Курс лекций по математическому анализу

Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
Глава 1. Функции одной переменной и их основные
характеристики
§1. Множества и подмножества
Определение. Совокупность объектов, различной природы, объединенных общим
характеристическим свойством, называется множеством.
Множества обозначаются большими буквами: А, В, С….Элементы множества –
маленькими: x, y, …,v,….
Если элемент принадлежит множеству, то это обозначается x ∈ D , если не
принадлежит множеству x ∉ D .
Множество задается путем перечисления его объектов, либо заданием
характеристического свойства.
Например:
Пусть
множество
А
задано
следующим
образом:
A = {x : x ∈ N , − 1 < x ≤ 4} ,
тогда
оно
состоит
из
элементов
A = {1, 2, 3, 4}
Определение: Если два множества состоят из одних и тех же элементов, говорят, что
они равны, и пишут А=В. В противном случае A ≠ B .
Для доказательства равенства двух множеств достаточно показать, что каждый элемент
первого множества принадлежит второму и обратно, что каждый элемент второго
множества принадлежит первому.
Определение. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым
множеством (обозначается символом Ø).
Определение. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то
множество А называется подмножеством множества В, что обозначается так: A ⊆ B .
Всякое непустое множество А имеет по крайней мере два подмножества: само
множество А и пустое множество Ø, которые называются несобственными
подмножествами множества А. Запись A ⊂ B означает, что множество А является
подмножеством множества В, но A ≠ B . В этом случае говорят, что множество А есть
собственное подмножество множества В.
Определение. Множество J называется универсальным множеством для системы
множеств А, В, С,…, если каждое из этих множеств является его подмножеством.
Пример. Найти все подмножества множества B = {∆, Π , Θ}
Решение:
A = {∆}, E = {∆, Π}, C = {Π}, F = {∆, Θ},
D = {Θ}, M = {Π, Θ}, включая само множество В и пустое множество Ø, т.е 23=8
множеств.
Замечание. Количество подмножеств определяется по формуле 2n, n – число элементов
множества.
1
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
Пример. Даны множества
A = {a, b, c} , B = {{a, b}, c} . Верно ли
соотношение А=В ?
Решение
Соотношение неверно хотя бы потому, что первое множество имеет три элемента: a, b
и с, а второе – только два: множество {a, b} и элемент с, или потому, что первое
множество не содержит элемента
{a,
b}, содержащегося во втором множестве.
§ 2. Действия над множествами
1. Объединение
Определение. Суммой или объединением двух множеств А и В называют множество
состоящее из элементов принадлежащих или множеству А или множеству В.
A ∪ B = {x : x ∈ A или x ∈ B
}
В
А
2. Пересечение или умножение множеств
Определение. Пересечение или умножение множеств А и В называют множество,
которое состоит из элементов принадлежащих и множеству А и множеству В.
A ∩ B = {x : x ∈ A и
x ∈ B}
В
А
3. Разность или вычитание множеств
Определение. Разностью или вычитанием множеств А и В называют множество,
которое состоит из элементов принадлежащих множеству А и не принадлежащих
множеству В.
A \ B = {x : x ∈ A, но x ∉ B
А
В
}
А
В
§ 3. Символика математической логики
Для сокращения записи в дальнейшем мы будем употреблять некоторые
простейшие логические символы. Если нас интересует не сущность какого-либо
2
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
предложения, а его связь с другими, то это предложение будем обозначать одной из
букв α , β , ... . Запись α ⇒ β означает: «из предложения α следует предложение
β ». Знаком α ⇔ β будем обозначать тот факт, что предложения α и β
эквивалентны, т.е. из α следует β и из β следует α .
Запись ∀x ∈ A : α означает: «для всякого элемента x ∈ A имеет место
предложение α ». Символ ∀ называется квантором всеобщности.
Запись ∃y ∈ B : β означает: «существует элемент y ∈ B , для которого имеет
место предложение β ». Символ ∃ называется квантором существования.
Символ α будем понимать как отрицание предложения α или, коротко, «не
α ».
Построим отрицание утверждения ∀x ∈ A : α .
Если утверждение не имеет места, то предложение α имеет место не для всех
x ∈ A , т.е. существует элемент x ∈ A , для которого α не имеет места:
∀x ∈ A : α ⇔ ∃x ∈ A : α . Совершенно аналогично ∃y ∈ B : β ⇔ ∀y ∈ B : β .
Таким образом, чтобы построить отрицание данной логической операции,
содержащей знаки ∀ и ∃ , необходимо знак ∀ заменить на ∃ , а знак ∃ на ∀ и
отрицание (черту) перенести за свойство, стоящее после двоеточия.
§4. Точные верхняя и нижняя грани множества
Рассмотрим произвольное множество Е действительных чисел х. Может
случиться, что в нем имеется наибольшее (максимальное) число, которое мы
обозначим через М. В этом случае пишут:
M = max E = max x .
x∈E
Может случиться также, что среди чисел x ∈ E
(минимальное), равное числу m. Тогда пишут:
m = min E = min x .
имеется наименьшее
x∈E
Если множество Е конечно, т.е. состоит из конечного числа чисел
x1 , x2 , ..., x p ,
то среди них всегда есть наибольшее и наименьшее.
Однако это не всегда так, если Е – бесконечное множество.
Приведем примеры:
1) Z = {..., − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, ...},
2) N = {1,
3) N −
4)
5)
6)
[a,
[a,
(a,
2, 3, ...},
= {..., − 2, − 1},
b] ,
b),
b) .
Множество Z не имеет наибольшего и наименьшего чисел. Интервал (a, b )
тоже не имеет наибольшего и наименьшего чисел. При этом здесь не имеет значения,
будут ли числа a, b конечными или бесконечными. Каково бы ни было число
3
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
c ∈ (a, b ) , т.е. число, удовлетворяющее неравенствам a < c < b , всегда найдутся
числа c1 , c2 такие, что a < c1 < c < c2 < b .
Множество N не имеет наибольшего элемента, но имеет наименьший x = 1 .
Множество же N − имеет наибольший элемент x = −1 , но не имеет
наименьшего.
Очевидно также min[a,
b] = a , max[a, b] = b , min[a, b ) = a , однако
максимального числа в [a, b ) нет.
Возникает вопрос о введении для произвольного множества Е чисел, которые по
возможности заменяли бы max E и min E . Такими числами (конечными или
бесконечными) являются точная верхняя грань
sup E = sup x = M
x∈E
и точная нижняя грань
inf E = inf x = m
x∈E
множества.
Пусть множество Е ограничено сверху.
Определение 1. Число М (конечное) называется точной верхней гранью
множества Е, если для него выполняются два условия:
1) x ≤ M ∀x ∈ E ,
2) для любого
неравенства
ε > 0 существует точка x1 ∈ E такая, что выполняются
M − ε < x1 ≤ M .
Говоря другими словами, sup E = M есть наименьшая из верхних границ
(мажорант).
Пусть множество Е ограничено снизу.
Определение 2. Число m (конечное) называется точной нижней гранью
множества E, если для него выполняются два условия:
1) m ≤ x ∀x ∈ E ,
2) для любого
неравенства
ε > 0 существует точка x1 ∈ E такая, что выполняются
m ≤ x1 < m + ε ,
т.е. inf E = m есть наибольшая из нижних границ.
Очевидно, если в множестве Е действительных чисел имеется наибольшее
(наименьшее) число, т.е. существует max E ( min E ), то
sup E = max E
( inf E = min E ).
sup, inf - сокращения латинских слов supremum – наивысший, infimum –
наинизший. Эта терминология не совсем удачна, потому что, например, sup E не
всегда есть наивысший элемент в множестве Е.
⎧1
⎩2
Пример. Множество E = ⎨ ,
2
,
3
3
⎫ ⎧ n ⎫
, ...⎬ = ⎨
⎬
4
⎭ ⎩ n + 1⎭
4
Курс лекций по математическому анализу
Имеет наименьшее число, равное 1
наибольшего, потому что
2
Лелевкиной Л.Г.
( min E = 1 ). Однако оно не имеет
2
1 2 3
< < < .... Все же оно ограничено сверху числом 1 или
2 3 4
любым числом, большим 1. Но число 1 играет исключительную роль – оно
точная верхняя грань Е ( sup E = 1 ).
есть
§ 5. Функции одной переменной. Область определения. Область
значений.
Способы задания функций.
Пусть даны числовые множества X = {x}, Y = {y}
Определение. Закон (правило) отображения по которому каждому элементу
x ∈ X соответствует элемент y ∈ Y (один или несколько) называется функцией.
Множество Х – область определения. Множество Y – область значений.
Переменную x называют аргументом (независимой переменной), а переменную у –
функцией (зависимой переменной).
Если функция задается аналитически (с помощью формул), то областью определения
называется множество всех значений х, при которых функция имеет смысл ( D ( y ) ).
Каждому значению х соответствует определенное значение у, которое называется
частным.
Множество частных значений образует множество значений функции Е(у).
Пример.
Функция Дирихле:
⎧1, при х рациональн ом
f ( x) = ⎨
⎩0, при х иррационал ьном
Здесь область определения Х – вся числовая ось, а область значений Y = {0, 1}
Пример.
Функция (сигнум х или знак х)
⎧1, при х > 0
⎪
y = signx = ⎨0, при х = 0 ,
⎪− 1, при х < 0
⎩
D( y ) = (− ∞, ∞ ) , множество ее значений
состоит из трех точек: E ( y ) = {− 1, 0, 1}
задана на бесконечном интервале
Пример.
Функция y = [x ], где [x ] обозначает целую часть вещественного числа х. Читается: «у
равно антье х» (от французского слова entier – целый). Эта функция задана для всех
вещественных значений х, а множество всех ее значений состоит из целых чисел.
5
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
§6. Способы задания функций
Задать функцию – это значит указать область ее определения и правило,
при помощи которого по данному значению независимой переменной
находятся соответствующие ему значения функцию.
Существуют различные способы задания функций:
1. Аналитический (с помощью формул);
2. Графический (с помощью графиков);
3. Табличный;
4. Вербальный (словесный);
5. С помощью графов.
1. Аналитический способ задания функций
Аналитическое задание функции состоит в том, что дается формула, с помощью
которой по заданным значениям независимой переменной можно получать
соответствующие им значения функции.
Существуют различные виды аналитического задания функции:
1) y = f (x) - явный вид задания;
2) F ( x, y ) = 0 - неявный вид задания.
Например.
x 2 + y 2 = R 2 - неявный вид, т.к. x 2 + y 2 − R 2 = F ( x, y )
Иногда от неявного вида легко можно перейти к явному:
y = ± R 2 − x 2 - явный вид.
Целая рациональная функция и дробно-рациональная функция
2
n
Определение 1. Функция вида y = a0 + a1 x + a 2 x + ... + a n x ,
где a0 , a1 , a2 ...an = Const , называется целой рациональной функцией. Это есть
многочлен n-ой степени, который представляет собой сумму степенных функций.
Определение 2. Функция вида y =
a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
называется
b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bm x m
дробно-рациональной.
Если n ≥ m функция называется неправильной (можно выделить целую часть).
Если n < m функция называется правильной.
1
x2 + 2
=1+ 2
.
Пример. y = 2
x +1
x +1
Преимущества аналитического способа заключаются:
а) в сжатости, компактности задания;
б) в возможности вычислить значение функции для любого значения независимой
переменной из области определения;
6
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
в) в возможности применить к данной функции аппарат математического анализа, т.к.
он наилучшим образом приспособлен как раз к аналитической форме задания функций.
Неудобствами аналитического задания функции являются:
а) недостаточная наглядность;
б) необходимость производства вычислений, подчас очень громоздких.
2. Параметрический способ задания функций
Параметрическое задание функций часто используется в физике и механике.
Уравнения:
⎧ x = x(t )
⎨
⎩ y = y (t )
t1 < t < t 2 , где t1 , t 2 - постоянные.
или
⎧ x = ϕ (t )
⎨
⎩ y = ψ (t )
где
t1 < t < t 2 ,
ϕ (t ), ψ (t ) - непрерывные функции на (t1 , t 2 ) , определяют непрерывную
кривую, заданную при помощи параметра t, т.е. геометрическое место точек
(ϕ (t ), ψ (t ) ), упорядоченных при помощи параметра t ∈ (t1 ,
t2 ) .
Наиболее распространенные функции:
Окружность
⎧ x = a cos t
⎨
⎩ y = a sin t
у
0 ≤ t ≤ 2π
а
Возводя оба равенства в квадрат и
х
0
суммируя, получим:
x2 +y2 =a2 - окружность
радиуса R = a .
Эллипс
⎧ x = a cos t
⎨
⎩ y = b sin t
у
0 ≤ t ≤ 2π
b
Разделив первое равенство на а, а второе на b,
возведя оба равенства в квадрат и суммируя,
получим:
2
-а
0
а
х
-b
2
x
y
+ 2 = 1 -эллипс с полуосями а и b.
2
a
b
7
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
Циклоида.
⎧ x = a (t − sin t )
⎨
⎩ y = a (1 − cos t )
а – радиус окружности.
y
циклоида
а
x
2πa
0
Астроида
⎧ x = a cos 3 t
⎨
3
⎩ y = a sin t
y
астроида
а
x
0
Эвольвента
⎧ x = a (sin t + t cos t )
⎨
⎩ y = a (cos t − t sin t )
y
эвольвента
0
x
8
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
3. Задание функций в полярной системе координат
На плоскости зададим луч OL (полярная ось), выходящий из точки О – полюса
полярной системы координат. Положение произвольной точки определяется парой
чисел (r , ϕ ) - ее полярными координатами, где r –расстояние от точки О до точки М,
а 0 ≤ ϕ < 2π выраженный в радианах угол между ОМ и ОL
r
0
M (r , ϕ )
ϕ
L
Пусть в плоскости, наряду с прямоугольной системой координат х,у с началом в
точке О, введена полярная система координат ϕ , r , так что полярная ось и
положительная ось Х совпадают. Переход от декартовых координат к полярным
осуществляется по формулам:
⎧ x = r cos ϕ
⎨
⎩ y = r sin ϕ
и наоборот tgϕ =
y
y
π
, отсюда ϕ = arctg для 0 ≤ ϕ <
x
x
2
y
M(r, ϕ )
r
ϕ
y
х
0
x
Различные виды кривых в полярной системе координат
Спираль Архимеда r = aϕ
y
спираль
Архимеда
x
9
Курс лекций по математическому анализу
Лемниската Бернулли
y
Лелевкиной Л.Г.
r 2 = a 2 cos 2ϕ
лемниската Бернулли
x
Кардиоида r = a (1 + cos ϕ )
у
Кардиоида
x
0
Кардиоида r = a (1 + sin ϕ )
y
Кардиоида
x
10
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
Двулепестковая роза - r = a sin 2ϕ
y
Двулепестковая роза
x
4. Табличное задание функций
При табличном задании просто выписывается ряд значений независимой
переменной и соответствующих им значений функций. Табличный способ задания
функций особенно распространен в естествознании и в технике. Числовые результаты
последовательных наблюдений какого-нибудь процесса обычно группируются в виде
таблицы.
Преимуществом табличного задания функций является то, что для каждого
значения независимой переменной, помещенного в таблице, можно сразу, без всяких
измерений и вычислений, найти соответствующее значение функции.
Недостаток же табличного задания заключается в том, что при нем обычно
невозможно задать функцию полностью: найдутся такие значения независимой
переменной, которые не помещены в таблице. Другим недостатком табличного задания,
особенно ярко проявляющимся при большом объеме таблицы, является отсутствие
наглядности. По таблице весьма трудно выявить характер изменения функции при
изменении независимой переменной.
5. Графический способ задания функций
Графическое задание функции состоит в задании графика этой функции.
В физике и технике функции нередко задаются графически, причем иногда график
является единственным доступным средством задания функции. Чаще всего это бывает
при употреблении самопишущих приборов, автоматически записывающих изменение
одной величины в зависимости от изменения другой. В результате на ленте прибора
получается линия, графически задающая регистрируемую прибором функцию. К таким
прибором относятся, например, барограф, вычерчивающий барограмму – график
атмосферного давления, и термограф, вычерчивающий термограмму – график
температуры как функции времени.
К графику функции, как и к таблице, не может быть непосредственно применен
аппарат математического анализа, но график функции наряду с этим недостатком
обладает весьма важным преимуществом – наглядностью, что делает его чрезвычайно
полезным при изучении функции.
11
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
§7. Основные элементарные функции и их графики
Определение 1. Основными элементарными функциями называются следующие
функции:
n
1. Степенная функция: y = x , где n – действительное число;
x
2. Показательная функция: y = a , где а – положительное число и a ≠ 1
3. Логарифмическая функция: y = log a x , где основание логарифмов
а –
положительное число и a ≠ 1
4. Тригонометрические функции: y = sin x , y = cos x , y = tgx , y = ctgx
5. Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctgx ,
y = arcctgx .
1. Степенная функция
n
y=x
D( y ) = R
E ( y) = R
α > −1
α = −1
α < −1
y
y
α >1 α =1
α <1
1
1
0
x
1
2p
, α >1
2k + 1
x
1
y
y
0
0
y = xα , α < 0
y = xα , α > 0
y = xα , α =
α > −1
α = −1
α < −1
x
0
y = xα , α =
x
2p +1
, α >1
2k + 1
12
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
2. Показательная функция
y = ax
а) 0 < a < 1
x∈R
y ∈ (0;+∞)
y
1
x
0
y
б) a > 1
x∈R
y ∈ (0;+∞)
1
x
3. Логарифмическая функция
y = log a x
а) 0 < a < 1
x>0
y ∈ (−∞;+∞)
y
x
1
0
y
б) a > 1
x>0
y ∈ (−∞;+∞)
1
x
0
4. Тригонометрические функции
y
y = sin x
x∈R
y ∈ (−1;1)
−π
−π
1
y = sin x
1
π
2
0
π
-1
x
2
13
Курс лекций по математическому анализу
y = cos x
x∈R,
y ∈ (−1;1)
Лелевкиной Л.Г.
y
1
−π
y = cosx
π
2
0
π
π
2
x
-1
π
+ π n, n ∈ z
2
y∈R
x=
y = tgx
у
y = tgx
x ∈ R , кроме
−
π
3π
2
π
0
2
2
x
у
y = ctgx
x ∈ R , кроме
x = 2πk , k ∈ z
y∈R
−
π
π
0
2
2
x
π
y = ctgx
5. Обратные тригонометрические функции
y = arcsin x
π
⎡ π π⎤
y ∈ ⎢− , ⎥
⎣ 2 2⎦
x ∈ [− 1,1]
у
y = arcsin x
2
-1
0
−
1
х
π
2
14
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
у
π
y = arccos x
y ∈ [0,π ]
x ∈ [− 1,1]
π
y = arccos x
2
х
0
-1
y = arctgx
x∈R
⎡ π π⎤
y ∈ ⎢− , ⎥
⎣ 2 2⎦
1
у
π
2
х
0
−
y = arcctgx
x∈R
y ∈ [0,π ]
π
y = arctgx
2
у
π
π
2
0
х
y = arcctgx
§ 8. Обратные функции.
Прежде чем перейти к обратным тригонометрическим функциям, сделаем
пояснение относительно обратных функций вообще.
Предположим, что функция y = f(x) задана в некоторой области X, и пусть Y
будет множество всех значений, которые эта функция принимает, когда х изменяется в
пределах области Х. В нашей практике, как Х, так и У обычно будут представлять собой
промежутки.
Выберем какое-нибудь значение у = у 0 из области У; тогда в области Х
необходимо найдется такое значение х = х 0 , при котором наша функция принимает
15
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
именно значение у 0 , так что f(х 0 ) = у 0 ; подобных значений х 0 может оказаться и
несколько.
Определение. Закон (правило), по которому каждому значению y ∈ Y ставится в
соответствие одно или несколько значений x ∈ X называется обратной функцией.
Таким образом в области У определяется однозначная или многозначная функция х =
f −1 ( y ) , которая и называется обратной для функции y = f (x).
Рассмотрим примеры.
1.Пусть y = α x ( α > 1), где х изменяется в промежутке Х = ( -∞, +∞ ). Значения у
заполняют промежуток У = ( 0, +∞), причем каждому у из этого промежутка отвечает в
Х одно определенное x = log α y. В этом случае обратная функция оказывается
однозначной.
2.Наоборот, для функции у = х 2 , если х изменять в промежутке
Х = ( -∞, +∞ ) , обратная функция будет двузначной: каждому значению у из
промежутка У = [ 0, +∞) отвечают два значения х = ± y из Х. Вместо этой двузначной
функции обычно рассматривают раздельно две однозначные функции х = + y и х = y (“ветви” двузначной функции). Их можно порознь также считать обратными для
функции у = х 2 , в предложении лишь, что область изменения х ограничена,
соответственно,
промежутком [ 0, +∞) или промежутком ( -∞, 0].
Заметим, что по графику функции y = f(x) легко сообразить, будет ли обратная
−1
для нее функция х = f ( y ) однозначной или нет. Первый случай представится, если
любая прямая параллельная оси х, пересекает этот график разве лишь в одной точке.
Наоборот, если некоторые из таких прямых пересекают график в нескольких точках,
обратная функция будет многозначной. В этом случае по графику же легко разбить
промежуток изменения х на части так, чтобы каждой части уже отвечала однозначная
“ветвь” этой функции.
−1
Если функция х = f ( y ) является обратной для функции y = f(x), то, очевидно,
графики обеих функций совпадают. Так как принято аргумент функции обозначать
через х, а саму функцию через у, то обычно вводится переобозначение, т.е. вместо
−1
−1
функции х = f ( y ) рассматривается y = f (х). Т.е. эти оси нужно будет переставить
одну на место другой . Для осуществления этого нужно повернуть плоскость чертежа
хОу на 180 0 вокруг биссектрисы первого координатного угла. Таким образом,
−1
окончательно график y = f (х) получается как зеркальное отражение графика y = f(x)
относительно этой биссектрисы.
−1
−1
Замечание. Если х = f ( y ) - обратная функция для y = f (х), то очевидно,
функция y = f(х) является обратной для функции х = f
−1
( y ) . Поэтому функции y = f(х)
−1
и х = f ( y ) называют также взаимно обратными.
Взаимно обратные функции обладают следующим свойством:
−1
f ( f ( y )) = y , f −1 ( f ( x)) = x
Пример.
Рассмотрим на сегменте [0, 1] функцию, определенную следующим образом:
16
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
⎧ x , если х - рациональное число
y = f(x) = ⎨
⎩ 1 − x , если х – иррациональное число
Функция x = f
−1
( y ) , заданная на сегменте [0, 1] и определенная равенствами
⎧ y , если у – рациональное число
( y) = ⎨
⎩ 1 − y ,если у – иррациональное число
будет обратной к данной. В этом нетрудно убедиться непосредственной проверкой.
х= f
−1
§ 9. Суперпозиция функций. Элементарные функции.
Познакомимся с понятием суперпозиции ( или наложения) функций, которая
состоит в том, что вместо аргумента данной функции подставляется другая функция
( от другого аргумента). Например, суперпозиция функций y = sin x и z = log у дает
1
функцию z = log sin x; аналогично получаются и функции 1 − x 2 , arctg и т.п.
x
В общем виде предположим, что функция z = φ(y) определена в некоторой
области Y = {y}, а функция y = f(x) определена для х в области X = {x}, причем значения
ее все содержатся в области У. Тогда переменная z, как говорят, через посредство у и
сама является функцией от х: z = φ(f(x)). По заданному х из Х сначала находят
соответствующее ему (по правилу, характеризуемому знаком f) значение у из У, а затем
устанавливают соответствующее этому значению у (по правилу, характеризуемому
знаком φ) значение z; его и считают соответствующим выбранному х. Полученная
функция от функции, или сложная функция, и есть результат суперпозиции функций f(x)
и φ(y).
Предположение, что значения функции f(x) не выходят за пределы той области У,
в которой определена функция φ(y), весьма существенно: если его упустить, то может
получиться и нелепость. Например, полагая z = log y, а y = sin x, мы можем
рассматривать лишь такие значения х, для которых sin x>0, ибо иначе выражение log
sin x не имело бы смысла.
Мы считаем полезным здесь же подчеркнуть, что характеристика функции, как
сложной, связана не с природой функциональной зависимости z от x, а лишь со
способом задания этой зависимости. Например, пусть z = 1 − y 2 для у в [-1, 1], а y =
sin x для х в
[-
π π
,
]. Тогда z = 1 − sin 2 x = cos x.
2 2
Здесь функция cos x оказалась заданной в виде сложной функции.
Теперь, когда полностью выяснено понятие суперпозиции, мы можем точно
охарактеризовать простейший из тех классов функций, которые изучаются в анализе:
это, прежде всего, основные элементарные функции, а затем – все те, которые из них
получаются с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций,
последовательно примененных конечное число раз.
Определение Функции, полученные из основных элементарных путем конечного числа
суперпозиций и четырех арифметических действий называются элементарными
функциями.
17
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
§10. Четные, нечетные функции и их свойства.
Определение 1.Функция y = f ( x) называется четной, если:
1. область ее определения X симметрична относительно начала координат, 2. для всех
x ∈ X выполняется равенство
f (− x) = f ( x) .
Определение 2.Функция y = f ( x) называется нечетной, если:
1. область ее определения X симметрична относительно начала координат,
2. для всех x ∈ X выполняется равенство
f (− x) = − f ( x) .
Определение 3.Функции, не четные и не нечетные, называются функциями
общего вида.
Свойства четных и нечетных функций:
1. График четной функции симметричен относительно оси ординат.
2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
3. Сумма, разность, произведение и частное двух четных функций с одной и той же
областью определения (знаменатель дроби при этом должен быть отличен от нуля)
также являются четными функциями.
Докажем это свойство для суммы функций
Пусть f ( x) и g ( x) четные функции, обозначим
f ( x) + g ( x) = ϕ ( x)
В силу четности функций:
f (− x) = f ( x) , g (− x) = g ( x)
Проверим на четность функцию ϕ ( x) .
Так как f ( − x ) + g ( − x) = f ( x) + g ( x) , то ϕ ( − x ) = ϕ ( x) ,
а значит, сумма четных функций является четной функцией.
4. Сумма и разность двух нечетных функций (с одной областью определения) есть
нечетные функции.
Докажем это свойство для суммы функций.
Пусть f ( x) и g ( x) нечетные функции, обозначим
f ( x) + g ( x) = ϕ ( x)
В силу нечетности:
f (− x) = − f ( x) ,
g (− x) = − g ( x) ,
так как f ( − x ) + g ( − x) = − f ( x) − g ( x ) , то ϕ ( − x) = − ϕ ( x ) ,
а значит, сумма двух нечетных функций есть нечетная функция.
Аналогично доказываются свойства 5 и 6.
5. Произведение и частное двух нечетных функций являются четными функциями.
Пусть f ( x) и g ( x) нечетные, обозначим
f ( x) ⋅ g ( x) = ϕ ( x) .
В силу нечетности
f (− x) = − f ( x) ,
g (− x) = − g ( x)
Так как f ( − x) ⋅ g ( − x) = − f ( x) ⋅ ( − g ( x) ), то ϕ ( − x ) = ϕ ( x) .
6. Произведение и частное четной и нечетной функций есть нечетные функции.
Пусть f ( x) - четная, g ( x) - нечетная, обозначим
f ( x) ⋅ g ( x) = ϕ ( x)
В силу предположения
18
Курс лекций по математическому анализу
f (− x) = f ( x) ,
g (− x) = − g ( x) ,
так как
f (− x) ⋅ g (− x) = f ( x) ⋅ ( − g ( x) ), то
Лелевкиной Л.Г.
ϕ (− x) = − ϕ ( x) .
Аналогично доказывается частное.
При построении графиков четных и нечетных функций достаточно построить
только ту часть графика, которая лежит в правой полуплоскости (при x ≥ 0 ), а затем
отобразить ее симметрично относительно оси ординат (для четной функции) или
относительно начала координат (для нечетной функции).
Пример 1.
1− x
f ( x ) = lg
1+ x
−1
1+ x
1− x
⎛ 1− x ⎞
, значит, функция нечетная.
f ( − x ) = lg
= lg ⎜
⎟ = − lg
1− x
1+ x
⎝ 1+ x ⎠
Пример 2.
f ( x ) = x2 + x
f ( − x ) = (− x) 2 + − x = x 2 + x , значит, функция четная.
§11. Периодические функции и их свойства.
Определение. Функция y = f ( x) называется периодической, если существует
такое число T > 0 (не зависящее от x), что:
1) x + T и x − T также входят в область определения функции f ( x) ;
2) для всех x ∈ X выполняется равенство f ( x + T ) = f ( x ) ;
3) среди всех таких T есть наименьшее.
Это наименьшее число T называется периодом функции.
Свойства периодических функций
1. Область определения периодической функции симметрична относительно
начала координат.
2. Для периодической функции
y = f ( x) справедливо равенство
f ( x + kT ) = f ( x) , где T - период функции, k ∈ z ; в частности, f ( x − T ) = f ( x) .
3. Если функция y = f ( x) периодическая с периодом T , то функция
y = f (ax) также периодическая с периодом T / a при (a ≠ 0) .
4. Если функция y = f ( x) периодическая с периодом T , то функция
y = f ( x + a ) также периодическая с периодом T .
При построении графика периодической функции достаточно построить часть
графика на интервале, равном одному периоду, а затем продолжить его на всю область
определения функции.
§12. Возрастающие, убывающие и ограниченные функции
Определение 1. Функция y = f ( x) , определенная на множестве Х, называется
возрастающей, если для любых x1 и x 2 множества Х из неравенства x1 < x 2 , следует,
что f ( x1 ) < f 2 ( x ) , т.е. функция y = f ( x) называется возрастающей, если большему
19
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
значению ее аргумента из области определения соответствует большее значение
функции.
у
у
f ( x1 )
0
x1
f ( x2 )
x2
f ( x1 )
х
0
x1
f ( x2 )
x2
х
Определение 2. Функция y = f ( x) , определенная на множестве Х, называется
убывающей, если для любых x1 и x 2 множества Х из неравенства x1 < x 2 , следует,
что f ( x1 ) > f 2 ( x ) , т.е. функция y = f ( x) называется убывающей, если большему
значению ее аргумента из области определения соответствует меньшее значение
функции.
Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
Определение 3.
Если в определении возрастающей функции неравенство
f ( x1 ) < f 2 ( x) заменить на нестрогое f ( x1 ) ≤ f 2 ( x) , то такая функция называется
неубывающей.
Определение 4. Если в определении убывающей функции неравенство f ( x1 ) > f 2 ( x)
заменить на нестрогое f ( x1 ) ≥ f 2 ( x) , то такая функция называется невозрастающей.
Определение 5. Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие
функции называются монотонными функциями.
Свойства монотонных функций:
1. Сумма двух возрастающих (убывающих) функций есть функция
возрастающая (убывающая).
2. Если функция y = f ( x) возрастающая (убывающая), то функция y = − f ( x )
убывающая (возрастающая).
3. Если функция y = f ( x) возрастающая (убывающая), то функция y = 1 / f ( x)
убывающая (возрастающая) ( f ( x) ≠ 0) .
4. Суперпозиция двух монотонно возрастающих (убывающих) функций есть
монотонно возрастающая функция.
5. Суперпозиция двух функций, из которых одна монотонно возрастающая, а
другая монотонно убывающая, является монотонно убывающей функцией.
Определение 6. Функция y = f ( x) , определенная на множестве X, называется
ограниченной сверху на данном множестве, если существует число M такое, что
f ( x) ≤ M для любого x ∈ X .
Определение 7. Функция y = f ( x) , определенная на множестве X, называется
ограниченной снизу, если существует число m такое, что f ( x) ≥ m для любого x ∈ X .
20
Курс лекций по математическому анализу
Лелевкиной Л.Г.
Определение 8. Функция y = f ( x) , определенная на множестве X, называется
ограниченной на данном множестве, если существует число N > 0 такое, что
f ( x) ≤ N для любого x ∈ X .
Ясно, что функция y = f ( x) является ограниченной тогда и только тогда, когда она
ограничена и сверху, и снизу.
6. Сумма и произведение ограниченных функций являются также
ограниченными функциями.
21