Ещё задачи про разрешимые и перечислимые множества для

Московский Физико-Технический институт
Факультет инноваций и высоких технологий
Математическая логика и теория алгоритмов, 1-й курс
Задачи про универсальные функции и неразрешимые множества
Функция U : N×N → N называется универсальной вычислимой, если она вычислима
и для любой вычислимой функции f : N → N найдётся такое число n, что при всех x
выполнено U (n, x) = f (x). Машина Тьюринга U от двух аргументов называется универсальной, если получив код машины Тьюринга от одного аргумента T и слово x, она
выдаёт результат работы машины T на слове x. Иначе говоря, U(hT i, x) = T (x).
1. Докажите, что универсальная машина Тьюринга вычисляет универсальную функцию.
2. При любом фиксированном n функция V (n, x) вычислима как функция от x.
Верно ли, что V вычислима как функция двух аргументов?
3. Докажите, что не существует универсальной тотально вычислимой функции, т.е.
всюду определённой вычислимой функции U : N × N → N, такой что для любой всюду
определённой вычислимой функции f : N → N найдётся такое число n, что при всех x
выполнено U (n, x) = f (x).
4. Докажите, что существует универсальное перечислимое множество, т.е. такое перечислимое множество W ⊂ N × N, что среди множеств W ∩ ({i} × N) встречаются все
перечислимые множества.
5. Существует ли универсальное разрешимое множество?
6. Докажите, что существует вычислимая функция, которая совпадает с любой другой вычислимой функцией хотя бы на одном аргументе. (В частности, функции могут
быть одновременно не определены)
7. Функция f продолжает функцию g, если f (n) = g(n) при всех n, где g(n) определена. Докажите, что существует вычислимая функция, не имеющая всюду определённого вычислимого продолжения. Указание: это U (n, n).
8. Докажите, что для любой универсальной вычислимой функции U множество
{n | U (n, n) определена} перечислимо, но не разрешимо.
9. Докажите, что существует вычислимая функция, не имеющая всюду определённого продолжения и принимающая значения 0 и 1.
10. Приведите пример двух непересекающихся перечислимых множеств, не отделимых никаким разрешимым. (Множество отделяет два других множества, если оно
содержит первое и не пересекается со вторым.)
11. Приведите пример счётного числа попарно непересекающихся перечислимых
множеств, попарно не отделимых никаким разрешимым.
Говорят, что множество натуральных чисел A m-сводится к множеству натуральных
чисел B (A 6m B), если существует функция f : N → N, такая что x ∈ A ⇔ f (x) ∈ B.
12. Докажите, что если A 6m B и B разрешимо, то A разрешимо.
13. Докажите, что если A 6m B и B перечислимо, то A перечислимо.
14. Докажите, что если A 6m B и B коперечислимо (т.е. B̄ перечислимо), то A
коперечислимо.
1
15. Докажите, что существует n, для которого {x | U (n, x) определена} перечислимо, но не разрешимо.
16. Докажите, что существуют n и m, для которых A = {x | U (n, x) определена, а
U (m, x) не определена} не перечислимо и не коперечислимо.
Универсальная вычислимая функция U назвается главной, если для любой вычислимой функции V двух аргументов существует вычислимая функция одного аргумента
s, такая что U (s(n), x) = V (n, x) при всех n и x.
17. Покажите, что универсальная машина Тьюринга вычисляет главную универсальную функцию.
Если U (n.x) = f (x), то n называется номером вычислимой функции f относительно
U . Одна функция может иметь много номеров. (В частности, при нумерации, заданной
универсальной машиной, номерами функции будут коды всех программ, которые вычисляют эту функцию) Говорят, что универсальная функция задаёт нумерацию вычислимых функций. Нумерация, задаваемая главной универсальной функцией, называется
главной. Теорема Успенского-Райса утверждает, что при главной нумерации множество
номеров функций, обладающих некоторым нетривиальным свойством A, не разрешимо.
18. Докажите, что при главной нумерации множество номеров нигде не определённой функции не разрешимо. Является ли оно перечислимым?
19. Докажите, что при главной нумерации множество номеров любой вычислимой
функции бесконечно.
20. Придумайте (неглавную) нумерацию, в которой нигде не определённая функция
имеет ровно один номер.
21. Докажите, что при главной нумерации множество номеров функций, определённых в нуле, не разрешимо. Является ли оно перечислимым?
22. Придумайте (неглавную) нумерацию, в которой множество номеров функций,
определённых в нуле, является разрешимым.
23. Является ли множество номеров всюду определённых функций перечислимым?
А его дополнение? Зависит ли это от главности нумерации?
24. Являются ли перечислимыми или коперечислимыми номера машин Тьюринга,
которые:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Всюду определены и принимают одинаковое значение;
Принимают одинаковое значение всюду, где определены;
Вычисляют инъективные функции;
Вычисляют сюръективные функции;
На любом входе x останавливаются не более, чем за 100x3 шагов;
На любом входе x используют не более 100x3 ячеек на ленте?
25. Пусть A и B суть разрешимые множества. Докажите, что множество A + B =
{z | ∃x ∈ A, y ∈ B : z = x + y} разрешимо. Докажите, что A − B = {z | ∃x ∈ A, y ∈
B : z = x − y} перечислимо. (∗ ) Может ли оно быть неразрешимым?
2