Лекция 2. Свойства биномиальных коэффициентов. Метод

Лекция 2. Свойства биномиальных
коэффициентов. Метод производящих функций,
подсчет сумм и доказательство тождеств.
Полиномиальные коэффициенты. Принцип
включений-исключений.
Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна
Лекции по “Дискретной математике 2”.
1-й курс, группа 141,
факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова
Лекции на сайте http://mk.cs.msu.su
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Биномиальные коэффициенты
Напомним, что биномиальный коэффициент Cnk равен числу
сочетаний из n по k.
Мы знаем, что Cnk =
Отсюда получаем
(n)k
k! .
(n)k
(n)k · (n − k)!
n!
=
=
.
k!
k! · (n − k)!
k!(n − k)!
Следовательно,
Свойство 1. Для всех 0 ≤ k ≤ n верно Cnk = Cnn−k .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Последовательности биномиальных коэффициентов
Теорема 2. При каждом n ≥ 1 (конечная) последовательность
биномиальных коэффициентов Cnr , где r = 0, 1, . . . , n,
n−1
возрастает, если r < n−1
2 , и убывает, если r > 2 .
Доказательство. Рассмотрим отношение
Cnr +1
Cnr ,
0 ≤ r ≤ n − 1:
Cnr +1
n!
n!
n−r
=
:
=
.
Cnr
(r + 1)!(n − r − 1)! r !(n − r )!
r +1
Определим, когда это отношение больше единицы:
n−r
n−1
> 1, если r <
.
r +1
2
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Последовательности биномиальных коэффициентов
Доказательство (продолжение). Получаем, что
при r < n−1
2 последовательность возрастает,
n−1
при r > 2 последовательность убывает.
Пример 1.
Пусть n = 3. Тогда последовательность такова: 1, 3, 3, 1.
Пусть n = 4. Тогда последовательность такова: 1, 4, 6, 4, 1.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Максимальные значения
Следствие 2.1. При четных значениях n максимальное
значение среди биномиальных коэффициентов Cnr ,
r = 0, 1, . . . , n, достигается только при r = n2 ;
при нечетных значениях n максимальное значение среди
биномиальных коэффициентов Cnr , r = 0, 1, . . . , n, достигается
n+1
при r = n−1
2 и при r = 2 .
Доказательство. По теореме 2 если n ≥ 1, то
r
при r < n−1
2 последовательность Cn , r = 0, 1, . . . , n, возрастает
n−1
и при r > 2 последовательность Cnr , r = 0, 1, . . . , n, убывает.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Максимальные значения
Доказательство. Если значение n четно, то число n−1
2
нецелое; поэтому максимальное значение достигается при
n
r = b n−1
2 c + 1 = 2;
если значение n нечетно, то число
n−1
2
n+1
2
n−1
2
целое; следовательно,
Cn = Cn , и максимальное значение достигается при
n+1
r = n−1
2 и при r = 2 .
bnc
Следствие 2.2. Для всех n ≥ 1 и 0 ≤ r ≤ n верно Cnr ≤ Cn 2 .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Суммы биномиальных коэффициентов
Напомним формулу бинома Ньютона:
n
P
Cnk x k y n−k .
При n ≥ 1 верно (x + y )n =
k=0
Из нее следуют два свойства сумм биномиальных
коэффициентов:
Теорема 3. Для всех n ≥ 1 верно
n
P
1.
Cnk = 2n .
2.
k=0
n
P
(−1)k Cnk = 0.
k=0
Доказательство.
n
P
1. (1 + 1)n =
Cnk = 2n .
k=0
2. ((−1) + 1)n =
n
P
k=0
Cnk (−1)k = 0.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Подсчет сумм биномиальных коэффициентов
Можно находить значения других сумм биномиальных
коэффициентов.
n
P
Пример 2. Найти значение суммы
Cnk · ak , где a ∈ R.
k=0
Например, если n = 2, a = 2, то надо найти значениие суммы
C20 · 20 + C21 · 21 + C22 · 22 = 1 + 4 + 4 = 9.
Решение. Несложно заметить, что указанная сумма
непосредственно сворачивается по биному Ньютона:
n
X
k=0
Cnk · ak ·1n−k = (a + 1)n .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Подсчет сумм биномиальных коэффициентов
Пример 3. Найти значение суммы
n
P
k · Cnk .
k=0
Например, если n = 3, то надо найти значение суммы
0 · C30 + 1 · C31 + 2 · C32 + 3 · C33 = 0 + 3 + 6 + 3 = 12.
Решение. Заметим, что при k ≥ 1 верно
k · Cnk = k ·
=n·
n!
n!
=
=
k!(n − k)!
(k − 1)!(n − k)!
(n − 1)!
k−1
= n · Cn−1
.
(k − 1)!((n − 1) − (k − 1))!
Слагаемое при k = 0 обнуляется. Поэтому, получаем
n
X
k=0
k · Cnk =
n
X
k=1
k · Cnk =
n
X
k=1
k−1
n · Cn−1
=n·
n−1
X
l=0
l
Cn−1
= n · 2n−1 .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Подсчет сумм биномиальных коэффициентов
b 2n c
Пример 4. Найти значение суммы
P
Cn2k .
k=0
Например, если n = 4, то надо найти значениие суммы
C40 + C42 + C44 = 1 + 6 + 1 = 8.
Если n = 5, то надо найти значение суммы
C50 + C52 + C54 = 1 + 10 + 5 = 16.
Решение. По теореме 3 (п. 2) верно
n
P
(−1)k Cnk = 0.
k=0
b 2n c
Поэтому
P
Cn2k =
k=0
b 2n c
P
Cn2k+1 .
k=0
Следовательно,
n
b2c
X
k=0
n
Cn2k =
1X k
1
Cn = · 2n = 2n−1 .
2
2
k=0
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Производящие функции
Одним из методов получения значения комбинаторных сумм и
доказательства тождеств является метод производящих
функций.
Для последовательности чисел {an } (конечной или
бесконечной) рассмотрим
формальную сумму (конечную или
P
бесконечную)
an t n , где t ∈ R.
Если последовательность {an } конечна, то эта сумма всегда
определяет функцию
X
F (t) =
an t n ,
которая называется производящей функцией для
последовательности {an }.
Рассмотрим примеры подсчета комбинаторных сумм при
помощи производящих функций.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Применение производящих функций
Вернемся к примеру 3: нам надо найти значение суммы
n
P
k · Cnk .
k=0
Решение. Рассмотрим конечную последовательность
биномиальных коэффициентов Cn0 , Cn1 , . . . , Cnn и ее
n
P
Cnk t k . Из примера 2
производящую функцию F (t) =
k=0
следует, что F (t) = (t + 1)n .
Функция F (t) дифференцируема в R. Найдем ее производную.
С одной стороны, F 0 (t) = ((t
1)n )0 =
n(t + 1)n−1 .
+
0
n
n
P
P
Cnk kt k−1 .
С другой стороны, F 0 (t) =
Cnk t k =
k=0
k=0
Подставляя в оба полученные выражения для производной
n
P
F 0 (t) значение t = 1, получаем
k · Cnk = n · 2n−1 .
k=0
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Применение производящих функций
Пример 5. Доказать тождество
k
P
r =0
k
Cnk · Cmk−r = Cn+m
.
Решение. Рассмотрим конечные последовательности
биномиальных коэффициентов Cnr и Cmr , где
r = 0, 1, . . . , max(n, m), и их производящие функции
n
m
P
P
F (t) =
Cnr t r = (t + 1)n и G (t) =
Cmr t r = (t + 1)m .
r =0
r =0
Тогда
F (t) · G (t) = (t + 1)n · (t + 1)m = (t + 1)n+m =
n+m
P
s=0
s
Cn+m
ts .
С другой стороны,
n перемножаем
m многочлены:
n+m s
P r r
P r r
P P r
s−r
F (t) · G (t) =
Cn t ·
Cm t =
Cn · Cm
ts .
r =0
r =0
s=0
Приравнивая коэффициенты при t k , получаем
k
P
k
Cnr · Cmk−r = Cn+m
.
r =0
r =0
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Обобщение формулы бинома Ньютона
Можно найти формулу для степени суммы вида
(x1 + · · · + xm )n , аналогичную формуле бинома Ньютона.
Теорема 4. Для всех n ≥ 1, m ≥ 2 верно
(x1 + · · · + xm )n =
X
k1 , . . . , km ≥ 0 :
k1 + · · · + km = n
n!
km
x k1 . . . xm
.
k1 ! . . . km ! 1
Доказательство можно провести индукцией по m.
Базис индукции составляет формула бинома Ньютона.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Полиномиальные коэффициенты
Комбинаторное число k1 !k2 !...kn!m−1 !km ! , где n ≥ 1, k1 , . . . , km ≥ 0
m
P
ki = n, называется полиномиальным коэффициентом
и
i=1
и обозначается C (n; k1 , . . . , km ).
Через полиномиальные коэффициенты формулу из теоремы 4
можно переписать в следующем виде.
X
km
.
(x1 + · · · + xm )n =
C (n; k1 , . . . , km )x1k1 . . . xm
k1 , . . . , km ≥ 0,
k1 + · · · + km = n
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Формула квадрата суммы трех переменных
Пример 6. Найдем формулу для выражения (x + y + z)2 .
Решение. В соответствии с теоремой 4 сначала нам нужно
найти всевозможные разбиения числа n = 2 на упорядоченные
суммы трех (m = 3) неотрицательных чисел.
Таких разбиений ровно Ĉ (3, 2) = C (3 + 2 − 1, 2) = 6:
2 = 0+0+2 = 0+1+1 = 0+2+0 = 1+0+1 = 1+1+0 = 2+0+0.
Теперь для каждой суммы надо найти соответствующий
полиномиальный коэффициент:
C (2; 0, 0, 2) = C (2; 0, 2, 0) = C (2; 2, 0, 0) =
C (2; 0, 1, 1) = C (2; 1, 0, 1) = C (2; 1, 1, 0) =
2!
0!0!2!
2!
0!1!1!
= 1;
= 2.
Следовательно, получаем формулу
(x + y + z)2 = z 2 + 2yz + y 2 + 2xz + 2xy + x 2 .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Сумма полиномиальных коэффициентов
Аналогично теореме 3 можно получить значение суммы
полиномиальных коэффициентов.
Теорема 5. Для всех n ≥ 1, m ≥ 2 верно
X
C (n; k1 , . . . , km ) = mn .
k1 , . . . , km ≥ 0,
k1 + · · · + km = n
Доказательство. Подставим в формулу из теоремы 4
значения x1 = · · · = xn = 1.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Пример о студентах
Рассмотрим следующую задачу.
Пример 7. При исследовании читательских интересов
студентов оказалось, что 60% студентов читают журнал А, 50%
– журнал В, 50% – журнал С, 30% – журналы А и В, 50% –
журналы А и С, 20% – журналы В и С, 20% – журналы А, В
и С.
Сколько процентов студентов читают хотя бы один из
журналов A, B и C ?
Метод решения подобных задач дает принцип
включений-исключений.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Формула включения-исключения
Теорема 6 (формула включения-исключения). Пусть A –
конечное множество, и A1 , . . . , An ⊆ A.
Тогда
|A1 ∪ · · · ∪ An | =
n
X
r =1
(−1)r −1
X
|Ai1 ∩ · · · ∩ Air |.
1≤i1 <···<ir ≤n
Доказательство можно провести, воспользовавшись
свойствами биномиальных коэффициентов.
Рассмотрим произвольный элемент a из множества
A1 ∪ · · · ∪ An .
Определим, сколько раз он будет подсчитан по формулам в
утверждении теоремы в левой и правой частях.
В левой части он учитывается 1 раз.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Формула включения-исключения
Доказательство (продолжение). Перейдем к правой части.
Если a ∈
/ Aij для некоторого индекса ij , то
a∈
/ Ai1 ∩ · · · ∩ Aij ∩ · · · ∩ Air . Поэтому в таких пересечениях он
не учитывается.
Пусть элемент a принадлежит в точности множествам
Ai1 , . . . , Aik . Тогда он будет содержаться во всех возможных
пересечениях из этих множеств и только в них.
Число самих множеств –
число их попарных пересечений –
число их пересечений по три –
...
число их пересечений по k –
k = Ck1 ;
Ck2 ;
Ck3 ;
1 = Ckk .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Формула включения-исключения
Доказательство (продолжение).
Тогда по формуле в правой части элемент a подсчитается
(−1)0 Ck1 + (−1)1 Ck2 + · · · + (−1)k−1 Ckk раз.
Воспользуемся свойствами биномиальных коэффициентов и
получим:
!
!
k
k
X
X
(−1)r −1 Ckr = −
(−1)r Ckr +1−1 =
r =1
r =1
=−
k
X
(−1)r Ckr
!
!
−1
= 1.
r =0
Следовательно, в правой части каждый такой элемент
учитывается тоже ровно 1 раз.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Решение задачи о студентах
Пример 7. Журнал А читают 60% студентов, журнал В – 50%
студентов, журнал С – 50% студентов; 30% – журналы А и В,
50% – журналы А и С, 20% – журналы В и С; 20% – журналы
А, В и С. Сколько процентов студентов читают хотя бы один из
журналов A, B и C ?
Решение. По формуле включения-исключения получаем:
|A| = 60; |B| = |C | = 50;
|A ∩ B| = 30; |A ∩ C | = 50; |B ∩ C | = 20;
|A ∩ B ∩ C | = 20.
Тогда
|A ∪ B ∪ C | = (60 + 50 + 50) − (30 + 50 + 20) + (20) =
160 − 100 + 20 = 80.
Т.е. хотя бы один журнал читают 80% студентов.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Продолжение задачи о студентах
Пример 7 (продолжение). В условиях этого примера можно
задавать другие вопросы.
Сколько процентов студентов читают ровно два журнала?
Сколько процентов студентов читают не менее двух журналов?
Ответы на эти вопросы можно получить на основе следующих
теорем.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Производные случаи формулы включения-исключения
Формула включения-исключения для числа элементов,
обладающих в точности m свойствами:
Теорема 7. Пусть A – конечное множество, и A1 , . . . , An ⊆ A.
Тогда число элементов множества A, принадлежащих в
точности m множествам из A1 , . . . , An , где 0 ≤ m ≤ n, можно
найти по формуле
n−m
X
r =0
(−1)r
X
m
Cm+r
|Ai1 ∩ · · · ∩ Aim+r |.
1≤i1 <···<im+r ≤n
Доказательство проведем аналогично теореме 6.
Рассмотрим произвольный элемент a, принадлежащий не
менее, чем m множествам из A1 , . . . , An .
Определим, сколько раз он будет подсчитан по формулам в
утверждении теоремы в левой и правой частях.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Производные случаи формулы включения-исключения
Доказательство (продолжение). В левой части он
учитывается 1 раз.
Перейдем к правой части.
Пусть элемент a принадлежит в точности множествам
Ai1 , . . . , Aik , причем k ≥ m (Почему?).
Тогда он будет содержаться во всех возможных
пересечениях из этих множеств и только в них.
Число их пересечений по m + 0 –
число их пересечений по m + 1 –
...
число их пересечений по m + (k − m) –
Ckm ;
Ckm+1 ;
m+(k−m)
1 = Ck
.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Производные случаи формулы включения-исключения
Доказательство (продолжение). Тогда по формуле в правой
k−m
P
m C m+r раз.
части элемент a подсчитается
(−1)r Cm+r
k
r =0
Рассмотрим произведение
k!
(m + r )!
m
·
=
Cm+r
Ckm+r =
m!r !
(m + r )!(k − m − r )!
k!
(k − m)!
r
·
= Ckm · Ck−m
.
m!(k − m)! r !(k − m − r )!
Следовательно, воспользовавшись свойствами биномиальных
коэффициентов, получаем:
k−m
k−m
X
X
1, k − m = 0;
m
r
(−1)r Cm+r
Ckm+r = Ckm
(−1)r Ck−m
=
0, k − m ≥ 1.
=
r =0
r =0
Следовательно, в правой части элемент a учитывается ровно 1
раз в том случае, когда он обладает в точности m свойствами.
В остальных случаях он не учитывается.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Производные случаи формулы включения-исключения
Формула включения-исключения для числа элементов,
обладающих не менее, чем m свойствами:
Теорема 8. Пусть A – конечное множество, и A1 , . . . , An ⊆ A.
Тогда число элементов множества A, принадлежащих не
менее, чем m множествам из A1 , . . . , An , где 0 ≤ m ≤ n, можно
найти по формуле
n−m
X
r =0
(−1)r
X
m−1
Cm+r
−1 |Ai1 ∩ · · · ∩ Aim+r |.
1≤i1 <···<im+r ≤n
Доказательство предлагается провести самостоятельно.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Решение продолжения задачи о студентах
Пример 7. Журнал А читают 60% студентов, журнал В – 50%
студентов, журнал С – 50% студентов; 30% – журналы А и В,
50% – журналы А и С, 20% – журналы В и С; 20% – журналы
А, В и С.
Решение (продолжение). По формулам найдем ответы на
поставленные вопросы.
1. Ровно два журнала читают
2
2
(−1)0 C2+0
(30 + 50 + 20) + (−1)1 C2+1
(20) = 100 − 3 · 20 = 40
процентов студентов.
2. Не менее двух журналов читают
1
1
(−1)0 C2+0−1
(30 + 50 + 20) + (−1)1 C2+1−1
(20) = 100 − 2 · 20 = 60
процентов студентов.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Пример о существенной зависимости от переменных
Пример 8. Подсчитать число функций алгебры логики,
существенно зависящих от переменных x1 , . . . , xn .
Решение. Пусть Ai – это множество таких функций алгебры
логики, зависящих от переменных x1 , . . . , xn , для которых xi –
несущественная переменная, i = 1, . . . , n.
По формуле включения-исключения получаем, что
|A1 ∪ · · · ∪ An | =
n
X
r =1
X
(−1)r −1
1≤i1 <···<ir ≤n
Заметим, что |Ai1 ∩ · · · ∩ Air | = 22
n−r
.
|Ai1 ∩ · · · ∩ Air |.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Пример о существенной зависимости от переменных
Следовательно, |A1 ∪ · · · ∪ An | =
n
P
r =1
(−1)r −1 Cnr 22
n−r
.
Но A1 ∪ · · · ∪ An – это множество функций алгебры логики, у
которых есть хотя бы одна несущественная переменная.
Поэтому число функций алгебры логики, существенно
зависящих от переменных x1 , . . . , xn , равно
2n
2
−
n
X
r −1
(−1)
n−r
Cnr 22
=
n
X
(−1)r Cnr 22
n−r
.
r =0
r =1
Например, число функций алгебры логики, существенно
зависящих от переменных x1 , x2 , равно
2
1
0
C20 · 22 − C21 · 22 + C22 · 22 = 16 − 8 + 2 = 10.
Это функции: xy , x → y , y → x, xy , x ∼ y , x ⊕ y , x ∨ y , x ∨ ȳ ,
x̄ ∨ y , x̄ ∨ ȳ .
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Пример о шляпах
Рассмотрим следующую задачу.
Пример 9. Пять человек сдают шляпы в гардероб. При
условии, что шляпы возвращаются наугад, найти вероятность
того, что хотя бы один человек получит свою шляпу обратно?
Подобные задачи можно решать при помощи подсчета
перестановок определенного вида, которые называются
беспорядками.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Задача о числе перестановок-беспорядков
Применим формулу включения-исключения для подсчета
числа перестановок-беспорядков.
Перестановка i1 , i2 , . . . , in элементов 1, 2, . . . , n называется
беспорядком, если ij 6= j для каждого j = 1, . . . , n.
Другими словами, никакой элемент не стоит на “своем”
месте.
Например, перестановка 2, 3, 4, 5, 1 является беспорядком, а
перестановка 5, 4, 3, 2, 1 им не является.
Задача состоит в подсчета числа перестановок-беспорядков из
n элементов.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Задача о числе перестановок-беспорядков
Пусть Aj – это множество перестановок i1 , i2 , . . . , in элементов
1, 2, . . . , n, для которых ij = j, где j = 1, . . . , n.
Заметим, что |Aj1 ∩ · · · ∩ Ajr | = (n − r )!.
Тогда по формуле включения-исключения получаем:
|A1 ∪ · · · ∪ An | =
n
X
(−1)r −1
|Aj1 ∩ · · · ∩ Ajr | =
1≤j1 <···<jr ≤n
r =1
=
X
n
n
n
X
X
X
(−1)r −1
n!(n − r )!
= n!
.
(−1)r −1 Cnr (n − r )! =
(−1)r −1
r !(n − r )!
r!
r =1
r =1
r =1
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Задача о числе перестановок-беспорядков
Но |A1 ∪ · · · ∪ An | – это число перестановок, не являющихся
беспорядками.
Поэтому для искомой величины числа
перестановок-беспорядков B(n) получаем формулу:
B(n) = n! − n!
n
X
(−1)r −1
r!
r =1
Заметим, что
∞
X
(−1)r
r =0
r!
= n!
n
X
(−1)r
r =0
r!
.
= e −1 .
Поэтому
B(n)
1
→ при n → ∞.
n!
e
Т.е. доля перестановок-беспорядков среди всех перестановок
стремится к величине e1 с ростом n.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Решение задачи о шляпах
Напомним условие задачи.
Пример 9. Пять человек сдают шляпы в гардероб. При
условии, что шляпы возвращаются наугад, найти вероятность
того, что хотя бы один человек получит свою шляпу обратно?
Решение. По формуле находим искомую величину
n!
n
P
r =1
(−1)r −1
r!
n!
=1−
=
1
1
1
1
1
− + − +
=
1! 2! 3! 4! 5!
1 1
1
1
120 − 60 + 20 − 5 + 1
76
19
+ −
+
=
=
= .
2 6 24 120
120
120
30
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти значение суммы
n
P
k=0
2. Найти значение суммы
n
P
1
k
k+1 Cn .
k2k .
k=0
√
3. Пусть p1 , . . . , pn – все простые числа от 1 до b Nc. Найдите
формулу для подсчета количества простых чисел от 1 до N.
4. Четыре человека сдают шляпы в гардероб. В предположении,
что шляпы возвращаются наугад, найти вероятность того, что
ровно k (0 ≤ k ≤ 4) человек получат свою шляпу обратно.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Литература к лекции
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.:
Высшая школа, 2001. Ч. II, с. 197-200, 202-214.
2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по
дискретной математике. М.: Физматлит, 2004. Гл. VIII 1.13,
1.18, 1.25, 2.4–2.6, 3.10.
3. Селезнева С.Н. Основы дискретной математики. М.: МАКС
Пресс, 2010. Ч. 2.3, с. 28-31.
Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальны
Конец лекции