МАТРИЧНАЯ ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА СТРАТЕГИИ АУДИТА

В.А. Родин,
доктор физикоматематических наук,
профессор
В.С. Струков
МАТРИЧНАЯ ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ВЫБОРА СТРАТЕГИИ АУДИТА
Налоговые органы, получив налоговые декларации, прежде всего, должны решить задачу, какие из деклараций следует подвергнуть аудиту. Налоговая служба работает с огромным списком налогоплательщиков, и тотальная (полная) проверка списка
деклараций невозможна. Поэтому налоговая служба, занимаясь экономической деятельностью, нуждается в определенной стратегии как максимизировать сумму собираемых налогов, работая по проверкам лишь с ограниченным списком проверяемых
деклараций. Налогоплательщики декларируют свои обязательства или честно, или занижая их с помощью определенных схем. Процентное соотношение уклоняющихся налогоплательщиков от честной стратегии неизвестно, и неизвестно изначально, какие
декларации будут подвергаться проверкам. Поскольку налоговые органы стремятся собрать возможно больше налогов, а налогоплательщики, в массе, — заплатить поменьше,
их взаимодействие можно описать как игру с неполной информацией. При этом, работая
даже с ограниченным списком проверяемых деклараций, без определенной стратегии, но
используя полную «переборную» проверку, мы получим стандартную конечную игру, в
которой построение платежной матрицы, решение и его анализ столь громоздки, что лишают такой подход практической ценности. В работах [1, 2 и др.] показано, что оптимальной является пороговая стратегия, при которой с определенной вероятностью проверяются лишь декларации, в которых заявлен доход, меньший некоторого порога.
Слова «с определенной вероятностью» на практике можно понимать как конкретное
долевое участие. Задачей математического моделирования в этой финансовоэкономической деятельности является выяснение рациональной структуры расчетных
формул и порогов, отбирающих декларации для аудита. В работе [3] делается предположение, что различные обязательства, выбранные «природой», равновероятны. В нашей статье мы обобщаем и расширяем утверждения и схемы автора [3], считая, что суммы крупных обязательств в нашем обществе вряд ли встречаются с такой же частотой,
что и средние и мелкие, что ведет к закону распределения, скорее всего отличному от
равномерного. Показано, что и для любого распределения справедливы утверждения,
полученные в работе [3]. Обозначения работы [3] сохранены.
1. Описание игры. Участники: 1) «природа» — поскольку инспекция не знает
ни того, честен или нет данный налогоплательщик, ни его истинных налоговых обязательств, то стандартным приемом [4] вводим дополнительного игрока — «природу»; 2)
налоговая служба; 3) налогоплательщики i = 1,2,...,n , которых также будем называть
игроками. Каждый игрок считается честным с вероятностью p > 0 . Налоговые обязательства для каждого игрока i выбираются из множества
{
}
T ∗ (i ) = T ∗ (i ,1),...,T ∗ (i, k ) с вероятностями V (i ) = {V (i ,1),...,V (i , k )}, образуюk
щими полную группу событий
∑ V (i, l ) = 1 .
l =1
1
, или равномерное распределеk
ние. Наша цель — показать, что полученные в работе [3] утверждения справедливы и в
общем случае. Пусть T ∗ (i ,1) > T ∗ (i ,2) > ... > T ∗ (i , k ) . В отличие от обязательств, сущест-
В работе [ 3 ] рассмотрен случай, когда V ∗ (i , j ) =
вующих объективно, декларации, обозначим их T (i , j ) , являются чистыми стратегиями
игрока i . Если налогоплательщик честен, то T (i , j ) = T ∗ (i , j ) , если нет, то он декларирует или T ∗ (i , j ) , или с вероятностью p (i, j , l ) меньшую величину T (i , l ), l > j. Обозначим, следуя работе [3], через p (i, j , j ) полную вероятность, что честный или нечестный
∗
налогоплательщик с обязательствами T (i, j ) декларирует T (i , j ) . Понятно, что
p (i, j , j ) > p .
Смешанные
стратегии
игрока
i
связаны
с
вектором
{
p( i, j , l ), l = j , j + 1,..., k }. Инспекция получает n деклараций. Произвольный набор
деклараций обозначим
r = {T (1, l (1)),..., T ( n, l (n ))}. Рассмотрим две вероятностные модели.
Модель G(1) . Каждому r набору для i - го игрока ставится в соответствие веро-
q(i , r ) включения T (i ,l (i )) в набор проверяемых деклараций. Набор
{q(i , r ) ∀ i, r} называется r- стратегией. Если эта стратегия выбрана, то инспекция раз-
ятность
бирается с каждой декларацией (в зависимости от величины вероятности) независимо
от других, не оперируя со списками.
Модель G( 2) . Инспекция непосредственно выбирает вероятности Q(i, j ) проверки декларации с индексами (i , j ) . Набор {Q(i, j ) ∀ i, j } называется стратегией проверки.
Для каждого r набора, определяется число D < n проверяемых деклараций.
Набор {q (i , r ) ∀ i, r}
называется допустимым, если выполнено неравенство
∑ q(i, r ) ≤ D .
i
Игра протекает за n+2 шага. На первом шаге «природа» выбирает налоговые
обязательства игрока и определяет, честен ли он. На следующих n шагах каждый налогоплательщик знает свои обязательства, т.е. выбор «природы» для него, но не знает,
какие обязательства выбраны для других. Игроки последовательно в порядке номеров
выбирают свои стратегии — предъявляемые в налоговые органы декларации из множества возможных. На последнем шаге, зная эти декларации, но не зная выбранных «природой» обязательств, инспекция решает, декларации каких игроков проверить. Каждый
участник рационален. Решений в чистых стратегиях, возможно, и нет. А в смешанных
стратегиях, согласно теореме Нэша [4], решение игры есть.
2. Задачи игроков и инспекции. Цель налоговых органов.
Для модели G(1) .
Если инспекция не проверяет декларацию (с вероятностью 1 − q (i , r ) ), то налоговые поступления равны сумме деклараций. Если декларация проверяется ( с вероятностью q (i , r ) ), то доход равен сумме налоговых обязательств плюс сумма штрафов.
Штраф пропорционален обязательствам. Расход на проверку пропорционален декларируемой величине. Целью налоговых органов в этом случае является максимизировать
математическое ожидание дохода от сбора налогов, т.е. разность между ожидаемым
доходом от сбора налогов и расходами на проверку.
Выбираем r - стратегию {q (i , r ) ∀ i, r}. Получим доход
l( i)

p (i , s , l (i )) 
U (r ) = ∑ (1 − q( i, r ))T (i , l (i )) + q( i, r ) − ( f + c)T (i , l (i )) + ∑ (1 + f )T ∗ (i , s )
, (1)
P(i , l (i ), p′) 
i
s =1

j
p( i, s , j )
— это вероятность того,
P( i, l ( i ), p ′)
s =1
что декларация T ( i, j ) предъявлена (нечестным) игроком с большей, вообще говоря,
где P(i , j , p ′) : = ∑ p(i , s , j ) . Следовательно,
суммой обязательств T ∗ (i , s ), s ≤ j .
Вероятность предъявления набора r равна
l ( i)
n
P( r ) = ∏
∑ P(i, l (i), p ′)V (i, s ) .
i =1
s =1
Средний доход налоговой инспекции равен
U = ∑ U ( r ) P( r ) .
(2)
r
Максимизация величины (2) и является целью налоговой инспекции. Поскольку
в условиях решения по Нэшу вероятности, входящие в выражение P ( r ) , зависят только от стратегий налогоплательщиков, то задача максимизации (2) эквивалентна задаче
максимизации (1) при условии
∑ q(i, r ) ≤ D .
(3)
i
Для модели G ( 2) .
Пусть Q (i, j ) — вероятность проверки декларации T (i , j ) . Доход инспекции равен
U ( i , j ) = (1 − Q (i , j ))T ( i. j ) + Q ( i , j )[ −( f + c )T ( i, j ) +
j
p (i , s, j, )
].
P( i , j , p ′)
(4)
∑ U (i, j) P (i, j)
(5)
∗
+ ∑ (1 + f )T (i , s )
s =1
Выбор инспекции ( множество {Q(i , j ) ∀ i, j} ) должен максимизировать доход
U =∑
i
и удовлетворять ограничению
j
∑ ∑ Q(i, j)P(i, j) ≤ D .
j
(6)
i
Здесь P(i , j ) — это вероятность предъявления декларации T ( i, j ) . Заметим, что справедлива формула P(i , j ) = P (i , j , p′)V (i , j ) .
Модель G ( 2) выглядит менее громоздкой. Покажем, что модель G (1) можно
преобразовать к виду, аналогичному виду модели G ( 2) . Обозначим через R(i , j ) множество всех r , содержащих декларацию T ( i, j ) . В первой модели вероятности проверки декларации зависят от того, в каком наборе эта декларация предъявляется. Налогоплательщик, выбирая свои стратегии, реагирует на полные вероятности проверки деклараций с учетом вероятности представлений. Сохраняя обозначения второй модели,
получаем, что при заданных вероятностях p (i , j ) и q (i , r ) декларация T ( i, j ) проверяется, при условии, что она предъявлена, с вероятностью
∑ q (i, r )P(r )
R (i , j )
Q(i , j ) =
,
(7)
∑ P (r )
R (i , j )
n
где
P( r ) = ∏
i =1
l ( i)
∑ P(i, l (i), p ′)V (i, s ) .
При заданных (инспекцией) вероятностях q (i , r )
s =1
вероятность (7) не зависит от выбора игрока i .
Замечание. В работе [3], обозначения и схему моделей которой мы сохраняем в
этой статье, рассмотрен случай, когда V (i , j ) = 1k для всех j = 1, 2,..., k , Однако, как мы
покажем, основные утверждения работы [3] справедливы и для общего случая.
Цель налогоплательщиков. Налогоплательщик с обязательствами T ∗ (i , j ) располагает стратегиями T ( i, l ) с номерами l = j ,..., k. Пусть расходы на реализацию схемы уклонения пропорциональны разности между истинным значением обязательств и
представленной декларацией: a T ∗ (i , j ) − T (i , l ) . Рассмотрим возможные значения случайной величины расходов налогоплательщика. Если декларация не проверяется, то
они
равны
T (i , j ) + a T ∗ (i , j ) − T (i , l ) ,
если
проверяется,
то
[
[
]
]
[
]
T ∗ (i , j ) + (a + f ) T ∗ (i , j ) − T (i , l ) . Вероятность проверки декларации T ( i, l ) равна Q(i , l ) .
Математическое ожидание платежа налогоплательщика равно
k
[
]
F ( i, j ) = ∑ p (i , j , l ) T (i , l + ( a + (1 + f ) Q(i , l ))(T ∗ (i , j ) − T (i , l )) ,
l= j
(8)
j = 1, 2,..., k .
При получении формулы (8) использовались равенства полной группы событий
k
∑ Q(i, l) = 1 и
l= j
k
∑ p (i, j, l ) = 1 . Функция (8) линейна по переменным p (i, j, l ) .
l= j
Стратегии игрока выбираются из множества
k
∑ p (i, j, l ) = 1 ,
p (i , j , j ) > p , p (i , j , l ) ≥ 0 , j = 1, 2,..., k .
(9)
l= j
Итак, игра G (1) состоит в том, что, выбирая q (i , r ) , инспекция максимизирует
выражение (1) при условии (3) и, выбирая стратегии p (i , j , l ) , игроки минимизируют
выражения (8) при выполнении условий (9).
Для игры G ( 2) инспекция максимизирует выражение (5) при условии (6), а игроки, выбирая стратегии p (i , j , l ) , минимизируют выражения (8) при выполнении условий (9). Вероятности q (i , r ) и Q (i , j ) связаны соотношением (7).
Обозначая решения звездочкой, получаем : набор
{q
∗
(i , r ), ∀i , r; p ∗ (i , j , l ), ∀ i, j , l
}
∗
образует равновесие по Нэшу в игре G(1) , если q (i , r ) — решение задачи (1), (3) при
p (i , j , l ) = p ∗ (i , j , l ) и p ∗ ( i, j , l ) решение задачи (8) —(9) при q (i , r ) = q ∗ (i , r ).
Аналогично для второй игры набор
{Q
∗
(i, j ), ∀ i, j ; p ∗ ( i, j , l ), ∀i , j , l
}
образует
равновесие по Нэшу в игре G( 2) , если Q ∗ (i , j ) - решение задачи (5)—(6), при
p (i , j , l ) = p ∗ (i , j , l ) и p ∗ ( i, j , l ) — решение задачи (8) —(9) при Q(i , j ) = Q ∗ (i , j ).
Утверждение. Игры G(1) и G( 2) обладают равновесиями по Нэшу.
Доказательство следует из свойств целевых функций (1) и (8) с применением
одной из разновидностей теоремы Нэша из работы [1].
ЛИТЕРАТУРА
Sanchez I. Hierarchical Design and Enforcement of Income Tax Policies / I. Sanchez,
J. Sobel // J. Public Econ.— 1993.— V.50.
2. Vasin A.A. Tax Collection and Corruption in Fiscal Administration / A.A.Vasin,
T.I. Panova // Working paper. Moscow. — NES.— 1999. — № 99 008.
3. Мовшович С.М. Игровая модель выбора стратегии налоговой инспекцией /
С.М. Мовшович // Экономика и математические методы.— 2003.— Т.39.— № 2.—
С.188—200.
4. Шикин Е. В. От игр к играм. Математическое введение / Е.В. Шикин .— УРСС.
— М., 2003.— С.110.
1.