Определение коэффициента запаса прочности , вероятности

Определение коэффициента запаса прочности, вероятности разрушения…
УДК 539.3
А.Д. Матвеев
Определение коэффициента запаса прочности, вероятности
разрушения и срока службы для совокупности упругих
деталей, состоящих из различных материалов*
А. Matveev
Determination of the Safety Factor, Failure Probability
and Service Life for a Set of Elastic Parts Containing
Various Materials
Предложена детерминистическая процедура анализа прочности совокупности деталей, внешние
и внутренние параметры которых являются случайными. В процедуре используются детерминистические функции и величины, которые количественно
оценивают влияние случайных параметров на прочность деталей. Изложен метод построения приближенных решений стохастической задачи упругости.
Показано, что для тела со случайными параметрами
существует бесконечное множество эквивалентных
условий прочности. Доказано, что равнонапряженные конструкции имеют меньший запас прочности
и срок службы, чем конструкции с концентраторами
напряжений при прочих равных условиях.
Deterministic method of analysis of the combined
strength of parts, with external and internal parameters
being random, has been proposed. In this procedure the
deterministic functions and values computing the random parameters influencing on the parts strength have
been used. In this procedure the deterministic functions
and values computing the random parameters influencing on the parts strength have been used. The method
for constructing approximate solutions of the stochastic
elasticity problem has been given. It has been showed
that for part with random parameters exist crowd
equivalent strength conditions. It has been proved that
equally stressed structures have smaller safety factor
and service life rather than structures with stress concentrators under otherwise equal conditions.
Ключевые слова: упругие детали, обобщенные эквивалентные напряжения, стохастическая задача упругости, коэффициенты запаса, эквивалентные условия
прочности, срок службы.
Key word: elastic parts, generalized equivalent stresses,
stochastic elasticity problem, safety factor, equivalent
strength conditions, service life.
вероятностей и математическая статистика. Статистическая теория прочности Н.Н. Афанасьева [1]
описывает влияние конструктивных факторов
на средние значения пределов выносливости деталей машин. Теория «слабого звена» В. Вейбулла
описывает влияние размеров образцов и неоднородности распределения напряжений на характеристики сопротивления хрупкому разрушению. Статистические теории имеют следующие недостатки.
В этих теориях используют приближенные простые
экспоненциальные законы распределения случайных параметров конструкции, так как построение
точных законов с помощью экспериментов затруднительно. Основной числовой характеристикой
случайной величины служит математическое ожидание (т.е. среднее значение случайной величины),
которое больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Поэтому применение
в расчетах средних значений нагрузок, модулей упругости и напряжений [3] порождает трудности,
связанные с адекватной оценкой прочности конструкций. Время T эксплуатации (наработки) конст-
Введение. В основе классической расчетной
схемы конструкции лежит гипотеза полной определенности, которая состоит в детерминированности
нагрузки, механических свойств материала, размеров и формы конструкции, т.е. нагрузка, модули
упругости, размеры конструкции принимают определенные значения. При детерминистическом подходе расчетная схема не всегда вполне удовлетворительно описывает реальную работу конструкции,
так как нагрузка и механические свойства материала конструкции носят случайный характер [1–3].
Реальный металл характеризуется микронеоднородностью, которая обусловлена анизотропией кристаллитов, из которых он состоит, наличием между
ними пор и неметаллических включений [1].
Поэтому результаты испытаний конструкций на
прочность (долговечность) имеют значительный
статический разброс, причем явления повреждения
и разрушения конструкций обнаруживают вероятностную природу. Это стало причиной развития
статистических теорий прочности и разрушения
упругих тел [1–3], в основе которых лежат теория
*
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №11-01-00053).
47
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Рассмотрим процедуру нахождения коэффициента запаса прочности для конструкции V. Будем
считать, что геометрические параметры конструкции V заданы, т.е. принимают определенные значения. Пусть известны стационарные детерминисти-
рукции до первого отказа есть случайная величина.
Согласно ГОСТу 27.002-89 среднюю наработку Tc
конструкции (до первого отказа) находят по формуле
∞
Tc = ∫ tf (t )dt , где f (t ) – плотность распреo
ческие функции координат
деления
наработки.
Отметим,
что
Tmin < Tc < Tmax; Tmin ( Tmax) – минимальное
(максимальное) возможное время эксплуатации
конструкции. Определить значения Tmin , Tmax
трудно. Для практики важно знать значения
2 , что
aijkh
в V:
2 ;
Fi1 ≤ Fi ≤ Fi2 ; 0 ≤ a1ijkh ≤ aijkh ≤ aijkh
Tmin ,
на
Tmax. Как известно, для разрушения хрупкого тела
Sq : q1i ≤ qi ≤ qi2 .
(2)
Опыт показывает, что значения механических
характеристик пластичного однородного материала
(металла) образца лежат в некотором интервале
и что для изотропных однородных пластичных металлов значения коэффициента Пуассона μ почти
не изменяются. Рассмотрим случай. Пусть конструкция V состоит из изотропного пластичного
материала. При этом модуль Юнга E конструкции есть случайная функция координат,
т.е. E = E ( x, y , z ) , E ≠ const в V. Пусть сущест-
достаточно, чтобы в одной точке тела возникло напряжение, равное предельному. Значит, между максимальным напряжением, возникающим в хрупком
теле, и вероятностью его разрушения можно установить взаимно однозначную связь, что и подтверждают статистическая теория («слабого звена»)
хрупкого разрушения и эксперименты [2]. Опыт
показывает, что разрушение пластичного тела происходит только тогда, когда в теле возникает область пластического состояния некоторых размеров.
Установить взаимно однозначную связь между размерами этой области и вероятностью разрушения
тела очень сложно.
В данной работе изложены некоторые подходы
нахождения коэффициентов запаса прочности и
времени эксплуатации для упругих конструкций,
состоящих из пластичных материалов. При этом
считаем, что нагружения и механические характеристики данных конструкций есть случайные стационарные функции.
1. Численный анализ прочности упругих конструкций со случайными характеристиками.
Постановку стационарной стохастической краевой
задачи теории упругости (в перемещениях) для линейно упругой конструкции (которая состоит из пластичного материала и занимает область V с гладкой
границей S) в декартовой системе координат
Ox1x2x3 представим в следующем виде [3]
− ∂ (aijkhε kh (u )) / ∂x j = Fi в V ∈ R3 ,
Fi1 , Fi2 q1i , qi2 , a1ijkh ,
вуют такие числа
E1, E2 , что
E1 ≤ E ( x, y, z ) ≤ E2 , x, y, z ∈ V .
Пусть коэффициент Пуассона
μ
(3)
для конструк-
ции V задан и μ = const . Отметим, что в этом
случае стохастическая задача теории упругости (1)
имеет бесконечное множество решений, которые
отвечают решениям данной задачи упругости для
случайных функций E , Fi , qi конструкции, кото-
рые удовлетворяют условиям (2), (3), E ≠ const
в V. Используем конечно-элементную постановку
для краевой задачи теории упругости (1). Область
конструкции представляем мелким регулярным разбиением на конечные элементы (КЭ): V1 ,…, VN ;
V = ∪e =1Ve . Обозначим: E e – модуль Юнга;
N
Fie – объемные и qie – поверхностные силы КЭ Ve ;
(1)
на
S q : aijkhε kh (u )n j = qi ;
E e, Fie , qie – случайные гладкие функции, i = 1, 2, 3;
на
S u : u = 0 , S = Su + S q ,
e = 1, …, N; N – общее число КЭ. В силу (2) существуют такие постоянные
где εkh – деформации; u – вектор перемещений конструкции V; n j – компоненты внешней нормали
(число
принимаем
Fi , qi – стационарные случайные
гладкие функции координат; функции
e фиксировано), что qi(e)1 ≤ qie ≤ qi(e) 2 ,
Fi(e)1 ≤ Fie ≤ Fi(e) 2 . В силу малых размеров КЭ Ve
к поверхности Sq; aijkh – модули упругости;
aijkh ≥ 0 ; Fi – объемные и qi – поверхностные
силы; aijkh ,
Fi(e )1, Fi(e) 2 , qi(e)1, qi(e) 2
Fie , qie , E e = const на Ve . Считаем,
что случайная величина
aijkh обла-
с шагом ΔE , где
дают свойствами симметрии; i, j , k, h = 1, 2, 3.
48
E e меняется дискретно
ΔE = ( E2 − E1 ) / m , m – целое
Определение коэффициента запаса прочности, вероятности разрушения…
(задано), m ≥ 2 , e = 1,..., N . Тогда модуль Юнга
стохастической задачи теории упругости (1),
используя m = 10 ÷ 15 , N ≥ 10 4 (N – меньше или
равно числу процессоров компьютера), т.е. можно
приближенно найти коэффициент запаса прочности
n p конструкции V со случайными параметрами,
E e КЭ Ve может принять одно из значений:
E e = E1 , E e = E1 + ΔE , E e = E1 + 2ΔE ,…,
E e = E1 + mΔE = E2 . Следовательно, случайная
величина
E e может принять m + 1 различных зна-
чений. Итак, для разбиения
имеем
причем чем больше числа m, N, тем точнее определяем значение коэффициента n p .
Отметим, что изложенную выше процедуру
можно использовать для проектирования конструкции V с максимально возможной прочностью.
В этом случае коэффициент запаса прочности nc
V1,...,VN конструкции
M = (m + 1) N различных вариантов распре-
деления модулей Юнга по КЭ, где N, m – целые, заданы. Не теряя общности суждений и для простоты изложения, будем считать, что в области конструкции V:
конструкции
V
равен
nc = max(n1,..., nM ) ,
1 ≤ c ≤ M . Распределение модулей упругости E e
Fi1, Fi2 ≥ 0 , на ее поверхности S q : q1i , qi2 ≥ 0 .
соответствует дискретной модели
При расчете конструкции на прочность для всех
КЭ используем максимальные (по модулю) значе-
по КЭ
ния нагружений. Учитывая (2) и что Fi1 , Fi 2 ≥ 0 ,
Fi1, Fi2 ≥ 0 , принимаем: Fie = Fi(e) 2 , qie = qi(e) 2 ,
2. Эквивалентные условия прочности для упругих тел со случайными параметрами. Рассмотрим теорему об эквивалентных условиях прочности.
Теорема. Пусть для стохастической задачи теории упругости (1) построены детерминистические
Rc ∈ {Rα }αM=1 конструкции V.
e = 1,..., N . В результате для конструкции V полу-
чаем M дискретных детерминистических моделей
R1 ,…, RM, которые имеют различные распределения модулей Юнга по КЭ
конечно-элементные модели
нагружения
V1 ,…, VN , но имеют
одинаковые нагружения для КЭ
Ve : Fie = Fi(e) 2 ,
{Rα }αM=1 (имеющие
Fi2 , qi2 ), которым отвечают коэффи-
циенты запаса
{nα }αM=1 . Пусть коэффициент запаса
n p = min(n1,..., nM ) тела V, 1 ≤ p ≤ M , удовле-
qie = qi(e) 2 ( e = 1,..., N ). Пусть решению uα , ко-
творяет заданным условиям прочности
торое построено по методу конечных элементов
(МКЭ) для дискретной модели Rα , отвечает коэф-
na ≤ n p ≤ nb ,
nα , где α = 1,..., M . Определив коэффициенты n1 ,..., nM , находим коэффициент запаса прочности n p конструкции V как мифициент запаса прочности
(4)
Rs ∈ {Rα }αM=1,
1 ≤ s ≤ M , s ≠ p существуют такие числа nas , nbs ,
что коэффициент запаса ns модели Rs удовлетвотогда для любой дискретной модели
нимальное значение из всех возможных, т.е. имеем
n p = min( n1,..., nM ), 1 ≤ p ≤ M . Итак, для нахож-
ряет условиям
nas ≤ ns ≤ nbs .
дения коэффициентов запаса прочности n1 ,..., nM
для дискретных детерминистических моделей
R1,..., RM следует решить по МКЭ M многомерных задач теории упругости, что связано с большими временными затратами при больших значениях
m, N; на практике m = 10 ÷ 15, N ≥ 10 4.
Данные задачи можно эффективно решать на
параллельных компьютерах. Пусть компьютер имеет N независимых процессоров. Если на каждом
процессоре решить k = m + 1 дискретных задач
упругости, то в этом случае время решения M задач
упругости сокращается в N раз. Современные мощные параллельные компьютеры имеют более 104
процессоров. Значит, в настоящее время можно
построить
Ve
И наоборот, если nas
(5)
≤ ns ≤ nbs , то na ≤ n p ≤ nb .
В этом случае будем говорить, что условия прочности (4), (5) эквивалентны.
Доказательство. Рассмотрим дискретную модель
Rs ∈ {Rα }αM=1 , 1 ≤ s ≤ M , тела V (см. п. 1).
Rs ∈ {Rα }αM=1 , то ns ∈ {nα }αM=1 . В силу
n p = min(n1,..., nM ) , 1 ≤ p ≤ M , s ≠ p , имеем
ns > n p . Значит, существует Δns > 0 , где
Так как
Δns = ns − n p . Пусть Δns известно. Тогда значения
nas , nbs находим по формулам
nas = na + Δns , nbs = nb + Δns .
M = (m + 1) N приближенных решений
49
(6)
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Пусть коэффициент запаса
n ∈ [na , nb ] , где na , nb заданы. Тогда
время Δt находим по формуле Δt = f o ( f ( p )) .
функция,
n p тела V удовлетво-
ряет заданным условиям (4). Тогда подставляя в (4)
n p = ns − Δns и учитывая (6), получаем неравенства (5). Пусть коэффициент запаса
Достоинства данной процедуры состоят в следующем. Функция f o определяется на отрезке [ nа ; nв ] .
ns модели Rs
Для малых значений δ
= nb − na (где δ = 0,1 ÷ 0,5)
функцию f o (n) на отрезке [ nа ; nв ] можно приближенно представить линейной. Вероятность p
тела V удовлетворяет условиям (5).
Тогда подставляя (6) в (5) и учитывая, что
Δns = ns − n p , получаем неравенства (4).
разрушения конструкции можно определить с помощью испытаний или задать, используя опыт
работы подобных конструкций. Таким образом, для
коэффициента запаса n и времени Δt эксплуатации
конструкции можно найти верхние и нижние оценки, задавая различные значения для параметра p.
Считаем, что все детали состоят из пластичных
однородных различных материалов и образуют конq
струкцию V , которая имеет q деталей: V1,...,Vq .
Итак, условия прочности (4), (5) эквивалентны.
Теорема доказана.
С точки зрения практики эквивалентность условий прочности (5) условиям прочности (4) выражается в том, что если условия (5) выполняются для
коэффициента запаса ns , то коэффициент запаса n p
тела V удовлетворяет условиям (4), т.е. тело V
обладает заданной прочностью. Итак, для тела V
существует конечное (при M → ∞ – бесконечное)
множество эквивалентных условий прочности
{na + Δns ≤ ns ≤ nb + Δns }M
s =1 ,
где
Для деталей заданы условия крепления и статическое нагружение. Пусть для детали Vs найдено
Δns > 0 ,
обобщенное эквивалентное напряжение
которые получаются путем смещения заданных
условий (4) вправо на соответствующую величину
Δns . В расчетах целесообразно использовать условия прочности (5), так как в этом случае достаточно
решить лишь только одну детерминистическую задачу упругости для дискретной модели Rs тела V.
Для реализации условий прочности (4) необходимо
решить большое количество многомерных дискретных задач упругости для тела V (см. п. 1). Отметим,
на этапе эскизного проектирования тела V величина
Δns неизвестна, и найти точное значение Δns
трудно.
3. Детерминистический анализ прочности совокупности деталей со случайными характеристиками. Рассмотрим детерминистическую процедуру определения коэффициента запаса прочности
и времени эксплуатации (срока службы) до первого
отказа для совокупности упругих деталей, состоящих из пластичных материалов и образующих
некоторую конструкцию. В основе процедуры лежит следующее предположение. Будем считать, что
конструкция разрушается, если возникло пластическое состояние хотя бы в одной точке ее области.
Задача упругости решается для заданных геометрических параметров конструкции. Влияние случайных параметров конструкции на ее прочностные
свойства оценивается с помощью детерминистических величин. В качестве таких величин используем
коэффициент запаса прочности n, вероятность разрушения p конструкции, а также зависимость вида
n = f ( p ), где f – гладкая детерминистическая функция. Считаем, что коэффициент n и время Δt эксплуатации конструкции связаны зависимостью
Δt = f o (n) , где f o – гладкая детерминистическая
(s
σ so
[4]
= 1,..., q ), которое отвечает нагружению Fio ,
qio конструкции V q. Отметим, что напряжение σ so
приближенно отражает характер распределения
напряжений в детали Vs [4]. Пусть для коэффициентов запаса прочности всех деталей задан диапазон
[nа ; nв ] , где nа ≥ 1 , т. е. коэффициент запаса
прочности ns детали Vs (s = 1, …, q) удовлетворяет
условию nа ≤ ns ≤ nв . Опыт показывает, что вероятность p разрушения конструкции возрастает при
уменьшении ее коэффициента n запаса прочности
q
и наоборот. В связи с этим для конструкции V
и для ее деталей вводим следующие положения.
Положение 1. Считаем, что вероятность p разq
рушения и коэффициент запаса n конструкции V
(при любом нагружении Fio, qio) связаны равенством
n = fo ( p) ,
(7)
fo ( p) – гладкая детерминистическая функция;
fo ( p) < ∞ , 0 < p ≤ 1 , fo (1) = 0 .
где
Положение 2. Считаем, что модули упругости
c и нагружение F c , q c конструкции являются
aijkh
i
i
стационарными случайными гладкими функциями;
где Fic – объемные силы, qic – поверхностные силы.
Считаем, что
с
o |≤ ε , | F с − F o |≤ ε ,
| aujkh
− aijkh
i
i
o , F o , q o – заданные (сред| qiс − qio |≤ ε , где aijkh
i
i
ние) параметры, ε – малая величина; i, j , k, h = 1, 2, 3.
50
Определение коэффициента запаса прочности, вероятности разрушения…
В силу положения 2 решение
мало отличаться от решения
Fio ,
Тогда в силу (8) имеем
qio , будет
n = α ( s ) (1 − p) .
uс , построенного
с ,
с применением случайных функций aujkh
Коэффициент
Fiс , qiс .
Значит, и коэффициенты запаса
no , nс , отвечаю-
щие соответственно заданным
o , F o , qo
aijkh
i
i
и случайным
α ( s ) > 0 , где значение s фиксировано, s = 1,..., q .
uo задачи упруго-
o ,
сти, отвечающее функциям aijkh
nsm = σ Тs / σ sm ,
ция;
0 ≤ f( s ) ( p) < ∞ при 0 < p ≤ 1 , f( s ) (1) = 0 ;
литературе;
σ Тs , отвечающее справочной
– обобщенное эквивалентное
Пусть коэффициенту nsm запаса прочности детали
Vs ( nа ≤ nsm ≤ nв ) отвечает вероятность psm
ее разрушения, s = 1,..., q . Значение параметра psm
можно определить с помощью испытаний, проведенных для партии деталей типа Vs. В приближенных расчетах значение
psm может быть задано,
0 < psm < 1 . Пусть nsm , psm известны, s = 1,..., q .
Тогда в силу (10) для параметров nsm , psm выполняется равенство
лучаем
разрушение констлюбой из деталей:
разрушения в этих
nsm = α ( s ) (1 − psm ) . Откуда по-
α ( s ) = nsm /(1 − psm ) , s = 1,..., q .
(12)
Используя обобщенное эквивалентное напряже-
ние σ so (отвечающее заданному статическому нагру-
деталях являются независимыми (по вероятности)
событиями.
Опыт показывает, что увеличение коэффициента
запаса прочности n конструкции приводит к увеличению времени Δt ее эксплуатации и наоборот.
Учитывая этот факт, введем положение.
Положение 5. Считаем, что существует такая
гладкая детерминистическая функция F (n) , что
жению Fio, qio конструкции), коэффициент запаса
прочности nso детали Vs находим по формуле [4]
nso = σ Тs / σ so , s = 1,..., q .
Пусть коэффициенту запаса прочности
( nа
(13)
nso
≤ nso ≤ nв ) детали Vs отвечает вероятность
pso ее разрушения. Тогда для nso , pso в силу (10)
(9)
имеем равенство
где Δt – время эксплуатации конструкции V ,
которая имеет коэффициент запаса прочности n;
n ∈ [nа ; nв ]; F (n) – возрастающая функция ( n ≥ 0 ),
q
nso = α ( s ) (1 − pso ), s = 1,..., q .
(14)
Подставляя (12) в (14) , получаем
F (0) = 0 .
nso = nsm (1 − pso ) /(1 − psm ) , s = 1,..., q . (15)
Отметим, что согласно (7), (9) имеем Δt = F( fo ( p)).
Используя (15), вероятность pso представим
f ( s ) ( p) предста-
вим в виде f ( s ) ( p ) = α ( s ) (1 − p ) , где
σ sm
Vs;
Vs, отвечающее заданному стаq
тическому нагружению Fi m , qim конструкции V .
следующее поло-
В первом приближении функцию
(11)
напряжение детали
как, например, возникновение царапин, микротрещин, сколов при изготовлении, монтаже и эксq
плуатации конструкции V (деталей V1,...,Vq ). На
Δt = F (n) ,
i = 1,..., q ,
– предел текучести материала детали
значение напряжения
значение s фиксировано, s = 1,..., q .
Следует отметить, что дефекты, вызывающие
q
разрушение конструкции V , могут возникать
в деталях V1,...,Vq независимо друг от друга,
основе данного факта введем
жение.
Положение 4. Считаем, что
рукции V q может произойти в
V1,...,Vq , при этом возможные
σ Тs
где
(8)
f ( s ) ( p) – гладкая детерминистическая функ-
nsm
для детали Vs по формуле
мало отличаться друг от друга. Поэтому можно считать, что для случайных параметров конструкции
зависимость (7) имеет один и тот же вид.
Положение 3. Считаем, что вероятность p разрушения и коэффициент запаса n детали Vs (при
любом заданном нагружении) связаны равенством
где
определяем следующим об-
разом. Находим коэффициент запаса прочности
с , F с , q с параметрам, будут
aujkh
i
i
n = f( s ) ( p) ,
α (s)
(10)
α ( s ) = const ,
pso = 1 − nso (1 − psm ) / nsm , s = 1,..., q . (16)
51
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Учитывая положение 4, находим вероятность
конструкции V q; физических свойств материала
pqk
деталей
q
разрушения конструкции V хотя бы в одной
из деталей V1 ,…, Vq по формуле
материала при статическом нагружении; предельных напряжений
q
pqk
= 1 − П (1 −
pso ) .
(17)
В первом приближении функцию
f o ( p) пред-
s =1
V1,...,Vq (пределов текучести σ 1Т ,…, σ Тq
вероятностей
σ 1П ,..., σ Пq
– при циклическом),
p1o ,…, pqo разрушения и эквивалент-
ных напряжений
σ 1o ,…, σ qo
соответственно дета-
f o ( p ) = α o (1 − p) , см. положение 1, где α o = const , α o > 0 . Тогда в силу (7)
лей V1,..., Vq (т.е. от характера распределения на-
имеем
no = min(n1o ,..., nqo ) , где nso –
значение вероятности p so разрушения детали Vs
отражает ее форму и размеры, качество изготовления (т.е. случайный характер распределения модулей упругости по области детали Vs), случайный
характер нагружения, условия крепления и эксплуатации, s = 1,..., q . Пусть для коэффициента n
коэффициент запаса прочности детали Vs,
s = 1,..., q (см. формулу (13)). Пусть коэффициенту
запаса прочности конструкции V q (который определяется по 4-й теории прочности) задан диапазон:
ставим линейной
n = α o (1 − p) .
Коэффициент
αo
пряжений в конструкции V q). Опыт показывает, что
(18)
находим следующим образом.
Для конструкции V q определяем коэффициент
запаса прочности
запаса прочности no конструкции V q (для заданного
nа ≤ n ≤ nв , nа ≥ 1 . Пусть при nqk = nТ , nТ ≥ 1 ,
Fio , qio , nа ≤ no ≤ nв ) отвечает
в конструкции V возникает пластическое состояние.
ее нагружения
q
Тогда для коэффициентов
вероятность po ее разрушения. Отметим, что параметр po можно определить с помощью испытаний.
В приближенных расчетах po может быть задано,
0 < po < 1 . Считая no, po известными, находим
nаo ≤ nqk ≤ nвo , где nаo = nа + Cr , nвo = nв + Cr ,
Cr = nТ − 1 (диапазон [nа ; nв ] смещается по оси On
на величину Cr вправо). При nТ < 1 имеем
α o = no /(1 − po ) . Подставляя α o в (18), получаем
n = no (1 − p ) /(1 − po ) .
nqk используем диапазон
nаo = nа − C p ; nвo = nв − C p ; C p = 1 − nТ (диа-
(19)
пазон
В силу (19) для коэффициента запаса прочности
[ nа ; nв ] смещается по оси On на величину
nqk и вероятности pqk разрушения (см. формулу (17))
C p влево). Отметим, что данную процедуру можно
конструкции V q имеем зависимость
использовать и для деталей
nqk = no (1 − pqk ) /(1 − po ) .
Учитывая, что
имеют циклические нагружения. В этом случае
(20)
для детали
F (0) = 0 (см. положение 5),
β
находим с помощью испытаний.
детали
Используя (9) и (20), время tqk эксплуатации конструкции V
q
=β
tqk = βno (1 − pqk ) /(1 − po ) .
V1r ,...,Vqr , которые образуют конструкцию
V r. Они имеют такие же размеры, нагружения
(которая имеет коэффициент запаса
прочности nqk ) находим по формуле t qk
Vs вместо напряжения σ Тs , s = 1,..., q ,
используем предельное напряжение σ Пs .
4. Прочностные свойства равнонапряженных
конструкций. Рассмотрим равнонапряженные
F (n) в первом приближении представим
линейной вида F ( n) = β n , где β = const , β > 0 ,
функцию
значение
V1,...,Vq , которые
и закрепления, как и детали
nqk или
через
σ sr
детали
(21)
обобщенное эквивалентное напряжение
Vsr ( s = 1,..., q ) равнонапряженной конст-
r
рукции V , причем
В силу (11), (13), (16), (17), (21) время tqk экс-
V1,...,Vq . Обозначим
σ1r = σ 2r = ... = σ qr .
Пусть
V1,...,Vq (конст-
σ α = max{σ so }qs=1 , σ α – максимальное обобщен-
рукции V q) зависит от следующих факторов: харак-
ное эквивалентное напряжение конструкции V q,
плуатации совокупности деталей
тера нагружения и вероятности
где σα = σαo , при s = α , 1 ≤ α
pqk разрушения
52
≤ q . Пусть σ αr = σ α .
Определение коэффициента запаса прочности, вероятности разрушения…
Поскольку
σ so ≤ σ α = σ αr , s = 1,..., q ,
то, используя (20), получаем
то имеем
nso = (σ Тs / σ so ) ≥ nsr , где nsr = σ Тs / σ αr , nsr – ко-
коэффициент запаса прочности конструкции V r,
nrk = no (1 − prk ) /(1 − po ) . Отсюда следует, что
эффициент запаса прочности детали Vsr . Так как
tqk > trk , где tqk = β nqk , trk = β nrk ; trk – время
nso ≥ nsr, получаем pso ≤ psr , где psr =1− nsr (1− psm) / nsm,
эксплуатации конструкции V r. Итак, равнонапряженная конструкция обладает меньшим запасом
прочности и сроком службы, чем конструкция
с концентраторами напряжений при прочих равных
условиях. В расчетах вместо обобщенных эквива-
psr – вероятность разрушения детали Vsr , s = 1,...,q.
Из неравенства pso ≤ psr при s ≠ α (при s = α
имеем pαo = pαr ), используя (17), имеем pqk < prk ,
лентных напряжений σ so , σ sm [4] можно применять максимальные эквивалентные напряжения
q
где prk
= 1 − П (1 −
i =1
pir ) ,
prk – вероятность разr
рушения конструкции V . Так как
pqk
<
nqk > nrk ; где nrk –
σ~so , σ~sm , посчитанные для детали Vs по четвертой
prk ,
теории прочности.
Библиографический список
1. Афанасьев Н.Н. Статистическая теория усталостной
прочности металлов. – М., 1953.
2. Вейбулл В. Усталостные испытания и анализ их результатов. – М., 1964.
3. Ломакин В.А. Статистические задачи механики
твердых деформируемых тел. – М., 1970.
4. Матвеев А.Д. Определение коэффициентов запаса
прочности конструкций с учетом распределения напряжений // Вестник КрасГАУ. – 2007. – №3.
53