Ãëàâà 2 Îñíîâû òåîðèèÐàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà 1 Ââåäåíèå 1.1 Ñòðàõîâîå ìíîæåñòâî Ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî èñêîâ â îòäåëüíûé ïåðèîä âðåìåíè ïðåäñòàâëÿåò ôóíäàìåíòàëüíóþ âàæíîñòü äëÿ ïðàâèëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèåé. Êëþ÷åâûì äîïóùåíèåì âî âñåõ ìîäåëÿõ, èçó÷àåìûõ çäåñü, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïðåäúÿâëåíèÿ èñêà è âåëè÷èíó(ñóììó) èñêà ìîæíî èçó÷àòü îòäåëüíî. Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü ïðåäúÿâëåíèÿ èñêà âû÷èñëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ íåêîòîðîé ïðîñòîé ìîäåëüþ ñîáûòèé, ïîïàâøèõ â îïðåäåëåííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, è çàòåì âåëè÷èíà èñêà âûáèðàåòñÿ èç ðàñïðåäåëåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ýòó âåëè÷èíó. 1.2 Ñòàòèñòè÷åñêèé ôîí Äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ðÿä ñòàòèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ. Êîíå÷íàÿ öåëü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû îïèñàòü êîëåáàíèÿ âåëè÷èí èñêîâ ñ ïîìîùüþ íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáà, êîòîðîå â äîñòàòî÷íîé ìåðå îïèñûâàåò èñêè, èìåþùèåñÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè. Êàê ïðàâèëî, ýòî îñóùåñòâëÿåòñÿ â äâà ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî èñêè ïðîèñõîäÿò, êàê ðåàëèçàöèè èçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàïðèìåð, ìîæíî äîïóñòèòü, ÷òî ëîãàðèôì âåëè÷èíû èñêà ñëåäóåò, â óìåðåííîì ïðèáëèæåíèè, íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ èçâåñòíûì çíà÷åíèåì è èçâåñòíûì ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì. Çàâåðøèâ ïðîöåññ íàõîæäåíèÿ âåëè÷èíû èñêà, ìû ìîãëè 34 áû ïåðåêëþ÷èòü ñâîå âíèìàíèå íà åãî ðåçóëüòàòû, íóæíûå â ñòðàõîâàíèè. Íàïðèìåð, èñêè âûøå îïðåäåëåííîãî óðîâíÿ ìîãóò èíèöèèðîâàòü íåêîòîðûå ìåðû äëÿ ïåðåñòðàõîâàíèÿ, â òî âðåìÿ êàê èñêè íèæå îïðåäåëåííîãî óðîâíÿ ìîãóò áûòü íèêîãäà íå ïðåäúÿâëåíû, åñëè ôðàíøèçà áóäåò â ñèëå. Íà ïðàêòèêå æå, òî÷íîå ðàñïðåäåëåíèå, îïèñûâàþùåå èñêè, âðÿä ëè êîãäà-íèáóäü ñòàíåò èçâåñòíî. Íà âòîðîì ýòàïå, òèïè÷íûì ìåòîäîì äåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî èñêîâîå ðàñïðåäåëåíèå - ýòî ÷ëåí íåêîòîðîãî ñåìåéñòâà. Ïàðàìåòðû ýòîãî ñåìåéñòâà äîëæíû áûòü îöåíåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì âåëè÷èíû èñêà, çàïèñàííîé ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùåãî ìåòîäà, òàêîãî êàê ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ïðàâäà, åñëè êðóïíûå èñêè áóäóò îãðàíè÷åíû (ïåðåñòðàõîâàíèå) èëè íåêîòîðûå íåçíà÷èòåëüíûå èñêè íå áóäóò ïðåäúÿâëåíû (ôðàíøèçà), ïðè âû÷èñëåíèÿõ ìîãóò âîçíèêíóòü òðóäíîñòè. Ìîæíî ïðîâåñòè ìíîæåñòâî èññëåäîâàíèé õàðàêòåðà ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ, ÷òîáû îïèñàòü ïåðåìåííóþ âåëè÷èíû èñêà. È îñíîâíûì çàêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ó èñêîâûõ ðàñïðåäåëåíèé èìååòñÿ òåíäåíöèÿ áûòü ñîâåðøåííî àñèììåòðè÷íûìè è ñ "òÿæåëûìè õâîñòàìè". 1.3 Ïðèáëèçèòåëüíàÿ îöåíêà è êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Ìåòîäû ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, ìîìåíòîâ è ïðîöåíòèëåé ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàñïðåäåëåíèÿõ äëÿ ìíîæåñòâà ðàçíûõ âèäîâ èíôîðìàöèè. Ïðèåìëåìîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ïðîâåðèòü ôîðìàëüíî, èñïîëüçóÿ êðèòåðèé χ2 . Ìåòîä ïðîöåíòèëåé îïèñûâàåòñÿ â ñåêöèè 2.3; äðóãèå ìåòîäû è êðèòåðèé χ2 ñîäåðæàòñÿ â òåìå C1. Ôîðìóëÿð äëÿ ïëîòíîñòåé, ìîìåíòîâ ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé (åñëè îíè ñóùåñòâóþò) äëÿ ðàñïðåäåëåíèé, îáñóæäàåìûõ â ýòîé ÷àñòè, ïðèâîäèòñÿ â Ôîðìóëÿðå è òàáëèöàõ äëÿ àêòóàðíûõ èññëåäîâàíèé. Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ, åñëè F (x) = 1 − e−λx è, ìîæíî çàïèñàòü, X ∼ exp(λ). Äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðà ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ (ÌÌÏ) èëè ìåòîä ìîìåíòîâ. 35 Ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè α è λ, åñëè α λ F (x) = 1 − λ+x è, ìîæíî çàïèñàòü, X ∼ P a(α, λ). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè αλα f (x) = , x > 0, α > 0, λ > 0. (λ + x)α+1 Ìåòîä ìîìåíòîâ î÷åíü ëåãêî ïðèìåíèòü â ñëó÷àå Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèé, íî îöåíêè, ïîëó÷åííûå òàêèì ñïîñîáîì, áóäóò ñîäåðæàòü äîâîëüíî ìíîãî ñòàíäàðòíûõ îøèáîê, ãëàâíûì îáðàçîì èç-çà S 2 , âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè, èìåþùåé î÷åíü áîëüøîå îòêëîíåíèå. Îäíàêî, ýòîò ìåòîä îáåñïå÷èâàåò íà÷àëüíûå îöåíêè äëÿ äàëüíåéøåãî èñïîëüçîâàíèÿ áîëåå ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ, êîòîðûå íå òàê ïðîñòû â ïðèìåíåíèè. Íàïðèìåð, ÌÌÏ, ãäå äëÿ ðåøåíèÿ ìîãóò ïîíàäîáèòüñÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû. Ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèå ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñ âåðõíåé õâîñòîâîé ÷àñòüþ, êîòîðàÿ ñòðåìèòñÿ ê 0, êàê ñòåïåíü x. Ýòî äàåò ðàñïðåäåëåíèå ñ áîëåå òÿæåëîé õâîñòîâîé ÷àñòüþ, ÷åì ýêñïîíåíöèàëüíîå. Âûðàæåíèÿ äëÿ âåðõíèõ õâîñòîâ ýêñïîíåíöèàëüíîãî è Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèé òàêîâû ýêñïîíåíöèàëüíîå P (X > x) = exp(−λx) Ïàðåòî P (X > x) = (λ/(λ + x))α . Âîñïîëüçóåìñÿ äîïîëíèòåëüíîé âîçìîæíîñòüþ. Ïîëîæèì P (X > x) = exp(−λxγ ), γ > 0. Çäåñü ó íàñ åñòü äâà ñëó÷àÿ. Åñëè γ < 1, òî ïîëó÷àåì ðàñïðåäåëåíèå ñ õâîñòîâîé ÷àñòüþ, èìåþùåé ïðîìåæóòî÷íûé âåñ ìåæäó ýêñïîíåíöèàëüíûì è Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèÿìè, åñëè γ > 1, âåðõíÿÿ õâîñòîâàÿ ÷àñòü áóäåò ëåã÷å, ÷åì ó ýêñïîíåíöèàëüíîãî (äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ γ = 1). Ðàñïðåäåëåíèå õâîñòîâîé ÷àñòè îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà, î÷åíü ãèáêîå ðàñïðåäåëåíèå, êîòîðîå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî êàê ìîäåëü äëÿ óùåðáà â ñòðàõîâàíèè, îáû÷íî ñ γ < 1. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà ñ ïàðàìåòðàìè ñ è γ , åñëè F (x) = 1 − exp(−cxγ ) 36 è ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî X ∼ W (c, γ). (Çàìåòèì, ÷òî èçìåíåíèÿ îò γ ê c îïèñàíû â Òàáëèöàõ äëÿ àêòóàðíûõ èññëåäîâàíèé ). Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè äëÿ W (c, γ) f (x) = cγxγ−1 exp(−cxγ ), x > 0, c > 0, γ > 0. Íè ìåòîä ìîìåíòîâ, íè ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íå ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ, åñëè c è γ íå èçâåñòíû (õîòÿ íà ïðàêòèêå, åñëè åñòü êîìïüþòåð, ýòè óðàâíåíèÿ äîâîëüíî ëåãêî ðåøàåìû).  ñëó÷àå, êîãäà γ ýòî èçâåñòíàÿ âåëè÷èíà γ ∗ , òî äîñòàòî÷íî ïðîñòûì îêàæåòñÿ ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ W (c, γ) ýòî ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ, è íà ýòîì ôàêòå ìîæåò áàçèðîâàòüñÿ ïðîñòîé ìåòîä îöåíêè äëÿ c è γ . Ìåòîä îñíîâàí íà ïðèðàâíèâàíèè ïîäîáðàííûõ âûáîðî÷íûõ ïðîöåíòèëåé ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàïðèìåð, ïðèðàâíèâàíèå êâàðòèëåé, 25-îãî è 75-îãî ïðîöåíòèëåé, ê ïîïóëÿöèîííûì êâàðòèëÿì. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñïîñîáó, â êîòîðîì âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ïðèðàâíèâàþòñÿ ê ïîïóëÿöèîííûì ìîìåíòàì â ìåòîäå ïðîöåíòèëåé. Ïåðâûå äâà ìîìåíòà (â ìåòîäå ìîìåíòîâ) èñïîëüçóþòñÿ, åñëè åñòü äâà íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðà, ýòî èíòóèòèâíî êàæåòñÿ î÷åâèäíûì (õîòÿ òåîðåòè÷åñêèé áàçèñ äëÿ ýòîãî íå òàê ïðîñò). Àíàëîãè÷íî ìîãëà áû áûòü èñïîëüçîâàíà ìåäèàíà, åñëè áû áûë òîëüêî îäèí ïàðàìåòð äëÿ îöåíêè. Ñ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè, îïòèìàëüíàÿ ïðîöåäóðà ìåíåå ïðîñòà, íî ïîíèæåííûå è ïîâûøåííûå êâàðòèëè êàæóòñÿ âïîëíå ðàçóìíûì âûáîðîì. Ï ð è ì å ð 2.1 Îöåíèòü ñ è γ â ðàñïðåäåëåíèè Âåéáóëëà, èñïîëüçóÿ ìåòîä ïðîöåíòèëåé, ãäå ïåðâûé âûáîðî÷íûé êâàðòèëü ðàâåí 401 è òðåòèé êâàðòèëü ðàâåí 2836.75. Ðåøåíèå Óðàâíåíèÿ äëÿ ñ è γ F (401) = 1 − exp(−c ∗ 401γ ) = 0.25 F (2836.75) = 1 − exp(−c ∗ 2836.75γ ) = 0.75, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïåðåïèñàíû â âèäå −c ∗ 401γ = log(3/4) è −c ∗ 2836.75γ = log(1/4) Äåëèì îäíî óðàâíåíèå íà äðóãîå è ïîëó÷àåì, ÷òî e c = 0.002326, ãäå ∼ γ e = 0.8038, ñëåäîâàòåëüíî îçíà÷àåò ïðîöåíòèëüíóþ îöåíêó. Çàìåòèì, ÷òî γ e<1 äàåò áîëåå òÿæåëóþ õâîñòîâóþ ÷àñòü, ÷åì ó ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. 37 Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå Ñëó÷àéíàÿ ïåðåìåííàÿ X èìååò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè α è λ, åñëè λα Γ(α) α−1 exp(−λx), x > 0 x è ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî X ∼ G(α, λ). Ñðåäíåå çíà÷åíèå è âàðèàöèÿ X f (x) = α α ; V ar(X) = 2 λ λ Ìîìåíòû èìåþò ïðîñòóþ ôîðìó, ïîýòîìó ìåòîä ìîìåíòîâ ëåãêî ïðèìåíèì. Îöåíêè ÌÌÏ äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ íå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû â êîíå÷íîé ôîðìå (â òåðìèíàõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé), íî ýòè îöåíêè ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ, êàê èñõîäíûå â ïîèñêå ÌÌÏ-îöåíîê. Áîëåå óäîáíî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÌÌÏ-îöåíîê ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íóþ ïàðàìåòðèçàöèþ. Ïîëîæèì µ = α/λ è îöåíèì e=α ïàðàìåòðû α è µ. Çàòåì âîññòàíîâèì ÌÌÏ-îöåíêó λ, ïîëîæèâ λ e/e µ. Çäåñü ìû èñïîëüçóåì ñâîéñòâî ïîñòîÿíñòâà ÌÌÏ-îöåíîê. E(X) = Ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Îïðåäåëåíèå ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ î÷åíü ïðîñòîå: X èìååò ëîãíîðîìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè log X èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Êîãäà log X ∼ N (µ, σ 2 ), X ∼ LogN (µ, σ 2 ). Îöåíêà ëîãíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé äî òåõ ïîð, ïîêà µ è σ 2 ìîãóò áûòü îöåíåíû ñ ïîìîùüþ ëîãîðèôìà ïðåîáðàçîâàííîé èíôîðìàöèè. Ïóñòü x1 , x2 , . . . , xn áóäóò íàáëþäàåìûìè ïåðåìåííûìè è ïóñòü yi = log xi . Îöåíêè µ è σ 2 â ÌÌÏ ýòî y è s2y , ãäå íèæíèé èíäåêñ y îáîçíà÷àåò âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ, âû÷èñëåííóþ íà çíà÷åíèÿõ y . Ñìåøàííûå ðàñïðåäåëåíèÿ Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ýòî îäíà èç ïðîñòåéøèõ ìîäåëåé äëÿ ñòðàõîâûõ ïîòåðü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäûé èíäèâèäóàëüíûé èñê â áîëüøîì ñòðàõîâîì ïîðòôåëå òåðïèò óáûòêè â ñîîòâåòñòâèè ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Ïðàêòè÷åñêîå èçó÷åíèå ôàêòè÷åñêè ëþáîãî ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ ïîêàçûâàåò, ÷òî çíà÷åíèÿ ýòèõ ðàçëè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé áóäóò îòëè÷àòüñÿ ñðåäè äåðæàòåëåé ïîëèñîâ. Òàêèì îáðàçîì, îïèñàíèå óùåðáîâ äëÿ âñåãî ïîðòôåëÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî êàæäûé îòäåëüíûé óùåðá ñëåäóåò ñîáñòâåííîìó ýêñïîíåíöèàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ, òàê êàê çíà÷åíèÿ ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé ðàçëè÷íû. 38 Ñåé÷àñ áóäåì èñêàòü îïèñàíèå îòêëîíåíèÿ îòäåëüíûõ ñðåäíèõ çíà÷åíèé. Îäèí èç ñïîñîáîâ ýòî ñäåëàòü ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ýêñïîíåíöèàëû ýòèõ çíà÷åíèé ñëåäóþò ðàñïðåäåëåíèþ.  ýêñïîíåíöèàëüíîì ñëó÷àå, óäîáíî ñäåëàòü ñëåäóþùåå ïðåäïîëîæåíèå. Ïóñòü λi = 1/θi îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì óùåðáà äëÿ i-îãî äåðæàòåëÿ ïîëèñà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âàðèàöèÿ äëÿ λi ìîæåò áûòü îïèñàíà èçâåñòíûì ãàììà-ðàñïðåäåëåíèåì G(α, δ), òî åñòü ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ ∼ G(α, δ), ãäå δ α α−1 λ exp(−δλ), λ > 0. f (λ) = Γ(α) Îñîáî çàìåòèì, ÷òî ýòî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè λ ñ èçâåñòíûìè çíà÷åíèÿìè α è δ . Òàêàÿ ôîðìóëèðîâêà èìååò ìíîãî îáùåãî ñ òåì, ÷òî èñïîëüçóåòñÿ â îöåíêå Áàéåca. Äåéñòâèòåëüíî, ôóíäàìåíòàëüíàÿ èäåÿ ýòîé îöåíêè ñîñòîèò â òîì, ÷òî èíòåðåñóþùèé ïàðàìåòð (çäåñü, λ)ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ èçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî öåëüþ çäåñü ÿâëÿåòñÿ íå îöåíèòü îòäåëüíîå λi , à îïèñàòü ñîâîêóïíîñòü óùåðáà äëÿ âñåãî ïîðòôåëÿ. Îòäåëüíîå λi ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ñ ïîìîùüþ áàéåñîâñêîé îöåíêè, êîãäà ê G(α, δ) ðàñïðåäåëåíèþ ìîæíî áûëî áû îòíîñèòüñÿ, êàê ê îñíîâíîìó ðàñïðåäåëåíèþ.  çàäà÷å îïèñàíèÿ óùåðáà äëÿ âñåãî ïîðòôåëÿ, G(α, δ) ðàñïðåäåëåíèå èñïîëüçóåòñÿ, ÷òîáû óñðåäíèòü ýêñïîíåíöèàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ; ê íåìó îòíîñÿòñÿ, êàê ê ñìåøèâàþùåìó ðàñïðåäåëåíèþ, è , ñëåäîâàòåëüíî, â òàêèõ ñëó÷àÿõ ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà íàçûâàþò ñìåøàííûì. Ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå X Z fX (x) = fX,λ (x, λ)dλ Z = = ∞ δ α α−1 λ exp(−δλ) × λ exp(−λx))dλ Γ(α) 0 Z ∞ δα = λα exp{−(x + δ)λ}dλ Γ(α) 0 Z = fλ (λ)fX|λ (x | λ)dλ δα Γ(α + 1) × (G(α + 1, x + δ) − èíòåãðàë) Γ(α) (x + δ)α+1 = αδ α , (x + δ)α+1 39 x>0 ÷òî ÿâëÿåòñÿ Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèåì P a(α, δ). Òàêîé ðåçóëüòàò äàåò î÷åíü õîðîøóþ èíòåðïðåòàöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî: P a(α, δ) âîçíèêàåò, êîãäà ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûå óùåðáû óñðåäíÿþòñÿ G(α, δ)ñìåøèâàþùèì ðàñïðåäåëåíèåì. Îáîáùåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî P a(α, λ) F (x) = 1 − λα (λ + x)α Äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð γ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí òàêèì îáðàçîì: F (x) = 1 − λα (λ + xγ )α Òàêàÿ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ïðåîáðàçóåò ðàñïðåäåëåíèÿ Áóððà è Ïàðåòî. Äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð äàåò îñîáóþ ãèáêîñòü, êîãäà òðåáóåòñÿ ïîäñòðîèòñÿ ê èìåþùåéñÿ èíôîðìàöèè. Ñ òîãî ìîìåíòà, êàê ìû ïîëó÷èì ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ â êîíå÷íîì âèäå, ñòàíåò âîçìîæíûì ïðèáëèçèòü ðàñïðåäåëåíèå Áóððà ê èìåþùåéñÿ èíôîðìàöèè, èñïîëüçóÿ ìåòîäû ïðîöåíòèëåé. ÌÌÏ îáû÷íî òðåáóåò èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàìì, êîòîðûå ïîçâîëÿþò íåëèíåéíóþ îïòèìèçàöèþ. Âòîðîå îáîáùåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî çàäåéñòâóþò èäåþ ñìåøàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, îáñóæäåííîãî ðàíåå. Åñëè óùåðáû ýòî ýêñïîíåíöèàëû ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì 1/λ, è λ ∼ G(α, δ), òîãäà ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå óùåðáîâ ýòî P a(α, δ). Ìîæíî ñäåëàòü îáîáùåíèå, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîòåðè ýòî G(k, λ) è λ ∼ G(α, δ).  ÷àñòíîì ñëó÷àå, åñëè k = 1, òî P a(α, δ) ðàñïðåäåëåíèå ïîëó÷åíî òàêæå, êàê è ðàíåå Z fX (x) = fλ (λ)fX|λ (x | λ)dλ = ∞ λk δ α α−1 λ exp(−δλ) × ( xk−1 exp(−λx))dλ Γ(α) Γ k) 0 α k−1 Z ∞ δ x λα+k−1 exp{−(x + δ)λ}dλ = Γ(α)Γ(k) 0 Z = Γ(α + k)δ α xk−1 , Γ(α)Γ(k) (x + δ)α+k x > 0, ãäå êîíå÷íûé èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ îò G(α + k, δ + x) èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèè. À, çíà÷èò, ìû íàøëè ôóíêöèþ ïëîòíîñòè îáîáùåííîãî Ïàðåòîðàñïðåäåëåíèÿ. 40 Ìîìåíòû îáîáùåííîãî Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèÿ ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû R ëèáî íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì xf (x)dx, ëèáî èñïîëüçîâàíèåì óñëîâíîãî àðãóìåíòà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. ×òî êàñàåòñÿ îöåíêè, òàê êàê ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ íå îïðåäåëåíà, òî ìåòîä ïðîöåíòèëåé èñïîëüçîâàòü íåëüçÿ. ÌÌÏ ìîæåò áûòü ïðèìåíåí, íî, îïÿòü æå, íåîáõîäèìî ïîäõîäÿùåå ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå; ìåòîä ìîìåíòîâ ìîæåò îáåñïå÷èòü íà÷àëüíûå îöåíêè äëÿ ëþáîé èòåðàöèîííîé ñõåìû. 41 2 Ôîðìóëû Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå fX (x) = λα α−1 −λx x e , Γ(α) x>0 Ëîãíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå fX (x) = 1 log x − µ 2 ) ], exp[− ( 2 σ xσ 2π 1 √ x>0 Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèå fX (x) = αλα , (λ + x)α+1 fX (x) = x>0 Γ(α + k)λα xk−1 , Γ(α)Γ(k)(λ + x)α+k äëÿ äâóõ ïàðàìåòðîâ x>0 îáùèé âèä Ðàñïðåäåëåíèå Áóððà fX (x) = αγλα xγ−1 , (λ + xγ )α+1 x>0 Èñêîâàÿ ÷àñòîòà Èñêîâàÿ ÷àñòîòà = êîëè÷åñòâî èñêîâ ñðåäíåå êîëè÷åñòâî ïîëèñîâ Ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ Ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ=Îæèäàåìàÿ ÷àñòîòà èñêà×Ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èñêà 42 3 Âîïðîñû ñòóäåíòàì Â1 Ïî÷åìó ðàññìàòðèâàåìûå ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿìè "óùåðáîâ à íå "èñêîâ"? O1 Óùåðá ýòî ïîëíàÿ ñòîèìîñòü âîññòàíîâëåíèÿ óùåðáà, òîãäà êàê èñêîâàÿ âåëè÷èíà ýòî òîëüêî äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà îïëà÷èâàåìîé ñóììû.  ñëåäóþùåé ÷àñòè ìû óâèäèì, ÷òî ñòðàõîâùèê íå âñåãäà îáÿçàí âîçìåùàòü âñå ïîòåðè, íàïðèìåð, åñëè ïðèìåíÿåòñÿ ôðàíøèçà, åñëè óùåðá ïðåâûøàåò ñóììó, óêàçàííóþ â ïîëèñå èëè åñëè èñïîëüçîâàëîñü åùå êàêîå-ëèáî ñòðàõîâàíèå è ñòîèìîñòü ðàçäåëåíà. Ïîýòîìó âåëè÷èíà óùåðáà è âåëè÷èíà èñêà íå âñåãäà îäèíàêîâû. Â2 Âñå ëè îñíîâíûå ñòðàõîâûå èñêè îïëà÷èâàþòñÿ íà îñíîâå êîìïåíñàöèè óùåðáà? Î2 Ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî äà. Îäíàêî, åñòü íåñêîëüêî ñèòóàöèé, êîãäà äåëî îáñòîèò èíà÷å. Íàïðèìåð: •  ñòðàõîâàíèè èìóùåñòâà, ïîêðûòèå ìîæåò îáåñïå÷èâàòüñÿ íà îñíîâå ñèñòåìû íîâîå-çà-ñòàðîå, êîòîðàÿ îçíà÷àåò, ÷òî âñå ïðåäìåòû áóäóò çàìåíåíû íîâûìè ýêâèâàëåíòàìè(ïðåâûøàþùèìè ñòîèìîñòü ñòàðûõ ïðåäìåòîâ, êîòîðûå áûëè óòåðÿíû, óêðàäåíû èëè ïîâðåæäåíû). •  ñòðàõîâàíèè îò íåñ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ âûïëà÷èâàþòñÿ çàðàíåå çàäàííûå ñóììû, åñëè çàñòðàõîâàííûé ÷åëîâåê ïîëó÷èë îïðåäåëåííûå òðàâìû, íàïðèìåð, ïîòåðþ êîíå÷íîñòè èëè ãëàçà. • Òðàâìèðîâàííûå ëþäè ìîãóò ïîëó÷èòü êîìïåíñàöèîííûå âûïëàòû, ïðåâûøàþùèå èõ äåéñòâèòåëüíûþ ìàòåðèàëüíóþ ñòîèìîñòü. Â3 Âåðíî ëè, ÷òî, åñëè äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè, òî àñèììåòðèÿ òàêæå áóäåò áåñêîíå÷íîé? O3 Äà. Äëÿ òèïîâ ðàñïðåäåëåíèÿ óùåðáîâ, êîòîðûå ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü, îáíàðóæèòñÿ, ÷òî, êîãäà ìû ìåíÿåì ïàðàìåòðû, âûñøèå ìîìåíòû áóäóò "èäòè" âïåðåäè, òî åñòü ñíà÷àëà àñèììåòðèÿ ñòàíåò áåñêîíå÷íîé, çàòåì äèñïåðñèÿ, çàòåì ñðåäíåå çíà÷åíèå. Â4 Åñòü ëè ñìûñë â òîì, ÷òîáû ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå áûëî áîëüøå, ÷åì ñðåäíåå çíà÷åíèå? 43 O4 Äà. Ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûå ìû ðàññìàòðèâàåì çäåñü, î÷åíü íåñèììåòðè÷íûå, è íåò ïðè÷èí, ïî êîòîðûì ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå íå ìîãëî áû áûòü áîëüøå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ. Â5 Äîëæíû ëè ìû ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå ðåàëüíûå ïåðèîäû âîçäåéñòâèÿ íà ïðèìåðå ÷àñòîòû èñêà? O5 Äà. ×òîáû íå óñëîæíÿòü ñèòóàöèþ, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðîôèëü äåðæàòåëÿ ïîëèñà îñòàíåòñÿ ïîñòîÿííûì íà ïðîòÿæåíèè âñåãî ïåðèîäà. Â6 Êàê ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ ïðåìèè, ðåàëüíî ïðèñóòñòâóþùèå â îáùåì ñòðàõîâàíèè, ñ òåîðåòè÷åñêîé çíà÷åíèåì ïðåìèè? O6 3.1 Íà ïðàêòèêå, îáùèå ñòðàõîâûå ïðåìèè íàõîäÿòñÿ ïîä ñèëüíûì âëèÿíèåì êîíêóðåíòíîãî äàâëåíèÿ äðóãèõ êîìïàíèé. È äåéñòâèòåëüíûå ïðåìèè ìîãóò çíà÷èòåëüíî îòëè÷àòüñÿ îò òåîðåòè÷åñêèõ ïðåìèé. Òåì íå ìåíåå, âàæíî, ÷òî ñòðàõîâàòåëè îñîçíàþò, êàê ðåàëüíûå ïðåìèè ñîïîñòàâëÿþòñÿ ñ òåîðåòè÷åñêèìè, ïîýòîìó îíè ìîãóò ðàçäåëÿòü óùåðáû ïî îáëàñòÿì. Ïîäñêàçêè äëÿ îòâåòîâ íà âîïðîñû 1. Âîïðîñû ê ýòîé òåìå îáû÷íî î÷åíü ïðîñòûå. Îäíàêî, âàì íóæíî ñ ëåãêîñòüþ óìåòü èíòåãðèðîâàòü ñòàíäàðòíûå ôóíêöèè, èíòåãðèðîâàòü ïî ÷àñòÿì èëè ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííûõ. 2. Ïàðàìåòðû, èñïîëüçóåìûå â Ïàðåòî, Áóððà è Âåéáóëëà ðàñïðåäåëåíèÿõ, íå ÿâëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûìè. Ïîýòîìó âîçüìèòå íà çàìåòêó êîíêðåòíûå ôóíêöèè ïëîòíîñòè, êîòîðûå çàäàíû â çàäà÷àõ, èñïîëüçóþùèõ ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ. 44 4 Îòâåòû íà âîïðîñû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè Ðåøåíèå 1.1 Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè äëÿ N (0, 1)-ðàñïðåäåëåíèÿ f (x) = ãäà ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ: M (t) = E(etX ) = Z∞ −∞ 1 2 etX √ e−1/2x = 2π 1/2t2 Z∞ =e −∞ Z∞ −∞ 2 √1 e−1/2x . 2π Òî- 1 2 √ e−1/2(x −2tx) dx 2π 1 2 √ e−1/2(x−t) dx 2π Íî ïîñëåäíèé èíòåãðàë ýòî èíòåãðàë ïî âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ N (t, 1), è ïîòîìó îí ðàâåí 1. Òîãäà ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ìîìåíòîâ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà 2 e1/2t . Ðåøåíèå 1.2 Åñëè X èìååò LogGamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå, òî Y = log X èìååò Gamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå. Òîãäà, èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ ïëîòíîñòè Gamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âåëè÷èíû èñêà: Z∞ λα α−1 −λy Y y e dy E(X) = E(e ) = ey Γ(α) 0 Ïðîñòåéøèé ñïîñîá âû÷èñëèòü ýòîò èíòåãðàë ýòî ïîäîáðàòü êîíñòàíòû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñäåëàòü åãî ïîõîæèì íà äðóãîå ãàììàðàñïðåäåëåíèå (â äàííîì ñëó÷àå, Gamma(α, λ − 1)-ðàñïðåäåëåíèå). ×òî äàåò (îáåñïå÷èâàÿ λ > 1): λα E(X) = (λ − 1)α Z∞ (λ − 1)α α−1 −(λ−1)y y e dy Γ(α) 0 λ = λ−1 α λ P [0 < Gamma(α, λ − 1) < ∞] = λ−1 α (Çàìåòèì, ÷òî âû ìîæåòå ïðèìåíÿòü ýòó ôîðìóëó äëÿ íàõîæäåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ëîãíîðìàëüíîãî è ëîããàììà-ðàñïðåäåëåíèé, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùèé ìåòîä: 45 Åñëè X èìååò LogN (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèå, òî, ïî îïðåäåëåíèþ, Y = log X èìååò N (µ, σ 2 ) ðàñïðåäåëåíèå. Òîãäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: 1 E(X) = E(eY ) = MY (1) = eµ+ 2 σ 2 Àíàëîãè÷íî, åñëè X èìååò LogGamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå, òî, ïî îïðåäåëåíèþ, Y = log X èìååò Gamma(α, λ) ðàñïðåäåëåíèå: E(X) = E(eY ) = MY (1) = (1 − 1/λ)−α Õîòÿ ýòîò ìåòîä êàæåòñÿ äîâîëüíî êðàòêèì, îí íå ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ â êà÷åñòâå äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíûõ ïðèíöèïîâ, òàê êàê ïðåäïîëàãàåò èçâåñòíîé ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîìåíòîâ.) Ðåøåíèå 1.3 R∞ Ñðåäíåå çíà÷åíèå Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèÿ: xαλα (λ + x)−α−1 dx 0 Ñóùåñòâóþò äâà âîçìîæíûõ ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ ýòîãî èíòåãðàëà: (à) Âîñïîëüçóåìñÿ çàìåíîé t = λ + x: Z∞ −α−1 α xαλ (λ + x) Z∞ dx = (t − λ)αλα t−α−1 dx 0 λ = αλ α Z∞ −α t dt − αλ α+1 λ = αλ α Z∞ t−α−1 dt λ −α+1 t −α + 1 ∞ − αλ λ α+1 t−α −α ∞ λ αλ −λ α−1 λ = α−1 Ýòè âû÷èñëåíèÿ âîçìîæíû òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà èíòåãðàë ñõîäèòñÿ íà áåñêîíå÷íîñòè. Òàêîå óñëîâèå òðåáóåò, ÷òîáû âûðàæåíèÿ, íàõîäÿùèåñÿ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ áûëè îòðèöàòåëüíû, ÷òî áóäåò âûïîëíÿòñÿ ïðè α > 1. = 46 (á) Çàïèøåì íà÷àëüíîå x â èíòåãðàëå, êàê (λ + x) − λ è ðàçîáüåì åãî íà äâà èíòåãðàëà, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàñïðåäåëåíèþ Ïàðåòî: Z∞ Z∞ xαλα (λ + x)−α−1 dx = [(λ + x) − λ]αλα (λ + x)−α−1 dx 0 0 αλ α−1 Z∞ Z∞ α−1 −α (α − 1)λ (λ + x) dx − λ αλα (λ + x)−α−1 dx 0 0 αλ P [0 < P areto(α − 1, λ) < ∞] − λP [0 < P areto(α, λ) < ∞] α−1 αλ = −λ α−1 λ = α−1 Êàê àëüòåðíàòèâíûé âàðèàíò âû ìîæåòå èñïîëüçîâàòü èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, èëè çàïèñàòü ýòîò èíòåãðàë, êàê ôóíêöèþ ïëîòíîñòè îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî. Ðåøåíèå 1.4 Ôîðìóëà, äàííàÿ â Òàáëèöàõ äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áóððà: λ1/γ Γ(α − 1/γ)Γ(1 + 1/γ) Γ(α) Êîãäà γ = 1, ïîëó÷àåì: λΓ(α − 1) × 1 λ λΓ(α − 1)Γ(2) = = , Γ(α) (α − 1)Γ(α − 1) α−1 ÷òî ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî. Ðåøåíèå 1.5 Ñðåäíåå çíà÷åíèå ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà: Z∞ E(X) = γ xcγxγ−1 e−cx dx 0 47 Ïîäñòàâëÿÿ u = cxγ , ïîëó÷àåì, ÷òî Z∞ E(X) = xe −u = cγxγ−1 , è, â èòîãå: du dx Z∞ h i1/γ u e−u du du = c 0 0 Ïîïðîáóåì ïðåäñòàâèòü ýòîò èíòåãðàë â âèäå ôóíêöèè ïëîòíîñòè äëÿ Gamma(1 + 1/γ, 1) ðàñïðåäåëåíèÿ: E(X) = c−1/γ Γ(1 + 1/γ) Z∞ 1 u1/γ e−u du Γ(1 + 1/γ) 0 Γ(1 + 1/γ) Γ(1 + 1/γ) P [0 < Gamma(1 + 1/γ, 1) < ∞] = 1/γ c c1/γ Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëå, ïðèâåäåííîé â Òàáëèöàõ, äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà. = Ðåøåíèå 1.6 Ôîðìóëà äëÿ äèñïåðñèè ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà, äàííàÿ â Òàáëèöàõ : 2 Γ(1 + 1/γ) Γ(1 + 2/γ) − c2/γ c1/γ Ïðè γ = 1: 2 2 Γ(3) Γ(2) 2 1 1 − = 2− = 2, 2 c c c c c ÷òî ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëîé äèñïåðñèè ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ λ = c. Ðåøåíèå 1.7 Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà: Zx FX (x) = γ cγxγ−1 e−cxγ dx = −e−cxγ 0x = 1 − e−cx 0 Òîãäà: 1.5 = 1 − 0.0291 = 0.9709 1.5 = 1 − 0.2865 = 0.7135 FX (5000) = 1 − e−0.00001×5000 FX (2500) = 1 − e−0.00001×2500 Ïîëó÷àåì òðåáóåìóþ âåðîÿòíîñòü: FX (5000) − FX (2500) = 0.9709 − 0.7135 = 0.2574 48 Ðåøåíèå 1.8 Ïðè k = 2 ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè îáîáùåííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî: fX (x) = Γ(α + 2) α λ x(λ + x)−α−2 = (α + 1)αλα x(λ + x)−α−2 Γ(α)Γ(2) Âîñïîëüçóåìñÿ ïîäñòàíîâêîé t = λ + x è çàïèøåì âåðîÿòíîñòü èñêà, ïðåâûøàþùåãî M : Z∞ P (X > M ) = (α + 1)αλα x(λ + x)−α−2 dx M Z∞ = (α + 1)αλα (t − λ)t−α−2 dt λ+M Z∞ = (α + 1)αλα t−α−1 dt − (α + 1)αλα+1 λ+M Z∞ t−α−2 dt λ+M −α−1 ∞ −α ∞ t α+1 α t − (α + 1)αλ = (α + 1)αλ −α λ+M −α − 1 λ+M α α+1 λ λ = (α + 1) −α λ+M λ+M Ïîäñòàâëÿÿ α = 5, λ = 200 è M = 300 ïîëó÷àåì èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü: λ (α + 1) λ+M α λ −α λ+M α+1 200 =6 200 + 300 5 200 −5 200 + 300 6 = 6 × 0.45 − 5 × 0.46 = 0.041, òî åñòü 4.1% èñêîâ áóäóò ïðåâûøàòü £300000. Ðåøåíèå 1.9 2 Äèñïåðñèÿ Gamma(α, λ/1.1) ðàñïðåäåëåíèÿ 1.1λ2 α 1.21× λα2 . Òî åñòü äèñïåðñèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçìåðà èñêà âîçðàñòåò íà 21%. Åñëè ñðàâíèòü ýòî ñî ñòàíäàðòíûìè îòêëîíåíèÿìè, òî ìû óâèäèì, ÷òî ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå â äàííîì ñëó÷àå âîçðàñòåò íà 10%, â îòëè÷èå îò òîãî, êàê ìû ìîãëè áû îæèäàòü. 49 Ðåøåíèå 1.10 Ïóñòü Y = (1 + k)X . Ñäåëàåì ïîäñòàíîâêó y = (1 + k)x â èíòåãðàëå ôóíêöèè ïëîòíîñòè: Z∞ αλα dx = (λ + x)α+1 0 Z∞ 0 αλα dy = y α+1 (λ + 1+k ) 1+k Z∞ αλα (1 + k)α dy (λ(1 + k) + y)α+1 0 Ýòî ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè P areto(α, λ(1 + k)) ðàñïðåäåëåíèÿ. Çíà÷èò, ýòî ðàñïðåäåëåíèå èíôëÿöèîííûõ ðàçìåðîâ èñêà. Ðåøåíèå 1.11 Åñëè N ýòî îáùåå ÷èñëî èñêîâ, òî ìû èìååì: Z∞ P (N = n) = pN |θ (n)fθ (θ)dθ 0 Z∞ = 1 α α−1 −δθ e−θ θn × δ θ e dθ n! Γ(α) 0 Ïðåîáðàçóåì ýòî âûðàæåíèå ê èíòåãðàëó Gamma(n + α, δ + 1) ðàñïðåäåëåíèÿ: Γ(n + α) δ α P (N = n) = n!(δ + 1)n+α Γ(α) Z∞ 1 (δ + 1)n+α θn+α−1 e−(δ+1)θ dθ Γ(n + α) 0 δα Γ(n + α) , n!Γ(α) (δ + 1)n+α n = 0, 1, 2, . . . Ïðåäñòàâèì åãî â âèäå: α n n+α−1 δ 1 P (N = n) = , n δ+1 δ+1 n = 0, 1, 2, . . . è ïîëó÷èì îòðèöàòåëüíîå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè δ è k = α. p = δ+1 50 Ðåøåíèå 1.12 Âîñïîëüçóåìñÿ òåì æå ñïîñîáîì: Z∞ P (X = x) = fX|p (x)fp (p)dp 0 Z∞ Γ(α + β) α−1 n x p (1 − p)n−x = p (1 − p)β−1 dp x Γ(α)Γ(β) 0 Ïðèâåäåì ýòî âûðàæåíèå ê âèäó Beta(x + α, n − x + β) ðàñïðåäåëåíèÿ: P (X = x) = Z1 Γ(x + α)Γ(n − x + β)Γ(α + β)n! × Γ(n + α+)Γ(α)Γ(β)(n − x)!x! Γ(n + α + β) px+α−1 (1 − p)n−x+β−1 dp Γ(x + α)Γ(n − x + β) × 0 Òîãäà îáùåå ðàñïðåäåëåíèå èñêîâ: P (X = x) = Γ(x + α)Γ(n − x + β)Γ(α + β)n! , Γ(n + α+)Γ(α)Γ(β)(n − x)!x! x = 0, 1, 2, . . . , n. Ðåøåíèå 1.13 Ïðèðàâíèâàåì ôîðìóëû ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ è ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ Ïàðåòî-ðàñïðåäåëåíèÿ ê çàäàííûì âåëè÷èíàì: r λ λ α = 5000è = 7500 α−1 α−1 α−2 Äåëèì âòîðîå ðàâåíñòâî íà ïåðâîå: r α 7500 = = 1.5 α−2 5000 Òîãäà α α−2 = 1.52 = 2.25 α = 2.25(α − 2) ⇒ α = 4.5/1.25 = 3.6 Ìîæíî íàéòè λ: λ = 5000(3.6 − 1) = 13000 51 Äàëåå, ïðîöåíò èñêîâ, ïðåâûøàþùèõ £25000: Z∞ P (X > 25000) = αλα (λ + x)−α−1 dx 25000 = [−λα (λ + x)−α ]∞ 25000 α λ = λ + 25000 3.6 13000 = 0.021, = 13000 + 25000 òî åñòü 2,1% èñêîâ áóäóò ïðåâûøàòü £25000. Îáà îòâåòà îäèíàêîâûå. Çíà÷èò, £25000 ýòî êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà, â êîòîðîé âåðîÿòíîñòè ëþáûõ ðàñïðåäåëåíèé óùåðáà ðàâíû. Ðåøåíèå 1.14 Ïîäîáíàÿ ôóíêöèÿ: L(α, λ, γ) = αn γ n λnα Πxγ−1 Π(λ + xγi )−α−1 i Âîçüìåì ëîãàðèôì: log L = n log α + n log γ + nα log λ + (γ − 1) X log xi − (α + 1) X log(λ + xγi ) Äèôôåðåíöèðóåì ïî α: X n ∂ log L = + n log λ − log(λ + xγi ) ∂α α Óñòðåìëÿåì ðàâåíñòâî ê 0 è ïðåîáðàçóåì: α e= P n log(λ + xγi ) − n log λ Ïîäñòàíîâêà èçâåñòíûõ çíà÷åíèé λ = 500 è γ = 2 äàåò èñêîìûé ðåçóëüòàò. P Ïîñëå óïðîùåíèé ïîëó÷èì log(500 + x2i ) = 47.6245. Ïîäñòàâëÿÿ äàííîå çíà÷åíèå, íàõîäèì α e = 0.3021 52 Ðåøåíèå 1.15 Îæèäàåìàÿ ÷àñòîòà èñêà: 315 = 0.050806 6200 Ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà èñêà ýòî ñðåäíåå çíà÷åíèå Gamma(50, 0.02) ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðàÿ ðàâíà: 50 = 2500 0.02 Òîãäà ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ: 0.050806 × 2500 = £127.02 Òîãäà çíà÷åíèå ïðåìèè P óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó: P = 127.02 + 50 × 0.050806 + 0.35P Òî åñòü çíà÷åíèå ïðåìèè ðàâíî £199.32. Ðåøåíèå 1.16 Âîò ñïèñîê âîçìîæíûõ ïðè÷èí: 1. Òåêóùåå ðàñïðåäåëåíèå ðàçìåðà èñêà ìîæåò íå ïîäõîäèòü äëÿ èñêîâ, êîòîðûå áóäóò èìåòü ìåñòî â áóäóùåì. 2. Íåîáõîäèìîñòü êîíêóðåíöèè íà ðûíêå ìîæåò îçíà÷àòü, ÷òî òåîðåòè÷åñêàÿ ïðåìèÿ íå ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèòåëüíîé. 3. ×àñòîòà èñêà ìîæåò èçìåíÿòñÿ ñâåðõ îæèäàíèÿ. Åñëè çà ïîñëåäíèå íåñêîëüêî ëåò èìåëî ìåñòî 3150 èñêîâ, òî ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ÷àñòîòà èñêà âîçðàñòåò ñâåðõ îæèäàåìîé íîðìû, â ýòîì ñëó÷àå 0.050806 4. Çàêîíîäàòåëüñòâî ìîæåò ââîäèòü îãðàíè÷åíèÿ (âåðõíèå èëè íèæíèå) íà ïðåìèè. 5. Ýòè âû÷èñëåíèÿ èãíîðèðóþò âðåìåííûå äåíåæíûå õàðàêòåðèñòèêè (òàêèõ êàê äîëÿ (êàïèòàëà) â äåëå è èíôëÿöèÿ) 53 Ðåøåíèå 1.17 Ïðîâåðèì, ÷òî: H0 : N (µ, σ 2 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óäà÷íóþ ìîäåëü äëÿ ýòèõ èñêîâ. H1 : N (µ, σ 2 ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåóäà÷íóþ ìîäåëü. Çíà÷åíèå òåñòîâîé ñòàòèñòèêè: 2 χ = X (O − E)2 E (120 − 104)2 (62 − 76)2 = + ... + = 25.94 104 76 Ñðàâíèâàÿ ýòî çíà÷åíèå ñ ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êîé χ22 ðàñïðåäåëåíèÿ (5 ýëåìåíòîâ ìèíóñ 2 îöåíî÷íûõ ïàðàìåòðà ìèíóñ 1), ìû ïîëó÷èì âåðîÿòíîñòíîå çíà÷åíèå, ãîðàçäî ìåíüøåå, ÷åì 0.005. Òîãäà äëÿ íàñ ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíîé íåîïòèìàëüíîñòü H0 , è ìîæíî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå, ÷òî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå â äàííîì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ïîäõîäÿùèì. Çàêëþ÷åíèå ÷àñòè I Ðàçìåðû èíäèâèäóàëüíûõ èñêîâ ìîãóò áûòü îïèñàíû ñ ïîìîùüþ ðàññïðåäåëåíèé óùåðáà. Íàïðèìåð, ñòàíäàðòíûõ ðàñïðåäåëåíèé, òàêèõ êàê ëîãíîðìàëüíîå, Ãàììà, Ïàðåòî, ðàñïðåäåëåíèÿ Áóðà, Âåéáóëëà. Ðèñêîâàÿ ïðåìèÿ è òåîðåòè÷åñêàÿ îôèñíàÿ ïðåìèÿ ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû, çíàÿ ðàñïðåäåëåíèå óùåðáà è ÷àñòîòó èñêîâ. 54