Основные понятия теории вероятности

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ.
3.1. Случайные события.
Каждая наука при изучении явлений материального мира оперирует теми или иными
понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие; (например в
геометрии – это точка, прямая, плоскость, для арифметики – это числа и действия над
ними ). В теории вероятности основным является понятие события.
Определение: Случайным событием ( или просто событием) в теории вероятности
называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не
произойти. Событие – это не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход,
результат испытания.
Определение: Под испытанием (опытом, экспериментом) понимается выполнение
определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление,
фиксируется тот или иной результат.
События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита: А, В,
С, . . . .
Примеры событий 3.1.
1. Появление герба при подбрасывании монеты. Подбрасывание монеты – это
испытание. Появление герба – событие.
2. Выигрыш по лотерейному билету. Покупка лотерейного билета – испытание.
Выигрыш по этому билету – событие.
3. Выход бракованного изделия с конвейера предприятия. Выход изделия –
испытание. Выход бракованного изделия - событие.
4. Выпадение более 1000 мм осадков в данном географическом пункте за
определенный год. Выпадение осадков – испытание. Выпадение более 1000 мм
осадков - событие.
5. Попадание в определенную область при стрельбе по мишени. Стрельба по мишени
– испытание. Попадание в определенную область - событие.
Определение: Непосредственные исходы опыта называются элементарными
событиями и обозначаются через ω. Элементарные события рассматриваются как
неразложимые и взаимоисключающие исходы ω 1, ω 2, ω 3 … этого опыта.
Определение: Множество всех элементарных событий называется пространством
элементарных событий или пространством элементарных исходов, обозначается
через Ω.
Примеры 3.2.
1.Опыт- бросание игральной кости. Здесь 6 элементарных событий
ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6. Событие ω i означает, что в результате бросания кости выпало i
очков, i = 1,2,3,4,5,6. Пространство элементарных событий таково: Ω={ ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5,
ω 6} или Ω={1,2,3.4,5.6}.
2. Опыт – бросание монеты. Здесь 2 элементарных исхода. Исход ω 1 означает, что в
результате подбрасывания монеты выпал, например, орел. Исход ω 2 означает, что в
результате подбрасывания монеты выпала, например, решка. Пространство элементарных
событий таково: Ω={ ω 1, ω 2} или Ω={Орел, Решка}.
3.2. Классификация случайных событий.
Авторские материалы Стахановой П.А.
Определение: Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в
результате данного опыта, обозначается через Ω.
Примеры 3.3.
1.Стакан с водой перевернём дном вверх и вода выльется – произойдёт достоверное
событие.
2. Если в партии все изделия стандартные. Событие, состоящее в том, извлеченное
изделие стандартно – достоверное.
Определение: Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в
результате проведения опыта. Обозначается Ø.
Примеры 3.4.
1. Подбрасываемая монета застыла в воздухе – невозможное событие.
2. В результате трех бросков кубика сумма выпавших очков 19 – невозможное
событие.
Определение: Два события называются несовместными, если появление одного из них
исключает появление другого события в одном и том же опыте, т.е. они не смогут
произойти вместе в одном опыте. В противном случае события называются совместными.
Примеры 3.5.
1. Выигрыш по одному билету денежно-вещевой лотереи двух ценных предметов
события несовместные, а выигрыш тех же предметов по двум билетам - событие
совместное.
2. Получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «отлично» и
«неудовлетворительно»-события несовместные, а получение тех же оценок на
экзаменах по двум дисциплинам – события совместные.
Определение: Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если
ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие, т.е. все события
имеют равные шансы.
Примеры 3.6.
1. Появление чисел 1-6 для игральной кости равновозможно.
2. Извлечение туза, валета, шестерки, дамы из колоды карт – события равновозможные.
Определение: Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта
появится хотя бы одно из них.
Примеры 3.7.
1. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно
и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не
выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй»,
«выигрыш выпал на оба билета», «выигрыш не выпал на оба билета». Эти
события образуют полную группу попарно несовместных событий.
2. Стрелок произвел выстрел по мишени. Обязательно произойдет одно из
следующих событий: попадание, промах. Эти два несовместных события
образуют полную группу.
3.3. Алгебра событий.
Введем основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным
операциям над множествами. События и действия над ними можно наглядно
проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна: достоверное событие Ω
Авторские материалы Стахановой П.А.
изображается прямоугольником; элементарные случайные события – точками внутри
него. Случайное событие – областью внутри него.
Определение: Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в
наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В одновременно).

B
A
Определение: Произведением событий А и В называется событие С=А·В, состоящее в
совместном наступлении этих событий (т.е. и А и В одновременно).

B
A
Определение: Разностью событий A и B называется событие C=А-В, состоящее из всех
элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

B
A
Определение:
Событие А
называется противоположным событию A, если оно
происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т.е. А означает,
что событие А не наступило ).

A
Определение: Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если
из того, что происходит событие А следует, что происходит событие В; записывают А
 В. Если А  В и В  А, то события А и В называют равными; записывают А=В.
Авторские материалы Стахановой П.А.
Примеры 3.8.
1.Пусть событие А заключается в том, что первый стрелок попал в мишень,
а событие В заключается в том, что второй стрелок попал в мишень. Тогда событие
С=А+В будет заключаться в следующем: или первый стрелок попал в мишень , или
второй стрелок попал в мишень, или оба стрелка попавли в мишень – иными словами в
мишень попал хотя бы один из стрелков.
Событие Д=А  В будет заключаться в том, что в мишень попали оба стрелка .
2.На предприятии выпускают изделия трех сортов. Событие А заключается в том, что
выбранное изделие - 1 сорта, событие В заключается в том, что изделие 2 сорта, событие
С заключается в том, что изделие третьего сорта.
Тогда событие А+В означает, что выбранное изделие либо 1, либо 2 сорта.
Событие А·В – невозможное событие; событие А  С означает, что выбранное изделие 2
сорта; событие А·В+С означает, что выбранное изделие третьего сорта.
Операции над событиями
обладают следующими свойствами:
1. А+В=В+А, А·В=В·А (переместительное);
2. (А+В)·С=А·С+В·С (распределительное);
3. (А+В)+С=А+(В+С), (А·В)·С=А·(В·С) (сочетательное);
4. А+А=А, А·А=А;
5.А+Ω=Ω, А·Ω=А;
6. А+ А =Ω, А· А =Ø.
7.   ,   , А  А ;
8. А-В=А· В ;
9. A  B  A  B
и A  B  A  B - законы де Моргана.
Пример 3.9.
Доказать формулу А+В=А+ АВ .
Доказательство: А+В=(А+В)·Ω=А·Ω+В·Ω= А·Ω+В·( А+ А )= А·Ω+( А+ А )·В=
= А·Ω+ А·В+ АВ =( Ω+В)·А+ АВ = А·Ω+ АВ = А+ АВ .
3.4. Решение типовых примеров.
1.1. Относительно каждой из групп ответить на следующие вопросы:
1. образуют ли они полную группу;
2. являются ли несовместными;
3. являются ли равновозможными;
а) Опыт- выстрел по мишени; события:
A1={попадание}; A2 ={промах}.
Авторские материалы Стахановой П.А.
б) Опыт – эксплуатируются 2 прибора в течение времени Т; события:
A1={ни один прибор на вышел из строя};
A2 ={один прибор вышел из строя, а другой - нет},
A3={оба прибора вышли из строя}.
в) Опыт-передача в одинаковых условиях трех сообщений равной длины; события:
A1={ искажено первое сообщение};
A2 ={ искажено второе сообщение },
A3={ искажено третье сообщение }.
г) Опыт-бросание игральной кости; события
A1={ выпало 1 или 2 очка};
A2 ={ выпало 2 или 3 очка },
A3={ выпало 3 или 4 очка },
A4={ выпало 4 или 5 очков },
A5={ выпало 5 или 6 очков }.
д) Опыт-бросание двух монет; событие
A1={ выпало два герба};
A2 ={ выпало две решки },
A3={ выпало один герб и одна решка }.
1.2 Являются ли несовместимыми следующие события:
А) опыт – два выстрела по мишени; события:
А – ни одного попадания;
В – одно попадание;
С – два попадания;
Б) Опыт – два выстрела по мишени; события:
А - хотя бы одно попадание;
В – хотя бы один промах.
1.3. Пусть А, В, С- три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих
в том, что А) произошло только событие А;
Б) произошло хотя бы одно событие;
В) произошло одно и только одно событие;
Г) произошли хотя бы два события;
Д) произошло два и только два события;
Е) произошли все три события;
Ж) ни одно событие не произошло;
З) произошло не более двух событий.
1.4. Рабочий обслуживает три автоматических станка. Событие А состоит в том, что
первый станок потребует внимания рабочего в течение часа; событие В состоит в том, что
второй станок потребует внимания рабочего в течение часа; событие С состоит в том, что
третий станок потребует внимания рабочего в течение часа. Что означают события :
А) АВС; Б) А+В+С; В) АВС  А ВС  АВС ; Г) А ВС  АВС  А ВС ; Д) A BC ; Е) ) АВС .
1.5. Доказать формулы А) В=А·В+ АВ ; Б) (А+С)(В+С)=АВ+С.
Ответы .
1.1. а) да, да, нет; б) да, да, нет; в) нет, нет, да; г) да, нет, да; д) да, да, нет.
1.2. А) да; Б) нет.
1.3. А) A BC ; Б) А+В+С; В) А ВС  АВС  А ВС ; Г) АВ+АС+ВС; Д) АВС  А ВС  АВС ;
Е) АВС; Ж) АВС ; З) АВС + А ВС  АВС  А ВС + АВС  А ВС  АВС .
1.4.А) Все три станка потребуют внимания рабочего в течение часа;
Б) Хотя бы один станок потребует внимания рабочего в течение часа;
Авторские материалы Стахановой П.А.
В) Два и только два станка потребуют внимания рабочего в течение часа;
Г) Один и только один станок потребует внимания рабочего в течение часа;
Д) Только первый станок потребует внимания рабочего в течение часа;
Е) Ни один станок не потребует внимания рабочего в течение часа.
Задачи для самостоятельного решения.
1.1. Образуют ли полную группу следующие группы событий:
А) опыт-два выстрела по мишени; события:
А - ни одного попадания;
В - одно попадание;
С - два попадания.
Б) Опыт-два выстрела по мишени; события:
А – хотя бы одно попадание,
В – хотя бы один промах.
В) Опыт – вынимание карты из колоды; события:
А - появление карты червонной масти;
В – появление карты бубновой масти;
С – появление карты трефовой масти.
1.2 Являются ли несовместимыми следующие события:
Опыт – вынимание двух карт из колоды; события:
А – появление двух черных карт;
Б – появление туза;
С – появление дамы.
1.3. Последовательно подано два радиосигнала. Пусть событие А означает прием первого
сигнала, а событие В – прием второго сигнала. Выразить через А и В следующие события
А) принят только один сигнал; б) оба сигнала приняты; в) принят только первый сигнал;
г)принят хотя бы один сигнал; д) не принято ни одного сигнала.
Ответы .
1.1 а) да; б) да; в) нет.
1.2 Нет.
1.3 А) АВ  АВ ; Б) АВ; В) АВ ; Г)А+В; Д) АВ
ГЛАВА 4.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
1.4 Классическое определение вероятности.
Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько
определений этого понятия. Например,
вероятность- это число, характеризующее
степень возможности появления события. Приведем определение, которое называют
классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие
определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.
Авторские материалы Стахановой П.А.
Классическое Определение:
Вероятностью события А называют отношение числа
благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных
несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность
события А определяется формулой
Р (A) = m / n,
(1)
где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных
элементарных
исходов
испытания.
Предполагается,
что
элементарные
исходы
несовместны, равновозможны и образуют полную группу.
Стоит заметить, что это определение, а точнее классическая формула вероятности долгое
время (вплоть до 19 века) рассматривалась, действительно, как определение вероятности,
так как методы теории вероятности сводились в основном к азартным играм. В настоящее
время формальное определение вероятности не дается – это понятие считается первичным
и не определяется. Поэтому классическое определение (классическую формулу)
вероятности следует рассматривать не как определение, а как метод вычисления
вероятностей для испытаний, которые сводятся к схеме случаев.
Примеры 4.1.
1.В урне лежат 5 белых и 10 черных шаров. Из урны вынимают один шар. Найти
вероятность того, что вынут белый шар.
Решение: Пусть событие А заключается в том, что из урны вынут белый шар. Всего
шаров 15, то есть общее число элементарных исходов n  15 , а так как белых шаров – 5, то
число благоприятных событию А исходов
тоже 5, т.е. m  5 . Следовательно, Р(А)=
m 5 1
  .
n 15 3
2. Бросают две кости. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на верхних
гранях этих костей будет число, кратное 5.
Решение: Пусть событие В заключается в следующем: сумма очков, выпавших на
верхних гранях двух костей будет число, кратное 5. Выпишем всевозможные комбинации
чисел, которые могут выпасть на верхних гранях обеих костей. Для этого составим
таблицу
1
2
1
2
3
4
5
6
(1;1)
(1;2)
(1;3)
(1;4)
(1;5)
(1;6)
сумма 2
сумма 3
сумма 4
сумма 5
сумма 6
сумма 7
(2;1)
(2;2)
(2;3)
(2;4)
(2;5)
(2;6)
сумма 3
сумма 4
сумма 5
сумма 6
сумма 7
сумма 8
Авторские материалы Стахановой П.А.
3
4
5
6
(3;1)
(3;2)
(3;3)
(3;4)
(3;5)
(3;6)
сумма 4
сумма 5
сумма 6
сумма 7
сумма 8
сумма 9
(4;1)
(4;2)
(4;3)
(4;4)
(4;5)
(4;6)
сумма 5
сумма 6
сумма 7
сумма 8
сумма 9
сумма 10
(5;1)
(5;2)
(5;3)
(5;4)
(5;5)
(5;6)
сумма 6
сумма 7
сумма 8
сумма 9
сумма 10
сумма 11
(6;1)
(6;2)
(6;3)
(6;4)
(6;5)
(6;6)
сумма 7
сумма 8
сумма 9
сумма 10
сумма 11
сумма 12
Всего комбинаций 36, т.е. n=36. Cумма, кратная пяти получается только в 7 случаях ,
значит m=7. Искомая вероятность Р(В)=
7
.
36
4.2.Свойства вероятности.
1. Вероятность достоверного события равна единице. Р(Ω)=1
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания
благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,
Р (A) = m / n = n / n = 1.▄
2. Вероятность невозможного события равна нулю. Р(Ø)=0.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов
испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно, Р (А) = m /
n = 0 / n = 0.▄
3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между
нулем и единицей. 0<Р(А)<1
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа
элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1,
следовательно, 0 < Р (А) < 1 .
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
0 <= Р (A) < 1.
События, вероятности которых очень малы (близки к нулю) называются практически
невозможными событиями. События, вероятности которых очень велики (близки к
единице) называются практически достоверными событиями. ▄
Авторские материалы Стахановой П.А.
4.3. Непосредственное вычисление вероятности.
1. На завод привезли партию из 1000 деталей. Случайно в эту партию попало 30 деталей,
не удовлетворяющих стандарту. Определить вероятность P(A) того, что взятая наудачу
деталь окажется стандартной.
Решение: Число стандартных деталей m=1000—30=970. Общее число исходов n=1000.
Искомая вероятность равна Р 
m 970

 0,97 .
n 1000
2. В урне 12 шаров: 5 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу три шара. Какова
вероятность р того, что все три шара окажутся белыми?
Решение: Число n всех равновероятных исходов испытания равно числу способов,
которыми можно из 12 шаров вынуть три, т. е. равно числу сочетаний из 12 элементов по
3: n  C123  220 . Число благоприятных исходов: m  C 53  10 . Искомая вероятность равна
Р
m 10
1


.
n 220 22
3. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад.
Определить вероятность того, что он с первой попытки попадет в нужное место.
Решение: Вероятность набрать верную цифру из десяти равна 1/10.
4. Буквы О, Н, Т, С, Р, М написаны на отдельных карточках. Ребенок берет их в
случайном порядке и прикладывает одну к другой. Какова вероятность того, что а) если
ребенок возьмет три карточки, то получится слово НОС; б) если ребенок возьмет 6
карточек, то получится слово МОНСТР.
Решение: а) Ребенок берет три карточки из 6. Порядок важен, потому что в зависимости
от того, как они будут расположены – будут получаться разные слова. Таким образом
общее число случаев взятьтри карточки из шести при условии, что порядок важен, равно
n  А63  6  5  4  120 . Нас интересует только один вариант – при котором получится слово
НОС. Следовательно, искомая вероятность равна Р 
m
1
1
. Б) Всего шесть
 3 
n А6 120
карточек. Различные комбинации из шести букв называются перестановки и их число
считается по формуле n  P6  6! 720 . Нас устроит один единственный вариант –
который
благоприятствует
вероятность равна Р 
появлению
m
1
1


.
n Р6 720
Авторские материалы Стахановой П.А.
слова
МОНСТР.
Следовательно,
искомая
5. На карточках написаны буквы слова Биссектриса. Карточки тщательно перемешаны.
Найти вероятность того, что при последовательном извлечении карточек и выкладывании
их в ряд получится слово Биссектриса.
Решение: всего букв в слове 11. Число перестановок 11 букв будет считаться по формуле
формуле n  P11  11! . Но нас теперь устроят несколько вариантов, так как перестановка
трех букв С, которую можно осуществить P3  3! 6 способами и перестановка двух букв
И, которую можно осуществить P2  2! 2 способами не меняет собранное из карточек
слова БИССЕКТРИСА . Следовательно, искомая вероятность равна Р 
m Р3 Р2 12


.
11!
n
Р6
6. В поезд, который имеет 8 вагонов садятся 4 пассажира. Найти вероятность того, что эти
пассажиры а) все поедут в пятом вагоне; б) все поедут в разных вагонах; в) все поедут в
одном вагоне.
Решение:а) Каждый пассажир может выбрать любой вагон из 8. По правилу произведения
общее число способов разместить 4-х пассажиров по 8 вагонам n=84. Число случаев
разместить пассажиров в 5 вагоне равно 1. Таким образом искомая вероятность
Р
m 1

 0,0024. б) У первого пассажира 8 возможностей, у второго 7 возможностей,
n 84
у третьего-6. Для события, состоящего в том, что все пассажиры поедут в разных вагонах
m=8  7  6  5 . Искомая вероятность
Р
m 8765

 0, 4101.в)
n
84
Событию будут
благоприятствовать 8 случаев: либо все сядут в 1-й вагон, либо во 2-№,…, либо в 8-й. m=8
Искомая вероятность Р 
m 8

 0,00195 .
n 84
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4.
Классическое определение вероятности. Задачи в классе
1. В урне содержится 4 белых, 6 красных и 8 зеленых шаров. Из урны наугад
извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
2. Случайно выбранная кость оказалась не дублем. Найти вероятность того, что к ней
можно приставить вторую кость, взятую наугад из оставшихся.
3. В магазин поступили электролампы с двух заводов. С первого завода поступило
5000 ламп, со второго 1000 ламп. Известно, что первый завод дает 0,5% брака, а
второй завод 0, 2% брака. Определить вероятность покупки бракованной лампы.
4. Производится бросание двух игральных костей. Определить вероятность
выпадения суммы очков : а) равной 10; б) не превышающей 10.
5. В книге 800 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница
будет иметь порядковый номер, а) кратный 6; б) не кратный 6.
Авторские материалы Стахановой П.А.
6. Какова вероятность того, что в сентябре наудачу взятого года будет 5 воскресений?
7. Студент забыл последние три цифры номера телефона своего научного
руководителя, но помнит, что эти три цифры различны. Какова вероятность того,
что с первого раза студент наберет нужный ему номер?
8. На отдельных карточках написаны буквы А, Б,В,Г,Д,Е,Ж,И,К,Л. Все карточки
тщательно перемешиваются, после чего берут наугад 4 из них и раскладывают в
порядке появления. Найти вероятность того, что в результате получится слово
ЕЖИК.
9. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что
а) все цифры различные; б) все цифры четные.
10. Определить вероятность того, что первый попавшийся вам четырехзначный номер
дома содержит а) все цифры различные; б) все цифры одинаковые.
11. Банкир решил купить себе сейф для хранения денег и документов. В магазине было
2 буквенных сейфа. Первый сейф имел на общей оси 4 диска, каждый из которых
имел по 5 секторов, а второй сейф имел замок с 5 дисками, каждый из которых был
разделен на 4 сектора. Замок можно открыть только с помощью определенной
комбинации букв. Какой замок нужно выбрать банкиру?
12. Лифт в 9 этажном доме отправляется с 5 пассажирами. Найти вероятность, что а)
все они выйдут на разных этажах; б) все они выйдут на одном этаже.
13. Ребенок играет с буквами разрезной азбуки: А,А,А,Т,Т,М,М,Е,И,К. Какова
вероятность, что он раскладывая буквы получит слово МАТЕМАТИКА?
14. В деканат через старосту позвали трех из 8 хорошистов. Староста забыл фамилии,
названные ему в деканате и позвал туда трех хорошистов по своему усмотрению.
Найти вероятность того, что староста отправил в деканат именно тех трех
студентов, чьи фамилии ему были названы.
15. Из 60 вопросов, входящие в экзаменационные билеты студент подготовил 45.
Какова вероятность того, что вытянутый студентом билет, содержащий 3 вопроса
будет состоять из неподготовленных им вопросов.
16. Колода в 36 карт разделена на две равные части. Какова вероятность того, что в
каждой из колод будут карты одного цвета?
17. Среди 20 студентов группы разыгрывается 8 билетов на концерт. Какова
вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 5 девушек, если
юношей в группе 11 человек.
18. Группа из 20 студентов делится поровну на 2 подгруппы. Найти вероятность того,
что 4 наиболее сильных попадут а) по два в разные подгруппы; б) все попадут в
одну группу.
19. Из колоды карт (52) наудачу извлекается 3 карты. Найти вероятность, что это
будет тройка, семерка, туз.
20. 10 студентов договорились ехать в Казань на 4-х часовом поезде. Какова
вероятность что все они купят билеты в разные вагоны.
21. 9 пассажиров рассаживаются по 3 вагонам. Какова вероятность того, что а) в
каждый вагон сядет по 3 пассажира; б) в один вагон сядет 5, в другой 3, а в третий
вагон сядет один пассажир.
Домашняя работа.
1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма оков на выпавших
гранях – четная, причем на грани хотя бы одной кости появится шестерка.
2. Монету бросали 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы 1 раз появится «герб»
Авторские материалы Стахановой П.А.
3. В коробке 6 пронумерованных кубиков. Стали извлекать их по одному. Найти
вероятность, что номера появятся в возрастающем порядке.
4. Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на
одной (безразлично какой кости), если на гранях других костей выпадут числа, не
совпадающие между собой и не равные шести.
5. В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наугад извлекает 3
детали. Найти вероятность того, что они окрашены.
6. В конверте 100 фотографий, среди них разыскивают одну. Наугад вытащили 10 фото.
Найти вероятность того, что среди них есть нужная.
7. В цехе 6 мужчин и 4 женщины. Отобрали 6 человек по списку наугад. Найти
вероятность того, что среди отобранных 3 женщины.
8. В группе 12 студентов, 8 из них – отличники. По списку наугад отобрали 9 человек.
Найти вероятность того, что среди них – 5 отличников.
9. У сейфа 4-значный шифр (из цифр от 1 до 5). Найти вероятность открыто сейф с
первой попытки.
10. На карточках написаны буквы А, Е, К, Р. Их перемешали и разложили в ряд. Найти
вероятность что получили слово «река».
11. Найти вероятность, что при бросании двух игральных кубиков сумма выпавших очков
будет меньше 3.
12. В кошельке 5 купюр по 10 рублей и 3 – по пятьдесят. Найти вероятность того, что две
наугад выпавшие купюры составят шестьдесят рублей.
13. Найти вероятность того, что среди 12 карт вынутых наугад будет по три карты каждой
масти.
14. Из 80 студентов 10 отличников. Всех студентов разбили на 2 группы, вне зависимости
от успеваемости. Найти вероятность того, что отличников поровну.
Авторские материалы Стахановой П.А.