением между двумя соосно
вращающимися с разными угловыми скоростями цилиндрами или сферами, дающим классический пример
течения с дифференциальным вращением), поскольку хорошо известно [7], что при переходе от устойчивого
движения к неустойчивому (первая бифуркация) возникают полоидальные течения (называемые вихрями
Тейлора). Данные вихри весьма похожи на течения, возникающие на Солнце.
-243-
Міжнародна конференція "Високопродуктивні обчислення"
HPC-UA’2012 (Україна, Київ, 8-10 жовтня 2012 року)
________________________________________________________________________________________________________________________
Рис. 1. Качественный вид течения Куэтта и полоидального течения на Солнце
Используя критерий устойчивости Релея [7] для вращающихся сред ∂µ 2 (ρ) / ∂ρ < 0 (при
данного неравенства движение неустойчиво, тут µ(ρ ) — угловой момент вращающегося
элементарного объема, а ρ — расстояние от оси вращения до этого объема), в работе
приповерхностная узкая область Солнца, где происходит потеря устойчивости дифференциального
как следствие, генерация тороидальных структур с полоидальным течением.
выполнении
кольцевого
[2] найдена
вращения, и
2 Основные уравнения и нахождение решения методом Галеркина
Однако для количественного расчета глобальных течений в конвективной зоне Солнца (что необходимо для
решения задачи о генерации и периодическом изменении магнитного поля Солнца), изучения их
пространственного вида и эволюции во времени необходимо использовать уравнения гидродинамики. В [5, 6]
предлагалась следующая чисто гидродинамическая полуэмпирическая модель, состоящая из уравнения
движения и уравнения неразрывности в форме неупругости:
 ∂V

ρ
+ (V ⋅ ∇)V  = − grad(P + U ) + η∆V,
(1)
 ∂t

div(ρV ) = 0.
Тут V — скорость, ρ — (стационарная) плотность, P — давление, U — гравитационный потенциал, η —
коэффициент вязкости. Скорость в (1) представляется в виде
Vϕ >> v ,
V = Vϕ + v,
где Vϕ — заданная стационарная азимутальная скорость вращения Солнца в конвективной зоне, определяемая
методами гелиосейсмологии и удовлетворяющая (1) в нулевом приближении, а v — искомая малая поправка,
описывающая, как показано в [5], течение, возникающее вследствие потери устойчивости дифференциального
вращения. Предполагается также, что все параметры задачи и функции ρ , Vϕ и v не зависят от азимутального
угла ϕ . Вязкостью в (1) также можно пренебречь, поскольку для солнечной плазмы отношение динамических
сил к силам вязкости приблизительно равно 107 . Используя данные предположения, из системы (1) путем
линеаризации в сферической системе координат ( R, θ, ϕ) можно получить следующее определяющее
уравнение
∂ 2 (∆A )ϕ
(
)
Vϕ

1
2
2
(2)
 ln R sin θ , 3 2 AR sin θ , Vϕ R sin θ  = 0 ,
R
R sin θ
∂t

где вектор A = A(R, θ, t ) ⋅ e ϕ (тут e ϕ — орт-вектор локального базиса сферической системы координат) является
2
−
{
}
векторным потенциалом, определяющим полоидальную компоненту v p скорости v , ρ v = rotA . Фигурные
∂g ∂f ∂g 
−
 . Для уравнений (2) ставятся граничные
 ∂R ∂θ ∂θ ∂R 
условия, являющиеся условиями непротекания. Видно, что уравнение (2) является линейным.
Коэффициенты уравнения (2) не зависят от времени, потому его решение можно искать в виде
~
γt ~
γt 
A(R, θ, t ) =A(R, θ) e = A(R, θ) e ⋅ eϕ . В результате получаем задачу на собственные значения (отыскание мод,
скобки в (2) обозначают скобки Пуассона
{ f , g} =  ∂f
-244-
Міжнародна конференція "Високопродуктивні обчислення"
HPC-UA’2012 (Україна, Київ, 8-10 жовтня 2012 року)
________________________________________________________________________________________________________________________
соответствующих значениям γ ). Поскольку функция Vϕ определяется из наблюдений, а коэффициенты
~
уравнений для A являются непостоянными, то разделение переменных в уравнениях (2) и (3) с целью
построения аналитического решения в общем случае не представляется возможным. В связи с этим решение
~
задачи отыскания A в сферической системе координат предлагается осуществлять приближенно с помощью
метода Галеркина. А именно, используем представление
~
C kl
A≈
J (2 k +1) 2 (λ kl ) J − (2 k +1) 2 (λ kl R ) − J − (2 k +1) 2 (λ kl ) J (2 k +1) 2 (λ kl R ) Pk1 (cos θ) ,
R
k ,l
∑
[
]
где J ± (2 k +1) 2 (λ kl R ) — цилиндрические функции Бесселя первого рода полуцелого порядка, а Pk1 (cos θ) —
присоединенные полиномы Лежандра первого порядка. Пробное решение сконструировано таким образом,
чтобы удовлетворять поставленным граничным условиям (при надлежащем выборе λ kl , k = 1, 2, 3, …, l = 0, 1,
2, …). Методика аппроксимации
Vϕ по наблюдаемым данным подробно описана в [2]. Недостатком
описанного метода решения является практически непреодолимая сложность его реализации на
высокопроизводительном персональном компьютере. Удалось рассчитать формы мод с использованием только
9 базисных функций. Для повышения точности расчетов было решено применить метод конечных элементов.
3 Решение задачи методом конечных элементов
Для удобства применения метода конечных элементов уравнение (2) было записано в цилиндрической системе
координат (r , z , ϕ) :
∂ 2  ∂  1 ∂ (rΑ)  ∂ 2 Α  2 ∂
+
Vϕ{rΑ, rVϕ } = 0 ,

−
∂t 2  ∂r  r ∂r  ∂z 2  r 4 ∂z
(
)
(3)
∂g ∂f ∂g 
~
γt
−
 — скобка Пуассона. Решение (3) ищем в виде Α(t , r , z ) = A(r , z )e . Подставив
 ∂r ∂z ∂z ∂r 
~
Α(t , r , z ) = A(r , z )e γt в (3), получим уравнение
~ 
~
 ∂  1 ∂ (rA
)  ∂2 A  2 ∂
~
(4)
γ2  
+ 2 − 4
Vϕ{rA, rVϕ } = 0


r
r
r
z
∂
∂
∂
z
r
∂

 

~
~
для определения A(r , z ) и чисел γ . Нахождение A(r , z ) осуществлялось с помощью метода конечных
элементов (МКЭ).
Уравнение (4) рассматривалось в двумерной области Ω , характеризуемой цилиндрическими
где
{ f , g} =  ∂f
(
координатами
)
(r , z ) , изменяющимися в диапазонах R1 ≤ R = r 2 + z 2 ≤ R2 , r ≥ 0 , где R1 = 0.68R0 , R2 = R0 ,
R0 — радиус Солнца. Данные условия определяют полукольцо в плоскости (r , z ) . Одной из особенностей
функции Vϕ = Vϕ (r , z ) является то, что она относительно плавно меняется при R ≈ R1 и более резко при
R ≈ R2 . Это приводит к тому, что узлы конечноэлементного разбиения целесообразно более редко располагать
при R ≈ R1 , и более густо при R ≈ R2 . На рис. 2 показан пример использованной нами сетки.
Рис 2. Сетка для расчета МКЭ
-245-
Міжнародна конференція "Високопродуктивні обчислення"
HPC-UA’2012 (Україна, Київ, 8-10 жовтня 2012 року)
________________________________________________________________________________________________________________________
Приближенное решение уравнения (4) ищется в виде разложения
~
A(r , z ) =
M
∑ ai Ni (r, z ) ,
(5)
i =1
где {N i }ii ==1M — конечная совокупность финитных базисных функций, каждая функция N i соответствует
определенному i -му узлу конечноэлементного разбиения, а {ai } — неизвестные подлежащие определению
коэффициенты. Для определения всех M коэффициентов ai требуется M уравнений, которые можно
получить, умножив уравнение (4) на финитную весовую функцию Wi (в методе Галеркина Wi выбирается
~
равной N i ) и подставив в полученное равенство вместо A(r , z ) разложение (5). В результате получаем систему
линейных алгебраических уравнений

( γ 2 B + C )a = 0 ,
где B и C — матрицы размера M × M . Эта система имеет нетривиальное решение при условии, что
det( γ 2 B + C ) = 0 , откуда определяем набор из M чисел γ 2 . Выражение (5) при этом дает соответствующую
моду.
В результате численного решения уравнений (2) и (3) получены моды симметричные и
антисимметричные относительно плоскости экватора, как постоянно растущие, так и колебательные с растущей
амплитудой. В частности, в результате моделирования была получена антисимметричная колебательная мода
(~35 лет), которая качественно правильно описывает поведение торсионных колебаний и пространственновременных вариаций меридионального течения на Солнце.
4 Заключение
Предложена методика расчета глобальных течений по данным гелиосейсмологии о структуре
дифференциального вращения Солнца, базирующаяся на предложенном ранее в работах авторов
гидродинамическом механизме возникновения глобальных течений, основанном на потере устойчивости
дифференциального вращения Солнца. Вид глобальных течений находится при решении задачи об
устойчивости дифференциального вращения Солнца.
Результаты расчетов качественно совпадают с наблюдательными данными. Найденные моды носят
глобальный характер, хотя сама область, в которой дифференциальное вращение теряет устойчивость, локальна
(~ 8%). В результате решения задачи было установлено, что оба процесса (пространственно-временные
вариации меридионального течения и торсионные колебания), изучаемых до сих пор отдельно друг от друга,
являются полоидальной (пространственно-временные вариации меридионального течения) и азимутальной
(торсионные колебания) компонентами одной колебательной моды глобального течения.
Список литературы
1. Монин А.С. Солнечный цикл. – Ленинград: Гидрометеоиздат, 1980. – 68 с.
2. Логинов А.А., Сальников Н.Н., Черемных О.К., Зелык Я.И., Маслова Н. В. О гидродинамическом механизме
генерации глобального полоидального течения на Солнце // Кинемат. и физ. небес. тел. – 2011. – Т.27, № 5. – С.3-11.
3. Косовичев А.Г. Гелиосейсмология // Изв. Крымской Астрофиз. Обс. -2007. –т.103, №2. -С. 130-142.
4. Кичатинов Л.Л. Дифференциальное вращение звезд // Успехи физических наук. -2005. –т. 175, №5. -С. 475-494.
5. Логинов А.А., Сальников Н Н., Черемных О.К., Криводубский В.Н., Маслова Н. В. Гидродинамическая модель
генерации глобального полоидального течения Солнца // Космічна наука і технологія. – 2011. – Т.17, №1. –
С.29-35.
6. Логинов А.А., Черемных О.К., Криводубский В.Н., Сальников Н Н. Гидродинамическая модель торсионных
колебаний Солнца // Космічна наука і технологія. – 2012. – Т.18, №1. – С.74-81.
7. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. -М.: Мир, 1981. - 638 с.
8. Логинов А.А., Самойленко Ю.И., Ткаченко В.А. Возбуждение меридионального течения дифференциальным
вращением в жидком ядре Земли. // Космічна наука і технологія. – 2000. – Т.6, № 2/3. – С. 53-68.
-246-