Аксиомы теории вероятностей

АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
О.Л. Крицкий, А. А. Михальчук, А.Ю. Трифонов, М.Л
Шинкеев
Введение в теорию вероятностей
Лекция
Пусть каждому событию ставится в соответствие некоторое
число, называемое вероятностью события.
Вероятностью называется числовая функция P(A), заданная
на множестве событий, образующих σ-алгебру F, если
выполняются следующие аксиомы.
Аксиома 1
Вероятность любого события A неотрицательна:
0 ≤ P(A).
(1)
Аксиома 2
Вероятность достоверного события равна единице:
P(Ω) = 1.
(2)
Аксиома 3 (сложения вероятностей)
Если A1 , A2 , . . . , An , . . . — несовместные события, то
P
X
∞
i=1
Ai
=
∞
X
P(Ai ).
(3)
i=1
Ныне принятое аксиоматическое определение вероятности было
введено в 1933 г. А.Н. Колмогоровым.
Аксиомы теории вероятностей позволяют вычислять
вероятности любых событий (подмножеств пространства Ω) с
помощью вероятностей элементарных событий. Вопрос о том,
как определить вероятности элементарных событий, при этом
не рассматривается. На практике они определяются либо из
соображений, связанных с симметрией опыта (например, для
симметричной игральной кости естественно считать одинаково
вероятным выпадение каждой из граней), либо же на основе
опытных данных (частот).
♦ Заметим, что вероятность события A, определённая
аксиомами 1–3, задается не на пространстве Ω, а на некоторой
σ-алгебре событий, определённой на Ω. Можно показать, что
существуют множества A ⊂ Ω, для которых нельзя определить
вероятность, которая удовлетворяла бы аксиомам 1–3. Поэтому
в дальнейшем мы будем рассматривать только те множества
A ⊂ Ω, для которых мы можем определить вероятность.
Тройка R = hΩ, F, Pi, где Ω — пространство элементарных
исходов, F — σ-алгебра его подмножеств, а P — вероятностная
мера на F, называется вероятностным пространством.
Итак, вероятность есть функция P: F → R, удовлетворяющая
условиям аксиом 1–3, или, как говорят, нормированная
(вероятностная) мера, заданная на множестве F.
♦ Можно показать, что аксиома 3 эквивалентна двум
следующим аксиомам.
Аксиома 4
Если A и B несовместны, то P(A + B) = P(A) + P(B).
Аксиома 5
Если A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ . . . и A =
A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ . . . и A =
∞
P
i=1
P(A) = lim P(An ).
n→∞
∞
T
Ai или
i=1
Ai , то
Рассмотрим основные свойства вероятности.
Свойство 1
Вероятность невозможного события равна нулю:
P(∅) = 0.
(4)
Действительно, Ω = Ω + ∅, а события Ω и ∅ несовместны:
Ω∅ = ∅. Тогда, согласно третьей аксиоме теории вероятностей,
P(Ω) = P(Ω + ∅) = P(Ω) + P(∅).
Отсюда следует, что P(∅) = 0, так как, согласно аксиоме 2,
P(Ω) = 1.
Свойство 2
Для любого события A вероятность противоположного
события A выражается равенством
P(A) = 1 − P(A).
Действительно, Ω = A + A, а события A и A несовместны:
AA = ∅. Следовательно,
P(Ω) = P(A + A) = P(A) + P(A)
или
1 = P(A) + P(A).
(5)
Свойство 3
Если событие A влечёт за собой событие B, т.е. A ⊂ B, то
вероятность события C , где C — разность событий B и A,
определяется соотношением
P(C ) = P(B \ A) = P(B) − P(A).
Действительно, если A ⊂ B, то событие B можно представить
в виде суммы несовместных событий B = A + (B \ A). Тогда
P(B) = P(A) + P(B \ A),
откуда следует, что (см. рис. 1)
P(B \ A) = P(B) − P(A).
Рис. 1:
Свойство 4
Если событие A влечёт за собой событие B, т.е. A ⊂ B, то
вероятность события A не может быть больше вероятности
события B, т.е. P(A) ≤ P(B).
Действительно, в силу предыдущего свойства, если A ⊂ B, то
P(A) = P(B) − P(B \ A). Но, согласно аксиоме 1,
P(B \ A) ≥ 0,
откуда следует, что (см. рис. 1)
P(A) ≤ P(B).
Свойство 5
Вероятность любого события заключена между нулем и
единицей:
0 ≤ P(A) ≤ 1,
Справедливость этого утверждения непосредственно следует из
аксиом 1 и 2 и свойства 4.
Свойство 6 (теорема сложения вероятностей)
Вероятность суммы любых двух событий равна сумме
вероятностей этих событий минус вероятность их
совместного появления:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).
(6)
Действительно, событие A + B можно представить как сумму
несовместных событий: A + B = B + (A \ (AB)) (см. рис. 2).
Тогда
P(A + B) = P(B) + P(A \ (AB)).
Но AB ⊂ A. Следовательно, согласно свойству 3 (см. также
рис. 3),
P(A \ AB) = P(A) − P(AB).
В частности, если события A и B несовместны, то
P(AB) = P(∅) = 0 и
P(A + B) = P(A) + P(B).
Рис. 2:
Рис. 3:
Свойство 7
Вероятность суммы событий не превосходит сумму
вероятностей этих событий:
P(A + B) ≤ P(A) + P(B).
(7)
Справедливость соотношения (7) следует непосредственно из
предыдущего свойства с учетом аксиомы 1.
Соотношение (6) может быть обобщено на любое количество
событий.
Свойство 8 (общее правило сложения вероятностей)
Вероятность суммы n событий A1 , A2 , . . . , An может быть
вычислена по формуле
P
X
n
Ai
i=1
−
n
X
1≤i<j<k<l
=
n
X
i=1
P(Ai ) −
n
X
1≤i<j
P(Ai Aj ) +
n
X
P(Ai Aj Ak )−
1≤i<j<k
P(Ai Aj Ak Al ) + . . . + (−1)n−1 P(A1 A2 · · · An ).
(8)
Соотношение (8) доказывается методом математической индукции.
Оно справедливо для n = 2 в силу (6). Предположим теперь, что оно
справедливо для суммы n − 1 событий, и докажем его
справедливость для суммы n событий.
Для суммы n − 1 событий A2 , A3 , . . . , An имеем
P
X
n
i=2
Ai
=
n
X
i=2
P(Ai ) −
n
X
P(Ai Aj ) +
2≤i<j
n
X
P(Ai Aj Ak ) − . . .
2≤i<j<k
Для суммы n − 1 событий A1 A2 , A1 A3 , . . . , A1 An по той же формуле
имеем
X
X
n
n
n
n
X
X
P
A1 Ai =
P(A1 Ai )−
P(A1 Ai Aj )+
P(A1 Ai Aj Ak )−. . .
i=2
i=2
2≤i<j
2≤i<j<k
Тогда, представив сумму n событий в виде суммы двух событий: A1
n
P
и
Ai , получим
i=2
P
X
n
Ai
X
X
n
n
n
X
= P A1 +
Ai = P(A1 ) + P
Ai − P A1
Ai =
i=1
i=2
= P(A1 ) +
n
X
P(Ai ) −
i=2
i=2
n
X
P(Ai Aj ) +
2≤i<j
=
2≤i<j
n
X
i=1
P(Ai ) −
n
X
1≤i<j
P(Ai Aj ) +
i=2
P(Ai Aj Ak ) − . . .
2≤i<j<k
X
n
n
X
−
P(A1 Ai ) −
P(A1 Ai Aj ) +
i=2
n
X
n
X
P(A1 Ai Aj Ak ) − . . . =
2≤i<j<k
n
X
P(Ai Aj Ak ) − . . . +
1≤i<j<k
+(−1)n−1 P(A1 A2 · · · An ).
Таким образом, справедливость соотношения (8) доказана.
♦ В частности, для трёх событий из (8) следует
P(A+B+C ) = P(A)+P(B)+P(C )−P(AB)−P(AC )−P(BC )+P(ABC ).