методы управления движением космического робота в

3792
УДК 531.2/.6
МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ
КОСМИЧЕСКОГО РОБОТА В ОКРЕСТНОСТИ
ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
Ф.М. Кулаков
Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН
Россия, 199178, Санкт-Петербург, 14 линия, 39
E-mail: kufelix@yandex.ru
А.С. Шмыров
Санкт-Петербургский государственный университет
Россия, 198504, Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский пр., 35
E-mail: ashmyrov@yandex.ru
Д.В. Шиманчук
Санкт-Петербургский государственный университет
Россия, 198504, Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский пр., 35
E-mail: shymanchuk@mail.ru
Ключевые слова: космический робот, круговая ограниченная задача трех тел,
точки либрации, управляемое движение
Аннотация: Доклад посвящен исследованию задачи управления космическим роботом, который функционирует в околоземном космическом пространстве при маневрировании с использованием неустойчивых точек либрации системы Солнце-Земля.
Движение робота в космическом пространстве рассматривается в рамках круговой
ограниченной задачи трех тел. Показана возможность маневрирования в околоземном космическом пространстве с возвращением в окрестность коллинеарной точки
либрации и стабилизации космического робота в ее окрестности.
1.
Введение
Одним из наиболее привлекательных направлений развития современной космонавтики является космическая робототехника, основной целью которой является
создание и развитие сложных механизмов способных функционировать в суровых
условиях космической среды.
Космическая робототехника имеет важное значение для общей способности, а
следовательно и эффективности, работать в космосе, она уже существенно расширяет функциональные возможности космических аппаратов, позволяет существенно
помочь космонавтам в открытом космосе или полностью освободить от работы в
опасных условиях. В целом космическая робототехника открывает новые возможноXII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
3793
сти для развития традиционной космонавтики, связанного с созданием и развитием
принципиально новых типов космических аппаратов, например, конструирования в
космосе больших (массивных, протяженных) космических станций, которые совершают управляемые маневры в околоземном пространстве. Особенно актуален такой
подход при исследовании других небесных тел, например, при решении проблемы
кометно-астероидной опасности.
Очевидно, что проектирование проектов, предполагающих использование систем
космической робототехники, должно включать оценку возможности их осуществления на практике, что с необходимостью влечет использование весьма сложных уравнений небесной механики.
При космическом маневрировании существенную роль могут сыграть так называемые коллинеарные точки либрации системы Солнце Земля [1].
Движение космического робота (КР) под действием сил тяготения двух притягивающих тел, таких как Земля и Солнце, может быть описано моделью круговой
ограниченной задачи трех тел. В рамках этой модели исследуется движение тела
малой массы p под действием гравитационных полей притяжения двух массивных
тел E и S, обращающихся вокруг их общего центра инерции. Тела рассматриваются
как материальные точки, считается также, что тело бесконечно малой массы p не
влияет на движение притягивающих центров E и S.
L4
60
L3
L1
Sun
Earth
L2
60 
L5
Рис. 1. Точки либрации системы Солнце-Земля
Известно, что уравнения задачи трех тел имеют пять стационарных решений –
эти решения в небесной механике называют точками либрации или точками Лагранжа. Три из них L1 , L2 , L3 – коллинеарные точки либрации – являются неустойчивыми
положениями равновесия во вращающейся системе координат, L4 и L5 – устойчивы и
в силу расположения в пространстве конфигураций их называют треугольными [1].
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
3794
Точки либрации являются абстрактными понятиями круговой ограниченной задачи трех тел, однако их свойства определяют качественный характер орбитального
движения КР, который в реальности происходит под действием многих возмущающих факторов.
Задача исследования орбитального движения в окрестности коллинеарной точки
либрации системы Солнце-Земля уже давно имеет практическое значение в связи с
проектами (ISEE-3, SOHO, WIND, ACE, Genesis и т. д.), реализуемыми Национальным управлением по воздухоплаванию и исследованию космического пространства
(NASA) и Европейским космическим агентством (ESA).
2.
Область исследования
Развитие космонавтики с недавнего времени позволяет реализовывать проекты,
связанные с использованием окрестностей коллинеарных точек либрации L1 и L2 [2],
и с учетом их свойств становится очевидной актуальность задачи стабилизации КР
в их окрестности [3–6]. В тоже время неустойчивость коллинеарных точек либрации может являться и положительным фактором, способствующим космическому
маневрированию с относительно небольшими энергетическими затратами [7–10]. Все
это требует построения законов управления, как стабилизирующих орбитальное движение, так и способствующих эффективному перемещению космического робота в
околоземном космическом пространстве.
В этой связи предлагается разработка методов телеуправления космическими робототехническими системами в околоземном космическом пространстве с использованием окрестностей точек либрации. Специфика поставленной задачи определяется
следующими факторами:
• коллинеарная точка либрации является неустойчивой, т.е. космический аппарат, двигаясь по галоорбите [2] вокруг коллинеарной точки либрации и получив
возмущение, может существенно покинуть ее окрестность,
• большая задержка по времени передачи управляющих сигналов с центра управления на орбиту и обратно,
• функционирование космического аппарата в недетерминированной внешней
среде, которая, не обладая свойством предсказуемости, но характер воздействия которой определен, способна внести возмущения, влияющие на орбитальное движение.
Управление таким космическим аппаратом с учетом задержки по времени передачи сигнала и недетерминированной внешней среды рационально осуществлять в
так называемом супервизорном режиме [11–13], когда человек выполняет роль супервизора. Для этой цели предполагается использование двух видов телеуправления:
• автономный, через информационно управляющий комплекс расположенный на
самом КР,
• дистанционный, через человека-оператора находящегося в центре управления.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
3795
Неустойчивость коллинеарной точки либрации является в то же время положительным фактором и позволяет КР осуществлять различные маневры, в том числе
очень большой протяженности без существенных затрат энергии реактивных двигателей, используя для перемещения в основном силы гравитационного притяжения
или в будущем, возможно, давление света с привлечением таких экзотических систем
управления как солнечный парус. Для длительного пребывания КР в окрестности
точки либрации прежде всего необходимо решение задачи его стабилизации, а это
в свою очередь открывает путь создания и использования специальных КР с целью
выполнения там большого количества разнообразных задач, в том числе робототехнических, например, операций сборки космических станций.
2.1.
Уравнения движения
Уравнения движения КР во вращающейся системе координат при использовании
хилловского приближения для солнечного потенциала могут быть представлены в
виде [3]
(1)

ẋ1 = x2 + y1 ,




ẋ2 = −x1 + y2 ,




ẋ3 = y3 ,



3x1

+ 2x1 + y2 ,
ẏ1 = −
kxk3


3x2


ẏ2 = −
− x2 − y 1 ,



kxk3



3x

 ẏ3 = − 33 − x3 ,
kxk
здесь x = (x1 ; x2 ; x3 ) – вектор координат КР, y = (y1 ; y2 ; y3 ) – вектор импульсов,
центр инерции Земли совпадает с началом системы координат, а ось Ox1 направлена
вдоль оси, соединяющей центры масс Земли и Солнца, k · k – евклидова норма вектора. В принятой модели единицы времени и расстояния выбраны таким образом,
что единица расстояния приблизительно равна 10−2 а. е. ≈ 1, 5 · 106 км, а единица
времени – 58,0916 суток (год, деленный на 2π). Точки либрации L1 , L2 во вращающейся системе неподвижны и имеют координаты x∗ = (1; 0; 0), y ∗ = (0; 1; 0) и
x∗∗ = (−1; 0; 0), y ∗∗ = (0; −1; 0) соответственно.
Система (1) – гамильтонова, где функция Гамильтона H
(2)
1
3
3
kxk2
H = kyk2 −
− x21 +
+ x2 y 1 − x1 y 2 .
2
kxk 2
2
Известно, что гамильтониан (2) на траекториях движения сохраняет свое значение, т. е. является интегралом для системы (1). Этот факт может быть использован
для оценки точности приводимых примеров численного интегрирования.
2.2.
Траектория с возвращением в окрестность
коллинеарной точки либрации
Смоделируем применение управляющего воздействия в виде малого изменения
скорости космического аппарата, находящегося в окрестности коллинеарной точки
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
3796
либрации L2 . Результаты численного моделирования движения КР в плоскости эклиптики (если в начальный момент положить (x3 = 0; y3 = 0) приведены на рис. 2 и
рис. 3.
На рис. 2 видно, что с помощью весьма малого воздействия космический аппарат
совершает протяженный маневр в околоземном космическом пространстве, время
движения по траекториям - порядка года. На рис. 3 КР совершает маневр с возвращением в окрестность точки либрации L1 , которому соответствует больший промежуток времени. Начальный момент времени и способ применения управляющего
воздействия подбираются так, чтобы обеспечить сближение с изучаемым небесным
телом, траектория которого на рисунках обозначена пунктиром.
0.6
0.4
to Sun
x2
0.2
0.0
L2
Earth
L1
-0.2
-0.4
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x1
Рис. 2. Траектория с возвращением в окрестность коллинеарной точки либрации L1
0.6
0.4
to Sun
x2
0.2
0.0
L2
Earth
L1
-0.2
-0.4
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x1
Рис. 3. Траектория с возвращением в окрестность коллинеарной точки либрации L1
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
3797
2.3.
Орбитальное движение в окрестности коллинеарной
точки либрации
Управляемые уравнения движения космического робота во вращающейся системе координат могут быть представлены в виде [3, 4, 6–8]

ẋ1 = x2 + y1 ,




ẋ2 = −x1 + y2 ,




ẋ

 3 = y3 ,

3x1

ẏ
+ 2x1 + y2 + u1 ,
1 = −
3
(3)
kxk


3x2


ẏ2 = −
− x2 − y 1 + u 2 ,



kxk3



3x

 ẏ3 = − 33 − x3 + u3 .
kxk
где u = (u1 ; u2 ; u3 ) – вектор ускорения.
При этом единица ускорения будет равна 5, 93844 · 10−5 м/с2 ≈ 6, 05552 · 10−6 g,
где g - стандартное ускорение свободного падения для Земли.
Для обеспечения длительного пребывания космического робота в окрестности
коллинеарной точки либрации L1 в рамках системы (3), как было показано в работах [4, 6–8], необходимо, чтобы для его фазовых координат выполнялось следующее
соотношение:
(4)
d1 = |b1 z| 6 ε,
p
√
λ21 + 3
2
λ21 − 3
;
;
),
λ
=
1
+
2
7, z = (x1 − 1; x2 ; y1 ; y1 − 1)
1
λ1 (λ21 + 5) λ1 (λ21 + 5) λ21 + 5
– вектор-столбец, ε – достаточно малое вещественное число.
где b1 = (1;
2.4.
Примеры
Рассмотрим орбитальное движение КР в зависимости от значения введенной
функции (4).
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
3798
1. Пусть в начальный момент времени КР имеет в фазовом пространстве координаты: x = (0, 99; 0; 0), y = (0; 1; 0).
0.06
0.04
0.02
L1
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
1.02
-0.02
-0.04
-0.06
Рис. 4. Траектория орбитального движения в окрестности коллинеарной точки
либрации L1
d1
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
10
20
30
40
t
-0.01
-0.02
Рис. 5. Значение функции опасности на траектории орбитального движения в
окрестности коллинеарной точки либрации L1 (см. рис. 4)
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
3799
2. Пусть в начальный момент времени КР имеет в фазовом пространстве координаты: x = (1; 0; 0), y = (0; 0, 99; 0).
0.010
0.005
L1
0.985
0.990
0.995
1.000
-0.005
-0.010
Рис. 6. Траектория орбитального движения в окрестности коллинеарной точки
либрации L1
d1
0.0014
0.0012
0.0010
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
10
20
30
40
t
Рис. 7. Значение функции опасности на траектории орбитального движения в
окрестности коллинеарной точки либрации L1 (см. рис. 6)
3.
Заключение
Пусть в начальный момент времени космический аппарат находится в окрестности фазового пространства коллинеарной точки либрации, а затем совершает маневр,
обеспечивающий наблюдение за околоземным пространством. Здесь можно использовать малое управляющее воздействие, которое становится эффективным в силу
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
3800
неустойчивости коллинеарной точки либрации. Именно в этом случае неустойчивость является положительным фактором, позволяющим при малых энергетических
затратах существенно изменить траекторию движения.
Справедливость данного утверждения видна из примеров, приведенных в п. 2.3.
Очевидно, что такого типа космический аппарат может быть многократно использован для исследования околоземного космического пространства. Следует отметить,
что при совершении такого маневра и возникает задача построения «траектории возвращения» [7, 8] и удержания космического аппарата в окрестности коллинеарной
точки либрации [3, 4, 6].
Поэтому разработка методов построения стабилизирующих телеуправлений, например, на основе введенной функции (4), является весьма важной и перспективной задачей при обеспечении эффективного функционирования робототехнических
систем в окрестности коллинеарной точки либрации системы Солнце-Земля на длительном промежутке времени.
На основании рассмотренного следует отметить возможность осуществления
необходимого управления при использовании таких экзотических систем как солнечный парус [3, 4, 6–10], его применение оказывается возможным в силу достаточно
малых значений управляющего воздействия.
Конечно, более точная оценка возможности осуществления необходимого маневра КР может быть получена при учете, в том числе, и других возмущений (влияния
эксцентриситета орбиты Земли, Луны, других планет и т. д.). В то же время это влечет рассмотрение КР как твердого тела (не материальной точки), перемещение которого описывается сложными математическими уравнениями, учитывающими как
поступательное, так и вращательное движение.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.
Howell K.C. Families of orbits in the vicinity of the collinear libration point // Journal of the
Auronautical Sciences. 2001. Vol. 49., No. 4. P. 107-125.
Шмыров В.А. Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата
в окрестности коллинеарной точки либрации L1 // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 2. С. 193-199.
Шмыров А.С., Шмыров В.А. Оптимальная стабилизация орбитального движения КА в
окрестности коллинеарной точки либрации L1 // Четвертые Поляховские чтения: избр.
труды. СПб.: Изд-во «ВВМ», 2006. С. 296-300.
G. Gomes, J. Llibre, R. Martinez, C. Simo, Dynamics and mission design near libration points.
Vol. 1. River Edge, 2001. 443 p.
Шиманчук Д.В. Моделирование орбитального управляемого движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1 // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10:
Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 3. С. 86-92.
Шиманчук Д.В., Шмыров А.С. Исследование траекторий возвращения в окрестность коллинеарной точки либрации // XI Белорусская математическая конференция: Тез. докл.
Междунар. науч. конф. Минск, 5-9 ноября 2012 г. Часть 3. Минск: Институт математики
НАН Беларуси, 2012.
Шиманчук Д.В., Шмыров А.С. Построение траетории возвращения в окрестность коллинеарной точки либрации ситсемы Солнце-Земля // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2013. Вып. 2. С. 76-85.
Shymanchuk D.V., Shmyrov A.S. Maneuvering in near-Earth space whish the use of the collinear
libration points // XVI International Conference, Dynamical System Modelling and Stability
Investigation, Abstracts of conference reports. Kiev, Ukraine, May 29-31, 2013.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г
3801
10.
11.
12.
13.
Kulakov F.M., Shmyrov A.S., Shymanchuk D.V., Supervisory Remote Control of Space Robot
in an Unstable Libration Point // Proceedings of the 7th IEEE International Conference on
Intelligent Data Acquisition and Advanced Computing System: Technology and Applications
12-14 September 2013, Berlin, Germany, Berlin, 2013. Vol. 2. P. 925-928
Кулаков Ф.М. Супервизорное управление манипуляционными роботами. М.: Наука, 1980.
448 с.
Алферов Г.В, Кулаков Ф.М., Нечаев А.И., Чернакова С.Э. Информационные системы виртуальной реальности в мехатронике и робототехнике: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СанктПетербургского университета, 2009. 168 с.
Kulakov F.M. Active Force-Torque Robot Control without Using Wrist Force-Torque Sensors //
Journal of Computer and Systems Sciences International. 2012. Vol. 51, No. 1. P. 147-168.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г