Фридман Л.М. Величины и числа.
реклама
Фридман Л.М. Величины и числа /Популярные очерки. Учебно-метод. лит-ра (Реком. МИОБРом РФ). – М.: «Флинт» АПСН; Псих – социал. инст, 200. – 223 с. Предметные величины, т.е. величины некоторых множеств конкретных предметов, возникают исторически в процессе научного изучения явлений окружающего мира. Изучая то или иное явление, процесс, проявляющееся на каком-то множестве предметов, выявляя их общие свойства, обнаруживая среди них такие, по которым на этом множестве можно установить соотношения равенства и еще какое-то другое, то такое свойство объявляют величиной и присваивают ей особое имя, если оно получает в науке и в практике всеобщее применение для каких-то целей. В противном случае оно не причисляется к предметным величинам, несмотря на наличие необходимых требований к ним, т.е. возможности установления соотношений равенства и еще какого-то. Итак, необходимым, но совершенно недостаточным требованием для того, чтобы некоторое общее свойство Р множества предметов М можно было назвать предметной величиной, является возможность установить на множестве М по свойству Р соотношения равенства и еще какого-то другого. В каком случае свойство, удовлетворяющее указанному необходимому требованию к предметным величинам, получает всеобщее применение и объявляется настоящей величиной? Одним условием для этого является наличие удобного, легко применяемого способа установления соотношений равенства и какого-то еще соотношения по данному свойству для предметов рассматриваемого множества. 44 Например, для прямолинейных отрезков имеется очень простой способ установления равенства и порядка (следования) по протяженности путем наложения отрезков друг на друга. Точно так же имеется простой способ установления равенства и порядка физических тел по свойству "иметь равную или неравную массу". Вторым условием является возможность и целесообразность разработки математической модели этой предметной величины. Оказывается, что для свойств протяженность 42 отрезков или массы физических тел такую математическую модель можно построить, а вот для свойства "иметь определение" такая модель не построена и поэтому это свойство не рассматривается как величина и не имеет клкого-то применения в науке. Построение математической модели для свойств, явияющихся предметной величиной, называется ее арифмстизацией (термин, предложенный А.А. Фридман). Прежде чем рассматривать проблему арифметизации предметных величин, придется хотя бы коротко рассмотреть общую проблему построения математических моделей. II.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ И МОДЕЛЬ Процесс познания принимает подлинно научный характер тогда, когда на основе результатов предварительного изучения объекта познания строят какое-то представление об этом объекте в виде какого-то другого объекта - модели изучаемого объекта. В "Логическом словаре" Н.И. Кондакова модель определяется следующим образом: "Модель - искусственно созданный объект в виде схемы, чертежа, логико-математических знаковых формул, физической конструкции и т.п., который будучи аналогичен (подобен, сходен) исследуемому объекту (плотине, кораблю, самолету, ракете, космической станции и т.п.), отображает и 45 воспроизводит в более простом, уменьшенном виде структуру, свойства, взаимосвязи и отношения между элементами исследуемого объекта, непосредственное изучение которого связано с какими-либо трудностями, большими затратами средств и энергии или просто недоступно, и тем самым облегчает процесс полу чения информации об интересующем нас предмете. Исследуемый объект, по отношению к которому изготовляется модель, называется оригиналом, образцом, прототипом" (с. 360-361). Когда ученый, изучая какой-то объект, создает его модель, то дальнейшее изучение объекта производится уже на созданной модели. Исследовав модель, найдя ее свойства и закономерности, получив из них какие-то логические следствия, ученый может установить, насколько данная модель точна и правильно отражает исследуемый объект. Если она оказалась недостаточно точной и правильной, то ученый или корректирует, уточняет модель, или заменяет ее другой, более точной и правильной. В науке модели используются для изучения любых объектов, для решения самых различных задач и получения тем самым новой информации. Поэтому часто модель определяют как некий объект, исследование которого служит средством для полу нения знаний о другом моделируемом объекте. Например, географическая карта служит моделью соответствующей местности. Изучая карту, мы можем получить знания об особенностях этой местности, о целесообразных путях движения по ней и о многом другом. Или, для изучения явления равноускоренного движения используют его математическую модель - уравнение пути равноускоренного движения: s = v()t + 0,5at2. 46 Изучение этого уравнения позволяет установить основные закономерности данного вида движения, решать соответствующие задачи. Модель всегда отлична от оригинала, но в каком-то Отношении она аналогична (подобна) ему. Поэтому можно предполагать, что обнаруженные в моделях свойства и икономерности присущи и оригиналу. В настоящее время модели широко используются не только в науке, но и в технике, производстве и даже в обыденной жизни. Так, говорят о моделях обуви и одежды, имея в виду объекты (рисунки, чертежи или натуральные образцы), представляющие в наглядном виде предполагаемый (воображаемый) вид обуви или одежды будущего сезона. В этом случае речь идет о модели представлении воображаемого объекта. А вот модель реального корабля, изготовленного из каких-либо материалов, дает чувственное представление о реально существующем объекте. Часто модели используются для замещения объекта каким-либо другим более удобным в данных условиях. Например, когда хотят более наглядно покачать способ сложения многозначных чисел, то используют для этого модель - заместитель этих чисел - русские счеты. Моделирование используется и для истолкования (интерпретации) каких-либо объектов с тем, чтобы сделать их использование более удобным и легким. Например, для того, чтобы легче понять, а затем и решить задачу на движение, ее изображают в виде графической модели, которая служит интерпретацией описываемого в задаче явления. Как видим, моделирование используется очень многообразно и не только в целях научного исследования. При этом важно иметь в,виду, что модели всегда строятся или выбираются человеком для определенной цели, а не даны ему изначально. Поэтому разные люди, имея в виду одну и ту же 47 цель, могут для одного и того же объекта построить разные модели. Учитывая это, модель можно определить следующим образом: Моделью некоторого объекта А (оригинала) называется объект В, в каком-то отношении подобный (аналогичный) оригиналу А, выбранный или построенный человеком по крайней мере для одной из следующих целей: 1) замена оригинала А моделью В в некотором реальном или воображаемом действии, исходя из того, что В более удобна для осуществления этого действия в данных условиях (модель-заместитель); 2) создание наглядного представления об объекте А с помощью модели В (модель-представление); 3) истолкование (интерпретация) объекта А в виде модели В (модель-интерпретация); 4) исследование (изучение) объекта А с помощью модели В (исследовательская модель). (Фридман J1.M. Наглядность и моделирование в обучении, М., 1984). Для того чтобы модель была пригодна для указанных целей, она должна обладать соответствующими этим целям свойствами (признаками). В большинстве случаев модель обладает не одним каким-то признаком, соответствующим одной из указанных целей, а несколькими, и поэтому она пригодна и для других целей. Это значит, что модельзаместитель, например, может использоваться и как модельпредставление и для интерпретации и исследования оригинала. Моделирование можно рассматривать как особую деятельность по построению (конструированию) моделей для указанных целей. В частности, построение предметных величин есть 48 моделирования особых свойств соответствующих Множеств предметов. Например, когда рассматривается Множество простых замкнутых геометрических фигур на Плоскости, и возникает необходимость как-то оценить их §0щсе свойство "иметь размер", то в математике строят модель-представление об этом свойстве геометрических фигур в виде предметной величины, называемой "площадь фигуры". Для изучения моделей каждая наука, в частности, Математика разрабатывает соответствующий аппарат. Все математические понятия, такие как функция, уравнение, геометрическая фигура и т.п. представляют собой особые мысленные модели количественных отношений и пространственных форм (и им подобных) окружающей действительности. Эти модели математика сконструироиплл в процессе своего многовекового исторического рипштия. Однако и в настоящее время продолжается Конструирование различных математических моделей, Ибо творчество в области математики связано с созданием новых моделей. Для изучения построенных математических моделей в математике разработаны многочис- иенные методы, такие как методы решения уравнений, исследования функций, измерения величин и т.д. Вот к разработке специальных методов для изучения предметных величин, как моделей особых свойств множеств предметов, мы переходим в следующем пункте. Процесс 113. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЧИСЛА Предметных величин создано и создается очень и очень много. Нет, пожалуй, такой науки, которая не создает свои специфические предметные величины. Осо47 виду одну и ту же цель, могут для одного и того же объекта построить разные модели. Учитывая это, модель можно определить следующим образом: Моделью некоторого объекта А (оригинала) называется объект В, в каком-то отношении подобный (аналогичный) оригиналу А, выбранный или построенный человеком по крайней мере для одной из следующих целей: 1) замена оригинала А моделью В в некотором реальном или воображаемом действии, исходя из того, что В более удобна для осуществления этого действия в данных условиях (модель-заместитель); 2) создание наглядного представления об объекте А с помощью модели В (модель-представление); 3) истолкование (интерпретация) объекта А в виде модели В (модель-интерпретация); 4) исследование (изучение) объекта А с помощью модели В (исследовательская модель). (Фридман J1.M. Наглядность и моделирование в обучении, М., 1984). Для того чтобы модель была пригодна для указанных целей, она должна обладать соответствующими этим целям свойствами (признаками). В большинстве случаев модель обладает не одним каким-то признаком, соответствующим одной из указанных целей, а несколькими, и поэтому она пригодна и для других целей. Это значит, что модельзаместитель, например, может использоваться и как модельпредставление и для интерпретации и исследования оригинала. Моделирование можно рассматривать как особую деятельность по построению (конструированию) моделей для указанных целей. 7 В частности, построение предметных величин есть процесс моделирования особых свойств соответствующих множеств предметов. Например, когда рассматривается множество простых замкнутых геометрических фигур на плоскости, и возникает необходимость как-то оценить их Общее свойство "иметь размер", то в математике строят модель-представление об этом свойстве геометрических фигур в виде предметной величины, называемой "площадь фигуры". Для изучения моделей каждая наука, в частности, математика разрабатывает соответствующий аппарат. Нее математические понятия, такие как функция, уравнение, геометрическая фигура и т.п. представляют собой Особые мысленные модели количественных отношений и Пространственных форм (и им подобных) окружающей действительности. Эти модели математика сконструировала в процессе своего многовекового исторического ■азвития. Однако и в настоящее время продолжается конструирование различных математических моделей, Ибо творчество в области математики связано с создани е м новых моделей. Для изучения построенных математических моделей в математике разработаны многочисленные методы, такие как методы решения уравнений, исс ледования функций, измерения величин и т.д. Вот к разработке специальных методов для изучения предметных величин, как моделей особых свойств мно- -ы ств предметов, мы переходим в следующем пункте. II.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЧИСЛА Предметных величин создано и создается очень и очень много. Нет, пожалуй, такой науки, которая не создает свои специфические предметные величины. Особенно это относится к естественным наукам, одной из важнейших целей которых является исследование количественных отношений в изучаемых явлениях и процессах, для чего и конструируются разнообразные предметные величины и устанавливаются зависимости между ними. Каждая наука при этом сталкивается с проблемой фиксации и сравнения между собой значений этих предметных величин, без чего невозможно их изучение. Разработкой общего метода фиксации и сравнения значений предметных величин и соответствующего для этого аппарата занимается математика. Суть этой проблемы в следующем. Пусть в некоторой науке изучается свойство А предметов множества М. При этом это свойство такое, что по этому свойству можно установить между предметами М соотношения равенства и еще какое-То Р, например, порядка или суммы. Тогда построенное в науке общее представление, т.е. модель этого свойства Р, есть предметная величина Р. Значениями этой величины являются элементы множества М и соответствующие им проявления величины Р в этих предметах (чаще значениями величины считают лишь проявления величины Р в соответствующих предметах, а не сами предметы). Когда в науке производят те или иные эксперименты, опыты и наблюдения за предметами множества М, то результаты такого изучения обычно выражают в виде некоторых значений рассматриваемой величины. Поэтому возникает необходимость как-то зафиксировать это значение предметной величины, дать ему определенное имя (название) и знак. Как это сделать? 48 Обозначить это значение какой-то буквой, например, п или р. Но ведь значений величины существует очень много, а различных букв не так уж много. Значит, надо придумать какой-то особый способ фиксации каждого отдельного значения предметной величины. Кроме того, ведь и различных предметных величин очень много. Что же, будем изобретать для каждой величины свой особый способ фиксации ее значений? Вряд ли »то целесообразно и возможно. Наконец, следует учесть, что нам надо не просто найти какой-то общий способ фиксации отдельных значений всевозможных предметных величин, но этот способ должен быть таким, чтобы на его основе можно было бы сравнивать между собой различные значения одной и той же величины и находить закономерные связи и зависимости между значениями разных величин. Как же найти такой способ? Такой способ был постепенно найден исторически в процессе многовековой человеческой практики, в процессе развития математической науки. Очевидно, первое, что надо сделать, чтобы найти искомый способ фиксации отдельных значений предметных величин - это как-то упорядочить сами эти величины, разбить их на виды, роды, классы. Если мы сумеем это сделать, то тем самым наша задача существенно упростится: теперь нам надо будет найти способ фиксации значений не для каждой отдельной величины, а лишь для каждого из видов этих величин, а таких видов, должно быть, не так уж много. Напомним, что с несколько аналогичной задачей мы уже встречались. Когда мы начали изучать множества предметов и присущие им общие особые свойства, то установив для элементов этих множеств соотношение равенства по данному свойству, мы тем самым существенно сократили число раличных элементов каждого из этих множеств. А именно, мы смогли вместо самого этого множества рассматривать лишь его подмножество представителей его классов, на которые это Множество разбивается соотношением равенства. Ведь с точки зрения данного свойства- классификатора, все элементы, входящие в один и тот же класс, совершенно одинаковые, и поэтому достаточно рассматривать не все элементы этого класса, а лишь какой-то один из его представителей. При разбиении величин на виды мы используем не соотношение равенства (величины, очевидно, не могут быть равными, одинаковыми), а изоморфизм множеств по соотношению Р. "Изоморфизм систем - отношение между объектами одинаковой тождественной структуры. Если каждому элементу одной структуры соответствует лишь один элемент другой структуры, то такие две структуры называются изоморфными друг другу структурами. Обычно различают структурный и функциональный изоморфизм" (Кондаков Н.И. Логический словарь, с. 191). Изоморфизм между величинами мы определим следующим образом. Пусть имеются две предметные величины, заданные соответственно на множествах М и N, при этом первая величина есть модель свойства А , по которому между элементами множества М установлены соотношения » равенства и еще другое соотношение Р (например, поряд- 50 k.i или суммы), а вторая величина есть модель свойства В, по которому между элементами множества N установлены соотношение равенства и то же самое соотношение Р (будем говорить, что данные величины определены по соотношению Р). Если между элементами множеств А/ и N, на которых жданы величины, определяемые одним и тем же соотношением Р (будем для простоты считать Р бинарным) можно установить взаимооднозначное соотношение так, что если (аь а2) - произвольный набор элементов множества А/, такой, что P(ah а 2 ) есть истинное (или ложное) имсказывание, то в множестве N можно всегда найти соответствующий набор элементов (b\,b2) такой, что /'(/>!, Ь2) есть также истинное (или ложное) высказывание, то будем считать, что данные множества М и N изоморфны по соотношению Р, а предметные величины, шданные на этих множествах, как величины одного и го го же вида. Итак, для того, чтобы две предметные величины можно было отнести к одному и тому же виду, иеобяодимо: 1) Чтобы они были определены на классифицируемых множествах по одному и тому же соотношению Р; 2) Чтобы множества значений этих величин были изоморфны по соотношению Р. Однако дальнейший анализ этой проблемы показал, что этого недостаточно. Имеется еще одно существенное требование, для формулировки которого придется ввести Понятие нуль-элемента множества М по свойству Л. Под нуль-элементом множества М (или соответственно нуль-значением предметной величины, заданной на множестве М) будем понимать такой, вообще говоря, идеализированный (проще говоря, фактически не существующий, а искусственно созданный в процессе абстракции), элемент этого множества, у которого свойство А отсутствует. Например, если М - множество отрезков и А протяженность, то нуль-элементом назовем отрезок, не имеющий протяженности. Это, очевидно, отрезок- точка, т.е. отрезок, у которого концы совпадают. Аналогично может быть введено понятие нуль-элемента множества многоугольников по площади - это вырожденный многоугольник (точка или отрезок), не имеющий площади. Нуль-элементом множества физических тел по массе является "тело", не имеющее массу и т.д. Однако встречаются такие классифицируемые множества, которые не могут иметь нуль-элемента в указанном смысле. Например, множество моментов времени (не путать с множеством промежутков времени) является классифицируемым множеством по свойству - одновременность. Однако по этому свойству нельзя выделить нулевой момент времени. В таких случаях за нуль-элемент принимают какой-то определенный, произвольно выбранный, элемент множества М. Например, за нулевой момент календарного времени принимают момент рождения Христа или момент перехода от одного календарного события к другому (переход от начала исчисления нашей эры, или переход от одного года к следующему и т.д.). Таким образом, естественно или искусственно в любом классифицируемом множестве М по свойству-классификатору А можно выделить особый нуль-элемент, который всегда будем причислять к элементам подмножества 52 представителей классов множества М. Иногда нуль-элемент называют нейтральным элементом. Теперь мы можем полностью сформулировать усло- ния, при выполнении которых предметные величины можно отнести к одному и тому же виду. Две предметные величины будем считать принадлежащими к одному и тому же виду, если: 1) эти величины определены одним и тем же соотношением Р, т.е. на множествах предметов, соответствующих этим величинам, определено одно и то же соотношение Р; 2) нуль-значения этих величин поставлены в соответствие друг другу; 3) при выполнении условия 2, между множествами шачений этих величин можно установить изоморфизм по соотношению Р. Заметим, что условие 3 включает в себе условие эквивалентности множеств значений этих величин. Рассмотрим, например, две предметные величины - длину и массу. Длина есть предметная величина, которой соответствует множество отрезков и их общее свойство протяженность. Масса есть предметная величина, заданная на множестве физических тел по их общему свойству - иметь массу. На множествах значений л их величин можно задать одно и то же соотношение порядка (следования по протяженности или по массе). Значит, первое условие выполняется. Каждая из этих двух величин имеет естественное нулевое значение - нулевая длина или масса. Эти нулевые значения можно считать соответствующими друг другу, значит, выполня- стся и условие 2. Наконец, по соотношению порядка тел и т.п., то элементы множества W - это уже чистые абстракции, лишенные полностью всякой конкретности. Математическая величина вида Р - это абстрактная модель всего того общего, что имеют всевозможные предметные величины того же вида. В этом процессе абстрагирования и идеализации конкретных предметных величин данного вида и образования абстрактной математической величины того же вида, мы устраняемся (отвлекаемся, абстрагируемся) от всех частных особенностей и свойств, присущих отдельным предметным величинам, сохраняя лишь те свойства и особенности, которые присущи всем без исключения величинам данного вида. Но в этом процессе абстрагирования мы не только отвлекаемся от частных особенностей предметных величин, но также как бы дополняем и продолжаем отдельные их стороны, свойства, присущие этим величинам. Так, ясно, что отдельных значений какой-либо предметной величины существует лишь конечное множество (например, количество физических тел, имеющих величину - массу, даже во всей Галактике - конечно). Переходя же к абстрактной математической величине мы будем считать, что множество ее значений бесконечно. В дальнейшем, при рассмотрении отдельных видов математических величин, мы еще столкнемся с другими расширениями (дополнениями), осуществляемыми при образовании математических величин (примерами такого расширения являются непрерывность некоторых математических величин, неограниченная дробимость их значений и т.д.). 56 Теперь мы можем кратко сформулировать определение математической величины вида Р: Абстрактное бесконечное множество, между элементами которого определено (задано) соотношение равенства и некоторое другое соотношение Р, отличное от равенства, называется математической величиной вида Р. Отдельные элементы математической величины вида Р значения этой величины - называются числами вида Р. Итак, числа данного вида (натуральные, дробные, отрицательные и т.п.) - это просто значения абстрактной математической величины того же вида. Что же дает введение понятия математической величины и чисел вида Р для решения проблемы фиксации и сравнения значений предметных величин? Оказывается, что теперь эта проблема получает такое решение. Пусть мы имеем какую-то предметную величину вида Р и пусть мы хотим зафиксировать (назвать, обозначить) какое- либо значение этой величины. Так как множество значений этой предметной величины изоморфно множеству значений математической величины того же вида, т.е. множеству чисел вида Р, то найдется определенный способ установления взаимооднозначного соответствия между значениями данной предметной величины и значениями математической величины (числами вида Р ) , в результате чего данному значению предметной величины будет соответствовать какоето определенное жачение математической величины, и тогда мы сможем назвать (обозначить) данное значение предметной величины числом вида Р. Этот способ установления соответствия между значениями предметной величины и числами того же вида называется арифметизацией значений предметной величины. В результате арифметизации фиксация данного значения предметной величины вида Р осуществляется следующим образом: "Этому значению предметной величины соответствует число h вида Р" или короче: "Это значение равно числу h", только при этом придется еще указать способ арифметизации предметной величины. Как это делается, мы рассмотрим в следующей главе. В заключение данной главы попытаемся кратко, схематично описать тот процесс построения системы понятий предметной и математической величин, который мы проделали выше. Итак, мы начали рассматривать различные реально существующие множества предметов (вещей, моментов, явлений, процессов). Элементы такого множества имеют общее свойство, по которому между элементами этого множества можно установить соотношение равенства и еще какое-то, например, суммы, порядка и т.п., которое мы назвали соотношением вида Р. Если это множество с указанными соотношениями имеет какое-то применение в науке или практике, то мы считали, что на этом множестве задана предметная величина вида Р, а проявления общего свойства величины в каждом элементе множества есть значение этой величины. В каждой предметной величине мы выделили нулевое значение, при этом в одних предметных величинах в качестве нулевого значения мы брали тот элемент множества, в котором конституирующее свойство (т.е. свойство, по которому данное множество рассматривается как предметная величина) уже вовсе не проявляется, а в других величинах, в которых такое естественное нулевое значение не имеется, мы выделяли его по всеобщему (оглашению, принятому в процессе истории возникновения и развития этих величин. Затем мы рассматривали все предметные величины, конституирующие одним и тем же соотношением Р. Если между значениями этих величин можно установить соответствие так, что нулевые значения соответствуют друг другу, а между остальными значениями соответствие таково, что определяющее соотношение на соответствующих наборах элементов образует высказывания одного и того же смысла (т.е. одновременно истинные или ложные), то все такие предметные величины образуют какой-то один вид величин. Абстрактная модель-представление о каком-то виде предметных величин есть математическая величина соответствующего вида, а модель соответствующих значений всех предметных величин данного вида, т.е. значение математической величины, есть число данного вида. Способ установления соответствия между значениями данной предметной величины и математической величины того же вида есть способ арифметизации этой предметной величины, в результате которого каждое значение предметной величины получает свое имя (обозначение) в виде соответствующего числа. Теперь нам нужно рассмотреть отдельные виды предметных величин и соответствующие им математические келичины, а также способ арифметизации этих предметных величин с помощью значений математической величины чисел. Это позволит понять, каким образом математика используется для предвидения результатов различных операций над предметами - элементами реальных множеств, на которых определена предметная величина. Вопросы для обсуждения и размышления 1. На конкурсах красоты, в которых участвует множество красавиц, между ними устанавливаются соотношения равенства и порядка на основе решения жюри. Является ли красота предметной величиной? Почему? 2. Укажите конституирующее свойство следующих предметных величин: скорость, работа, стоимость, возраст, объем, теплота, направление. 3. Как вы думаете - изоморфны ли, т.е. принадлежат ли к одному и тому же виду, следующие пары предметных величин: а) температура и календарное время, б) скорость и цена, в) площадь фигуры и масса физических тел, г) твердость тела и объем тела? 4. В процессе построения модели объекта (прототипа, оригинала) устанавливается модельное отношение. Как вы считаете, кто входит в это отношение? Является ли модельное отношение бинарным или тернарным? 5. Является ли краткое описание некоторого явления его моделью? Какой моделью? 6. Является ли мысленный образ некоторого человека моделью этого человека? А фотография человека - это модель? Какая? 7. Моделью чего является слово-название? 8. Как вы думаете, что такое прогностическая модель? 9. Макет самолета является материальной статической моделью самолета. Приведите примеры статических материальных моделей. А что такое динамическая материальная модель? Приведите примеры. Идеальные модели обычно делят на виды: образные (иконические), знаковые (символические) и мысленные (воображаемые). Приведите примеры каждого вида идеальных моделей. 10. Наглядность предмета есть показатель простоты и понятности для данного человека того психического образа, который он создает в результате восприятия этого предмета. Обладает ли модель свойством наглядности для создателя и пользователя этой модели? 11. Процесс моделирования некоторого предмета многоэтапный, и в этом процессе человек создает ряд моделей оригинала. Какой вид модели изучаемого предмета создает человек, прежде всего в процессе моделирования?
