Занятие №8: Комбинаторная геометрия 2 1. Существует ли

Занятие №8: Комбинаторная геометрия 2
1. Существует ли замкнутая шестизвенная не плоская ломаная такая, что длины всех ее звеньев равны и
углы между соседними звеньями равны?
2. Незнайка отметил на плоскости 15 точек и утверждает, что какое бы натуральное число , где
, ему не назвали, он сможет указать прямую, содержащую ровно
отмеченных точек.
Прав ли он? (Указание: Ну как Незнайка может быть прав ?)
3. На поверхности кубика Рубика в каждом из 54 квадратиков проведена одна диагональ. Могут ли все
эти диагонали образовывать замкнутую траекторию, не имеющую самопересечений? (Кубик Рубика
представляет собой куб, составленный из 27 одинаковых кубиков).
4. Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать на четыре части, три из которых имеют
ось симметрии, а четвертая – центр симметрии.
5. Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга радиуса
с центрами в
вершинах покрывают весь треугольник. (Указание: Воспользуйтесь методом от противного)
6. Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно удалить одну точку, что
оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это
максимальное расстояние между точками множества).
7. На плоскости отметили
прямых, проходящих через одну точку таким образом, что для
любых двух из них найдется такая отмеченная прямая, которая делит пополам одну из пар
вертикальных углов, образованных этими прямыми. Докажите, что проведенные прямые делят
полный угол на равные части. (Указание: Воспользуйтесь принципом крайнего).
8. Выпуклый многоугольник
разрезали на несколько многоугольников и сложили из них квадрат,
используя только параллельные переносы частей. Докажите, что центрально-симметричен.
Занятие №8: Комбинаторная геометрия 2
1. Существует ли замкнутая шестизвенная не плоская ломаная такая, что длины всех ее звеньев равны и
углы между соседними звеньями равны?
2. Незнайка отметил на плоскости 15 точек и утверждает, что какое бы натуральное число , где
, ему не назвали, он сможет указать прямую, содержащую ровно
отмеченных точек.
Прав ли он? (Указание: Ну как Незнайка может быть прав ?)
3. На поверхности кубика Рубика в каждом из 54 квадратиков проведена одна диагональ. Могут ли все
эти диагонали образовывать замкнутую траекторию, не имеющую самопересечений? (Кубик Рубика
представляет собой куб, составленный из 27 одинаковых кубиков).
4. Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать на четыре части, три из которых имеют
ось симметрии, а четвертая – центр симметрии.
5. Длина наибольшей стороны треугольника равна 1. Докажите, что три круга радиуса
с центрами в
вершинах покрывают весь треугольник. (Указание: Воспользуйтесь методом от противного)
6. Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно удалить одну точку, что
оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это
максимальное расстояние между точками множества).
7. На плоскости отметили
прямых, проходящих через одну точку таким образом, что для
любых двух из них найдется такая отмеченная прямая, которая делит пополам одну из пар
вертикальных углов, образованных этими прямыми. Докажите, что проведенные прямые делят
полный угол на равные части. (Указание: Воспользуйтесь принципом крайнего).
8. Выпуклый многоугольник
разрезали на несколько многоугольников и сложили из них квадрат,
используя только параллельные переносы частей. Докажите, что центрально-симметричен.