Непрерывные случайные величины: дисперсия

Отделение лингвистики
НИУ ВШЭ, 2014-15, «Теория вероятностей»
Отделение лингвистики, 2014-15 СЋСЉ. РүР«Рұ
Теория вероятностей
Непрерывные случайные величины: дисперсия (11 марта 2015 г.)
И. В. Щуров, Д. А. Филимонов, Р. Я. Будылин
Определение 1. Дисперсия 𝐷𝑋 случайной величины 𝑋 равна 𝐷𝑋 = 𝐸((𝑋 − 𝐸𝑋)2 ) =
𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸𝑋)2 .
Если случайная величина 𝑋 имеет плотность распределения 𝑝(𝑥), и 𝑓 (𝑋) —
некоторая функция, то математическое ожидание случайной величины 𝑌 = 𝑓 (𝑋) вычисляется по формуле
∫︁ ∞
Замечание 1.
𝐸𝑌 =
𝑓 (𝑥)𝑝(𝑥)𝑑𝑥
−∞
Задача 1. Найти дисперсию случайной величины, равномерно распределенной на отрезке
[𝑎, 𝑏].
Задача 2. На рисунке изображены графики плотности случайных величин 𝑋 и 𝑌 .
1
0.75
0.5
0.25
0
−4 −3 −2 −1 0
1
1
2
3
4
1
2
3
4
0.75
0.5
0.25
0
−4 −3 −2 −1 0
(a) Чему равно 𝐸𝑋 ? 𝐸𝑌 ?
(b) Попробуйте угадать по графикам, какая случайная величина имеет бо́льшую дисперсию? (Какая из них сильнее отклоняется от своего среднего значения?)
(c) Найти дисперсии этих случайных величин.
Задача 3. На рисунке изображены графики плотности случайных величин 𝑋 и 𝑌 .
1
0.75
0.5
0.25
0
−4 −3 −2 −1 0
И. В. Щуров, Д. А. Филимонов, Р. Я. Будылин
1
2
3
4
1
Отделение лингвистики
НИУ ВШЭ, 2014-15, «Теория вероятностей»
1
0.75
0.5
0.25
0
−4 −3 −2 −1 0
1
2
3
4
(a) Чему равно 𝐸𝑋 ? 𝐸𝑌 ?
(b) Попробуйте угадать по графикам, какая случайная величина имеет бо́льшую дисперсию? (Какая из них сильнее отклоняется от своего среднего значения?)
(c) Найти дисперсии этих случайных величин.
Задача 4. Случайная величина 𝑋 имеет дисперсию 𝐷𝑋 . Чему равняется дисперсия слу-
чайной величины 𝑌 = 𝑘𝑋 , где 𝑘 — какая-то константа?
И. В. Щуров, Д. А. Филимонов, Р. Я. Будылин
2