Случайные величины

Случайные величины
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
1. Дано: M ξ = 3, Dξ = 1. Найти M (2ξ + 5), D(2ξ + 5).
2. Дано: случайные величины ξ, η независимы, Dξ = 1, Dη = 4. Найти D(ξ − η).
Дискретные случайные величины
1. В ящике находятся 4 шара с номерами от 1 до 4. Достали 2 шара. Случайная
величина ξ — сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной
величины ξ, найти M ξ, Dξ, построить график функции распределения.
2. Из двух испытываемых приборов разного типа первый оказывается исправным
с вероятностью 0, 8, второй — 0, 7. Построить ряд распределения числа ξ исправных приборов, найти M ξ, Dξ, построить график функции распределения.
3. Из двух испытываемых приборов разного типа первый оказывается неисправным с вероятностью 0, 1, второй — с вероятностью 0, 2. Случайная величина ξ —
число исправных приборов. Построить ряд распределения случайной величины
ξ, найти M ξ, Dξ, построить график функции распределения.
4. Вероятность ошибки при передаче символа A по каналу связи равна 0, 2, а при
передаче символа B — 0, 3. Построить ряд распределения для числа ξ ошибок,
если передается последовательность символов AB. Найти M ξ, Dξ, построить
график функции распределения.
5. Стрелок, имея 3 патрона, стреляет в цель до первого попадания. Вероятности
попадания при первом, втором, третьем выстрелах равны 0, 6, 0, 5, 0, 4 соответственно. Случайная величина ξ — число оставшихся патронов. Построить
ряд распределения случайной величины ξ, найти M ξ, Dξ, построить график
функции распределения.
6. Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна 0, 8. Стрелок, имея 4 патрона, ведет стрельбу до первого попадания. Случайная величина
ξ — число израсходованных патронов. Построить ряд случайной величины ξ,
найти M ξ, Dξ, построить график функции распределения.
ww
w
7. Стрелок, имея 4 патрона, стреляет в мишень до двух попаданий. Вероятность
попадания при одном выстреле равна 0, 8. Случайная величина ξ — число израсходованных патронов. Построить ряд распределения случайной величины
ξ, найти M ξ, Dξ, построить график функции распределения.
8. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0, 25. Стрелок получает приз в том случае, если он поразил мишень в первого или со второго
раза.
1) Найти вероятность получения приза.
2) Составить ряд распределения числа ξ призов, полученных двумя стрелками
(каждый может получить свой приз). Найти M ξ, Dξ.
1
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
9. В ящике 3 белых и 4 черных шара. Достали 3 шара. Случайная величина ξ —
число черных шаров в выборке. Построить ряд случайной величины ξ, найти
M ξ, Dξ, построить график функции распределения.
10. В ящике 3 белых и 5 красных шаров. Достали 4 шара. Случайная величина
ξ — число белых шаров в выборке. Построить ряд распределения случайной
величины ξ, найти M ξ, Dξ, построить график функции распределения.
Биномиальное распределение
(распределение Бернулли)
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A
("успех") происходит с одной и той же вероятностью p и не происходит с вероятностью q = 1 − p. Случайная величина ξ — число "успехов" в n испытаниях.
Тогда ряд распределения случайной величины ξ и ее характеристики имеют вид:
ξ
p
0
pn (0)
1
pn (1)
...
...
n
pn (n)
pn (k) = Cnk pk q n−k ,
M ξ = np , Dξ = npq .
1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. Составить ряд
распределения числа ξ попаданий из 3–х выстрелов. Найти M ξ, Dξ. Какова
вероятность хотя бы одного попадания?
2. Опыт состоит из четырех бросаний правильной монеты. Составить ряд распределения числа ξ появившихся гербов. Найти M ξ, Dξ, построить график
функции распределения.
3. Известно, что p(A) > 0, 5, и что дисперсия при трех повторных независимых
испытаниях на появление события A равна 0, 63.
а) Составить ряд распределения числа появлений события A в трех испытаниях.
б) Найти вероятность того, что событие A появится хотя бы один раз.
ww
w
Распределение Пуассона
Случайная величина ξ распределена по закону Пуассона, если ее ряд распределения
имеет вид:
ak −a
p(k) = P (ξ = k) =
e ,
k!
M ξ = a , Dξ = a .
ξ
p
0
p(0)
1
p(1)
...
...
k
p(k)
...
...
a > 0 — параметр распределения Пуассона;
1. АТС получает в среднем 300 вызовов за час. Количество вызовов подчинено
закону Пуассона. Какова вероятность, что за данную минуту АТС получит
2
ровно 2 вызова?
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
2. Число отказов в работе некоторой системы подчинено закону Пуассона со средним значением 2 отказа за цикл.
1) Какова вероятность безотказной работы системы за цикл?
2) Найти вероятность того, что за цикл произойдет не менее двух отказов.
Пуассоновский предел
Теорема. При n → ∞, p → 0, np → a биномиальный закон распределения превращается в закон Пуассона с параметром a:
Cnk pk q n−k ≈
ak −a
e .
k!
1. Среди семян ржи имеется 0, 4% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
2. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при
перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности того,
что магазин получит разбитых бутылок: 1) ровно две; 2) менее двух; 3) хотя
бы одну? Каково среднее число разбитых бутылок?
3. Устройство содержит 500 одинаково надежных элементов, каждый из которых
отказывает с вероятностью 0, 002. Какова вероятность, что откажет 1) более
2–х элементов; 2) хотя бы 1 элемент.
4. Отказ работы конденсатора за время T имеет вероятность 0,015. В приборе 100
конденсаторов, и он прекращает работу при отказе 2–х и более конденсаторов.
1) Найти вероятность отказа прибора.
2) Какова вероятность, что из 3–х приборов хотя бы один не откажет?
5. Вероятность распада атома некоторого элемента за секунду равна 0, 02. Каждую минуту прибор, фиксирующий распад, подает сигнал только в том случае,
если за это время произошло не меньше двух распадов.
1) Найти вероятность получения сигнала за минуту.
2) Какова вероятность того, что на три минуты прозвучит хотя бы один сигнал?
ww
w
6. Вероятность прихода случайного сигнала за секунду равна 0,01. За каждый
цикл работы в 2,5 минуты прибор, фиксирующий сигналы, выдает запись только в том случае, если за это время получено 1 или 2 сигнала.
1) Найти вероятность получения записи за цикл.
2) Какова вероятность, что из 4–х циклов работы будет получено не менее 2–х
записей?
Геометрическое распределение
Случайная величина ξ имеет геометрическое распределение, если
ξ
p
1
p
2
pq
...
...
3
n
pq n−1
...
...
q = 1 − p, P (ξ = n) = pq n−1 , M ξ =
1
,
p
Dξ =
q
.
p2
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
1. Стрелок, имея практически неограниченный запас патронов, стреляет в цель
до первого попадания. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 7.
Найти
1) вероятность попадания до 4 выстрела,
2) вероятность попадания между 3 и 5 выстрелами включительно,
3) среднее число истраченных патронов.
2. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле равна 0,8.
Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Составить ряд
распределения случайной величины ξ — числа патронов, выданных стрелку.
Каково среднее число патронов, выданных стрелку?
3. Производятся испытания прибора на надежность, пока прибор не откажет.
Установлено, что прибор отказывает в среднем на 5 испытании. Прибор считается надежным, если отказ происходит не ранее 4 испытания.
1) Какова вероятность надежного прибора?
2) Найти вероятность того, что из трех испытываемых приборов хотя бы один
надежный.
4. Среднее число переданных символов до первого появления ошибки равно 8.
Составить ряд распределения числа переданных символов до первого появления ошибки. Найти Dξ. Какова вероятность того, что до первой ошибки будет
передано не менее 5 символов?
Непрерывные случайные величины
1. Случайная величина ξ подчинена закону распределения с плотностью
0,
x < 0, x > 3,
f (x) =
2
a(3x − x ), 0 ≤ x ≤ 3.
ww
w
Найти: 1)
2)
3)
4)
5)
параметр a;
функцию распределения F (x);
P (0 < ξ < 4);
P (ξ ≥ 2);
M ξ, Dξ, σ.
2. Случайная величина ξ подчинена закону распределения с плотностью
0,
x < 0, x > π
f (x) =
a sin x, 0 ≤ x ≤ π.
Найти: 1)
2)
3)
4)
5)
параметр a;
функцию распределения F (x);
P (π/6 < ξ < π/4);
P (ξ ≥ 3π/4);
M ξ, Dξ, σ.
4
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
3. Случайная величина ξ подчинена закону распределения с плотностью
0,
x < 1, x > 9
√
f (x) =
a/ x, 1 ≤ x ≤ 9.
Найти: 1)
2)
3)
4)
5)
параметр a;
функцию распределения F (x);
P (0 < ξ ≤ 4);
P (ξ < 8);
M ξ, Dξ, σ.
4. Случайная величина ξ подчинена закону распределения с плотностью
0,
x < 0, x > a
f (x) =
Ax(a − x), 0 ≤ x ≤ a,
M ξ = 2. Найти A, a, Dξ.
5. Случайная величина ξ подчинена закону распределения с плотностью
0,
x < 0, x > A
f (x) =
B − (B/A)x, 0 ≤ x ≤ A,
M ξ = 1. Найти A, B, Dξ.
6. Случайная величина ξ подчинена закону распределения с плотностью
0,
x < 0, x > A
f (x) =
B − (B/A)x, 0 ≤ x ≤ A,
P (ξ ≥ 1) = 0, 04. Найти A, B, M ξ, Dξ.
7. Случайная величина ξ подчинена закону распределения с плотностью

 0 , |x| > a
|x|
f (x) =
, |x| ≤ a
 b 1−
a
ww
w
P (ξ > 1) = 0, 02. Найти a, b, M ξ, Dξ.
8. Случайная величина ξ подчинена закону распределения с плотностью

 0 , x < 0, x > a
x2
f (x) =
 A 1 − 2 , 0 ≤ x ≤ a.
a
M ξ = 0, 5. Найти a, A, M ξ, Dξ, σ.
9. Случайная величина ξ подчинена закону Лапласа с плотностью f (x) =
Ae−λ|x| , P (0 < ξ < 1) = 0, 3. Найти A, λ, M ξ.
5
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
10. Случайная величина ξ подчинена закону Релея с плотностью
0,
x < 0,
f (x) =
−x2
Axe , x > 0 .
Найти A и точку максимума графика плотности (моду). Какова вероятность
попадания в интервал от нуля до моды?
11. Функция распределения случайной величины имеет вид

0,
x ≤ 0,

2
A(4x − x ), 0 < x ≤ 2,
F (x) =

1,
x>2
Найти: 1)
2)
3)
4)
5)
A;
плотность распределения f (x);
P (−1 < ξ < 1);
P (ξ ≥ 1);
M ξ, Dξ, σ.
12. Функция распределения случайной величины имеет вид

0,
x ≤ 1,

A(x − 1)3 , 1 < x ≤ 3,
F (x) =

1,
x>3
Найти: 1)
2)
3)
4)
5)
A;
плотность распределения f (x);
P (1 < ξ < 2);
P (ξ ≥ 1);
M ξ, Dξ, σ.
13. Функция распределения случайной величины имеет вид

π

0,
x
≤
−
,



π 3
π
A sin 3x, − < x ≤ − ,
F (x) =
3 π
6




1,
x>−
6
ww
w
Найти: 1) A;
2) плотность распределения f (x);
π
π
3) P (− < ξ < − );
3
4
4) M ξ, Dξ, σ.
14. Функция распределения случайной величины имеет вид
Найти: 1)
2)
3)
4)
F (x) = A + B arctg x.
A, B;
плотность распределения f (x);
P (−1 <√ξ < 1);
P (ξ ≥ 3).
6
Равномерное распределение
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
Непрерывная случайная величина ξ распределена равномерно, если ее плотность распределения имеет вид:
(
0,
x 6∈ [a, b]
1
f (x) =
, x ∈ [a, b].
b−a
Функция распределения:

0,
x≤a

 x−
a
, a<x≤b
F (x) =

 b−a
1,
x > b.
Mξ =
a+b
,
2
Dξ =
(b − a)2
.
12
1. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [2, 8]. Найти: 1)
P (0 < ξ < 4),
2) P (6 < ξ < 8),
3) P (ξ < M ξ),
4) P (|ξ − M ξ| < σ).
2. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [−1, 3]. Найти: 1)
P (ξ < 2),
2) P (ξ > M ξ),
3) P (|ξ − M ξ| > σ).
3. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [−2, b], M ξ = 3.
Найти: 1) b,
2) P (1 < ξ < 10),
3) P (|ξ − M ξ| > σ).
ww
w
4. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [a, 5], M ξ = 2.
Найти: 1) a,
2) P (−3 < ξ < 4),
3) P (|ξ − M ξ| ≤ σ).
5. Координата точки, случайно брошенной на отрезок от 1 до 7, равномерно распределена на этом отрезке. Найти вероятность того, что она принимает значение, меньшее своего среднеквадратического отклонения.
6. Случайная величина распределена на отрезке от a до b равномерно. Найти a и
b, если M ξ = 7, Dξ = 3.
7
Показательное распределение
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
Непрерывная случайная величина ξ распределена по показательному закону, если ее
плотность распределения имеет вид:
0,
x<0
f (x) =
λe−λx , x ≥ 0,
λ > 0 — параметр распределения.
Функция распределения:
F (x) =
Mξ =
1
,
λ
Dξ =
0,
1 − e−λx ,
x≤0
x > 0.
1
.
λ2
1. Известно, что время ξ безотказной работы радиолампы имеет показательное
распределение. Найти плотность распределения, функцию распределения, M ξ
и Dξ, если известно, что P (ξ < 100) = 1/2. Нарисовать графики плотности и
функции распределения.
2. Известно, что время ξ безотказной работы прибора имеет показательное распределение. Найти плотность распределения, функцию распределения, M ξ и
Dξ, если известно, что P (ξ ≥ 30) = 1/3. Нарисовать графики плотности и
функции распределения.
3. Известно, что время ξ безотказной работы прибора имеет показательное распределение. Проверено, что 20% приборов из данной партии работают 400 часов
и более. Найти среднее время работы прибора из данной партии.
4. Время ξ ремонта некоторого прибора имеет показательное распределение. Проверено, что 20% приборов из данной партии требуют для ремонта не более 2
часов. Найти среднее время ремонта прибора из данной партии и вероятность
того, что прибор будет находиться в ремонте не больше среднего времени.
ww
w
5. Известно, что время ξ безотказной работы радиолампы имеет показательное
распределение, M ξ = 25. Найти P (ξ ≥ 50). Нарисовать график плотности распределения.
6. Известно, что время ξ безотказной работы прибора имеет показательное распределение, M ξ = 20. Найти P (ξ < 40). Нарисовать график плотности распределения.
7. Случайная величина ξ распределена по показательному закону, P (0 < ξ <
1) = 0, 3. Найти значение x, для которого P (ξ < x) = P (ξ > x) (медиана
распределения).
8
Нормальное распределение
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины ξ, плотность которого имеет вид:
1
2
2
f (x) = √ e(x−m) /2σ
σ 2π
M ξ = m,
Dξ = σ 2 .
Вероятности для нормального распределения находят с помощью функции Лапласа:
Z x
1
2
Φ(x) = √
e−t /2 dt.
2π 0
Свойства функции Лапласа:
1) Φ(x) = 0,
2) Φ(+∞) = 1/2,
3) Φ(−x) = −Φ(x) — нечетная функция.
Тогда:
a−m
b−m
−Φ
,
1) P (a < ξ < b) = Φ
σ
σε .
2) P (|ξ − m| < ε) = 2Φ
σ
Правило 3σ:
P (|ξ − m| < 3σ) = 2Φ
3σ
σ
= 2Φ(3) = 2 · 0, 49865 = 0, 99730.
1. Максимальная скорость лодки — случайная величина, распределенная нормально с математическим ожиданием 10 км/ч и среднеквадратическим отклонением 5 км/ч. Найти вероятность того, что максимальная скорость лодки будет не менее 8 км/ч и не более 15 км/ч.
2. Измерительный прибор не имеет систематической ошибки, а среднеквадратическая ошибка равна 75. Какова вероятность того, что ошибка измерения не
превзойдет по абсолютной величине 45 (закон распределения нормальный)?
ww
w
3. Измерительный прибор имеет систематическую ошибку, равную нулю. Случайные ошибки распределены по нормальному закону. Найти среднеквадратическую ошибку, если ошибка измерения не превосходит по абсолютной величине
0, 5 с вероятностью 0, 95.
4. Найти наибольшее допустимое отклонение показаний прибора, если систематическая ошибка отсутствует, а среднеквадратическая ошибка равна 0, 75 м.
Надежность равна 0, 9. Ошибки распределены по нормальному закону.
5. Деталь принимается ОТК, если ее диаметр отклоняется от 30 мм не более, чем
на 2 мм. Отклонение — случайная величина, распределенная по нормальному
закону с систематической ошибкой 5 мм и среднеквадратическим отклонением
10 мм. Найти вероятность того, что деталь принимается.
9
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
6. Радиолокационная станция при измерении дальности дает систематическую
ошибку 5 м, а среднеквадратическая ошибка равна 10 м. Найти вероятность
того, что случайная ошибка по абсолютной величине не превосходит 17 м. Закон распределения нормальный.
7. Измерительный прибор не имеет систематической ошибки. Случайные ошибки
распределены по нормальному закону, и с вероятностью 0, 8 они не превосходят
по абсолютной величине 12 мм. Найти среднеквадратическую ошибку.
8. Каким должен быть допуск отклонения размера детали от номинала, чтобы с
вероятностью 0, 9 отклонение было допустимым, если систематическая ошибка
равна нулю, а среднеквадратическая ошибка равна 25 мм (закон распределения
— нормальный)?
Интегральная теорема Муавра–Лапласа
Пусть случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами
ξ − np
n, p, M ξ = np, Dξ = npq. Рассмотрим случайную величину ξ1 = √
, называеnpq
мую нормированной частотой. Нормированная частота ξ1 также имеет биномиальное распределение, для нее M ξ = 0, Dξ = 1.
Теорема. При неограниченном увеличении числа n испытаний биномиальный закон распределения нормированной частоты в пределе превращается в нормальный
с теми же параметрами m = 0, σ = 1:
b−m
a−m
P (a ≤ ξ1 ≤ b) ≈ Φ
−Φ
= Φ(b) − Φ(a).
σ
σ
Следствие.
b − np
a − np
1) P (a ≤ ξ <≤ b) ≈ Φ √
−Φ √
,
npq
npq
r n
ξ
.
2) P (| − p| < ε) = 2Φ ε
n
pq
ww
w
1. Вероятность появления события A в каждом из 100 независимых испытаний
постоянна и равна 0, 8. Найти вероятность того, что событие появится
1) не менее 75 раз и не более 90 раз,
2) не менее 75 раз,
3) не более 74 раз.
Ответ: p1 = 0, 8882, p2 = 0, 8944, p3 = 0, 1056.
2. Вероятность появления события A в каждом из независимых испытаний равна
0, 8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0, 9 можно
было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?
Ответ: n = 100 раз.
3. Вероятность появления события A в каждом из 625 независимых испытаний
равна 0, 8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на
0, 04.
Ответ: p = 0, 9876.
10
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
4. Вероятность появления события A в каждом из независимых испытаний равна 0, 5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0, 7698 можно
ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0, 02.
Ответ: n = 900 раз.
5. Вероятность появления события A в каждом из 400 независимых испытаний
равна 0, 8. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0, 99
абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события
от его вероятности не превысила ε.
Ответ: ε = 0, 05.
6. ОТК проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь
стандартна, равна 0, 9. Найти с вероятностью 0, 95 границы, в которых будет
заключено число стандартных деталей среди проверенных.
Ответ: 792 ≤ m ≤ 828.
7. Вероятность появления события A в каждом из 2100 независимых испытаний
постоянна и равна 0, 7. Найти вероятность того, что событие появится
1) не менее 1470 раз и не более 1500 раз,
2) не менее 1470 раз,
3) не более 1469 раз.
8. Вероятность появления события A в каждом из независимых испытаний равна
0, 9. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0, 98 можно
было ожидать, что событие появится не менее 150 раз?
9. Вероятность появления события A в каждом из 900 независимых испытаний
равна 0, 5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на
0, 02.
10. Вероятность появления события A в каждом из независимых испытаний равна 0, 2. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0, 99 можно
ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0, 04.
ww
w
11. Вероятность появления события A в каждом из 900 независимых испытаний
равна 0, 5. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0, 77
абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события
от его вероятности не превысила ε.
12. ОТК проверяет на стандартность 475 деталей на брак. Вероятность того, что
деталь бракованная, равна 0, 05. Найти с вероятностью 0, 95 границы, в которых
будет заключено число бракованных деталей среди проверенных.
11