Задача №1. Пусть случайная величина (далее везде – с.в.) ξ – это число различных цифр, которые выпали на верхних гранях при одном подбрасывании трех правильных игральных костей. Построить ряд распределения и функцию распределения с.в. ξ. Задача №2. Подбрасываются 2 правильные игральные кости. Построить ряд распределения с.в. ξ - произведение двух чисел, выпавших на верхних гранях. Задача №3. Дан график функции распределения F(x) случайной величины ξ. Как изменится этот график, если 1) прибавить к случайной величине 2? 2) вычесть из случайной величины 1? 3) умножить случайную величину на 2? 4) изменить знак величины на обратный? Задача №4. Дан график плотности распределения p(x) случайной величины ξ. Как изменится этот график, если 1) прибавить к случайной величине 2? 2) вычесть из случайной величины 1? 3) умножить случайную величину на 3? 4) изменить знак величины на обратный? Задача №5. Дискретная случайная величина ξ имеет ряд распределения ξ -2 0 1 5 Р 1/4 1/4 1/4 1/4 Построить ряды и функции распределения следующих случайных величин 1) 2 ξ +5, 2) ξ2+1, 3) |ξ|, 4) 2ξ, 5) min(ξ,1), 6) 1/(3-ξ). Задача №6. Пять писем, которые предназначены 5-ти различным людям раскладывают случайным образом по 5 конвертам (на которых написаны соответствующие адреса) и кладут в почтовый ящик. Пусть случайная величина ξ – число адресатов, которые получат письма, предназначенные именно для них. Построить ряд распределения с.в. ξ. Задача №7. Плотность распределения случайной величины ξ имеет вид kx2 (1 x) 2 ,0 x 1, p ( x) 0, иначе. Найти: 1) значение константы k; 2) вероятность того, что ξ ≥0.75. Задача №8. Плотность распределения случайной величины ξ имеет вид 0.2, 2 x 7, p ( x) 0, иначе. Найти: 1) вероятность того, что ξ>3; 2) функцию распределения с.в. ξ; 3) вероятность того, что ξ<5; 4) вероятность того, что ξ>8; 5) вероятность того, что 5≤ ξ≤6.5; 6) вероятность того, что ξ<1; 7) вероятность того, что ξ<5 при условии, что ξ>3.5. Задача №9. Пусть ξ – случайная величина, равная времени до того момента, как Вы закончите делать эту домашнюю работу. Предположим, что плотность распределения случайной величины ξ имеет вид 1 3x e , x 0, p( x) 3 0, иначе. Найти: 1) вероятность того, что 3≤ξ≤3; 2) функцию распределения с.в. ξ; 3) вероятность того, что ξ≥24; 4) вероятность того, что ξ≤-3; 5) вероятность того, что ξ<3 при условии, что ξ<12. Задача №10. Функция распределения случайной величины η имеет вид 0, x 0, 7 x 2 , 0 x 1, 8 7 F ( x) , 1 x 7, 8 7 1 8 8 ( x 7), 7 x 8, 1, x 8. Найти: 1) вероятность того, что η<5; 2) плотность распределения с.в. η; 3) вероятность того, что 0.5<η<2; 4) вероятность того, что η>7.5 или η<3. Задача №11. Время (в минутах), которое необходимо Вам для того, чтобы позавтракать, есть случайная величина η, которая имеет плотность распределения 3 2 x , 0 x 4, p( x) 64 0, иначе. 1. Чему равна вероятность того, что Вы позавтракаете быстрее, чем за 3 минуты? 2) Чему равна вероятность того, что в течение недели, Вы ровно 4 раза позавтракаете быстрее, чем за 3 минуты? (Предполагается, что Вы завтракаете каждый день, один раз в день). 3) Чему равна вероятность того, что Вы позавтракаете быстрее, чем за 3 минуты в следующий понедельник или вторник? Задача №12. В процессе автоматического контроля качества, компьютер проверяет на прочность веревку, по 10 метров за один раз. Если дефекта на участке не обнаруживается, то компьютер переходит к следующему участку. Если же дефект обнаружен, то этот участок подвергается повторной проверке с целью локализации места нахождения дефекта. Предположим, что на 10-тиметровом участке веревки обнаружился 1 дефект. Пусть случайная величина χ - местоположение дефекта. 1) Найти плотность распределения с.в. χ. 2) Найти функцию распределения с.в. χ. 3) Чему равна вероятность того, что χ>8? 4) Чему равна вероятность того, что 2.3<χ<5.2? 5) Чему равна вероятность того, что χ<2 при условии, что χ<5? Задача №13. Пусть случайная величина ς имеет равномерное распределение от 0 до 14. 1) Чему равна вероятность того, что ς<20 или ς>130? 2) Чему равна вероятность того, что ς<5 или ς>145 при условии, что ς<20 или ς>130? 3) Чему равна вероятность того, что ς<1 при условии, что ς<5 или ς>145? Задача №14. Пусть случайная величина ς имеет экспоненциальное распределение с параметром 1/12. 1) Чему равна вероятность того, что ς>12, при условии, что ς>3? 2) Чему равна вероятность того, что ς<3 при условии, что ς<10? 3) Чему равно значение A при котором вероятность того, что ς<A равна 0.9? Задача №15. Пусть случайная величина ς имеет стандартное нормальное распределение. Чему равна вероятность того, что 1) ς<1.47?, 2) ς>1.47? 3) ς<-1.47? 4) ς>-1.47? 5) ς=1.47? 6) -1.47<ς<1.47? Задача №16. Пусть случайная величина χ имеет нормальное распределение с параметрами m=2 и σ=3. Чему равна вероятность того, что 1) χ<1.62?, 2) χ>-8.49? 3) -4<χ<1? Задача №17. Пусть случайная величина ς имеет стандартное нормальное распределение. Чему равно значение z для которого 1) P(ς<z)=0.95? 2) 2) P(ς>z)=0.15? 3) P(-z<ς<z)=0.65? Задача №18. Пусть случайная величина χ имеет нормальное распределение с параметрами m=3 и σ=1.2. 1) Чему равно значение z для которого P(χ<z)=0.1? 2) Чему равна вероятность того, что χ<1? 3) Чему равна вероятность того, что χ>5 или χ<1? 4) Чему равна вероятность того, что χ<3 при условии, что χ>1? Задача №19. Двенадцать процентов населения страны являются левшами. Пусть случайная величина ξ есть число левшей в аудитории, в которой присутствует 100 человек. Чему равна вероятность того, что ξ>4? Задача №20. Пусть случайная величина ξ имеет функцию распределения, представленную на рисунке ниже. 1) При каких значениях z вероятность события {ξ=z} больше нуля? 2) Найти вероятность того, что ξ≤0. 3) Найти вероятность того, что ξ<0. Задача №21. Пусть случайная величина ξ имеет функцию распределения, представленную на рисунке ниже. Чему равна вероятность того, что 1) ξ≤1? 2) ξ≤10? 3) ξ≥10? 4) ξ=10? 5) |ξ-5|≤0.1? Задача №22. Какие из функций, изображенных на графиках (a)-(f), являются функциями распределения? Ответ обосновать. Теория вероятностей и математическая статистика Домашняя работа №2 ФИО: ________________________ Указания: Домашняя работа выполняется от руки, на отдельных скрепленных листах А4 или в школьных тетрадях (12\18 стр). К листам/тетрадям прикрепляется данный лист, заполненный необходимой информацией. Без данного листа домашняя работа не принимается и за нее студент получает 0 баллов. В случае если домашняя работа написана неразборчивым почерком, студент получает 0 баллов за эту домашнюю работу. Если работа сдана не в срок, то за нее студент получает 0 баллов. Переписывание и поздняя сдача домашней работы не предусматривается, если на то нет уважительной причины (которая подтверждается соответствующей официальной справкой/заявлением). Если при сдаче своей домашней работы студент не в состоянии ответить на вопросы по написанному материалу и/или повторить собственные вычисления, то студент получает 0 баллов за эту домашнюю работу без права переписывания. Каждое задание оценивается в X баллов. За задание можно получить либо 0 баллов, если задание решено неверно, либо 0.5X, если в задании допущена ошибка в расчетах, либо X баллов, если ход решения и ответ являются правильными. Если в задании дан только ответ и он не сопровождается соответствующими пояснениями, то за задание студент получает 0 баллов. Разбор домашних работ проходит только на консультациях. Числовые ответы даются в виде десятичной дроби и, при необходимости, округляются до 4-го знака после запятой. В противном случае, ответ не засчитывается. Номер задачи (баллы) №1 (6 балла) №3 (6 балла) №5 (6 балла) №7 (8 баллов) 1) 2) №8 (14 баллов) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) №9 (10 баллов) 1) 2) 3) 4) 5) №10 (8 баллов) 1) 2) 3) 4) №11 (9 баллов) 1) 2) 3) Ответ Номер задачи Ответ не заполнять не заполнять не заполнять №2 (6 балла) №4 (6 балла) №6 (6 балла) №12 (10 баллов) 1) 2) 3) 4) 5) №13 (9 баллов) 1) 2) 3) №14 (9 баллов) 1) 2) 3) №15 (12 баллов) 1) 2) 3) 4) 5) 6) №16 (15 баллов) 1) 2) 3) не заполнять не заполнять не заполнять не заполнять не заполнять не заполнять не заполнять не заполнять Номер задачи (баллы) №18 (16 баллов) 1) 2) 3) 4) №19 (4 балла) №20 (9 баллов) 1) 2) 3) №21 (20 баллов) 1) 2) 3) 4) 5) №22 (20 баллов) №17 (6 баллов) 1) 2) 3) Ответ