Классическая вероятность

II-й курс лекций. Вероятностные
распределения и их характеристики
II.1 Случайная величина. Функция распределения.
II.2 Дискретная случайная величина. Функции от
дискретных случайных величин. Часто
встречающиеся дискретные распределения
II.3 Непрерывная случайная величина. Функции от
непрерывных случайных величин. Часто
встречающиеся дискретные распределения
II.1 Случайная величина. Функция распределения (1)
Уже в азартных играх интерес играющих вызывает не наступление случайного исхода, а
связанный с ним выигрыш или проигрыш, т. е. определенная числовая величина,
поставленная в соответствие этому исходу. Вполне естественно такую числовую величину
назвать
случайной величиной*.
Случайной величиной ξ называется функция, ставящая в соответствие каждому
элементарному исходу ω∈Ω число.
Пример 1. Два игрока подбрасывают одну правильную монету. Если при подбрасывании
монеты выпадает «герб», то первый игрок платит второму 100 руб., если «цифра»,то второй
игрок платит первому 200 руб. Опишите случайную величину ξ, равную выигрышу первого
игрока в этой игре (при одном подбрасывании монеты).
Пример 2. На отрезок [0, 1] в соответствии с принципом геометрической вероятности падает
идеальная точка. Пусть ξ(ω)= ω — координата ее падения. Тогда ξ – случайная величина.
[*] Теория вероятностей. Математическая статистика. Бочаров П.П., ПечинкинА.В. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2005. — 296 с.
2
II.1 Случайная величина. Функция распределения (2)
Пример 3. На плоский экран падает частица. Что может быть случайными величинами в данн
ом случае?
Пример 4. В таблице приведены данные о числе братьев и сестер (обозначим через ξ) у
сотрудников отдела №123. В отделе всего 40 человек.
Определим событие А={случайно выбранный студент имеет ровно 2 брата и сестры}.
Событие А можно представить как {ω∈Ω : ξ(ω)=2 } или просто {ξ=2}.
Из таблицы видно, что P {ξ=2}=11/40.
Теперь определим событие В={случайно выбранный студент имеет более двух братьев и
сестер}. Как представить событие В?
► На первых порах можно считать, что случайная величина это способ назначения
вероятности событиям, происходящим к эксперименте.
3
II.1 Случайная величина. Функция распределения (3)
Функцией распределения* (вероятностей) случайной величины ξ называется
функция F(x), значение которой в точке x равно вероятности события {ξ <x}
F(x)=P{ξ <x}
т.е. F(x) – это вероятность события, состоящего из тех и только тех
элементарных исходов ω, для которых {ξ(ω) <x}.
Свойства функции распределения (ФР)*
[*] Теория вероятностей. Математическая статистика. Бочаров П.П., ПечинкинА.В. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2005. — 296 с.
4
II.1 Случайная величина. Функция распределения (4)
Классификация случайных величин
↓
Дискретные
Непрерывные
Смешанные
Дискретная случайная величина* – это случайная величина, все возможные значения
которой можно пересчитать.
Непрерывная случайная величина* – это случайная величина, для которой вероятность
попадания в малый интервал [x,x+∆) приближенно пропорциональна длине интервала ∆
с коэффициентом пропорциональности p(x), который носит название плотности распределения:
P{ξ ∈[x,x+∆)} ≈ p(x) ∆.
[*] Теория вероятностей. Математическая статистика. Бочаров П.П., ПечинкинА.В. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2005. — 296 с.
5
II.2 Дискретная случайная величина (1)
Дискретная случайная величина–это случайная величина, которая каждому элементарному
исходу ω ставит в соответствие одно из конечного (или счетного) набора чисел X1, X2, … Xn
(X1, X2, … Xn …).
Дискретная случайная величина – характеризуется рядом распределения и функцией
распределения.
Введем обозначение
. Тогда ряд распределения имеет вид:
Функция распределения дискретной случайной величины вычисляется по формуле
где суммирование ведется по всем значениям I для которых xi<x.
[*] Теория вероятностей. Математическая статистика. Бочаров П.П., ПечинкинА.В. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2005. — 296 с.
6
II.2 Дискретная случайная величина (2)
Задача 1¥. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется
с вероятностью 0.4. Рассматривается случайная величина ξ – число появлений события А в
трех опытах. Построить ряд распределения и функцию распределения с.в. ξ.
Задача 2¥. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая независимо друг от друга
по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0.4, для второго
0.5. Рассмотрим две случайные величины: ξ – число попаданий первого стрелка, η – число
попаданий второго стрелка, и случайная величина ν = ξ - η. Построить ряд распределения и
функцию распределения случайной величины ν.
Задача 3¥. Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при
каждом выстреле равна 0.6. Рассматриваются две случайные величины: ξ – разность между
числом попаданий и числом промахов; η – сумма числа попаданий и числа промахов.
Построить для каждой из случайных величин ряд распределения и функцию распределения.
Задача 4¥. Имеется n лампочек, каждая из которых имеет дефект с вероятностью р=0.001.
Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток. При включении тока дефектная лампочка
сразу же перегорает, после чего заменяется другой. Рассматривается с.в. ξ–число лампочек,
которое будет испробовано. Построить ряд распределения.
[¥] Задачи и упражнения по теории вероятностей. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. 5-е изд., испр. - М.: Академия, 2003.— 448 с.
7
II.2 Дискретная случайная величина (3)
Задача 5￭. Из партии, состоящей из 100 изделий. Среди которых имеется 10 бракованных,
выбраны случайным образом пять изделий для проверки их качества. Построить ряд
распределения случайного числа ξ бракованных изделий, содержащихся в выборке.
Задача 6￭. На пути движения автомашины четыре светофора. Каждый из них с вероятностью
0,5 либо разрешает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение. Построить ряд расп
ределения случайного числа ξ светофоров, пройденных автомашиной до первой остановки.
Задача 7￭. На пути движения автомашины четыре светофора. Каждый из них с вероятностью
0,5 либо разрешает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение. Построить ряд
распределения случайного числа ξ светофоров, пройденных автомашиной до первой
остановки.
Задача 8￭. Число проведенных опытов ξ случайно и может изменяться в пределах от 0 до ∞.
При этом
P{ξ=k}=
.
Каждый опыт может быть успешен с вероятностью р и неуспешным с вероятностью (1-р). Пос
троить ряд распределения числа успешных опытов.
[￭] Б. Г. ВОЛОДИН, М. П. ГАНИН, И. Я. ДИНЕР, Л. Б.КОМАРОВ, А. А. СВЕШНИКОВ, К. Б. СТАРОБИН Сборник Задач По Теории
Вероятностей. Математической Статистике И Теории Случайных Функций
8
II.2 Дискретная случайная величина (4)
Задача 9. Вероятность получения герба при каждом из пяти бросаний монеты равна 0,5. Сост
авить ряд распределения отношения числа ξ появлений герба к числу η появлений
решки. Построить функцию распределения.
Задача 10. Дан ряд распределения с.в. ξ.
Чему равна вероятность того, что с.в. ξ находится в интервале [-0.8, 2.2]?
Чему равна вероятность того, что с.в. ξ примет значение большее или равно 1 при условии,
что она больше нуля?
Задача 11. Подбрасываются две правильные игральные кости. Пусть сл
учайная величина ξ равна максимальному из двух чисел, выпавших на
верхних гранях. Построить ряд распределения и функцию распределения с.в. ξ.
[*] Теория вероятностей. Математическая статистика. Бочаров П.П., ПечинкинА.В. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2005. — 296 с.
9
II.2 Дискретная случайная величина (5)
Задача 12. Пусть случайная величина ξ принимает значения {-2,-1,0,1,2,3,4,5} с вероятностя
ми 1\8. Определим новую случайную величину η=ξ2 . Построить ряд распределения с.в. η.
Задача 13. Дискретная случайная величина ξ принимается значения i=1,2,3,4,5 с
вероятностями i/15.
Чему равна вероятность того, что 2≤ ξ ≤ 4 ?
Чему равна вероятность того, что ξ<3.5 при условии, что ξ приняла нечетное значение?
Определим новую случайную величину η=(ξ-2)2. Построить ее ряд распределения.
Задача 14. Составьте ряд распределения вероятностей случайного числа ξ страниц с опечатками, если проверяемая книга насчитывает 800 страниц, а вероятность того, что на стр
анице могут оказаться опечатки, равна 0,0025.
Задача 15. Случайная величина ξ принимает натуральные значения, причем значение n с вер
оятностью 2-n. Построить ряд распределения случайной величины η=sin(πξ/2).
10
II.2 Дискретная случайная величина. Часто
встречающиеся дискретные распределения (6)
Испытания Бернулли
это независимые испытания, в каждом из которых мы различаем 2 исхода условно
называемые успех и неудача . Вероятность успеха обозначается p, а вероятность неудачи q
(p и q не меняются от опыта к опыту).
Биномиальное распределение
Пусть проводится n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p. Рассматривается с.в. ξ число успехов в этом эксперименте. Ряд распределения с.в. ξ в формульном виде выглядит
следующим образом:
P{  k}  Cnk p k q nk , k  0, n
При n=1, с.в. ξ имеет распределение Бернулли!
Связь между биномиальным распределением и распределением Бернулли:
Пусть с.в. ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и p. Тогда её можно выра
зить следующим образом через случайные величины Xi, имеющие распределение Бернулли с
параметром p:
n
 
i 1
0, в i  ом испытании успех
X

Xi, i 
1, в i  ом испытании неудача
11
II.2 Дискретная случайная величина. Часто
встречающиеся дискретные распределения (7)
Геометрическое распределение
Пусть в каждом испытании возможно 2 исхода (с вероятностью успеха р) и испытания проводятся независимо друг от друга. Случайная величина ξ – число испытаний, которое
необходимо провести прежде, чем появится первый успех имеет геометрическое распределение. Ее ряд распределения представлен в таблице.
P{  k}  q k  p  (1  p) k  p, k  0, 
Сдвинутое геометрическое распределение
Пусть проводятся испытания Бернулли (с вероятностью успеха р) до достижения первого
успеха. Рассматривается с.в. η - число опытов в этом эксперименте. Ряд распределения с.в.
η выглядит в формульном виде следующим образом:
P{  k}  q k 1  p  (1  p) k 1  p, k  1, ; q  1  p
Связь геометрического и сдвинутого геометрического распределений:
Пусть ξ имеет геометрическое распределение с параметром p, а η - сдвинутое геометрическ
ое распределение с параметром p. Тогда ξ и η связаны следующим образом:
η =ξ+1
12
II.2 Дискретная случайная величина. Часто
встречающиеся дискретные распределения (8)
Отрицательное биномиальное распределение
Пусть проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха p до достижения r-го успеха.
С.в. ξ -число неудач в этом эксперименте (она складывается из числа неудач до первого усп
еха, числа неудач от 1-го до 2-го успеха и т.д. … числа неудач от r-1 до r успеха) . Ряд расп
ределения с.в. в формульном виде выглядит след. образом
P{  k}  Crkk 1 p r q k  Crrk11 p r q k , k  0, ; q  1  p
Распределение Паскаля
Пусть проводятся испытания Бернулли с вероятностью успеха p до достижения r-го успеха.
С.в. ξ - число опытов в этом эксперименте (она складывается из числа опытов до первого у
спеха, включая этот успех, числа опытов от 1-го до 2-го успеха, включая этот успех, и т.д.
… числа опытов от r-1 успеха до r успеха, включая этот успех) . Ряд распределения с.в. в
формульном виде выглядит след. образом
P{  k}  Ckk1r p r q k r  Ckr11 p r q k r , k  r , ; q  1  p
13
II.2 Дискретная случайная величина. Часто
встречающиеся дискретные распределения (9)
Пуассоновское распределение
Дискретная случайная величина ξ распределена закону Пуассона, если она принимает целые
неотрицательные значения с вероятностями, представленными рядом распределения в
таблице (λ>0 - параметр пуассоновского распределения).
P{  k} 
k
k!
e  , k  0, 
Задача 16. Пять писем, которые предназначены 5-ти различным людям раскладывают
случайным образом по 5 конвертам (на которых написаны соответствующие адреса) и кладут
в почтовый ящик. Пусть случайная величина ξ – адресатов, которые получат письма, предназ
наченные именно для них. Построить ряд распределения ξ.
Задача 17. Вы играете игру из 2-х раундов. В первом раунде Вы стреляете по мишени. Если В
ы попали в мишень, то Вы выигрываете 20 рублей. Затем Вам зададут вопрос с пятью вариан
тами ответа. Если Вы верно ответили на вопрос, то Вы выигрываете еще 40 рублей. Предпол
ожим, что Вы попадаете в мишень с вероятностью 0.6 и выбираете ответ на вопрос наугад.
Пусть случайная величина ξ – размер Вашего выигрыша. Построить ряд распределения ξ.
14
II.2 Дискретная случайная величина. Часто
встречающиеся дискретные распределения (10)
Задача 18. Случайная величина ξ принимает значения i=1,2,3,4,5 с вероятностями k(5-i). Чем
у равно k?
Задача 19. Вы играете в лотерею в которой необходимо выбрать 6 чисел из чисел от 1 до 53
включительно. Числа не могут повторяться. Случайная величина ξ – число угаданных
номеров. Какое распределение имеет с.в. ξ?
Задача 20. Правильная монета подбрасывается 20 раз. Случайная величина ξ – число выпавш
их орлов. Какое распределение имеет с.в. ξ?
Задача 21. В преддверии нового года Вы дарите конфету каждому ребенку, который стучится вам в дверь. В среднем за 3 часа к Вам приходит 49 детей. Случайная величина ξ – чис
ло детей, которые придут за 30 минут. Какое распределение имеет с.в. ξ?
Задача 22. Предположим, что в среднем 3 раза в день Вам звонят по телефону и оказывается, что вызывающий абонент ошибся номером. Пусть случайная величина ξ – число
ошибочных звонков в день. Какое распределение имеет с.в. ξ?
Задача 23. В коробке находится 5 красных и 10 синий шаров. Из коробки наугад без возвращения достают 7 шаров.Пусть случайная величина ξ–число красных шаров,среди выбранных.
Какое распределение имеет с.в. ξ?
15
II.2 Дискретная случайная величина. Часто
встречающиеся дискретные распределения (11)
Задача 24. Вы сдаете экзамен в ГАИ на получение водительского удостоверения. Каждый ра
з приходя на экзамен, вероятность того, что Вы сдадите равна 0.4. Случайная величина ξ – ч
исло попыток до того, как Вы успешно сдадите экзамен. Какое распределение имеет с.в. ξ?
Чему равна P(ξ<6|ξ>4)?
Задача 25. В американской рулетке 38 полей: №1-36, №0, №00. Из них 18 красных полей, 18
черных полей и 2 зеленых поля. Предположим, что красное поле выпало 10 раз подряд. Случайная величина ξ – число попыток до выпадения черного поля. Какое распределение имеет
с.в. ξ?
Задача 26. Задача страхового агента, продать 5 полисов в 30-ти квартирном доме. Он ходит
от квартиры к квартире и предлагает купить полис. Вероятность того, что владелц квартиры
купит полис равна 0.4. Случайная величина ξ – число попыток для успешного выполнения
задачи. Чему равна вероятность того, что задача будет выполнена в результате посещений
10-й квартиры? Чему равна вероятность того, что последний полис будет продан в 24 квартире? Какое распределение имеет с.в. ξ?
16
II.2 Дискретная случайная величина. Часто
встречающиеся дискретные распределения (12)
Задача 27. Два игрока, А и В, играют в игру. Имеется колода в 26 карт (без бубей и крестей).
Игрок А раздает 13 карт игроку В. Игрок А выигрывает, если среди оставшихся у него 13 карт
тузов больше, чем у игрока В. Если тузов окажется равно число, то выигрывает тот, у кого
оказался туз пик. Игра повторяется 10 раз. Случайная величина ξ – число игр, в которых
выиграл игрок А. Найти P(ξ=6).
Задача 28. Игра состоит в том, что из чисел 1-11 наугад с возвращением достают 3 числа и
продолжается до тех пор, пока все три числа не окажутся одинаковыми. Случайная величина
ξ – число неудачных раундов. Какое распределение имеет с.в. ξ?
Известно, что прошел 121 раунд и до сих пор игра не кончилась. Чему равна вероятность
того, что потребуется не более 128 раундов для окончания игры?
Задача 29. Геологическая разведка нефтяной компании сообщает, что в данном районе при
бурении скважины, вероятность наткнуться на нефть равна 0,2.Чему равна вероятность того,
что нефть обнаружится при 3-м бурении? Чему равна вероятность того, что третий раз нефть
обнаружится при 7-м бурении?
17
II.3 Непрерывная случайная величина (1)
Непрерывная случайная величина* – это случайная величина, для которой вероятность
попадания в малый интервал [x,x+∆) приближенно пропорциональна длине интервала ∆
с коэффициентом пропорциональности p(x), который носит название плотности распределения:
P{ξ ∈[x,x+∆)} ≈ p(x) ∆.
Типичное множество значений непрерывной случайной величины: отрезок, либо луч, либо в
ся числовая прямая R.
Непрерывную случайную величину можно задать с помощью функции распределения F(x)
или с помощью плотности p(x), причем
x
F ( x) 
 p (u)du,
p ( x)  F ( x).
/

18
II.3 Непрерывная случайная величина (2)
Свойства плотности распределения:
1.
2.
p ( x)  0
P{x    x  x}  p ( x) , P{  x}  0
x
P{x1  X  x2 }  P{x1    x2 }  P{x1    x2 }  P{x1    x2 }   p (u )du
x
P{x1  X  x2 }  P{x1    x2 }  F ( x2 )  F ( x1 )
2
3.
4.
5. Условие нормировки:
1

  p  (u)du  1
Задача 30. Непрерывная случайная величина задана своей функцией распределения
0, x  0
 2
F ( x )  x , 0  x  1
1, x  1

1) Построить ф.р., 2) Найти плотность распределения, 3)P{0.25    0.5} ,
4) P{  0.3} , 4) P{  0.7} .
19
II.3 Непрерывная случайная величина (3)
Задача 31. Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения
0, x  1

p ( x)   a
 x 2 , x  1
1) Найти постоянную a, 2) Найти ф.р., 3) P{2    3} .
Задача 32. Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения
 2  13
 x , 0  x  1,
p ( x)   3
0, иначе.

1) Найти ф.р., 2)
Задача 33. Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения
0, x  [3,3],

p ( x)   1
2
(
9

x
), x  [3,3].

 36
1) Найти ф.р., 2)
, 3)
20
II.3 Непрерывная случайная величина (4)
Задача 34. Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения
cx, 0  x  4,
p ( x)  
0, иначе.
1) Найти постоянную c, 2) найти t для которого
Задача 35. Непрерывные случайные величины заданы функциями распределения
0, x  0,
1

F ( x)   x 2 , 0  x  3,
9
1, x  3.
e x 3 , x  3,
F ( x)  
1, x  3.
Найти плотности распределения.
21
II.3 Непрерывная случайная величина. Часто
встречающиеся непрерывные распределения (1)
Равномерное распределение
Случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если ее
плотность имеет вид
Экспоненциальное распределение
Случайная величина ξ имеет экспоненциальное распределение с параметром λ>0, если ее
плотность имеет вид
22
II.3 Непрерывная случайная величина. Часто
встречающиеся непрерывные распределения (2)
Нормальное распределение
Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами m и σ >0, если ее
плотность имеет вид
Распределение Вейбулла
Случайная величина ξ имеет распределение Вейбулла с параметрами α>0, β>0, если ее
плотность имеет вид
23
II.3 Непрерывная случайная величина. Часто
встречающиеся непрерывные распределения (3)
Гамма распределение
Случайная величина ξ имеет гамма распределение с параметрами λ>0 и γ>0, если ее
плотность имеет вид
24
II.4 Непрерывная случайная величина. Часто
встречающиеся непрерывные распределения (3)
Задача 36. С.в. ξ имеет нормальное распределение с параметрами m=2 и σ=1. Определить в
ероятность попадания с.в. ξ в интервал (1,5).
Ответ: 0.83999.
Задача 37. Непрерывная случайная величина ξ распределена по экспоненциальному закону с
параметром λ=0.2. Найти вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0,2).
Задача 38. Случайная величина ξ подчинена нормальному закону распределения с
параметрами m=0 и неизвестным σ. Вероятность попадания с.в. ξ в интервал (-0.3,0.3) равна
0,5. Найти параметр σ.
Ответ: 0.44.
Задача 39. Длительность времени безотказной работы элемента имеет экспоненциальное
распределение с параметром λ=0.02 час-1.Вычислить вероятность того, что за время
t=100 час. элемент а) выйдет из строя; б) не выйдет из строя.
Ответ: 0.865, 0.135.
Задача 40. Безотказной работы электрической лампочки имеет распределение Вейбулла с
параметрами α=0.02, β=0.5.Определить вероятность того, что лампочка проработает не
менее 1000 часов.
0.05
Ответ: e 0.0210000
25
II.4 Непрерывная случайная величина. Часто
встречающиеся непрерывные распределения (3)
Задача 41. С.в. ξ (в месяцах) безотказной работы некоторой системы имеет гамма-распредел
ение с параметрами γ=3 и λ=0.05. Найти вероятность того, что система проработает не
менее 5 лет.
Ответ: 0.42.
Задача 42. Случайное отклонение размера детали от номинала имеет нормальное распредел
ение с параметрами m=1 мм. и σ=2 мм. Найти: а) вероятность того, что отклонение детали
от номинала будет отрицательным; б) процент деталей, которые будут иметь отклонение от
номинала в пределах ±5 мм; в) верхнюю границу отклонения от номинала, обеспечиваемую
с вероятностью 0,9.
Ответ: 0.308, 0.9759, 3.56.
Задача 43. С.в. ξ имеет нормальное распределение с параметрами m и σ. Определить
вероятность попадания с.в. ξ в интервал (m-4 σ,m).
Ответ: 0.499971.
26