МОиАИС 2 курс. АиТЧ. Экзамен. Вопросы.

Вопросы к экзамену по алгебре и теории чисел
2 курс 3 семестр, МОиАИС. ДО 2012-2013 уч.год
Сост. ст. преп. Сафиуллова Р.Р.
«УТВЕРЖДЕНЫ»
на заседании кафедры
алгебры, геометрии и методики
обучения математике
протокол № 6
17 декабря 2012 г.
Зав. каф. алгебры, геометрии и
методики обучения математике
__________ П. Н. Михайлов
1. Простое трансцендентное расширение области целостности.
2. Степень многочлена. Свойства степеней многочленов.
3. Деление многочлена на двучлен x  c  . Теорема Безу. Теорема о связи корня
многочлена и делимости многочлена на x  c  .
4. Наибольшее возможное число корней многочлена в области целостности.
Теорема. Следствие.
5. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Теорема.
6. Теорема о делении с остатком.
7. Наибольший общий делитель. Взаимно простые многочлены. Теорема.
Свойства НОД (6 свойств).
8. Алгоритм Евклида. Замечание.
9. Наименьшее общее кратное. Теорема о связи НОД и НОК многочленов.
10.Неприводимые над полем многочлены. Примеры. Замечание.
11.Факториальное кольцо. Разложение многочлена в произведение
нормированных неприводимых многочленов и его единственность. Теорема.
12.Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом. Теорема.
13.Схема Горнера как метод деления многочлена на двучлен. Пример.
14.Формальная производная многочлена. Теорема (без док-ва).
15.Разложение многочлена по степеням двучлена x  c  . Получение формулы
Тейлора для многочленов.
16.Неприводимые кратные множители многочлена. Теоремы (без док-ва).
Разложение многочлена на множители первой и второй кратности.
17.Кратные корни многочлена. Теоремы (без док-ва). Два способа нахождения
всех корней многочлена и определения их кратностей.
18.Общие корни 2-х многочленов. Результант. Дискриминант. Теорема (без доква). Вычисление дискриминанта для многочлена 2-ой степени. Пример.
19.Многочлен от нескольких переменных. Степень многочлена по отношению к
переменной. Степень многочлена.
20.Кольцо многочленов от нескольких переменных. Теорема 1. Теорема 2 об
области целостности кольца многочленов.
21.Поле F рациональных дробей. Трансцендентное расширение кольца
многочленов от n переменных. Теорема.
22.Разложение многочлена от n переменных в произведение неприводимых
многочленов и его единственность. Теорема.
23. Лемма Гаусса о произведении 2-х примитивных многочленов. Пример.
24.Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Высший член
многочлена. Замечание. Пример.
25.Высший член многочлена. Лемма о высшем члене произведения многочленов.
26.Симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических
многочленах и следствие из нее (без док-ва). Вывод S ( x12 ), S ( x12 x2 ), S ( x13 ) .
Алгоритм получения представления симметрического многочлена через
элементарные симметрические. Теорема, обобщенная теорема (без док-ва.)
27. Результант многочленов от нескольких переменных. Теорема (без док-ва).
28.Исключение переменных. Пример решения системы уравнений методом
исключения переменных.
29.Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Теоремы (о
возрастании модуля мног-на, о наименьшем значении модуля мног-на, лемма
Даламбера -- без док-ва). Основная теорема алгебры.
30.Разложение многочлена над полем комплексных чисел в произведение
неприводимых многочленов. Теоремы (без док-ва).
31. Зависимость между корнями и коэффициентами многочлена. Теорема Виета.
Следствие из теоремы Виета.
32.Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными
коэффициентами. Теоремы. Разложение многочлена над полем
действительных чисел в произведение неприводимых многочленов. Теоремы.
Следствия (без док-ва).
33.Уравнения третьей степени. Теорема о корнях уравнения третьей степени.
Следствие. Теорема (без док-ва).
34.Уравнения четвертой степени. Получение корней уравнения четвертой
степени.
35.Целые и рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
Теорема. Следствия. Замечание.
36.Критерий неприводимости Эйзенштейна (теорема). Следствие (без док-ва).
Замечание.
37.Простое расширение поля, поле разложения многочлена. Определения.
Теорема о неприводимости многочлена.
38.Строение простого алгебраического расширения поля. Теорема.
39.Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.
Схема решения. Пример.
40.Составное алгебраическое расширение поля. Определения. Теоремы (без доква). Поле алгебраических чисел и его алгебраическая замкнутость.