Экранирование низкочастотного электрического поля тонкостенной незамкнутой сферической оболочкой с учетом емкостных свойств

Экранирование низкочастотного электрического поля
тонкостенной незамкнутой сферической оболочкой
с учетом емкостных свойств
ЕРОФЕЕНКО В.Т., ШУШКЕВИЧ Г.Ч.
Решение задачи экранирования низкочастотного
электрического поля тонкостенной незамкнутой
сферической оболочкой сведено к решению инте
грального уравнения Фредгольма второго рода. Полу
чена формула для вычисления коэффициента экрани
рования. Приведены результаты вычислительного
эксперимента.
К л ю ч е в ы е с л о в а : низкочастотное элек
трическое поле, интегральное уравнение, коэффици
ент экранирования, уравнение Лапласа
The solution of the problem of shielding a
lowfrequency electric field by an open thinwalled
spherical shell is reduced to solving Fredholm’s integral
equation of the second kind. A formula for calculating the
shielding factor is obtained, and results from a numerical
experiment are presented.
K e y w o r d s : lowfrequency electric field, integral
equation, shielding factor, Laplace equation
Источниками низко и высокочастотных элек
тромагнитных полей (ЭМП) являются радио и те
левизионные передающие устройства, системы
обычной и сотовой связи, радиотелефоны. Уровень
этих полей достаточно высок, что приводит к ухуд
шению параметров электромагнитной среды, сни
жению эффективности работы технических средств
и обслуживающего персонала [1–4]. Наиболее эф
фективным средством снижения уровня ЭМП
(электрической и магнитной напряженности) в ок
ружающей среде является применение активного и
пассивного экранирования либо пространства, в
котором желательно снизить уровень ЭМП, либо
технических средств, влияние на которые внешне
го ЭМП следует исключить [5–7]. В [8–10] предло
жена методика расчета низкочастотных электро
магнитных полей для случая, когда незамкнутые
экраны являются идеально проводящими. В этом
случае поле не проникает через стенки экранов.
Для экранов же с низкой проводимостью материа
ла поле проникает через стенку оболочки – для
моделирования таких процессов используют не
классические граничные условия [11].
В статье решена краевая задача с неклассиче
скими граничными условиями, описывающими
процесс проникновения низкочастотного электри
ческого поля через тонкую незамкнутую сфериче
скую оболочку с учетом ёмкостных свойств обо
лочки.
водимостью g и расположена на поверхности сфе
ры Г1 радиусом a, круговое отверстие имеет угол
раствора q0 (рис. 1). Оболочку Г D заменим на иде
альную поверхность Г = {r = a, q0 £ q £ p , 0 £ j £ 2 p }.
Для решения задачи свяжем с точкой 0 сфери
ческие координаты {r, q, j }:
Постановка задачи. В пространстве R 3 с диэлек
трической проницаемостью e0 и магнитной прони
цаемостью m0 расположена полупрозрачная тонко
стенная незамкнутая сферическая оболочка Г D
толщиной D. Оболочка Г D выполнена из материала
с диэлектрической проницаемостью e, магнитной
проницаемостью m, удельной электрической про
x = r cos j sin q; y = r sin j sin q; z = r cos q,
где 0 £ r < ¥ ; 0 £ q £ p; 0 £ j £ 2 p.
В пространстве распространяется первичное
низкочастотное электрическое поле с электриче
ским потенциалом u0 , изменяющимся с круговой
частотой w. Для электрического потенциала u1 поля
внутри сферической поверхности и для потенциала
u 2 = u0 + u ¢2 вне поверхности Г1 сформулируем
краевую задачу экранирования со специальными
граничными условиями [11] на поверхности экра
на Г:
Du1 = 0, 0 £ r < a, Du 2¢ = 0, r > a;
(1)
дu
дu
u1 Г \ Г = u 2 Г \Г , r1 Г \ Г = r2 Г \Г , 0 £ q< q 0 ;(2)
1
1
дn 1
дn 1
u1 Г = u 2 Г + V , V = const,
д (u 2 - u1 )
r
Г = - apF (u 2 + u1 ) Г , q 0 < q £ p . (3)
дn
r
r
1 д æ 2 дu ö
e¢d
çr
÷; p =
где F (u)= (n, rot[n, gradu])= ;
2 дrè
ø
дr
2
e0 a
r
g r r
2 kD
d= tg ; k= w e¢m; 0 £ arg k < p; e¢= e+ i ; n = er –
k
2
w
внешний нормальный единичный вектор к поверх
ностям Г, Г1 \ Г , условию на бесконечности
58
Экранирование низкочастотного электрического поля
u 2 (M )® 0 при M ® ¥ ,
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 6/2011
(4)
z
M – произвольная точка пространства.
Реальные электрические потенциалы и электри
ческие поля определяются формулами:
r
V j = Re(u j e- iwt ), E j = - gradV j , i - мнимая еди
0
ница, j= 1, 2.
Отметим, что в [12] использовалось граничное
условие сопряжения вида
h1
Вычислительный эксперимент показал, что ве
личина q принимает достаточно большое значение.
Поэтому в данном граничном условии пренебрега
1 д(u 2 + u1 )
ем величиной
r
Г и получаем граничное
q
дn
условие F (u 2 - u1 ) Г = 0. Так как в операторе F диф
ференцирование осуществляется вдоль поверхно
сти Г , то получим первое граничное условие (3),
которое позволяет учитывать ёмкостные свойства
оболочки Г 1 .
Можно воспользоваться другим обоснованием.
Предполагается, что на одной стороне экрана рас
полагаются распределенные по поверхности поло
жительные заряды, а на другой – отрицательные.
Считается, что заряды не могут нейтрализоваться
путем передвижения с одной стороны экрана на
другую. Такая структура описывается потенциалом
двойного слоя, который терпит разрыв первого
рода. Указанный разрыв потенциала описывается
первым граничным условием (3).
Выполнение граничных условий. Представим ре
шение задачи (1)–(3) в виде суперпозиции по ба
зисным решениям уравнения Лапласа в сфериче
ской системе координат так, чтобы выполнялось
условие на бесконечности (4):
h2
Рис. 1. Осевое сечение экрана
ö
÷
÷, h2 > h1 > a.
x 2 + y 2 + ( z + h2 ) 2 ÷
ø
Полярность диполя меняется с частотой f ,
w= 2 p f – круговая частота.
Потенциал этого поля в окрестности сфериче
ской оболочки равен [14]:
¥
æ r ön
(6)
u0 = å anç ÷ Pn (cos q), 0 £ r < a,
n= 0 è a ø
1
æ
ö
an ÷
(- 1)n Qç a n
.
где an =
÷
4pe0 çç h n+1 h n+1 ÷
è 1
ø
2
Учитывая представления (5), (6) и выполняя
граничные условия (2), (3), с учетом разложения
¥
ì
ï0, 0 £ q < q 0
f (q)= í
= å fn Pn (cos q)
ï
îV , q 0 < q £ p n= 0
получаем соотношение между коэффициентами xn , yn :
x n = fn + y n + an ,
n
¥
ær ö
u1 = å x nç ÷ Pn (cos q), 0 £ r < a;
n= 0 è a ø
r
Г)
)
д (u 2 + u1 )
2
r
.
= - aqF (u 2 - u1 ) Г , q =
Г
дn
w 2 e0 mda
20
a
(5)
¥
æ a ön+1
u 2¢ = å y nç ÷ Pn (cos q), r > a,
n= 0 è r ø
где xn , yn - неизвестные коэффициенты, подлежащие
определению; Pn (cos q) – полиномы Лежандра [13].
В качестве первичного электрического поля
примем поле электрического диполя, ориентиро
ванного вдоль оси 0z с точечными зарядами Q и - Q,
расположенными
соответственно
в
точках
M1 (0, 0,- h1 ), M 2 (0, 0,- h 2 ):
æ
Q ç
1
u0 =
ç
4pe0ç
2
2
2
x
y
z
h
+
+
(
+
)
è
1
(7)
æ 1 öp
2 n+ 1
где fn = Vç n+ ÷ ò Pn (cos q)sin qdq=
´
è 2 øq
2 n(n+ 1)
0
´ V sin q0 Pn1 (cos q0 ), n ³ 1; f0 = 0,5V (1+ cos q0 ),
и парные сумматорные уравнения по полиномам
Лежандра вида:
ü
¥
¥
å (nx n + (n + 1)y n )Pn (cos q)= å nan Pn (cos q), ï
ï
n= 0
n= 0
ï
0 £ q< q0 ;
ï
ï
¥
ý (8)
å (n(1+ (n + 1) p) x n + (n + 1)(1+ np)y n )Pn (cos q)= ï
ï
n= 0
ï
¥
ï
= å n(1- (n + 1) p)an Pn (cos q), q 0 < q £ p .
ï
þ
n= 0
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 6/2011
Экранирование низкочастотного электрического поля
Исключим из (8) коэффициенты xn с помощью
представления (7) и введем в рассмотрение новые
величины:
извольной точке M 0 внутри сферической оболочки
в течение периода T = 2 p / w определяется по фор
муле
r
æ r ön- 1
1 ¥
E1 (M 0 ,t )= - å Re( x n exp(- 2 p it ))ç ÷
´
a n= 1
è aø
r
r
´ (nPn (cos q)e r + Pn1 (cos q)e q ),
(2 n + 1)Tn = D n y n + (2 n(n + 1) p)an +
+ n(1+ (n + 1) p) fn , n= 0,1,...;
gn =
(9)
2 n+ 1- p / 2
; Dn = 2 n+ 1+ 2 n(n+ 1) p,
2 n+ 1+ 2 n(n+ 1) p
тогда парные уравнения (8) преобразуются к виду:
ü
¥
¥
n= 0
n= 0
å (- gn )Tn Pn (cos q)= å (a n an + bn fn )Pn (cos q),ï
ï
ï
ý (10)
ï
ï
ï
þ
0 £ q< q0 ;
¥
å (2 n + 1)Tn Pn (cos q)= 0, q0 < q £ p ,
n= 0
2
где 0 £ t £ 1, t = t / T – безразмерное время в отн. ед.
Если точка M 0 (0,0, z) находится на оси 0z, то
z < a, q= 0 (cosq= 1, Pn (1)= 1) или q= p (cosq= - 1,
Pn (- 1)= (- 1)n ), Pn1 (±1)= 0, и тогда
ì E (+ ) (M ,t )er , 0 £ z < a, q= 0;
r
ï
r
0
E1 (M 0 ,t )= í (-1 )
r
ïE1 (M 0 ,t )er , - a < z £ 0, q= p ,
î
где
(+ )
E1
2
n(n+ 1)(2 n+ 1) p
n(n+ 1) p
; bn =
.
2 Dn
Dn
Преобразуем парные сумматорные уравнения
(10) к регулярному интегральному уравнению
Фредгольма второго рода. Для этого введем в рас
смотрение новую функцию j (t ), которая связана с
коэффициентами Tn соотношением:
где a n =
(11)
0
После преобразований получим [15, 16]:
q0
j ( x )- ò K(x,t)j (t )dt = G ( x ), 0< x < q 0 ,
(12)
(M 0 ,t )= -
(- )
E1
(M 0 ,t )= -
xn = fn + an + ((2 n+ 1)Tn - 2 n(n+ 1) pan - n(1+ (n+ 1) p) fn ) / Dn .
Коэффициент экранирования (ослабления)
поля в точке M 0 , расположенной на оси 0z внутри
сферической оболочки, вычисляем по формуле
K
2 ¥
å (a a + b f )cos(n+ 0,5) x.
p n= 0 n n n n
(13)
æ xæx+ tö
4 ¥ Cn ( x ,t ) 1 æ
÷+ ln ctgçç
å
= çç ln ctgç
p p n= 0 2 n + 1 p pè
è 4 ø
è 4
K1 ( x,t )=
dn =
(M 0 ,t )=
(±)
(M 0 ,t )
(±)
(M 0 ,t )
E1
E0
,
(14)
(+ )
(M 0 ,t )= -
æ z ön- 1
1 ¥
å an n cos(2 p t )ç ÷ , 0 £ z < a;
èa ø
a n= 1
(- )
(M 0 ,t )= -
æ z ön- 1
1 ¥
å (- 1)n an n cos(2 p t )çç ÷÷ ,
a n= 1
èaø
E0
где
K 0 ( x ,t )=
(±)
где
Ядро интегрального уравнения имеет вид
2 ¥
K ( x ,t )=
å g cos(n + 0,5) xcos(n + 0,5)t =
p n= 0 n
= K 0 ( x ,t ) + K1 ( x ,t ),
æ z ön- 1
1 ¥
å (- 1)n nRe( xn exp(- 2 p it ))çç ÷÷ ,
a n= 1
èaø
- a < z £ 0;
0
где G ( x)=
æ z ön- 1
1 ¥
å nRe( xn exp(- 2 p it ))ç ÷ ,
èa ø
a n= 1
0 £ z < a;
q0
Tn = ò j (t )cos(n + 0,5)tdt , n= 0,1, 2,...
59
ö
tö
÷÷;
÷÷
øø
æ 1ö æ 1ö
1 ¥
å dn Cn ( x,t); Cn ( x,t)= cosç n+ ÷t cosç n+ ÷x;
è 2ø è 2ø
p n= 0
2 - (2 n+ 1)( p + 4 / p)
, d = O(n- 2 ) при n ® ¥ .
(2 n+ 1)(2 n+ 1+ 2 n(n+ 1) p) n
Вычисление коэффициента экранирования. Изме
нение напряженности электрического поля в про
E0
- a < z £ 0; an – действительное число.
Вычислительный эксперимент. Для численного
решения интегрального уравнения (12) воспользу
емся методом коллокации. Разобьем отрезок [0, q0 ]
на N частичных отрезков [q00 , q10 ], [q10 , q02 ], …,
[q0N - 1 , q0N ]
длиной h = q0 / N , q0s = sh, s = 0,1,..., N ,
q0N = q0 . Приближенное решение интегрального
уравнения ищем в виде линейной комбинации:
N
j (t )= å Cn y n (t ), y n (t ) – базисные функции. (15)
n= 1
60
Экранирование низкочастотного электрического поля
В качестве базисных функций выбираем систе
му функций Хаара [18], а в качестве точек коллока
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 6/2011
К (+)(М0 ,0)
1
ции – точки x ( m) = (q0m + q0m- 1 ) / 2 – середины час
тичных отрезков. В результате получим систему ли
нейных алгебраических уравнений для определе
ния коэффициентов Cn :
ö
æ
q 0n
÷
ç
( m)
å Cnç dnm- ò K ( x ,t )dt ÷= G ( x ( m) ), m = 1,..., N ,(16)
÷
n= 1 ç
q n0- 1
ø
è
2
0,8
3
0,6
N
где G ( x ( m) )=
0,4
4
2 ¥
å (a a + b f )cos(n+ 0,5) x ( m) .
p n= 0 n n n n
Решая систему (16), вычисляем коэффициенты
Tn по формуле:
j
q0
N
j- 1
q0
Кроме того, для получения достоверного реше
ния системы линейных алгебраических уравнений
(16) необходимо проверить обусловленность систе
мы. Матрица, соответствующая системе, считается
хорошо обусловленной, если число обусловленно
сти матрицы ³ 1 [19].
Был проведен вычислительный эксперимент.
Число обусловленности системы линейных алгеб
раических уравнений в пространстве L1 , L2 [20]
для рассмотренных параметров задачи не превыша
ло 40. При выполнении расчетов бесконечные сум
мы, входящие в представление интегральных урав
нений (12), вычислялись с точностью 10- 5 при
шаге h= 0,05. Расчеты выполнялись в системе ком
пьютерной математики Mathcad 14 [21].
В ходе вычислений были получены значения
коэффициента экранирования K
(+ )
(M 0 ,0) для не
которых углов раствора q0 незамкнутой полупро
зрачной сферической оболочки Г и следующих па
раметров: h1 / a = 1,2; h 2 / a = 1,201; D / a= 0,1; f = 100
Гц; e= 50e0 ; e0 = 8,85 ×10- 12
Ф/м; g= 0;
0
0,2
0,4
0,6
0,8
z/a
Рис. 2. Зависимости коэффициента экранирования от z / a для
D / a = 0,1 f = 100 Гц и различных углов раствора q0
Tn = å C j ò cos(n + 0,5)tdt .
j= 1
5
0,2
m= m0 ;
m0 = 4p ×10- 7 Гн/м; V=1 B; Q= 0,01 Кл.
К (+)(М0 ,0)
1,0
4
3
0,8
2
0,6
1
0,4
0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
z/a
Рис. 3. Зависимости коэффициента экранирования от z / a для
различных значений D / a
На рис. 3 представлены графики K (+ ) (M 0 ,0),
0 £ z / a < 1 для угла раствора q0 = 60°, f = 1000 Гц и
различных значений отношений толщины оболоч
ки D к радиусу D / a: 1 – 0,1; 2 – 0,05; 3 – 0,01; 4 –
0,005.
На рис. 2 представлены графики K (+ ) (M 0 ,0),
На рис. 4 представлены графики K (+ ) (M 0 ,0),
0 £ z / a < 1 для углов раствора q0 : 1 –100°, 2 –90°, 3
– 60°, 4 – 45°, 5 – 30°.
0 £ z / a < 1 для угла раствора q0 = 60°, f = 1000 Гц,
Значения коэффициентов экранирования при отношениях z/a, равных
Потенциал V
0,01
0,21
0,41
0,61
0,91
0,51
0,91
0,01
0,768556
0,828029
0,875641
0,911813
0,948297
0,560321
0,317385
100
0,768604
0,828101
0,875732
0,911915
0,948408
0,560327
0,317386
10000
0,773313
0,835131
0,884677
0,922087
0,959392
0,560942
0,317412
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО» № 6/2011
Экранирование низкочастотного электрического поля
К (+)(М0 ,0)
1,0
1
0,9
2
3
0,8
4
0,7
5
0,6
0
0,2
0,4
0,6
0,8
z/a
Рис. 4. Зависимости коэффициентов экранирования от z / a для
различных значений e/ e0
D / a= 0,01 и различных значений отношений e / e0 :
1 – 20; 2 – 40; 3 – 60; 4 – 90; 5 – 120.
В таблице приведены значения коэффициентов
экранирования K (+ ) (M 0 ,0) при изменении потен
циала V, значений - 1< z / a < 1 и следующих пара
метров: h1 / a = 1,2; h 2 / a = 1,201; D / a= 0,01; q0 = 90°;
f = 500 Гц; e= 50e0 ; g= 0; m= m0 ; Q= 0,1 Кл.
________________СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ _______________
1. Воронин Г.П. Электромагнитная совместимость: безопас
ность электронных систем и аппаратуры, защита окружающей
среды и здоровья человека. – Электроника: Наука, технология,
бизнес, 2000, № 2.
2. Павлов А.Н. Воздействие электромагнитных излучений
на жизнедеятельность. – М.: Гелиос АРВ, 2002.
3. Довгуша В.В., Тихонов М.Н., Довгуша Л.В. Влияние есте
ственных и техногенных электромагнитных полей на безопас
ность жизнедеятельности. – Экология человека, 2009, № 12.
4. Бородай П.Н., Мырова Л.О. Опасные электромагнитные
излучения от персональных компьютеров и защита от них. –
Информационноизмерительные и управляющие cистемы,
2006, т.4, № 1–3.
5. Резинкина М.М. Использование численных расчетов для
выбора средств экранирования от действия магнитного поля. –
ЖТФ, 2007, т.77, вып.11.
6. Шапиро Д.Н. Электромагнитное экранирование. – Дол
гопрудный: Издат. дом «Интеллект», 2010.
7. Apollonskii S.M., Erofeenko V.T., Shushkevich G.Ch.
Shielding of Electromagnetic Fields by System of Passive and Active
Screens. – Proc. of St. Petersburg IEEE Chapters, 2003.
61
8. Ерофеенко В.Т., Шушкевич Г.Ч. Экранирование низко
частотных электрических полей системой экранов: тонкая не
замкнутая сферическая оболочка – тонкостенная сферическая
проницаемая оболочка. – ЖТФ, 2003, т.73, вып.3.
9. Аполлонский С.М., Ерофеенко В.Т. Электромагнитные поля
в экранирующих оболочках. – Минск: Университетское, 1988.
10. Shushkevich G.Ch. Modelling of electromagnetic fields in
problems of shielding. Computer Algebra Systems in Teaching and
Research. – Рroc. 4th International Workshop, 2007.
11. Аполлонский С.М., Ерофеенко В.Т. Эквивалентные гра
ничные условия в электродинамике. – СПб: Безопасность, 1999.
12. Козловская И.С., Ерофеенко В.Т. Модели электрических
процессов в сферической тонкостенной оболочке с отверстием.
– Вестник БГУ, сер. 1: Физ., Мат., Информ., 2008, № 1.
13. Справочник по специальным функциям с формулами,
графиками и таблицами/Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. –
М.: Наука, 1979.
14. Ерофеенко В.Т., Козловская И.С. Основы математиче
ского моделирования. – Минск: БГУ, 2002.
15. Шушкевич Г.Ч. Расчет электростатических полей мето
дом парных, тройных уравнений с использованием теорем сло
жения. – Гродно: ГрГУ, 1999.
16. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах матема
тической физики. – Л.: Наука, 1977.
17. Гримальский О.В. Модели электромагнитной дифрак
ции на тонких однородных оболочках. – Радиотехника и элек
троника, 2005, т.59, № 3.
18. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в
краевых задачах электродинамики. – М.: МГУ, 1987.
19. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и
программное обеспечение. – М.: Мир, 1998.
20. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.:
Высшая школа, 2002.
21. Шушкевич Г.Ч., Шушкевич С.В. Компьютерные техно
логии в математике. Система Mathcad 14, ч. 1. – Минск: Изд.
Гревцова, 2010.
[17.12.10]
А в т о р ы : Ерофеенко Виктор Тихонович окончил
механикоматематический факультет МГУ им.
М.В. Ломоносова в 1969 г. В 1993 г. защитил доктор
скую диссертацию «Метод теорем сложения и тео
рия усредненных граничных условий в краевых задачах
электродинамики». Профессор кафедры математи
ческой физики факультета прикладной математики
и информатики Белорусского государственного уни
верситета (БГУ).
Шушкевич Геннадий Чеславович окончил факуль
тет прикладной математики БГУ в 1976 г. В 2008 г.
защитил докторскую диссертацию «Моделирование
полей в многосвязных областях в задачах электро
статики и экранирования». Заведующий кафедрой
информатики и компьютерного моделирования Грод
ненского государственного университета имени
Я. Купалы (Республика Беларусь).