Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма длин интервалов, составляющих решение неравенства x 2 + ( 2a 2 + 6 )x − a 2 + 2a − 3 <0 x 2 + ( a 2 + 7 a − 7 )x − a 2 + 2a − 3 не меньше 1. Хотя задачка и с мехмата, но решение ее будет достаточно коротким. Сначала два важных факта из условия. Если внимательно посмотреть на последний коэффициент квадратичных функций, стоящих в числителе и знаменателе, вспомнить про теорему Виета, то видим, что, во-первых, произведение корней числителя и знаменателя одинаковые. Во-вторых, эти произведения отрицательные, т.к. − a + 2 a − 3 < 0 (отрицательный дискриминант). 2 при любом а Чтоб проиллюстрировать результат этих двух открытий, предположим, что корни числителя равны x1 и x 2 , а знаменателя - x3 и x4 . Пусть x1 < 0 < x 2 и x 3 < 0 < x 4 Тогда если x 3 < x1 , то и x 4 < x 2 , а если x1 < x 3 , то и x 2 < x 4 из-за равенства произведений корней. Таким образом, длины промежутков, являющихся решениями неравенства должны удовлетворять условию x1 − x 3 + x 2 − x 4 ≥ 1 В соответствии с вышесказанным имеем два случая раскрытия модулей ⎡− 2 a 2 − 6 + a 2 + 7 a − 7 ≥ 1 ⎡a 2 − 7 a + 14 ≤ 0 ⎡ x1 − x 3 + x 2 − x 4 ≥ 1 → ⎢ 2 ⎢x − x + x − x ≥ 1 → ⎢ 2 2 ⎢⎣2a + 6 − a − 7 a + 7 ≥ 1 ⎢⎣a − 7 a + 12 ≥ 0 1 4 2 ⎣ 3 Первое неравенство совокупности не имеет решений, а решение второго и будет ответом a ∈ (− ∞;3] ∪ [4 ; ∞ )