Модели и методы расчета матрицы корреспонденций. Модели

Модели расчета равновесного
распределения потоков Бекмана и
Нестерова-де Пальма
Дорн Юрий
dorn@pisem.net
Модели распределения потоков
Принципы Вардропа:
1. Агент ведет себя оппортунистически,
стараясь при выборе маршрута
минимизировать собственные издержки.
2. Агенты выбирают маршруты стараясь
минимизировать общие транспортные
расходы в сети.
Агенты считают свое влияние
незначительным.
Модели распределения потоков
Г (V , E )  ориентированный транспортный граф
V  множество вершин
E  V  V  множество дуг
S  V  множество истоков
D  V  множество стоков
W  w  (i, j ) : i  S , j  D  множество пар исток  сток
 w  ij  соответствующая паре (i, j ) корреспонденция
    w : w  W   матрица корреспонденций
Pw  множество альтернативных маршрутов для w
P
P
w
wW
 множество всех путей на Г
Модели распределения потоков
x p  величина потока по пути p  P


X w   x p  0 : p  Pw ,  x p   w   множество допустимых
pPw


значений x p для пары w
x  ( x p : p  P)


X   X w   x  0 : w  W ,  x p   w   множество
pPw


wW
допустимых значений для x
G p  G p ( x)  удельные затраты агента
на проезд по маршруту p
Модели распределения потоков
Условие равновесия : Если x*  X  равновесное
распределение потоков по маршрутам, то
из x p *  0 , p  Pw  G p ( x*)  min Gq ( x*)
qPw
G ( x)  (G p ( x) : p  P)
Теорема 1: x*  X  удовлетворяет условию
равновесия тогда и только тогда, когда
является решением вариационного неравенства :
G ( x*)( x  x*)  0, x  X
Теорема 2 : Пусть G ( x) непрерывна по каждой
компоненте. Если Х ограничено, то вариационное
неравенство разрешимо.
Модели распределения потоков
Определение : Вектор  функция G : X   n называется
строго монотонной на X , если для любых x, y  X , x  y :
(G ( x)  G ( y ))( x  y )  0
Теорема 3 : Если вектор  функция G ( x) строго монотонна,
то вариационное неравенство может иметь не более
одного решения.
Расширение на случай эластичного спроса :
uw  минимальные транспортные затраты для пары w
 w   w (uw )
u  (uw : w  W )
Модели распределения потоков
 (u )  (  w (uw ) : w  W )
   pw , p  P, w  W 
 G ( x )  u 
 x
z   ,
F ( z)   T

u

x


(
u
)
 


Утверждение : z*  ( x*, u*)  0 является решением
F ( z*)( z  z*)  0, z  Z   z : z  0
если и только если x *  решение
G ( x*)( x  x*)  0,
x  X   x  0 : T x   (u*)
Вариационное неравенство для F ( z ) и z
эквивалентно нелинейной задаче дополнительности
F ( z*)  0, z*  0, F ( z*) z*  0
Модели распределения потоков
Условие разрешимости : Пусть F ( z ) непрерывна по каждой компоненте,
множество Z непусто, выпукло и замкнуто.
BR   z : z  R , Z R  Z  BR
Если существует R  0, такой, что Z R  , и решение
F ( z R* )( z  z R* ),
z  Z R
удовлетворяет zR*  R, то
G ( x*)( x  x*),
разрешимо.
x  X
Модели распределения потоков
• Модель Бэкмана
ye  поток по дуге e  E
ye    ep x p
pP
   ep : e  E , p  P
y   ye : e  E
y  x
 e  удельные затраты на прохождение дуги e
 e   e ( ye )
 ( y )   e ( ye ) : e  E
G p    ep e ( ye )
eE
G ( x)  T ( y )
Модели распределения потоков
• Модель Бэкмана
G p
 e ye
 e Gq
   ep
   ep eq


xq eE
ye xq eE
ye x p
Равновесное распределение потоков определяется как решение
оптимизационной задачи
f ( x)  min, x  X
, где
ye
f ( x)     e ( z )dz,
y  x
eE 0
Предположение относительно вида  e () :
 e ()  непрерывная, монотонно возрастающая, выпуклая.
Модели распределения потоков
• Модель Бэкмана
Некоторые возможные расширения модели :
1)  e   e ( y )
2) G p ( x)  неаддитивная
3)  e ()  ограниченная
Модели распределения потоков
Модель Бэкмана. Критика (Нестеров-де
Пальма).
• Функции издержек не всегда строго
монотонны по потоку.
• Поток по ребру не может превышать
емкость ребра в стационарном режиме.
• Поток не полностью определяет
сложившуюся транспортную ситуацию.
• Поток по ребру не определяет полностью
издержки по ребру.
Модели распределения потоков
Модель Нестерова-де Пальма
Основные предположения :
1) Выполняется первый принцип Вардропа
2) Каждому ребру e соответствует емкость ye .
Всегда выполняется ye  ye .
3) Если ye  ye , то te  te .
Если ye  ye , то te  te ,
te  время прохождения ребра e в свободном состоянии
Модели распределения потоков
Модель Нестерова-де Пальма
Примеры :
1) Г (V , E )  граф, состоящий из двух вершин (1, 2) и двух
ребер  и  , их соединяющих.
t  t
2) Г (V , E )  граф, состоящий из трех вершин (1, 2, 3) и трех ребер
 ,  и  , соединяющих вершины 1 и 3, 2 и 3, 1 и 2 соответственно.
Пусть при этом t  t  t , y  d (1,3)  d (2,3) , y  d (1,3) , y  d (1,3) , y  d (2,3) .
3) Г (V , E )  граф, состоящий из четырех вершин (1, 2, 3, 4) и пяти ребер
(1, 2), (2, 4), (1,3), (3, 4), (3, 2).
y(2,4)  d(1,4) , y(1,3)  d(1,4) , t(1,2)  t(1,3) , t(3,4)  t(2,4) , t5  min t(1,3)  t(1,2) , t(2,4)  t(3,4) 
Модели распределения потоков
Модель Нестерова-де Пальма
t  te : e  E
Tw (t )  min( te ep )
pPw
eE
Tw (t )  вогнутая, кусочно  линейная функция, определенная
при всех t   m
Модели распределения потоков
Модель Нестерова-де Пальма


I w (t )   p  Pw :  te ep  Tw (t ) 
eE


Tw (t )  Conv( ep , p  I w (t ))
Пусть yw  вектор потоков на ребрах,
соответствующий корреспонденции w
Лемма : Поток yw удовлетворяет первому предположению модели,
если g  Tw (t ) :
yw   w g
Такой поток называется равновесным для корреспонденции w
Модели распределения потоков
Модель Нестерова-де Пальма
yw  вектор потоков на ребрах,
соответствующий корреспонденции w
y

wW
G (t ) 
yw   m
  T (t )
wW
w w
Теорема : y  равновесный вектор потоков по дугам,
учитывающий условия на t , если и только если :
y  G (t )
Следствие 1: Задавая вектор t мы можем описать все равновесные
векторы потоков y, которые могут реализоваться в сети :
yw   wTw (t ), w  W ,
y
y
wW
w
Модели распределения потоков
Модель Нестерова-де Пальма
Следствие 2 : Задавая вектор потоков y,
можно проверить, существует ли такой вектор t ,
для которого вектор y является равновесным.
Лемма : y  равновесный вектор потоков если и
только если задача оптимизации
max[G (t )  ( y, t )]
t
допускает неотрицательное решение t
Модели распределения потоков
Модель Нестерова-де Пальма
Если рассматривать модель
te  te ,
0  ye  ye ,
e E
то выполнена
Теорема : Время движения по ребру t e и вектор потока
по ребру y e являются равновесными решениями модели ,
если и только если существует решение
max(G (t )  ( y, t ), t  t )
t
и y e  y  s e , где s e  оптимальное решение двойственной задачи
Модели распределения потоков
Модель Нестерова-де Пальма
Если рассматривать модель
ye  yˆ e , e  A  E
0  ye  ye , te  te , e  E \ A
то выполнена
Теорема : Время движения по ребру t eq и вектор потока
по ребру y eq являются равновесными решениями модели ,
если и только если существует неотрицательное решение
max(G (t )   yˆ ete 
t
eA

eE \ A
yete : te  te , e  E \ A)
и yeeq  ye  seeq , где seeq  оптимальное решение двойственной задачи
Модели распределения потоков
Модель Нестерова-де Пальма
Возможные задачи :
1) Пусть K  множество неэффективных дуг.
Т .е. GГ (V , E ) (t )  GГ (V , E / K ) (t )
Пусть L  подмножество K
Верно ли , что GГ (V , E ) (t )  GГ (V , E / L ) (t )
2) Верно ли , что если существует множество
K неэффективных дуг , то также существует оптимальное
управление t  t  t c (для игрока Центр из доклада о платных
дорогах).