Вестник Челябинского государственного университета. 2013. № 25 (316). Физика. Вып. 18. С. 57–63. И. В. Березанский, В. С. Суров УЗЛОВОЙ МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ РАСЧЕТА ЗАДАЧ МНОГОЖИДКОСТНОЙ ГИРОДИНАМИКИ В рамках обобщенно-равновесной модели многокомпонентной смеси, в которой учтены силы межфракционного взаимодействия, численно с использованием узлового метода характеристик решается одномерная задача локализации контактных поверхностей в переменных Эйлера. Ключевые слова: односкоростная многокомпонентная смесь, контактные границы, гиперболические системы уравнений в частных производных, узловой метод характеристик, численное моделирование. 1. Введение В случае применения ОР-модели задача ставится следующим образом [13]. Необходимо рассчитать совместное течение n различных идеальных сжимаемых жидкостей (газов), разделенных друг от друга контактными границами. При этом движение каждой из сред, которые занимают некоторые конечные не обязательно связные объемы Vj (j = 1, … , n), описывается уравнениями Эйлера. Для решения поставленной задачи необходимо, чтобы в начальный момент времени (t = 0) объемные доли фракций в смеси удовлетворяли равенствам αij = δij (∀x∈Vj), где αij — объемная доля i-й фракции в j-м объеме; δij — дельта Кронекера. Следует отметить, что в ОР-модели концентрации компонентов в смеси должны быть всегда строго больше нуля, поэтому в расчетах нулевые начальные концентрации компонентов заменяются очень малыми значениями порядка 10–8, что не снижает точности вычислений. В литературе описан ряд подходов, с использованием которых в переменных Эйлера решается задача определения положений контактных границ между различными идеальными сжимаемыми жидкостями. В одних межфазные границы моделируются невесомыми маркерами, перемещающимися в пространстве [1–2], в других для фиксации контактных границ используются методы VOF [3], level set [4], концентраций [5–6]. Для локализации контактных границ между идеальными газами применяется Y-модель [7]. В γ-модели возможен расчет совместного движения не только идеальных газов, но также сред, описываемых с использованием более сложных уравнений состояния (см. [7]). В [8] γ-модель использовалась для сред с уравнениями состояния вида Ван-дер-Ваальса, в [9] — с уравнениями состояния Ми — Грюнайзена. В последнее время для локализации контактных границ часто используется α-модель [10–11]. Заметим, что применение α-модели ограничено в отличие от используемой в настоящей работе обобщенно-равновесной или ОР-модели, предложенной в [12], двумя сжимаемыми средами. 2. Обобщенно-равновесная модель смеси Уравнения, описывающие совместное движение сред, следующие [14]: u 1 p u div u 0, u u grad p 0, u p c div u 0; t t t i ρi0 u i i (1 Gi ) div u 0, i 1, ..., n 1, u ρi0 ρi0Gi div u 0, t t (1) где 1 ε 1 ε p Gi 0 0i 0 c 2 i , p ρi ρi ρi c 1 1 ε p ε n 1 p ε ε ε 1 p (ρi0 ) 2 0i ρ 0 0 0i αi ρ i 1 ρi ρi ρi αi ρi ρ . 1 ε n 1 ε ε α ε ε 0 ρ i 0i 0i p p ρ ρ α ρi i 1 i i i Обозначения к (1)–(2) приведены в конце статьи. (2) 58 И. В. Березанский, В. С. Суров Для одномерных течений систему (1) перепишем в векторно-матричной форме U U (3) A 0, t x где u p 1 U 0 , 1 n 1 0 n 1 При описании термодинамических свойств каждой из фракций используются калорические уравнения состояния, в общем случае имеющие вид εi = εi(p,ρ0i). Соотношение для удельной внутренней энергии смеси ε определяется равенством 1 n (4) i i0 i . i1 Как показано в [14], система уравнений (3) является гиперболической с корнями характеристического уравнения λ1 = u – c, λ2 = … = λ2n = u, λ2n+1 = u + c. Если при описании поведения компонентов смеси использовать уравнения состояния вида i i ( p,i0 ) p c2i i0 i ) i0 ( i 1) bi pBi di , i0 где Bi = 1/(γi – 1), di = c2*iBi, bi = diρ*i (γi, ρ*i, c*i — константы, индивидуализирующие i-ю фракцию), то выражение для удельной внутренней энергии смеси (4) примет вид а соотношения для Gi и скорости звука (2) перепишутся как Gi 1 ρc 2 Bi p n 1 n 1 , c 1 B αi (bn Bi bi Bn ) b p 1 + B αi (bi n pBi n ) , n n n bi pBi bi pBi bi pBi i=1 i=1 где Bin = Bi – Bn, din = di – dn, bin = bi – bn. Характеристические соотношения вдоль характеристических направлений dx/dt = u ± c могут быть получены из уравнения где ξ = dx/dt. 59 Узловой метод характеристик для расчета задач многожидкостной гиродинамики После вычисления определителя имеем выражения dp ± ρcdu = 0, (5) справедливые вдоль характеристических направлений dx/dt = u ± c. Вдоль траекторной характеристики dx/dt = u выполняются равенства dp c 2 d 0, d i d i i (1 Gi ) d 0, i d 0, i 1, ..., n 1, (6) которые следуют из системы (3). При интегрировании системы уравнений (3) применялся узловой метод характеристик (УМХ), который позволяет с минимальной погрешностью рассчитывать задачи многожидкостной гидродинамики. Заметим, что при использовании других известных методов возможно «искажение» численного решения, что будет показано на примере 3, где дополнительно проводились расчеты с помощью метода Куранта — Изаксона — Риса (КИР) [15]. 3. Узловой метод характеристик для смеси УМХ относится к бессеточному типу. Для его описания достаточно рассмотреть способ определения значений искомых величин в узле (xk, tm+1) по известным данным в узлах на m-м временном слое. Для регулярных узлов решение поставленной задачи получим с использованием следующей итерационной процедуры [16–17]. На «нулевой» итерации (ν = 0) полагаем, что значения искомых переменных в точке (xk, tm+1) совпадают с данными из (xk, tm), поэтому характеристические направления dx/dt = u, dx/dt = u ± c аппроксимируются выражениями: xk – xvC = uv∆t, xk – xvL = (uv + cv)∆t, xk – xvR = uv∆t, где ∆t = tm+1 – tm. Из последних равенств определяем положения точек пересечения характеристик с прямой t = tm (рис. 1а): xLv = xk – (uv + cv)∆t, xvC = xk – uv∆t, xvR = xk – (uv – cv)∆t. (7) Параметры (ρ, u, p, ρ01, α1, …, ρ0n–1, αn–1)(0) в найденных точках (xL, xC, xR)(0) находятся интерполяцией по их известным значениям в узлах xk–1, xk и p ( xkm 1 ) +1 +1 p ( xLm ) ( xLm )c( xLm ) u ( xkm 1 ) u ( xLm ) 0, p ( xkm 1 ) +1 +1 p ( xRm ) ( xRm )c( xRm ) u ( xkm 1 ) u ( xRm ) 0, +1 p ( xCm ) c 2 ( xCm ) ( xkm 1 ( xCm ) 0, +1 +1 ( xCm ) i ( xkm 1 ) i ( xCm ) i ( xCm ) 1 Gi ( xCm ) ( xkm 1 ) ( xCm ) 0, +1 ( xCm ) i ( xkm 1 ) i ( xCm ) i ( xCm )Gi ( xCm ) ( xkm 1 ) ( xCm ) 0, p ( xkm 1 ) +1 (8) i 1, , n – 1. u u a u–c u+c б u–c u+c tm+1 tm tm+1 m+1 xC tm m xC xk xC xR xk+1 xL Рис. 1. Схема расчета для регулярных узлов (а) и для подвижного контактного узла (б) xk–1 xL xR 60 И. В. Березанский, В. С. Суров xk+1. Соотношения (5)–(6) перепишем в конечноразностном виде как Решая систему (8) при ν = 0 относительно переменных (ρ, u, p, ρ01, α1, …, ρ0n–1, αn–1)(1), найдем уточненные значения искомых функций в точке (xk, tm+1). Затем по этим данным из выражений (7) вычисляются новые координаты (xL, xC, xR)(1), которые в свою очередь используются для определения (ρ, u, p, ρ01, α1, …, ρ0n–1, αn–1)(2) из (8), где необходимо положить ν = 1. Описанный итерационный процесс продолжается вплоть до сходимости. В алгоритм УМХ нетрудно включить подвижные контактные границы. Будем считать, что в начальный и последующие моменты времени контактная граница располагается в узле xC. На «нулевой» итерации (ν = 0) полагаем, что значения искомых переменных в точке xCm+1 совпадают с данными из x mC, поэтому характеристические направления dx/dt = u, dx/dt = u ± c аппроксимируются выражениями (рис. 1б) (9) ( xCm +1 ) ( xLm ) u ( xCm ) c( xCm ) t , ( xCm +1 ) ( xRm ) u ( xCm ) c( xCm ) t , (10) которые дают возможность найти (xCm+1)(0) и положение точек пересечения крайних характеристик с прямой t = tm: ( xLm ) ( xCm+1 ) u ( xCm ) c( xCm ) t , ( xRm ) ( xCm+1 ) u ( xCm ) c( xCm ) t. (11) Параметры в найденных точках, (x Lm, xRm)(0) находятся интерполяцией по их известным значениям в узлах xC–1, xC и xC, xC+1. Вдоль найденных характеристических направлений выполняются соотношения которые позволяют получить уточненные значения искомых величин (ρ, u, p, ρ01, α1, …, ρ0n–1, αn–1)(1) в узле (xCm+1)(1). Далее из формул (9) и (11) определяем новые положения контактной границы и точек пересечения крайних характеристик с прямой t = tm. Затем из системы (12), где необходимо положить ν = 1, вычисляем значения величин (ρ, u, p, ρ01, α1, …, ρ0n–1, αn–1)(2) в точке (xCm+1)(2) и т. д. Описанный итерационный процесс продолжается вплоть до сходимости. 4. Результаты вычислений Для иллюстрации применения описанного выше численного метода, используемого для локализации контактных границ, рассмотрено несколько тестовых примеров взятых из [18–19]. Пример 1. Рассмотрена задача Римана при следующих значениях параметров на момент времени t = 0 [18]: «слева» (x < 5) от контактной границы, разделяющей различные среды, — (p, u, ρ, γ, ρ*, c*)L = (50, 0, 7,87, 3, 7,87, 1); и «справа» от нее (x > 5) — (p, u, ρ, γ, ρ*, c*)R = (1, 0, 2, 2, 2, 1). На рис. 2 представлены данные численных расчетов течения, полученные с использованием УМХ на равномерной сетке из 400 ячеек в сравнении с точным решением к моменту времени t = 1,0 с. Пример 2. Рассчитана задача Римана при следующих значениях параметров на момент времени t = 0 [18]: «слева» (x < 5) от контактной границы, разделяющей различные среды, — (p, u, ρ, γ, ρ*, c*)L = (1, 0, 7,87, 1,4, 7,87, 1); «справа» от нее (x > 5) — (p, u, ρ, γ, ρ*, c*)R = (10, –2, 8,5, 3, 8,5, 1). На рис. 3 приведены данные численных расчетов течения, полученные с использованием УМХ на равномерной сетке из 400 ячеек в сравнении с точным решением к моменту времени t = 1,0 с. p ( xCm 1 ) +1 +1 p ( xLm ) ( xLm )c( xLm ) u ( xCm 1 ) u ( xLm ) 0, p ( xСm 1 ) +1 +1 p ( xRm ) ( xRm )c( xRm ) u ( xCm 1 ) u ( xRm ) 0, p ( xCm 1 ) +1 p ( xCm ) c 2 ( xCm ) ( xCm 1 +1 ( xCm ) 0, ( xCm ) ι ( xCm 1 ) +1 ι ( xCm ) ι ( xCm ) 1 Gι ( xCm ) ( xCm 1 ) ( xCm ) ι ( xCm 1 ) +1 ι ( xCm ) ι ( xCm )Gι ( xCm ) ( xCm 1 ) ( xCm ) 0, i 1, , n – 1, +1 ( xCm ) 0, (12) 61 Узловой метод характеристик для расчета задач многожидкостной гиродинамики 50 50 pρ ρr 40 40 66 30 30 20 20 44 10 10 00 0 33 0 22 00 99 x x 66 33 99 xx 66 Рис. 2. Зависимости параметров течения к моменту времени t = 1,0 с, полученные с помощью УМХ (штриховые кривые); точное решение — сплошные кривые pρ rρ 20 20 20 20 15 15 15 15 10 10 55 10 10 00 0 0 33 99 xx 66 00 3 66 3 99 xx Рис. 3. Зависимости параметров течения к моменту времени t = 1.0 с, полученные с помощью УМХ (штриховые кривые); точное решение — сплошные кривые ρp uu 00 ρr 120000 120 000 22 -10 –10 100 100000 000 11 80 80000 000 0,0 0,0 0,3 0,3 0,6 0,6 0,9 xx 0,9 0,0 0,0 -20 –20 0,3 0,3 0,6 0,6 x 0,9 x 0,9 0,0 0,0 0,3 0,3 x 0,9 0,9 0,6 0,6 Рис. 4. Зависимости параметров течения к моменту времени t = 0,3 мс, полученные с помощью УМХ (штриховые кривые); КИР (штрихпунктирные); точное решение — сплошные кривые ρp 1,5 uu rρ 1,5 200 200 150000 150 000 1,0 1,0 100000 100 000 50 50000 000 0 0,0 0,0 100 100 0,5 0,5 0,3 0,3 0,6 0,6 0,9 x x 0,9 0,0 0,0 0,0 0,3 0,3 0,6 0,6 0,9 x 0,9 0 0,0 0,0 0,3 0,3 0,6 0,6 0,9 xx 0,9 Рис. 5. Зависимости параметров течения к моменту времени t = 0.28 мс, полученные с помощью УМХ (штриховые кривые); точное решение — сплошные кривые x 62 И. В. Березанский, В. С. Суров Для следующего тестового примера расчеты проводились также с использованием схемы КИР (см. [15]): U im 1 U im U m U im1/ 2 Aim i 1/ 2 0, t x ность получать неосциллирующие решения, совпадающие с имеющимися точными значениями. Рассмотренный подход позволяет учесть эффекты вязкости и теплопроводности, если воспользоваться моделями смеси из [20–21]. Обозначения где U (, u, p, , 1 , , 2 ) , 0 1 0 2 T Здесь Λ — диагональная матрица собственных m значений матрицы A i , Ω — матрица, строками которой являются левые собственные векторы матрицы Ai. Пример 3. Рассмотрена задача Римана для трех различных газов при следующих значениях параметров на момент времени t = 0 [19]: (p, u, ρ, γ, ρ*, c*) = (0,8 · 105, 0, 2,5, 1,2, 2,5, 0), x < 0,3, (p, u, ρ, γ, ρ*, c*) = (1,0 · 105, 0, 1,5, 1,4, 1,5, 0), 0,3 ≤ x < 0,6, (p, u, ρ, γ, ρ*, c*) = (1,2 · 105, 0, 0,5, 1,67, 0,5, 0), x ≥ 0,6. На рис. 4 представлены данные численных расчетов течения, полученные с использованием УМХ и метода КИР, к моменту времени t = 0,3 мс на равномерной сетке из 200 ячеек в сравнении с точным решением. Следует отметить при использовании метода КИР положения контактных разрывов и ударных скачков существенно разнятся с точными. Не исправляет ситуацию и измельчение расчетной сетки. Пример 4. Рассмотрена задача Римана для трех различных газов при следующих значениях параметров на момент времени t = 0 [19]: (p, u, ρ, γ, ρ*, c*) = (1,8 · 105, 0, 1,5, 1,4, 1,5, 0), x < 0,3, (p, u, ρ, γ, ρ*, c*) = (1,0 · 105, 0, 1,0, 1,2, 1,0, 0), 0,3 ≤ x < 0,6, (p, u, ρ, γ, ρ*, c*) = (0,2 · 105, 0, 0,15, 1,67, 0,15, 0), x ≥ 0,6, На рис. 5 представлены результаты численных расчетов течения, полученные с использованием УМХ, на равномерной сетке из 200 ячеек к моменту времени t = 0.28 мс в сравнении с точным решением. 5. Выводы В рамках обобщенно-равновесной модели многокомпонентной смеси численно решается задача о движении многожидкостной среды в переменных Эйлера. Описан узловой метод характеристик, предназначенный для интегрирования одномерных уравнений модели со «сквозным» расчетом ударных скачков, применение которого дает возмож- с — скорость звука в смеси; n — количество фракций в смеси; p — давление; u — скорость смеси; x — пространственная переменная; α — объемная доля; ε — удельная внутренняя энергия; ρi0 — истинная плотность i-й фракции; ρ — плотность смеси; ρi = αiρi0 — приведенная плотность. Нижние индексы L и R — для параметров смеси «слева» и «справа» от контактного разрыва (С); k — номер узла; m — номер временного слоя; Верхние индексы ν — номер итерации. Список литературы 1. Glimm, J. Robust computational algorithms for dynamic interface tracking in three dimensions / J. Glimm, J. Grove, X Li et al. // SIAM J. Sci. Comput. 2000. Vol. 21, № 6. P. 2240–2276. 2. Суров, В. С. Взаимодействие ударных волн с каплями пузырьковой жидкости // Журн. техн. физики. 2001. Т. 71, № 6. С. 17–22. 3. Scardovelli, R. Direct numerical simulation of free-surface and interfacial flow / R. Scardovelli, S. Zaleski // Annu Rev. Fluid Mech. 1999. Vol. 31. P. 567–598. 4. Osher, S. A level set method: An overview and some recent results / S. Osher, R. P. Fedkiw // J. Comput. Phys. 2001. Vol. 169. P. 463–502. 5. Бахрах, С. М. Расчет газодинамических течений на основе метода концентраций / С. М. Бахрах, Ю. П. Глаголева, М. С. Самигулин и др. // Докл. АН СССР. 1981. Т. 257, № 3. С. 566–569. 6. Бондаренко, Ю. А. Расчет термодинамических параметров смешанных ячеек в газовой динамике / Ю. А. Бондаренко, Ю. В. Янилкин // Мат. моделирование. 2002. Т. 15, № 6. С. 63–81. 7. Abgrall, R. Computations of compressible multifluids / R. Abgrall, S. Karni // J. Comput. Phys. 2001. Vol. 169. P. 594–623. 8. Shyue, K.-M. A fluid-mixture type algorithm for compressible multicomponent flow with van der Waals equation of state // J. Comput. Phys. 1999. Vol. 156. P. 43–88. 9. Shyue K.-M. A fluid-mixture type algorithm for compressible multicomponent flow with Mie — Gru- Узловой метод характеристик для расчета задач многожидкостной гиродинамики neisen equation of state // J. Comput. Phys. 2001. Vol. 171. P. 678–707. 10. Allaire, G. A five-equation model for the simulation of interfaces between compressible fluids / G. Allaire, S. Clerc, S. Kokh // J. Comput. Phys. 2002. Vol. 181. P. 577–616. 11. Murrone, A. A five-equation reduced model for compressible two phase flow problems / A. Murrone, H. Guillard // J. Comput. Phys. 2005. Vol. 202. P. 664–698. 12. Суров В. С. Течение Буземана для односкоростной модели гетерогенной среды // Инженер.физ. журн. 2007. Т. 80, № 1. С. 75–84. 13. Суров В. С. О локализации контактных поверхностей в многожидкостной гидродинамике // Инженер.-физ. журн. 2010. Т. 83, № 3. С. 518–527. 14. Суров В. С. Об уравнениях односкоростной гетерогенной среды // Инженер.-физ. журн. 2009. Т. 82, № 4. С. 45–51. 15. Куликовский, А. Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов, А. Ю. Семенов. М. : ФИЗМАТЛИТ. 2001. 16. Суров В. С. Об одном варианте метода характеристик для расчета течений односкоростной многокомпонентной смеси // Инженер.-физ. журн. 2010. Т. 83, № 2. С. 345–350. 63 17. Суров, В. С. Узловой метод характеристик для гиперболических систем / В. С. Суров, Е. Н. Степаненко, И. В. Березанский // Материалы XVIII междунар. конф. по вычислит. механике и современным прикладным программным системам, г. Алушта, 22–31 мая 2013. М. : Моск. авиац. ин-т. 2013. С. 668–671. 18. Guoxi, N. A remapping-free, efficient Riemannsolvers based, ALE method for multi-material fluids with general EOS / N. Guoxi, J. Song and W. Shuanghu // Computers & Fluids. 2013. Vol. 71. P. 19–27. 19. Caia, L. An efficient ghost fluid method for compressible multifluids in Lagrangian coordinate / L. Caia, J.-H. Feng W.-X. Xie // Applied Numerical Mathematics. 2008. Vol. 58. P. 859–870. 20. Суров, В. С. Сеточный метод характеристик для расчета течений односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды / В. С. Суров, Е. Н. Степаненко // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2010. № 24 (205). Физика. Вып. 8. С. 15–22. 21. Суров, В. С. Новые гиперболические модели в механике гетерогенных сред / В. С. Суров, И. В. Березанский // Механика композиционных материалов и конструкций : сб. тр. IV Всерос. симпозиума, Москва, 4–6 дек. 2012, Т. 2. М. : Ин-т приклад. механики РАН, 2012. С. 252–265.