ÄÈÑÊÐÅÒÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÈÓ5 | 4 ñåìåñòð, 2015 ã. Ñåìèíàð 14. ÄÅÒÅÐÌÈÍÈÇÀÖÈß ÊÎÍÅ×ÍÛÕ ÀÂÒÎÌÀÒΠ• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Êîíå÷íûé àâòîìàò íàçûâàåòñÿ äåòåðìèíèðîâàííûì, åñëè â íåì íåò äóã ñ ìåòêîé λ è èç ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ ïî ëþáîìó âõîäíîìó ñèìâîëó âîçìîæåí ïåðåõîä â òî÷íîñòè â îäíî ñîñòîÿíèå, ò.å. (∀q ∈ Q)(∀a ∈ V )(|δ(q, a)| = 1). Äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîãî êîíå÷íîãî àâòîìàòà çíà÷åíèåì ôóíêöèè ïåðåõîäîâ äëÿ ëþáîé ïàðû (ñîñòîÿíèå, âõîäíîé ñèìâîë) ÿâëÿåòñÿ îäíîýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà ñîñòîÿíèé. Äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî àâòîìàòà ìîæåò áûòü ïîñòðîåí ýêâèâàëåíòíûé åìó äåòåðìèíèðîâàííûé êîíå÷íûé àâòîìàò. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ôóíêöèÿ ïåðåõîäîâ| ýòî îòîáðàæåíèå δ: Q × (V ∪ {λ}) → 2Q, òàêîå, ÷òî δ(q, a) = {r: q →a r} , ò.å. çíà÷åíèå ôóíêöèè ïåðåõîäîâ íà óïîðÿäî÷åííîé ïàðå (ñîñòîÿíèå, âõîäíîé ñèìâîë èëè ïóñòàÿ öåïî÷êà) åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ñîñòîÿíèé, â êîòîðûå èç äàííîãî ñîñòîÿíèÿ âîçìîæåí ïåðåõîä ïî äàííîìó âõîäíîìó ñèìâîëó èëè ïóñòîé öåïî÷êå.  ÷àñòíîñòè, ýòî ìîæåò áûòü ïóñòîå ìíîæåñòâî. Èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ ïåðåõîäîâ, êîíå÷íûé àâòîìàò ìîæíî çàäàâàòü êàê óïîðÿäî÷åííóþ ïÿòåðêó: M = (V, Q, q0, F, δ), ãäå V | âõîäíîé àëôàâèò; Q | ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé; q0 | íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå; F | ìíîæåñòâî çàêëþ÷èòåëüíûõ ñîñòîÿíèé; δ | ôóíêöèÿ ïåðåõîäîâ, çàäàííàÿ â âèäå ñèñòåìû êîìàíä. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Äåòåðìèíèçèðóåì êîíå÷íûé àâòîìàò M . Ðèñ. 1. Êîíå÷íûé àâòîìàò M Ïîñòðîèì ÊÀ M1 áåç λ -ïåðåõîäîâ, ýêâèâàëåíòíûé ÊÀ M . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ðèñ. 2. Êîíå÷íûé àâòîìàò M Ïîñòðîèì ÊÀ M1 áåç λ -ïåðåõîäîâ, ýêâèâàëåíòíûé ÊÀ M . Ðèñ. 3. Êîíå÷íûé àâòîìàò M1 Èç ñîñòîÿíèé q1 è q2 ïî äóãå ñ ìåòêîé λ ìîæíî ïîïàñòü â çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå q5 , ñëåäîâàòåëüíî, îíè âîéäóò â ìíîæåñòâî F. • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ðèñ. 4. Êîíå÷íûé àâòîìàò M1 Ñîñòîÿíèå q3 íå âîøëî â ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé íîâîãî àâòîìàòà M1 , òàê êàê â íåãî çàõîäÿò òîëüêî äóãè ñ ìåòêàìè λ â ÊÀ M . • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit ×òîáû äåòåðìèíèçèðîâàòü ïîëó÷åííûé àâòîìàò âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì âûòÿãèâàíèÿ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì äåòåðìèíèðîâàííûé ÊÀ âñå ñîñòîÿíèÿ êîòîðîãî, äîñòèæèìû èç íà÷àëüíîé âåðøèíû {q1 } . Ìåòîä âûòÿãèâàíèÿ.  ÊÀ áåç λ -ïåðåõîäîâ M1 îïðåäåëÿåì âñå ìíîæåñòâà ñîñòîÿíèé, äîñòèæèìûõ èç íà÷àëüíîãî. 1. Äëÿ êàæäîãî ñèìâîëà ai âõîäíîãî àëôàâèòà íàõîäèì ìíîæåñòâî δ({q1}, ai) . Êàæäîå òàêîå ìíîæåñòâî â íîâîì àâòîìàòå ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåììíîæåñòâîì, íåïîñðåäñòâåííî äîñòèæèìûì èç íà÷àëüíîãî. 2. Äëÿ êàæäîãî èç îïðåäåëåííûõ íà ïðåäûäóùåì øàãå ñîñòîÿíèé-ìíîæåñòâ S è êàæäîãî ñèìâîëà âõîäíîãî àëôàâèòà ai íàõîäèì ìíîæåñòâî δ(S, ai) = [ δ(q, ai). q∈S 3. Ïîâòîðÿåì øàã 2 äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïåðåñòàíóò ïîÿâëÿòüñÿ íîâûå ñîñòîÿíèÿ-ìíîæåñòâà (âêëþ÷àÿ ïóñòîå). 4. Âûäåëÿåì ìíîæåñòâî çàêëþ÷èòåëüíûõ ñîñòîÿíèé. Ñîñòîÿíèå-ìíîæåñòâî íîâîãî äåòåðìèíèðîâàííîãî êîíå÷íîãî àâòîìàòà (ÄÊÀ) áóäåò çàêëþ÷èòåëüíûì, îíî âêëþ÷àåò õîòÿ áû îäíî çàêëþ÷èòåëüíîå ñîñòîÿíèå àâòîìàòà M1 • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ðèñ. 5. Êîíå÷íûé àâòîìàò M1 1)δ1({q1}, a) = {q2, q4, q6}; δ1({q1}, b) = {q4, q6}; 2)δ1({q2, q4, q6}, a) = δ(q2, a) ∪ δ(q4, a) ∪ δ(q6, a) = = {q2, q4, q6} ∪ ∅ = {q2, q4, q6}; δ1({q2, q4, q6}, b) = {q4, q5, q6}; 3)δ1({q4, q6}, a) = ∅; δ1({q4, q6}, b) = {q5}; 4)δ1({q4, q5, q6}, a) = {q2, q6}; δ1({q4, q5, q6}, b) = {q4, q5}; 5)δ1({q5}, a) = {q2, q6}; δ1({q5}, b) = {q4}; 6)δ1({q2, q6}, a) = {q2, q4, q6}; δ1({q2, q6}, b) = {q4, q5, q6}; 7)δ1({q4, q5}, a) = {q2, q6}; δ1({q4, q5}, b) = {q4, q5}; 8)δ1({q4}, a) = ∅; δ1({q4}, b) = {q5}; 9)δ1(∅, a) = ∅; δ1(∅, b) = ∅; • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïî ïîëó÷åííûì ôóíêöèÿì ïåðåõîäà ïîñòðîèì ÄÊÀ 1)δ1({q1}, a) = {q2, q4, q6}; δ1({q1}, b) = {q4, q6}; 2)δ1({q2, q4, q6}, a) = {q2, q4, q6}; δ1({q2, q4, q6}, b) = {q4, q5, q6}; 3)δ1({q4, q6}, a) = ∅; δ1({q4, q6}, b) = {q5}; 4)δ1({q4, q5, q6}, a) = {q2, q6}; δ1({q4, q5, q6}, b) = {q4, q5}; 5)δ1({q5}, a) = {q2, q6}; δ1({q5}, b) = {q4}; 6)δ1({q2, q6}, a) = {q2, q4, q6}; δ1({q2, q6}, b) = {q4, q5, q6}; 7)δ1({q4, q5}, a) = {q2, q6}; δ1({q4, q5}, b) = {q4, q5}; 8)δ1({q4}, a) = ∅; δ1({q4}, b) = {q5}; 9)δ1(∅, a) = ∅; δ1(∅, b) = ∅; Ðèñ. 6. Êîíå÷íûé àâòîìàò M3 • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Ïîëó÷èëè ñëåäóþùèé ãðàô: Ðèñ. 7. Êîíå÷íûé àâòîìàò M3 • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Çàäà÷à 1. Äåòåðìèíèçèðîâàòü êîíå÷íûé àâòîìàò: M ={{0, 1}, {q1, q2, q3}, {q1}, {q3}, δ(q1, 0) = {q1, q3}, δ(q1, 1) = {q2}, δ(q2, 0) = {q1}, δ(q2, 1) = {q3}, δ(q3, 1) = {q1}}. (M ={{Àëôàâèò}, {ìí-âî ñîñòîÿíèé}, {íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå}, {çàêëþ÷èò. ñîñòîÿíèÿ}, {ôóíêöèÿ ïåðåõîäîâ}}) Óñòàíîâèòü, äîïóñêàåò ëè àâòîìàò öåïî÷êó 10100 Çàäà÷à 2. Ïîñòðîèòü ÊÀ, äîïóñêàþùèé âñå öåïî÷êè â àëôàâèòå {a, b} , íå ñîäåðæàùèå ïîäöåïî÷êó aba . Çàäà÷à 3. Íàéòè ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå äëÿ äîïîëíåíèÿ ÿçûêà L = (a + b)∗ + ba∗ . (Óêàçàíèå. Ïîñòðîèòü ÊÀ äëÿ äîïîëíåíèÿ è íàéòè ÿçûê, äîïóñêàåìûé ýòèì ÊÀ). • First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit