Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Основные категории I I I I алгебра множеств, алгебра событий, сложение вероятностей, условная вероятность, зависимые и независимые события, умножение вероятностей. Алгебра множеств Множество — совокупность объектов произвольной природы. Объект, входящий в состав рассматриваемого множества, называется элементом этого множества. Множества обозначаем заглавными (прописными) латинскими буквами, элементы множеств — строчными латинскими буквами. Задание. Дать определения следующих понятий, обозначений, операций: 1) a ∈ A, a ∈ / A (a принадлежит A, a не принадлежит A); 2) A ⊂ B (A есть подмножество B); 3) A ∪ B, A ∩ B, A\B (объединение, пересечение, разность множеств). Алгебра множеств — совокупность множеств с операциями объединения и пересечения. Алгебра событий — это математическая модель эксперимента Вначале задается множество Ω всех элементарных событий. Алгеброй событий называется система подмножеств множества Ω, которые называются событиями. Алгебра событий должна удовлетворять следующим требованиям: I I I I I все множество Ω является событием (называется достоверным событием); пустое множество ∅ является событием (называется невозможным событием); если A, B — события, то A ∩ B тоже событие (называется произведением событий AB); если A, B — события, то A ∪ B тоже событие (называется суммой событий A + B); сумма бесконечного, но счетного числа событий тоже является событием. Аксиоматическое определение вероятности В аксиоматическом подходе события A и B называются несовместными, если AB = ∅. Если задано конечное или счетное число событий A1 , A2 , . . . , An , . . ., то они называются попарно несовместными, если Ai Aj = ∅ для любых двух различных номеров i, j. Вероятность — это функция P на алгебре событий, которая удовлетворяет следующим требованиям: I I I 0 6 P (A) 6 1 для любого события A; P (∅) = 0, P (Ω) = 1; если A1 , A2 , . . . , An , . . . — конечный или счетный набор попарно несовместных событий, то X X P( Ai ) = P (Ai ). i i Теоремы сложения вероятностей Теорема 1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P (A) + P (B). Теорема 2. Вероятность суммы произвольных событий: P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB). Эти утверждения следуют из аксиоматического определения вероятности и хорошо видны на диаграмме: Следствия теорем сложения Следствие 1. Сумма вероятностей трех событий вычисляется по формуле: P (A + B + C) =? (Вывести формулу самостоятельно по рисунку) W C A B Следствие 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице: AB = BC = CA = ∅ ⇒ P (A)+P (B)+P (C) = P (Ω) = 1. A+B+C =Ω Следствия теорем сложения (продолжение) Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: P (A) + P (A) = 1. Следствие 4. Вероятность вычисляется по формуле: противоположного события P (A) = 1 − P (A). Пример: Вероятность не сдать зачет по предмету для некоторого студента равна 0,8. Какова вероятность сдать зачет? P (A) = 0, 8 ⇒ P (A) = 1 − P (A) = 0, 2 Условная вероятность Определение. Вероятность события B, найденная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью события B (при условии A) и обозначается через PA (B) или P (B|A). Формулы условных вероятностей: если P (A) 6= 0 и P (B) 6= 0, то условные вероятности вычисляются по формулам P (B|A) = P (AB) , P (A) P (A|B) = P (AB) . P (B) Определение. Событие B называется независимым от события A, если P (B|A) = P (B); событие B называется зависимым от A, если P (B|A) 6= P (B). Определение. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого: P (B|A) = P (B), P (A|B) = P (A). Вероятность независимых событий Из данных определений вытекает, что A независимо от B тогда и только тогда, когда B независимо от A. И то, и другое равносильно тому, что A и B независимы, а из формул условной вероятности следует теорема умножения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло: P (AB) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B). События A и B независимы тогда и только тогда, когда вероятность их произведения равна произведению их вероятностей P (AB) = P (A)P (B). Задание Бросают два игральных кубика. Выяснить, зависимы или нет события A = {сумма очков не более 9}, B = {сумма очков не менее 5}. Контрольные вопросы 1. Определение алгебры событий. 2. Аксиоматическое определение вероятности. 3. Теорема сложения вероятностей. 4. Чему равна сумма вероятностей событий? полной группы событий? противоположных 5. Определение условной вероятности; события зависимые и независимые. 6. Теорема умножения вероятностей.