Асимптотические формулы для схемы Бернулли

Асимптотическая формула Пуассона.
1) Вероятность рождения белого тигра равна 0.02. Найти вероятность того, что среди 100 рождённых тигрят
окажется от 1 до 3 белых тигрят.
Обозначим события:
A - среди 100 рождённых тигрят окажется от 1 до 3 белых тигрят;
A1 - один случайным образом выбранный новорожденный тигрёнок окажется белым, P  A1   p  0, 02 .
Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. Но число испытаний велико, поэтому для вычислений
применим приближённую формулу. Вероятность мало отличается от нуля, поэтому используем
асимптотическую формулу Пуассона
a m e a


Pn m 
m!
где
a  n p ,
n - число испытаний,
p - вероятность наступления события,
m - число наступлений события в n испытаниях.
Замечание. Если бы вероятность рассматриваемых одиночных событий была существенно отлична от 0 и 1, то для приближённых
вычислений использовали бы интегральную формулу Муавра-Лапласа. Критерий применимости интегральной и локальной формул
Муавра-Лапласа: чтобы получить удовлетворительную точность, необходимо выполнение условия npq  20 (в данной задаче
npq  2 ).
По условию задачи:
n  100 ,
m  1 , 2 , 3 ,
p  0, 02 ,
a  100  0, 02  2 .
События "среди 100 тигрят 1 белый", "среди 100 тигрят 2 белых" и "среди 100 тигрят 3 белых" несовместны,
поэтому к их вероятностям применима теорема сложения вероятностей несовместных событий:
P  A   P100  1  m  3  
2 1 e 2 2 2 e 2 2 3 e 2
2


 2
1!
2!
3!
e
1 2 4
      0, 722
1 2 6
Ответ: P  A   0, 722 .
Вычисление в Mathcad 14:
Литература:
1) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике", 2004, стр. 53 (пример 1.32);
2) Кремер Н.Ш. "Теория вероятностей и математическая статистика", 2006, стр. 71;
3) Ивановский Р.И. "Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в
среде Mathcad", 2008, стр. 108.
1 2) Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.001. Найти вероятность попадания в цель
двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.
Обозначим события:
A - при 5000 выстрелах в цель попадут не менее двух пуль;
A1 - одна пуля попадает в цель, P  A1   p  0, 001 .
Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. Но число испытаний велико, поэтому для вычислений
применим приближённую формулу. Вероятность близка к нулю, поэтому используем асимптотическую
формулу Пуассона
Pn  m  
где
a m e a
m!
a  n p ,
n - число испытаний,
p - вероятность наступления события,
m - число наступлений события в n испытаниях.
Сначала найдём вероятность попадания в цель менее двух пуль.
Тогда:
n  5000 ,
m  0 , 1 ,
p  0, 001 ,
a  5000  0, 001  5 .
События "попадание в цель 0 пуль" и "попадание в цель 1 пули" несовместны, поэтому к их вероятностям
применима теорема сложения вероятностей несовместных событий:
P5000  m  2  
5 0 e 5 5 1 e 5
1 1 5 6

 5      5  0, 040
0!
1!
e 1 1 e
m  2 и m  2 противоположны, поэтому
6
P5000  m  2   1  P5000  m  2   1  5  1  0, 040  0, 960
e
События
Ответ:
P5000  m  2   0, 960 .
Вычисление в Mathcad 14:
3) Книга в 500 страниц содержит 800 опечаток. Найти вероятность того, что на странице не менее трёх
опечаток.
Обозначим события:
A - на странице не менее трёх опечаток;
A1 - одна опечатка окажется на случайно выбранной странице, P  A1   p  1 500 .
Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. Но число испытаний (в данном случае число опечаток)
велико, поэтому для вычислений применим приближённую формулу. Вероятность мало отличается от нуля,
поэтому используем асимптотическую формулу Пуассона
Pn  m  
a m e a
m!
2 где
a  n p ,
n - число испытаний,
p - вероятность наступления события,
m - число наступлений события в n испытаниях.
По условию задачи:
n  800 ,
m  0 , 1 , 2 , 3 ,
p  0, 002 ,
a  800  0, 002  1, 6 .
События "на странице не менее трёх опечаток" и "на странице менее трёх опечаток" - противоположны.
Находим сперва вероятность противоположного события A .
События "на странице 0 опечаток", "на странице 1 опечатка" и "на странице 2 опечатки" несовместны,
поэтому к их вероятностям применима теорема сложения вероятностей несовместных событий:
P  A   P800  0  m  2  
1, 6 0 e 1,6 1, 6 1 e 1,6 1, 6 2 e 1,6
1  1 1, 6 1, 6 2 


 1,6   

  0, 783
0!
1!
2!
2 
1 1
e
Следовательно
P  A   1  P  A   1  0, 783  0, 217 .
Ответ: P  A   0, 217 .
4) Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин, равно четырём. Найти вероятность того, что за 2
мин поступит:
а) 6 вызовов;
б) менее шести вызовов;
в) не менее шести вызовов.
Предполагается, что поток вызовов - простейший.
Математической моделью простейшего потока событий является формула Пуассона, определяющая
вероятность появления k событий за время длительностью t :
Pt  k  
   t  k  e  t
k!
Поток событий называется простейшим, если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет
последствий.
По условию задачи
  4 , t  2 , k  6 (   t  8 ).
а)
Вероятность того, что за 2 мин поступит 6 вызовов:
P2  6  
8 6  e 8
86
262144
 8

 0, 122
6!
e  6! 2981  720
б)
Событие "поступило менее шести вызовов" произойдёт, если наступит одно из следующих несовместных
событий:
поступило 5 вызовов,
поступило 4 вызова,
поступило 3 вызова,
поступило 2 вызова,
поступило 1 вызов,
поступило 0 вызовов.
3 Эти события несовместны, поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий:
P2  k  6   P2  5   P2  4   P2  3   P2  2   P2  1  P2  0  

85

84

83

82

81

80

e 8  5! e 8  4! e 8  3! e 8  2! e 8  1! e 8  0!
32768
4096
512
64
8
1






 0, 191
2981  120 2981  24 2981  6 2981  2 2981  1 2981  1
- вероятность того, что за 2 мин поступит менее шести вызовов.
в)
Событие "поступило менее шести вызовов" и событие "поступило не менее шести вызовов"
противоположны, поэтому
P2  k  6   1  P2  k  6   1  0, 191  0, 809
- вероятность того, что за 2 мин поступит не менее шести вызовов.
Вычисления в Mathcad 14:
Литература:
1) Гмурман В.Е. "Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике", 2005, стр. 62 (задача 185);
2) Кремер Н.Ш. "Теория вероятностей и математическая статистика", 2006, стр. 252.
5) При работе ЭВМ число сбоев подчиняется закону Пуассона.
Среднее число сбоев в неделю равно 3. Найти вероятность того, что в течение данной недели:
а) не будет ни одного сбоя;
б) будет только один сбой;
в) будет более трёх сбоев.
Математической моделью простейшего потока событий является формула Пуассона, определяющая
вероятность появления k событий за время длительностью t :
Pt  k  
   t  k  e  t
k!
а)
Вероятность того, что за 1 неделю произойдёт 0 сбоев (   3 , t  1 , k  0 ):
P1  0  
3 0  e 3
1
 3  0, 050
0!
e
б)
Вероятность того, что за 1 неделю произойдёт только 1 сбой (   3 , t  1 , k  1 ):
P1  1 
3 1  e 3
3
 3  0, 149
1!
e
в)
Сначала найдём вероятность того, что за 1 неделю произойдёт менее 4-х сбоев. События "произойдёт 0
сбоев", "произойдёт 1 сбой", "произойдёт 2 сбоя", "произойдёт 3 сбоя' несовместны, поэтому применима
теорема сложения вероятностей несовместных событий:
4 P1  k  4   P1  0   P1  1  P1  2   P1  3  

3 0  e 3 3 1  e 3 3 2  e 3 3 3  e 3




0!
1!
2!
3!
1 
9 9  13
1
3



 
 0, 647

2 2 e3
e3 
Следовательно, искомая вероятность
P1  k  3   P1  k  4   1  P1  k  4   1 
13
e3
 0, 353
Вычисления в Mathcad 14:
Локальная формула Муавра-Лапласа.
6) Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,07. Найти
вероятность того, что в 1400 испытаниях событие наступит 28 раз.
Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. Но число испытаний достаточно велико ( n  10 ), а
величина npq  1400  0, 07  0, 93  91  20 (для получения удовлетворительной точности локальную и
интегральную формулы Муавра-Лапласа используют при npq  20 ), поэтому для вычислений применим
асимптотическую (приближённую) формулу - локальную формулу Муавра-Лапласа:
Pm , n 
f  x
npq
,
x2
1 2
где f  x  
e
- функция Гаусса
2
(функция Гаусса табулирована, т.е. составлены таблицы её значений для различных значений аргумента), x 
m  np
,
npq
n  1400 ,
m  28 ,
p  0, 07 ,
q  1  p  0, 93 .
Вычисляем
x
m  np
28  1400  0, 07

 7 , 332
npq
1400  0, 07  0, 93
 7 ,332  2
1 
2
f  7 , 332  
e
 8, 5  10 13
2
f  x
8, 5  10 13
P28 , 1400 

 8, 9  10 14  0
npq
1400  0, 07  0, 93
Ответ: P1400  m  28   0 .
5 7) В партии смешаны детали двух сортов: 70% первого и 30% второго. Сколько деталей первого сорта с
вероятностью 0,087 можно ожидать среди 100 наудачу взятых деталей ?
Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. Но число испытаний достаточно велико ( n  10 ), а
величина npq  100  0, 7  0, 3  21 (для получения удовлетворительной точности локальную и интегральную
формулы Муавра-Лапласа используют при npq  20 ), поэтому для вычислений применим асимптотическую
(приближённую) формулу - локальную формулу Муавра-Лапласа:
Pm , n 
f  x
npq
,
x2
1 2
m  np
где f  x  
e
- функция Гаусса, x 
.
2
npq
n  100 ,
m ?,
p  0, 7 ,
q  1  p  0, 3 .
Вычисляем
x
m  np
m  100  0, 7
m  70


npq
100  0, 7  0, 3
21
1
 m  70 
f

2
 21 
f  x
Pm , 100 
 m 70 


21 

2
e
npq

 m 70 


21 

2
e
1
2
2
 m 70 


21 

2
e
2

1
 0, 087
21
2
 0, 087  42
2
 m  70 


21 

 ln  0, 087  42 
2
m  70  21  ln  0, 087 2  42   70, 165
Ответ: m  70 .
Интегральная формула Муавра-Лапласа.
8) Вероятность опечатки на странице рукописи равна 0,3. В рукописи 210 страниц машинописного текста.
Найти вероятность того, что в рукописи не более 50 страниц с опечатками.
Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. Но число испытаний достаточно велико ( n  10 ), а
величина npq  210  0, 3  0, 7  44  20 , поэтому применяем приближённую формулу расчёта в соответствии
с интегральной теоремой Лапласа (на практике для получения удовлетворительной точности интегральную
формулу Муавра-Лапласа используют при npq  20 ).
6 p наступления события A в каждом из n
испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность наступления события A не менее k1 раз, но не более
Интегральная формула Муавра-Лапласа: если вероятность
k2 раз Pn  k1  m  k2  , или Pn  k1 ; k2  может быть найдена по приближённой формуле
Pn  k1 ; k2   Ф  x2   Ф  x1  , где x1 
k1  np
,
npq
x2 
x
k2  np
npq
z2

1
Ф  x 
  e 2 dz - функция Лапласа.
2 0
Итак, n  210 ,
k1  0 ,
k 2  50 ,
p  0, 3 ,
q  1  0, 3  0, 7 .
x1 
x2 
k 1  np
npq
k 2  np
npq

0  210  0, 3
 9, 49
210  0, 3  0, 7

50  210  0, 3
 1, 96
210  0, 3  0, 7
P210  0 ; 50   Ф  1, 96   Ф  9, 49   Ф  1, 96   Ф  9, 49   0, 4750  0, 5000  0, 0250
Ответ: P210  0 ; 50   0, 025 .
Вычисления в Mathcad 14:
Литература:
1) Гмурман В.Е. "Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике", 2005, стр. 41 (задача 125).
9) Вероятность того, что изготовленная рабочими деталь отличного качества, равна 0.8. Найти вероятность
того, что среди 100 деталей окажется отличного качества:
а) 80 деталей;
б) от 70 до 85 деталей;
в) не менее 85 деталей.
Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. Но число испытаний достаточно велико ( n  10 ), а
величина npq  100  0, 8  0, 2  16  20 , поэтому для вычислений используем приближённые формулы:
локальную и интегральную формулы Муавра-Лапласа (для получения удовлетворительной точности эти
формулы используют при npq  20 ).
а)
В данном случае применим локальную формулу Муавра-Лапласа
Pm , n 
f  x
npq
,
7 x2
1 2
m  np
где f  x  
e
- функция Гаусса, x 
,
2
npq
n  100 ,
m  80 ,
p  0, 8 ,
q  0, 2 .
Вычисляем
x
m  np
80  100  0, 8

0
npq
100  0, 8  0, 2
02
1 2
1
f 0 
e

 0, 39894
2
2
f  x
0, 39894
P80 , 100 

 0, 09974  0, 1
100  0, 8  0, 2
npq
б)
Используем интегральную формулу Муавра-Лапласа: если вероятность p наступления события A в
каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность наступления события A не менее



k 1  np
Pn  k 1 ; k 2   Ф  x 2   Ф  x 1  , где x 1 
,
npq
не более

k 1 раз, но
k 2 раз Pn k 1  m  k 2 , или Pn k 1 ; k 2 может быть найдена по приближённой формуле
x2 
x
z
k 2  np
npq
2

1
Ф  x 
  e 2 dz - функция Лапласа.
2 0
x1 
x2 
k 1  np
npq
k 2  np
npq

70  100  0, 8
 2, 5
100  0, 8  0, 2

85  100  0, 8
 1, 25
100  0, 8  0, 2
P100 70 ; 85   Ф  1, 25   Ф  2, 5   Ф  1, 25   Ф  2, 5   0, 3944  0, 4938  0, 8882
в)
Также по интегральной формуле Муавра-Лапласа:
x1 
x2 
k 1  np
npq
k 2  np
npq

85  100  0, 8
 1, 25
100  0, 8  0, 2

100  100  0, 8
5
100  0, 8  0, 2
P100  85 ; 100   Ф  5   Ф  1, 25   0, 5  0, 3944  0, 1056
Ответ: а) 0, 1 ;
б) 0, 8882 ;
в) 0, 1056 .
8 Вычисления в Mathcad 14:
Литература:
1) Гмурман В.Е. "Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике", 2005, стр. 62 (задача 185);
2) Кремер Н.Ш. "Теория вероятностей и математическая статистика", 2006, стр. 252;
3) Берков Н.А., Елисеева Н.Н. "Применение пакета Mathcad. Практикум", 2006;
4) Гурский Д.А., Турбина Е.С. "Вычисления в Mathcad 12", 2006, стр. 552 (биномиальное распределение).
10) Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян
взойдёт не менее 700.
Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. Но число испытаний достаточно велико ( n  10 ), а
величина npq  800  0, 9  0, 1  72  20 , поэтому для вычислений используем асимптотическую
(приближённую) формулу: интегральную формулу Муавра-Лапласа.
Вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли событие


 


A появится от k 1 до k 2 раз 0  k 1  k 2  n :
 
Pn k 1  k  k 2  Ф x 2  Ф x 1 ,
где x 2 
k 2  np
npq
, x1 
k 1  np
1
, Ф  x 
2
npq
2
x t
e 2 dt - функция Лапласа.

0
В данной задаче
x2 
x1 
k 2  np
npq
k 1  np
npq

800  800  0, 9
 9, 428
800  0, 9  0, 1

700  800  0, 9
 2, 357
800  0, 9  0, 1
 
Ф  x 1   Ф  2, 357   Ф  2, 357   0, 4908
Ф x 2  Ф  9, 428   0, 5000
P800 700  k  800   Ф  9, 428   Ф  2, 357   0, 5000  0, 4908  0, 9908
Ответ: P800 700  k  800   0, 991 .
9 Вычисления в Mathcad 14:
Вычисление функции Лапласа Ф  x  для аргумента x  2, 357 :
Литература:
1) Письменный Д.Т. “Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике”, 2004, стр. 173;
2) Логинов Э.А., Осиленкер Б.П. "Краткий курс теории вероятностей", методичка СГА (Москва), 2006, стр. 34 (примеры).
11) В механическом цехе работают 170 токарей. Вероятность того, что токарю потребуется резец данного
типа, равна 0.1. Сколько резцов данного типа должна иметь инструментальная кладовая, чтобы потребность в
них была обеспечена с вероятностью 0.95 ?
Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. Но число испытаний достаточно велико ( n  10 ), а
величина npq  170  0, 1  0, 9  15, 3  20 , поэтому для вычислений используем асимптотическую
(приближённую) формулу: интегральную формулу Муавра-Лапласа.
Интегральная формула Муавра-Лапласа: если вероятность p наступления события A в каждом из n
испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность наступления события A не менее k1 раз, но не более
k2 раз Pn  k1  m  k2  , или Pn  k1 ; k2  может быть найдена по приближённой формуле
Pn  k1 ; k2   Ф  x2   Ф  x1  , где x1 
k1  np
,
npq
x2 
x
k2  np
npq
z2

1
Ф  x 
  e 2 dz - функция Лапласа.
2 0
Для обеспечения потребности в резцах кладовая должна иметь их более некоторого количества k .
Формально это количество находится в промежутке  k ;    .
x1 
x2 
k 1  np
npq
k 2  np
npq

k  170  0, 1
k  17

170  0, 1  0, 9
15, 3

  170  0, 1

170  0, 1  0, 9
 k  17 
 k  17 
P170  k ;     Ф     Ф 
  0, 5  Ф 
  0, 95
,
,
15
3
15
3




 17  k 
Ф
  0, 45
15
,
3


17  k
 1, 645
15, 3
17  k  1, 645  15, 3
k  17  1, 645  15, 3  10, 566
10 Итак, для обеспечения потребности в резцах с требуемой вероятностью количество резцов должно быть
k  11 .
Ответ: k  11 .
12) Монету бросают 40 раз. Найти вероятность того, что герб появится не менее 15 и не более 25 раз ?
Обозначим событие:
A - герб появится не менее 15 и не более 25 раз.
Полагаем вероятность выпадения герба равной p  0, 5 .
Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. Но число испытаний достаточно велико ( n  10 ), поэтому
применяем приближённую формулу расчёта в соответствии с интегральной теоремой Лапласа (на практике
для получения удовлетворительной точности интегральную формулу Муавра-Лапласа используют при
npq  20 , здесь величина npq  40  0, 5  0, 5  10 , поэтому погрешность приближения может быть
существенной).
p наступления события A в каждом из n
испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность наступления события A не менее k1 раз, но не более
Интегральная формула Муавра-Лапласа: если вероятность
k2 раз Pn  k1  m  k2  , или Pn  k1 ; k2  может быть найдена по приближённой формуле
Pn  k1 ; k2   Ф  x2   Ф  x1  , где x1 
k1  np
,
npq
x2 
x
k2  np
npq
z2

1
Ф  x 
  e 2 dz - функция Лапласа.
2 0
Итак, n  40
k 1  15
k 2  25 ,
p  0, 5 ,
q  1  0, 5  0, 5 .
x1 
x2 
k 1  np
npq
k 2  np
npq

15  40  0, 5
 1, 581
40  0, 5  0, 5

25  40  0, 5
 1, 581
40  0, 5  0, 5
P  A   P40  15 ; 25   Ф  1, 581  Ф  1, 581  2  Ф  1, 581  2  0, 4431  0, 8862
Ответ: P  A   0, 8862 .
Примечание. Вычисление непосредственно по формуле Бернулли даёт точный результат:
25
P  A 
25
25
i 15
i 15
1 1
 
2
 C 40i  p i  q 40i   C 40i   2 
Погрешность приближённого вычисления
i
40 i
 C 40i
 i 15 40
2
 0, 9193
0, 8862  0, 9193
 0, 036  4 %.
0, 9193
11