Задачник

Задачник
Приступаем к последнему разделу Открытого банка заданий с самым страшным названием из всех –
"Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей"
http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/6.
Для решения предложенных задач не нужно много теории. Большинство задач решаются просто
делением числа благоприятных (или неблагоприятных) исходов на число всех исходов.
Но есть и невообразимо трудные задачи, которые никогда не решатся без специальных знаний по
теории вероятностей – иные даже я не мог решить. В общем, не стоит недооценивать задачи на
теорию вероятностей.
Великое множество предложенных в разделе задач дублируется в ранее разобранных – очень много
задач из "Алгебры" и "Функций".
***ВНИМАНИЕ!!!***
Разумеется, моя методичка содержит ошибки в предложенных решениях. Задача читателя состоит в
том, чтобы их отыскать и решить правильно все задачи. Без ошибок было бы не интересно, а зная,
что они есть, вы будете тщательнее проверять свои решения – самосовершенствоваться.
***СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!***
Элементы комбинаторики, статистики и теории
вероятностей.
Задание №2675db
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали
идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя
до отметки 1.
Решение.
Участок от отметки 7 до отметки 1 занимает ровно половину круга циферблата. Ответ должен быть
понятен каждому – уж либо часовая стрелка на одной половине, либо нет – 2 исключающих друг
друга варианта.
Ответ: 0,5.
Задание №282853
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма
выпавших очков равна 8. Результат округлите до тысячных.
Решение.
Число всех вариантов равно 62=36, потому что у игральной кости 6 граней с числами от 1 до 6, а в
условии задачи игральных костей две, поэтому возводим 6 в квадрат.
Теперь нужно число 8 представить в виде двух слагаемых от 1 до 6 – найти число благоприятных
исходов.
2+6=8; 6+2=8; 3+5=8; 5+3=8; 4+4=8 – всего 5 вариантов.
Осталось поделить 5 на 36 аккуратно в столбик, получить 4 знака после запятой (получать больше
знаков смысла нет!) чтобы можно было округлить результат до тысячных, т.е. до третьего знака
после запятой.
Данный результат легко округляется до тысячных.
Ответ: 0,139.
Задание №282854
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что
орел выпадет ровно один раз.
Решение.
Давайте распишем все возможные результаты. Причем результаты орел, решка и решка, орел
считаются за 2 разных результата.
Решка, решка; решка, орел; орел, орел; орел, решка.
Всего 4 уникальных варианта, среди которых есть только 2 варианта, удовлетворяющих условию
задачи. Искомая вероятность 2:4=0,5.
Ответ: 0,5.
Задание №282855
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из
Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того,
что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
Решение.
Поскольку порядок участия выбирается жребием – случайным образом – то вопрос можно со всей
уверенностью переиначить: найдите вероятность того, что случайно выбранная наугад гимнастка
окажется из Китая.
Каждый читатель должен осознать, что это действительно так.
Тогда искомая вероятность найдется делением числа китайских гимнасток на общее число атлетов.
Ответ: 0,25.
Задание №282856
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность
того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение.
Просто разделим число не подтекающих насосов на общее число. (1000–5):1000=0,995.
Ответ: 0,995.
Задание №283443
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма
выпавших очков равна 16. Результат округлите до тысячных.
Решение.
Всего вариантов 63=216, потому что у игральной кости 6 граней с числами от 1 до 6, а всего в задаче
3 кости, поэтому 6 возводим в третью степень.
Теперь нужно представить 16 в виде суммы трех слагаемых от 1 до 6 – посчитать число
благоприятных исходов.
6+6+4=16; 6+4+6=16; 4+6+6=16; 5+5+6=16; 5+6+5=16; 6+5+5=16 – всего 6 вариантов.
Осталось поделить в столбик 6 на 216, получить 4 знака после запятой и результат округлить до
тысячных, т.е. до третьего знака после запятой.
Ответ: 0,028.
Задание №283467
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что
орел выпадет ровно два раза.
Решение.
Всего вариантов 23=8, потому что у монеты есть две стороны, а всего бросков 3, поэтому 2 возводим
в степень 3.
Теперь посчитаем число благоприятных исходов: решка, орел, орел; орел, решка, орел; орел, орел,
решка – всего 3 варианта.
Осталось поделить 3 на 8.
Ответ: 0,375.
Задание №283727
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 8 спортсменов из
Сербии, 3 спортсмена из Хорватии и 6 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены,
определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним,
окажется из Сербии.
Решение.
Поскольку порядок выступления определяется жребием – случайным образом – то вопрос можно
переформулировать без потери качества: найдите вероятность того, что наугад выбранный
спортсмен окажется из Сербии.
Делим 8:20=0,4.
Ответ: 0,4.
Задание №285922
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по
17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. На конференции
планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова
вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
Решение.
Найдем количество докладов, запланированных на последний день конференции.
(75–17–17–17):2=12.
Любой из 12 докладов последнего дня конференции может быть докладом профессора Мориарти –
это и есть число благоприятных исходов. Осталось 12 поделить на 75.
Ответ: 0,16.
Задание №286207
Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые
пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди
которых 13 спортсменов из России, в том числе Владимир Егоров. Найдите вероятность того, что в
первом туре Владимир Егоров будет играть с каким-либо спортсменом из России.
Решение.
Соперником Владимира Егорова может быть любой из 25 спортсменов, не 26,. потому что сам
Владимир Егоров сам с собой играть не может. Нам нужно, чтобы этот любой был спортсменом из
России – 12 благоприятных исходов, не 13, потому что Владимир Егоров сам из России.
Ответ: 0,48.
Задание №286325
В сборнике билетов по философии всего 50 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме
"Пифагор". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не
достанется вопрос по теме "Пифагор".
Решение.
(50–11):50=0,78.
Ответ: 0,78.
Задание №286385
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Германии и
10 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того,
что одиннадцатым будет выступать прыгун из Германии.
Решение.
Представим ситуацию – вы должны выбрать из урны с 20-ю номерками с числами от 1 до 20
какой-то один номерок. Вероятность того, что выбранный вами номерок будет 11, или 7, или 19
будет ровно одна и та же – 1:20=0,05 – поэтому можно просто спросить: найдите вероятность того,
что случайно выбранный прыгун будет из Германии.
6:20=0,3.
Ответ: 0,3.
Задание №319355
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если
А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две
партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба
раза.
Решение.
Здесь всё просто. Какова вероятность победы в первой партии? 0,52. А во второй? 0,3 (если поменять
очередность игровых цветов, то наоборот). Нам нужно две победы подряд, значит нужно
перемножить вероятности 0,52*0,3=0,156.
Если события А и В независимы, причем вероятности этих событий известны, то вероятность
совместного события А и В равна произведению их вероятностей.
Ответ: 0,156.
Задание №319353
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает
45% этих стекол, вторая –– 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая –– 1%.
Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение.
Пусть в магазине 10000 (это число взято исключительно для удобства умножения на сотые доли,
строго говоря, можно было взять абсолютно любое число) стёкол. Тогда от первой фирмы 5500
стекол, среди которых ровно 0,03*5500=165 бракованных; от второй фирмы будет 4500 стекол, среди
которых ровно 45 бракованных.
Итак, всего стекол 10000, из них бракованных 165+45=210. Искомая вероятность 210:10000=0,021.
Ответ: 0,021.
Задание №320169
Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что
начинать игру должен будет Петя.
Решение.
Все четыре человека равноправны, 0,25.
Ответ: 0,25.
Задание №320170
В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы
по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется
во второй группе?
Решение.
Из 16 карточек четыре с номером 2 – из 16 возможных исходов четыре благоприятных. 4: 16=0,25.
Ответ: 0,25.
Задание №320171
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов.
Вероятность того, что это вопрос по теме <<Вписанная окружность>>, равна 0,2. Вероятность того,
что это вопрос по теме <<Параллелограмм>>, равна 0,15. Вопросов, которые одновременно
относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется
вопрос по одной из этих двух тем.
Решение.
Пусть всего вопросов 100, тогда по теме <<Вписанная окружность>> ровно 20, по теме
<<Параллелограмм>> – ровно 15.
По условию, на экзамене нет вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно. Т.е. на
экзамене всего 3 типа вопросов: по теме <<Параллелограмм>>, по теме <<Вписанная окружность>>
и какие-то другие вопросы.
Благоприятный исход для школьника – это выбор вопроса на любую из двух тем, т.е. из 100 вопросов
он готов к 25 – это и есть число благоприятных исходов. 25:100=0,25.
Задание №320172
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в
автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах,
равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение.
Кофе закончится в обоих автоматах и кофе останется в обоих автоматах – два взаимно
исключающих события, либо то, либо другое. Сумма вероятностей взаимоисключающих событий
равна 1, тогда искомая вероятность 1–0,12=0,88 – это решение неверное.
Вот верное.
Рассмотрим события А – кофе закончится в первом автомате и В – кофе закончится во втором
автомате.
Тогда А*В – кофе закончится в обоих автоматах, А+В – кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию, Р(А)=Р(В)=0,3, Р(А*В)=0,12.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без
вероятности их совместного появления.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А*В)=0,3+0,3–0,12=0,58.
Ответ: 0,58.
Задание №320199
Чтобы поступить в институт на специальность <<Лингвистика>>, абитуриент должен набрать на
ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный
язык. Чтобы поступить на специальность <<Коммерция>>, нужно набрать не менее 70 баллов по
каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по
русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых
специальностей.
Решение.
Вероятность поступления на специальность <<Лингвистика>>: 0,6*0,8*0,7=0,336.
Вероятность поступления на специальность <<Коммерция>>: 0,6*0,8*0,5=0,24.
Поскольку в задаче спрашивают, сможет ли З. поступить хотя бы на одну из двух упомянутых
специальностей, то подразумевается, что З. сдает все четыре экзамена. А этот факт незамедлительно
рождает еще один случай – абитуриент З. может поступить и на <<Лингвистику>>, и на
<<Коммерцию>>. Вероятность этого события, очевидно, равна перемножению вероятностей
успешной сдачи всех четырех экзаменов – 0,6*0,8*0,7*0,5=0,168.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без
вероятности их совместного появления:
0,336+0,24–0,168=0,408.
Ответ: 0,408.
Задание №320212
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке <<Вход>>. Развернуться и
ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по
которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой
вероятностью паук придёт к выходу D.
Решение.
Если паук пойдет вниз (с вероятностью 0,5), то рано или поздно он попадет в тупик. Значит,
вероятность того, что паук удачно повернет на первом разветвлении (ползет вверх), равна 0,5.
Если всё идет удачно, дальше паук остановится шаге от выхода В и повернет либо налево к выходу,
либо направо, причем с одной и той же вероятностью 0,5. Значит, вероятность того, что паук удачно
повернет на этом разветвлении (ползет вправо), равна 0,5
Если всё идёт хорошо, паук оказывается прямо под выходом D и выбирает между тем, чтобы пойти
вверх к выходу, либо пойти вправо, что было бы крайне неудачно для нас. Оба выбора
равновероятны, каждый с вероятностью 0,5. Значит, вероятность того, что паук удачно повернет на
третьем разветвлении (ползет вверх), равна 0,5.
Если всё и дальше продолжает идти так, как нам нужно, то паук окажется под выходом D и слева от
выхода А, пойдет либо вверх (что нам и надо), либо вправо (что плохо) и одной и той же
вероятностью 0,5. Значит, вероятность того, что паук удачно повернет на четвертом (конечном)
разветвлении, равна 0,5.
Вероятности надо перемножить 0,5*0,5*0,5*0,5=0,0625.
Ответ: 0,0625.
Задание №320587
Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение
года равна 0,19. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение.
Не устраивает только случай перегорания всех трех ламп, его вероятность равна 0,193=0,006859.
Тогда искомая вероятность равна 1–0,006859=0,993141.
Ответ: 0,993141.
Рассмотренные номера
18287, 18289, ..., 18371;
18395, 18397, ..., 18415;
18831, 18833, ..., 18969;
263597 – 263599;
263867, 263869, ..., 264011;
26863 – 26879;
26881;
282853 – 282858;
27510 – 27513;
28762 – 28765;
320331, 320333, ..., 320493;
40137, 40139, ..., 40291;
77159, 77161;
26672 – 26677; 26679, 26680, 26682, 26684, 26685, 26690, 2675db;
320169 – 320181;
319553, 319555;
18655, 18657, ..., 18697;
263863 – 263866;
263601, 263603, ..., 263801;
27515 – 27529;
283441, 283443, ..., 283825;
28711, 28713, ..., 28759;
18479, 18481, ..., 18609;
285922 – 285928;
285929, 285931, ..., 286481;
315935, 315937, ..., 315957;
320183 – 320203;
320571, 320573, ..., 320939;
5327, 5329, ..., 5421;
77165, 77167, ..., 77173;
27531, 27533, ..., 27541;
319353, 319355, ..., 319453;
320205 – 320212;
323024;
323027, 323029, ..., 323045;
5455, 5457, ..., 5497;
77179, 77181, ..., 77239;
5525, 5527, ..., 5595;
77243, 77245, ..., 77265;
77357 – 77363.
Всего по номерам 1585, ранее отложенных 28, вновь отложенных 81. Итого 1694.
Ошибка
Спасибо всем, кто читал и извините за ошибки.
Джендубаев Эдуард, 25 июля 2014 года.
***************************************************************************************
Я надеюсь, что вы посетили сайт http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/6 и увидели внизу
страницы мелким шрифтом "Использование материалов открытого банка в коммерческих целях
запрещено". Поэтому, я не имею никакого права ни у кого просить вознаграждения. В то же время,
любой труд должен быть оплачен ☺. Мой телефон +7 963 170 43 67.
***************************************************************************************