Логика. Урок 1 (из 8) Наша жизнь представляет непрерывную цепь больших и маленьких логических проблем. Путём рассуждений и выводов мы принимаем решения, т.е. моделируем своё дальнейшее поведение. Логические модели - модели, в которых на основе анализа различных условий принимается решение. Таким образом, логические модели основываются на рассуждениях и операциях с ними. Человеческая речь состоит из рассуждений (высказываний), которые несут некоторое смысловое значение. О высказывании можно сказать «ложно» оно или «истинно». Высказывания, рассматриваемые с точки зрения их истинности, называются логическими высказываниями. Условием называется логическое высказывание, которое может принимать 2 значения: истина и ложь. Условие называется простым, если сразу можно ответить «да» или «нет». Но существуют сложные условия, состоящие из простых условий, каждое из которых может быть истинным или ложным. Логика - наука правильно рассуждать, наука о формах и законах человеческого мышления. Логика изучает абстрактное мышление как средство познания объективного мира. Основные формы абстрактного мышления: понятие, суждение и умозаключение. Основоположником этой науки считают Аристотеля (384-382 до н.э.). Именно благодаря ему возникла формальная логика. Формальная логика - наука, пытавшаяся найти ответ на вопрос, как мы рассуждаем, изучающая логические операции и правила мышления. Логика помогла математике стать строгой, последовательной наукой. Возрождение античных логических методов в эпоху возрождения началось с Рене Декарта, который рекомендовал логике руководствоваться общепринятыми в математике принципами. Но основоположником математической логики считают Вильгельма Лейбница. Однако идеи Лейбница получили развитие лишь в середине Х1Х века в трудах Джорджа Буля, который вывел алгебру логики, где символами обозначают не числа, а высказывания. Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе дедуктивного (логического) вывода. Она изучает только умозаключения со строго определёнными объектами и суждениями, для которых можно решить однозначно истинны они или нет. Главная задача логики состоит в том, чтобы выявить, какие способы рассуждения правильные, а какие нет. Рассмотрим пример: Задача о трёх фермерах (неправильные рассуждения). 3 фермера решили пообедать. Когда они закончили, то буфетчица сказала, что с них причитается 30 $. Каждый заплатил по 10$ и они рассчитались. Когда фермеры уходили, то буфетчица сообразила, что обсчитала их на 5$. Она позвала сына и велела ему вернуть 5$ в купюрах 3 доллара по 1$ и одна по 2$ . Мальчик решил, что 5$ на троих не делится и решил вернуть 3 доллара по 1$ , а 2$ оставить себе. Фермеры разделили 3$ поровну и решили, что обед им обошелся в 9$ каждому. Следовательно, они заплатили 27$ , и мы знаем, что 2$ осталось у мальчика. Всего 29$, но ведь они заплатили 30$. Куда пропал 1 $?» Рассуждения: Фермеры заплатили 30 $ , а должны были - 25 $. Им вернули 3 $ и у мальчика осталось 2 $, т.е. им должны были вернуть 5 $. Т.e. фермеры фактически заплатили 27 $ (25 + 2 ) и 3 $ им вернули. Рассуждения есть переход от некоторых предложений, утверждений, называемые посылками, к утверждению, которое называется умозаключение. Рассмотрим пример: « Дикари раскрашивают своё тело». « Некоторые женщины раскрашивают своё тело». Следовательно, некоторые женщины - дикари. Правильно ли это рассуждение? Нетрудно установить, что данное рассуждение неверно, хотя используемые посылки и cделанное заключение можно признать истинным. Задача логики - описать и исследовать те способы рассуждений, которые являются правильными. Вопросы: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Что такое логика? Что такое математическая логика? Что такое формальная логика? Основная задача логики? Что называется условие? Какие бывают условия? Урок 2 (из 8). Логика как наука о законах и формах мышления изучает абстрактное мышление как средство познания объективного мира. Основные формы абстрактного мышления: • понятие • суждение • умозаключение Понятие- мысль, в которой обобщаются и выделяются предметы некоторого класса по определённым общим и в совокупности специфическим для них признакам. В понятии «схватывается» сущность предметов, их внутреннее содержание. Портфель трапеция ураганный ветер «Этот вписанный угол, опирающийся на диаметр». - понятие, единичное. Понятие имеет 2 основные логические характеристики: содержание и объём. Содержание понятия - совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии. Пример. «ромб» – «параллелограмм», « имеет равные стороны». Объём понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия. Пример. Понятие «река» – это множество рек: р.Москва, р.Волга, и т.д. Круги Эйлера – геометрическая наглядность понятий и отношений между ними: Е - множество учащихся; А – ученики-спортсмены; В – ученики, интересующиеся литературой; С – Отличники, не спортсмены; Д– ученики-«хорошисты» Е В А С Д Суждением (высказыванием) называется всякое утверждение (или всякое предложение), о котором можно судить: истинно оно или ложно. Суждения являются истинными или ложными повествовательными предложениями. В математической логике суждения называются высказываниями. Примеры высказываний. Земля - планета солнечной системы. (истина) Москва- столица. (истина) 2+8=5 (ложь) Всякий квадрат есть параллелограмм. ( истина) Всякий параллелограмм есть квадрат. (ложь) Те утверждения , о которых нельзя сказать истинны они или ложны, не являются суждениями (высказываниями). Примеры предложений, которые не являются высказываниями: 1. Уходя, гасите свет. 2. Да здравствует мыло душистое и полотенце пушистое! 3. 5+Х=12 4. Х+У=1 5. Число У кратно 3. 6. Метеорологический прогноз. Не являются суждениями вопросительные и восклицательные предложения, а также предложения 3,4,5,6 так как не можем сказать достоверны они или нет. Последние 4 предложения называются предикатами. Предикаты становятся суждениями, если переменной (или переменным) придать некоторое числовое значение или применить логическую операцию, которая устанавливает область истинности (её называют квантор): ∀X ( « для всех Х» ) ∃X ( « Существуют такие Х» или « для некоторых Х» ) Суждения бывают общие и частные. Общие суждения характеризуют свойства групп объектов или явлений. Примеры. «Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр - прямые» - суждение, поскольку в нём высказывается, каковы свойства объекта суждения. « В любом прямоугольном треугольнике есть угол в 90» «Х 2 > 0» «Всякий человек - млекопитающее» Урок 3 (из 8). Будем обозначать суждения большими буквами латинского алфавита: А,B,C,.....F...... Характеристикой каждого высказывания является истинность или ложность, которые называются значением истинности данного суждения Условимся обозначать значение истинности : 1, если суждение истинно и 0, если суждение ложно. Символы 1 и 0 совпадают с числами 0 и 1 только внешне. Смысл их заключается в том, что совершающееся событие (абстрактное) - событие истинное, а логический 0 - совершилось событие ложное. Например, 1. Суждение «Москва- столица России» - истина. Обозначим его буквой А, тогда А=1 2. Суждение «Высота гор на Земле превышает 15 км» - ложное. В=0 Может оказаться, что два суждения А и В одновременно истинны или ложны, тогда назовём их равносильными или эквивалентными и будем писать: А ≡ B («Суждение А эквивалентно суждению В» или « А есть тогда и только тогда, когда есть В» или « А необходимо и достаточно для В») Суждения: А= «этот треугольник равносторонний» В= «этот треугольник равноугольный» Тогда А ≡ В Частные суждения выражают конкретные (частные) факты. Примеры: « 7-2 > 3» « Луна - спутник Земли» «Этот 4-х угольник - ромб» Суждения бывают простые и сложные. Простое суждение, если никакая его часть не является суждением. Сложное суждение характеризуется тем, что образованы из нескольких суждений с помощью определённых способов соединения суждений; простые суждения этим свойством не обладают. Примеры: « Париж - столица Албании» - простое суждение ; «Неверно, что Париж - столица Албании» - сложное, потому что его часть тоже является суждение. Сложное суждение получается путём объединения простых связками-союзами И, ИЛИ и частицей НЕ. Значения истинности сложных высказываний (суждений) зависит от простых, входящих в него высказываний и объединяющих их связок. Логическая форма суждения: ВСЕ S есть P ВСЕ S не есть P Урок 4 (из 8). Если из двух суждений (высказываний) выводится третье, то этот процесс называется умозаключением. Вывод умозаключений. Путь к умозаключению лежит через рассуждения, доказательства, умение ставить вопросы и давать на них четкие ответы. Рассуждения - цепочка взаимосвязанных суждений, фактов и общих положений, получаемых из других суждений по определённым правилам вывода. Любое правило вывода умозаключений состоит из 2-х суждений (простых и сложных). Одно из них называется посылкой или условием, второе - следствием, заключением или выводом. Существуют определённые приёмы вывода умозаключений, которые облегчают поиск правильных рассуждений, доказательств или способов решения задач - аналогия, индукция, дедукция. Аналогия- греч. «сходство». Умозаключение по аналогии - это знание, полученное из рассмотрения какого-либо предмета, переносимое на менее изученный, сходный по существенным свойствам и качествам объект. Но суждения, сформулированные по аналогии с истинными, могут быть ложными. Индукция - греч. «наведение» - правило вывода умозаключений при переходе от частных суждений к общим. Дедукция - греч. «выведение» - правило вывода умозаключений при переходе от общих суждений к частным. Логическая форма умозаключения: ВСЕ S есть P Некоторые А есть S ---------------------------Некоторые А есть P Посылки и умозаключение Четырёхугольник (S1) , у которого противоположные стороны параллельны (Р), есть параллелограмм (S2). Квадрат (S3) – это четырёхугольник (S1), у которого противоположные стороны параллельны (Р). Квадрат – это параллелограмм. Если цветы поливают , то они не сохнут. Цветы засохли. Цветы не поливали. Форма умозаключения Если S1 есть P, То S1 есть S2. Все S3 есть S1 И все S3 есть P. Все S3 есть S2. Все Sесть Р. А есть S A есть P Самостоятельные задания. I. Какие из перечисленных ниже предложений являются суждениями и каково значение их истинности: 1) "сижу и смотрю"; 2) "сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам"; 3) "верно ли, что п=3,1415926...?"; 4)"44>88"; 5) "математическое доказательство"; 6) "существует такое значение x, что 2x2-5x+З=0"; 7) "не лiзь по перед батька в пекло!"; 8) "для ∀ x выражение х2>0"; 9) "z+5=45"; 10) "20+30+40+10=1000"? II. Из представленных двух суждений получите третье в виде умозаключения: А="Если сумма цифр трехзначного числа равна 7"; В = "Цифры десятков и единиц одинаковы". III. Укажите, какие из суждений являются частными, а какие общими: 1)(x+y)(x-y)=x2-y2; 2) "Любой ромб является параллелограммом"; 3) "а^а2, если а=1"; 4) "Крышку уличного люка делают круглой, а не квадратной потому, что она не может соскользнуть в люк, если поставить ее . ребро"; 5) 32 + 42 = 52; 6) Если |А| = |В|, то А=В; 7) "Квадрат любого четного числа делится на 4"; 8) "Меркурий - спутник Марса"; 9) "Джордано Бруно - ученик Галилео Галилея"; 10) "Не существует целого числа, куб которого оканчивался бы цифрой 2". Укажите значение истинности для каждого суждения. IV. Будут ли нижеприведенные суждения равносильными? Если да, то почему? А = "В этом четырехугольнике один из углов прямой и диагонали равны"; В = "В этом параллелограмме все углы прямые"; С = "В этом ромбе один угол равен 90°". V. Из сложных суждений выделите простые и обозначьте их буквами: 1. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны. 2. "Есть мера вещей и существуют известные границы" (афоризм Горация). 3. "Разрешаются от бремени горы, а рождается и смешная мышь" (из Горация). 4. Если сумма цифр числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11. 5. "Шахтер" выиграл встречу у "Динамо", а встреча "Таврия" - "Спартак" закончилась вничью. 6. Студент запланировал выполнить следующие дела: подготовиться к зачету, побывать на тренировке, почитать интересную книгу, поиграть в шахматы. 7. Если завтра будет туман, мы не сможем вылететь на соревнования. VI. Приведите примеры понятий, суждений и умозаключений из курсов математики, истории, информатики. VII. Перечислите существенные признаки, составляющие содержание понятий: ♦ добродетель; ♦ истина; ♦ ложь. Подсказка. Смотри толковые словари. VIII. Определите объёмы понятий: ♦ столица России; ♦ столица; ♦ город; ♦ Знаменитый полководец; ♦ бесконечность; ♦ Змей Горыныч. IX. Выведите заключение для каждой пары посылок: ♦ Тем, кто лыс расческа не нужна. Ни одна ящерица не имеет волос. ♦ Некоторые уроки трудны. Всё, что, трудно, требует внимания. X. Определите правильность рассуждения: ♦ сидящий встал; кто встал, тот стоит; значит сидящий стоит. Вопросы. 1. Что такое рассуждение ? 2. Что понимаем под посылкой и заключением в сложном суждении вывода умозаключения? Примеры. 3. В чём состоит вывод умозаключения по аналогии? Всегда он истинный? Примеры. 4. Принцип индукции; дедукции. Урок 5 (из 8). Построение логических моделей. Логические модели - модели, в которых на основе анализа различных условий принимается решение. Таким образом, логические модели основываются на рассуждениях и операциях с ними. Иногда достаточно 2-3 вывода и всё становится на своё место. Но чем сложней задача, тем больше вероятность запутаться. На помощь приходят формальные способы описания хода рассуждений в виде таблиц, графов или блок-схем. Таблица - встречается на каждом шагу - имеет столбцы и строки. Граф - структурный объект, состоящий из вершин, соединённых линиями (ребрами). Пример: «Ухоженные дети являются признаком цивилизованного и благополучного общества». что делают? Дети являются какие? чем? ухоженные признаком чего? общества какого? цивилизованного какого? благополучного Блок-схема - каждый шаг решения представлен в виде геометрического блока. Различные задачи решаются различными способами. Табличное построение логических моделей. Рассмотрим на примере конкретной задачи: « В школе учатся 4 способных подростка: Иванов, Петров, Сидоров и Андреев. Один- будущий музыкант, другой - преуспел в бальных танцах, третий- солист хора, четвёртый - подаёт надежды как художник. О них известно, что: 1. Иванов и Сидоров были в консерватории, где выступал певец. 2. Петров и музыкант позировали художнику. 3. Музыкант раньше дружил с Андреевым, а теперь неразлучен с Ивановым. 4. Иванов незнаком с Сидоровым, т.к. учатся в разных классах и в разные смены. I. Построим таблицу: столбцы - будущие профессии, строки - фамилии. II. Анализ исходных условий Из 1 условия - Иванов и Сидоров не певцы. Танцор Иванов Петров Сидоров Андреев художник солист - музыкант Из 2 условия - Петров не художник и не музыкант. Танцор Иванов Петров Сидоров Андреев художник солист - - музыкант - - Из 3 условия - Андреев и Иванов не музыканты. Танцор Иванов Петров Сидоров Андреев художник солист - - музыкант - - III.Рассуждения: В столбце «музыкант» 3 минуса, значит музыкант - Сидоров. Тогда в остальных столбцах у Сидорова «минус». Танцор Иванов Петров Сидоров Андреев - художник - солист - музыкант + - Сопоставим 2 и 3 условия - Петров и Сидоров позировали художнику, но Иванов не знает Сидорова. Значит Иванов не художник. Танцор Иванов Петров Сидоров Андреев - художник + солист - музыкант + - Тогда в столбце «художник» - 3 минуса. Значит художник - Андреев. Во всех остальных столбцах его строки ставим «минус» и у нас определился солист. Это - Петров. Танцор художник солист музыкант Иванов + Петров + Сидоров + Андреев + И остался - Иванов. Значит он - танцор. Самостоятельная работа: 1. Задача. « Трое подростков: Григорьев, Капранов и Литвинов - живут на одной улице. Один - известный во всём районе шахматист, другой - заядлый футболист, третий известная всем личность, любитель тусовок. Однажды футболист пришёл к другу, а мать друга сказала, что он ушёл с известной личностью на дискотеку. Известно, что Литвинов ничего не слышал о Капранове. Кто есть кто?» 2. В одной стране жили рыцари, которые всегда говорили только правду, и лжецы, которые всегда лгали. Однажды в страну проник шпион по имени Мердок, который иногда говорил правду, а иногда лгал, в зависимости от того, что ему выгодно. Шпион поселился с двумя жителями страны: рыцарем и лжецом. Всех троих арестовали в один день. На допросе они сделали следующее высказывание: А: Я- Мердок. В: А говорит правду. С: Я – не Мердок. Кто из них шпион? 3. После традиционной встречи с выпускниками школы в стенгазете появилась заметка о трёх выпускниках. В ней было сказано, что Иван, Борис и Андрей стали учителями. Один из них преподаёт математику, второй – химию, третий-физику. Все они живут в разных городах: Минске, Витебске, Харькове. В заметке сказано, что их первоначальные планы осуществились не полностью: 1) Иван живёт не в Минске; 2) Андрей- не в Витебске; 3) Житель Минска преподаёт не математику; 4) Андрей преподаёт не физику; 5) повезло только жителю Витебска: он преподаёт любимую химию. Кто где живёт и что преподаёт? 4. В конструкторском бюро работают Антонов, Борисов, Кириллов и Дроздов. Все хотят отдыхать летом, и поэтому при составлении графика отпусков всегда возникают споры. Попробуйте составить график отпусков на 4 года, который удовлетворял бы следующим пожеланиям сотрудников: 1) в отпуск сотрудники уходят только с мая по август; 2) продолжительность отпуска – 1 месяц; 3) в каждом месяце в отпуск может пойти только 1 человек; 4) за 4 года все сотрудники получат отпуск по 1 разу в каждом из этих месяцев; 5) в 1 год Кириллов хочет отдыхать в июле; 6) во 2 год Антонову отпуск нужен в мае; 7) в 3 год Дроздову отпуск нужен в июне; 8) Борисов предполагает на 4 год уйти в отпуск в июле; 9) в августе все предполагают следующим образом: в 1 год – Дроздов, во 2 год – Кириллов, 3 год – Борисов, 4 год – Антонов. 5. В одном доме живут Воронов, Павлов, Журавлёв, Синицын. Один из них – математик, другой – художник, третий – писатель, четвёртый – баянист. Известно, что: 1) ни Воронов, ни Журавлёв не умеют играть на баяне; 2) Журавлёв не знаком с Вороновым; 3) писатель и художник в воскресенье уезжают на дачу к Павлову; 4) писатель собирается писать очерк о Синицыне и Воронове. Кто есть кто? Урок 6 (из 8). Построение логических моделей в виде графов. Рассмотрим пример. «Составить расписание 4-х уроков и удовлетворить следущие требования: • математика должна быть 1 или 2 уроком • физкультура только последней • история и 1, и 2, и 3 уроками • литература 2 или 3 уроками Решение в виде графа, где буква - предмет, цифра - номер урока Начнём с самого «сговорчивого» урока - истории - И1, И2, И3. Далее - литература - Л2, Л3; математика - М1, М2; и завершим - физкультурой - Ф4. Ф4 Ф4 Ф4 Ф4 М1 М2 Ф4 Ф4 М1 Ф4 М2 Ф4 М1 М2 Ф4 Ф4 Ф4 Ф4 М2 М1 М2 М1 М2 М1 Л2 Л3 Л2 И1 Л3 И2 Л2 Л3 И3 Следующие ветви противоречат друг другу: И2-Л2; И3-Л3; И1-Л2-М1; И1-Л2-М2; И1-Л3-М1; И2-Л3-М2; И3-Л2-М2; Значит остаются ветви: И1-Л3-М2-Ф4; И2-Л3-М1-Ф4; И3-Л2-М1-Ф4. Самостоятельная работа. 1. Задача. «На математической олимпиаде выступили: Аня, Витя и Егор.Егор справился со всеми заданиями и представил нестандартные решения. Но из-за небрежности в оформлении мнения жюри разделилось: 1 и 3 призовые места. Аня тоже решила все задания, но стандартными способами, и жюри выделили с 1 по 3 место. Виктор показал себя с хорошей стороны, и судьи назвали его 2 или 3. Найти варианты распределения мест и примите сами решение.» 2. На соревнованиях по лёгкой атлетике Андрей , Борис, Серёжа и Володя заняли первые 4 места. Но когда девочки стали вспоминать как распределились места, то мнения разошлись: Даша: Андрей был первым, а Володя - вторым. Галя: Андрей был вторым, Борис – третий Лена: Боря был четвёртый, а Серёжа – второй Ася, которая была судьёй на соревнованиях, сказала, что каждая из девочек сделала одно правильное и одно неправильное заявление. Кто из мальчиков занял какое место? Урок 7 (из 8). Алгебра суждений. Алгебра логики. Для составления сложных суждений используют простые суждения, соединённые знаками логических операций: «И», «ИЛИ», «НЕТ», «ЕСЛИ...,ТО..». Значения истинности сложных суждений определяется значениями простых элементарных суждений. В математической логике не рассматривается содержание высказывания, а важно истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить переменной величиной, значения которой 0 или 1. Высказывания обозначаются латинскими буквами А,В,С,.... Простые высказывания являются переменными, а сложные - логическими функциями. У кошки 4 ноги. А=1 (истина) Москва расположена на 2-х холмах. В=0 (ложь) Значения логических функций для различных сочетаний значений входных переменных (наборов входных переменных) задаются специальной таблицей, которые называются таблицами истинности. Количество наборов входных n Q=2 переменных Q можно определить по формуле: , где n - количество входных переменных I. Отрицание. Имеется суждение А, образуем новое « не А» ; «неверно, что А...» В программировании логическая операция «NOT» и называется ИНВЕРСИЯ. А А 0 1 1 0 1 =0 и 0 =1 Cуждение « Мы любим информатику» Отрицание « Мы не любим информатику» Итак, подведём итог: логическая операция ИНВЕРСИЯ • соответствует союзу НЕ • обозначают черточкой над именем переменной или знаком ¬ • называется отрицанием • в программировании операция «NOT» Инверсия логической переменной истина, если сама переменная ложна и, наоборот, ложна, если переменная истинна. II. Конъюнкция. • соответствует союзу И • обозначают знаками * , /\ , & • логическое умножение • в программировании операция « AND» Конъюнкция двух логических переменных истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны Таблица истинности конъюнкции А 0 0 1 1 В 0 1 0 1 А /\ В 0 0 0 1 III. Дизъюнкция. • соответствует союзу ИЛИ • обозначают знаками \/ , + • называют логическим сложением • в программировании операция «OR» Дизъюнкция 2-х логических переменных ложна тогда и только тогда , когда оба высказывания ложны. А 0 0 1 1 В 0 1 0 1 А \/ В 0 1 1 1 Рассмотрим операцию «строгой дизъюнкции» - истинна тогда, когда только одно высказывание истинно, и ложна , когда оба истинны или оба ложны. А 0 0 1 1 В 0 1 0 1 АÚВ 0 1 1 0 А В IV.Импликация. • логическая операция с использованием ключевых слов «если...(основание)..., то ...(следствие)....» • обозначают « ⊃ », «IMP», « ⇒ » • в программировании оператор « IF .... THEN ...» Запись А ⇒ В или А IMP В читается: «А импликация В» «если А ...., то В .....» « из А следует В» « А влечёт В» « В следует из А» Импликация лежит в основе процесса вывода умозаключенй. Поэтому А -посылка (условие) , В - заключение или следствие. Импликация истинна всегда , за исключением, когда А истинна, а В - ложна. Недаром говорят « из лжи рождается, что угодно» Таблица истинности импликации: А 0 0 1 1 В 0 1 0 1 А IMP В 1 1 0 1 А используя набор функций {+,*,-}, мы получим выражение __ импликации в виде А ⇒ В=А+В, которое полностью соответствует таблице истинности. В V. Эквивалентность. В программировании логическую операцию эквивалентность обозначают символами «EQV»; «~»; « ≡ » Таблица истинности для 2-х суждений А и В А 1 1 0 0 В 1 0 1 0 А~В 1 0 0 1 Ранее мы рассматривали эту логическую операцию. Эквивалентность называют двойной импликацией. • логическая операция с использованием ключевых слов «если и только если...(основание)..., то ...(следствие)....», « в том и только в том случае, когда .......» «тогда и только тогда, когда .....» • обозначают « ≡ », «EQV», «~» Эквивалентность истинна, когда А и В истинны и А и В ложны. А 0 0 1 1 В 0 1 0 1 А ~В 1 0 0 1 А В Для неё справедливо: _ _ А~B=A*B+A*B Порядок выполнения логических операций. Приоритет и скобки: ИНВЕРСИЯ КОНЪЮНКЦИЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ Алгоритм построения таблиц истинности. 1. Определим количество строк в таблице по формуле: n Q=2 , где n - количество входных переменных 2. Определим количество логических операций и последовательность выполнения. 3. Определим количество столбцов: количество переменных + количество логических операций. Пример. _ F(A,B,C)= A /\ ( C /\ B ) А В 0 0 0 0 1 1 1 1 С 0 0 1 1 0 0 1 1 С 0 1 0 1 0 1 0 1 С/\ В 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 А\/ (С/\В) 0 0 1 0 1 1 1 0 Область применения алгебры логики. Использование 0 и 1 подчеркивает некоторое соответствие между значениями логических переменных и цифрами в двоичной системе. Любое устройство ПК , выполняющее действия над двоичными цифрами, можно рассмотреть как функциональный преобразователь. Числа на входе – значения входных логических переменных, число на выходе - значение логической функции, результат. Логическая схема устройства строится на основе объединения электронных элементов. ИНВЕРТОР – реализует операцию отрицания. У инвертора один вход и один выход. Х F(X,Y,Z) У Z КОНЪЮНКТОР- реализует операцию конъюнкцию. У конъюнктора один выход и не менее двух входов. Сигнал на выходе появляется тогда и только тогда, когда на все входы поданы сигналы. & ДИЗЪЮНКТОР – реализует операцию дизъюнкцию. У дизъюнктора один выход и не менее двух входов. Сигнал на выходе не появляется тогда и только тогда, когда на все входы не поданы сигналы. 1 Пример логической схемы для функции F(X,Y,Z)= X ∩ (Y ∪ Z ) X Y Z X X & Z Y 1 F Y Z В технике логические схемы реализуются через электрические контактные схемы: 1. Последовательное соединение а а в 2. Параллельное соединение в А В Последовательное Параллельное соединение соединение 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 Как видно из таблицы, операция И соответствует последовательному соединению, а операция ИЛИ – параллельному соединению. Операция НЕ реализуется через электромагнитное реле. УРОК 8 ЗАКОНЫ ЛОГИКИ. УПРОЩЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Если у двух логических функций совпадают таблицы истинности, то есть на всех наборах значений входных переменных они принимают одинаковое значение, то их называют равносильными, или эквивалентными. Это обозначается знаком = . A v B ∧ C =A v (В ∧ С) Логические функции, истинные на всех наборах значений входных переменных, называются тождественно-истинными. Логические функции, ложные на всех наборах значений входных переменных, называются тождественно-ложными. F= A ∧ 0=0— тождественно-ложная функция. P=A v l = l— тождественно-истинная функция. Учитывая определения логических функций, можно выделить ряд свойств, позволяющих упростить логическое выражение: КОНЪЮНКЦИЯ A∧ A = 0 A∧ A = A A ∧1= A A∧ 0 = 0 ДИЗЪЮНКЦИЯ A∨ A =1 A∨ A = A A ∨1 = 1 A∨ 0 = A ИНВЕРСИЯ A= A Упростить выражения и отметить тождественно-ложные и тождественноистинные функции: В ^ А ^ A = В v О == В; C v ( B v B ) ^ С v 1= 1 — тождественно-истинная функция; (A v A ) ∧ В ∧ С = 1 ∧ В ∧ С — В ∧ С; В ∧ (C ∧ С ) ∧ D=B ∧ O ∧ D = 0— тождественно-ложная функция. Среди многочисленных законов логики есть четыре основных. Для трех из них можно найти аналогию в алгебре чисел. Логические выражения Алгебраические выражения Переместительный закон A∨ B = B ∨ A A∧ B = B ∧ A A+ B = B+ A A⋅ B = B ⋅ A Сочетательный закон ( A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C ) ( A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C ) ( A + B) + C = A + ( B + C ) ( A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) Распределительный закон ( A ∨ B) ∧ C = ( A ∧ C ) ∨ ( B ∧ C ) ( A + B) ⋅ C = ( A ⋅ C ) + ( B ⋅ C ) A ∧ B) ∨ C = ( A ∨ C ) ∧ ( B ∨ C ) НЕТ АНАЛОГА Закон инверсии, или формулы де Моргана НЕТ АНАЛОГА A∨ B = A∧ B НЕТ АНАЛОГА A∧ B = A∨ B Для упрощения логических функций удобно использовать формулы склеивания и поглощения: Формулы склеивания ( A ∧ B) ∨ ( A ∧ B) = A ( A ∨ B) ∧ ( A ∨ B) = A A ∨ ( A ∧ B) = A Формулы поглощения A ∧ ( A ∨ B) = A A ∨ ( A ∧ B) = A ∨ B A ∧ ( A ∨ B) = A ∧ B Равносильность функций в формулах склеивания и поглощения можно легко доказать, используя рассмотренные выше законы. Например: A v ( A ∧ В) = (A v A) ∧ ( A ∨ B) = 1 ∧ ( A ∨ B) = A ∨ B