Лекция 14.

Лекция 14
Колебания системы с двумя степенями свободы.
Квадратичная форма потенциальной энергии. Условие устойчивости положения
равновесия.
Рассматриваем систему с 2-мя степенями свободы и обобщенными координатами q1, q2.
Все силы потенциальны, значит существует функция П (q1, q2). Система имеет положение
равновесия, в котором выбираем начало координат и нулевой уровень потенциальной энергии
П (0,0) = 0. По условию равновесия:
∂П
∂П
0,0 =0
0,0 =0
∂ q1
∂ q2
Разложим П в ряд Маклорена в нуле:
∂П
∂П
П q 1, q 2 = П 0,0
0,0 q 1
0,0q 2
∂ q1
∂ q2

[
2
2
]
2
1 ∂ П
∂ П
∂ П
0,0 q22 2
0,0q 1 q2  2 0,0 q22 ...
2 ∂ q 21
∂ q1 ∂ q 2
∂q 2
Ввиду нулевого уровня и условий равновесия первым ненулевым слагаемым окажется
квадратичная форма
1
П = c11 q122c12 q1 q 2c 22 q 22 ...
2
Здесь обозначены коэф-ты жесткости системы:
2
2
2
∂ П
∂ П
∂ П
c 11= 2 0,0 
c
=
0,0
c 12=
0,0 
22
2
∂q 1
∂q 2
∂ q1 ∂ q2
Система называется линейной по П, если дальнейшие члены разложения отсутствуют,
иначе говоря П – есть квадратичная форма. Если система не линейна, то рассматривают малые
движения около положения равновесия и дальнейшие слагаемые отбрасывают.
Коэф-ты жесткости образуют симметричную матрицу жесткости:
с
с
С= 11 12
с 21 с 11
[
]
при этом с12 = с21, т.к порядок взятия смешанной производной не имеет значения.
Колебания возникают только около положения устойчивого равновесия. Условием
устойчивости по Ляпунову является наличие min П в нуле. Поскольку П (0,0) = 0, то это значит,
что в окрестности нуля П должна быть положительной. Условием положительности
квадратичной формы в окрестности нуля является критерий Сильвестра - положительность
главных диагональных миноров матрицы жесткости:
с11>0 |C|=c11c22-c122>0
Квадратичная форма кинетической энергии.
∂r
∂r
1
T = ∑ mk v 2k 
v k =r˙k = k q̇ 1 k q˙2
2
∂ q1
∂ q2
Теперь
1
T=
2
[   ] [
∑ mk
∂rk
∂ q1
2
2
q˙1 2
∂ rk
q q 
∂ q1 1, 2
∂ rk
q q 
∂ q2 1, 2
] [∑   ]
∂r ∂r
∑ mk ∂ qk ∂ qk q̇ 1 q˙2
1
2
mk
∂ rk
∂ q2
2
2
q˙2

Видим, что Т – квадратичная форма обобщенных скоростей. Коэффициенты формы в общем
случае являются функциями обобщенных координат
2
2
∂ rk
∂rk
∂ r ∂ rk
a 11 q1, q2 =∑ m k
a 22 q1, q 2 =∑ m k
a 12 q1, q2 =∑ m k k
∂ q1
∂ q2
∂ q1 ∂ q2
 
 
Cистема называется линейной по Т, если эти коэффициенты постоянны.
Если система не линейна, то ее линеаризуют, рассматривая малые движения системы.
Функции коэффициентов раскладывают в ряд Маклорена и оставляют только первый член
разложения
a11=a11(0,0)
a121=a12(0,0) a22=a22(0,0)
Это значит, что получить искомую форму Т можно, вычислив Т в нуле. Поскольку кинетическая
энергия положительна, то для ее коэффициентов всегда выполняется критерий Сильвестра:
a11>0 a11a22-a122>0
Дифференциальные уравнения движения системы. Главные колебания.
Подставив в уравнения Лагранжа системы
d ∂T ∂T
∂П
−
=−
dt ∂ q̇ 1 ∂ q1
∂ q1
d ∂T ∂T
∂П
−
=−
dt ∂ q˙2 ∂ q 2
∂ q2
формы Т и П, получим дифференциальные уравнения колебаний системы:
a 11 q̈1 a 12 q̈ 2c11 q1 c12 q2 =0
a 21 q̈1 a 22 q¨2 c 21 q1 c 22 q 2=0
Решение уравнений ищем в виде периодических синфазных функций с разными
амплитудами:
q 1= ASinkt 
q 2 =BSinkt
Подставив искомые решения в дифф. ур-ния, после сокращения на sin  kt , получим
однородные алгебраические уравнения относительно амплитуд А и В, с неизвестным параметром
k – собственной частотой.
c11−a 11 k 2  Ac 12−a 12 k 2  B=0
c21 −a 21 k 2  Ac22 −a 22 k 2  B=0
Как известно, нетривиальное (ненулевое) решение однородных уравнений существует,
если определитель матрицы системы равен нулю:
k 2 =c11−a 11 k 2 c 22−a 22 k 2 −c12 −a12 k 2 2 =0 (*)
Раскрыв по степеням k, приходим к биквадратному уравнению относительно собственной
частоты k
2
k 2 =k 4 a 11 a 22−a 212 k 2 2c12 a 12 −c 11 a 22−c 22 a 11 c11 c 22−c12
=0 (**)
Оно называется частотным уравнением поскольку два его решения определяют частоты
колебаний системы. Колебания возможны только при положительных вещественных значениях
k2. Покажем, что они таковыми и являются. Для этого построим график функции k 2 
0 =c11 c22 −c212 0 по (*)

∞ ∞ по (**)
2
Согласно выражению(*) k 10 0
k 220 0
2
Величины
k 12 k 10
k 220
k 22
c22
c
2
2
k 10
= 11 и k 20=
k2
a 22
a11
называются квадратами парциальных
частот.
Таким образом, кривая дважды
пересекает ось абсцисс и частотное уравнение имеет 2 вещественных и положительных корня
k 12 k 22 Значит, при устойчивости равновесия частоты будут вещественны и система будет
совершать колебания.
Однородные уравнениям амплитуд имеют нетривиальное решение только для двух
значений собственной частоты, при которых определитель матрицы системы обращается в ноль,
а уравнения становятся зависимыми.
Из оставшегося одного из уравнений для каждой частоты можно найти только отношение
амплитуд А и В – так называемый коэффициент формы = B/ A
c −a k 2
1= B 1 / A 1=− 11 11 12
Для частоты k 1
c 12−a 12 k 1
c11 −a 11 k 22
2 =B 2 / A 2=−
Для частоты k 2
c12 −a 12 k 22
Видим, что система одновременно совершает 2 главных колебания с частотами k1 и k2 .
q 1= A1 sin k 1 t 1  A 2 sin k 2 t  2 
q 2 =1 A1 sin k 1 t1 2 A 2 sin k 2 t  2 
В полученном решении есть четыре произвольные постоянные инегрирования
A1, A2, 1,  2
которые могут быть найдены из четырех начальных условий
t=0: q 1=q10 ; q 2 =q 20 ; q̇ 1= q˙10 ; q˙2= q˙20
Замечание о нормальных координатах:
Можно показать, что для любой системы существуют нормальные обобщенные
координаты q1, q2 , в которых
a 12 =0 c12 =0
В этих координатах дифференциальные уравнения становятся независимыми:
a 11 q̈1 c 11 q1=0
a 22 q̈2c 22 q2 =0
Здесь парциальные частоты равны собственным частотам системы.
Следует, однако, иметь в виду, что труд по построению этих координат равноценен
рассматрению движения системы в исходных координатах.
Колебания двойного математического маятника
Маятник представляет из себя два одинаковых
математическихмаятника массы m и длины l, соединенных
последовательно. Обобщенные координаты:  
l
Положение устойивого равновесия =0
=0

Потенциальная энергия
l
П =mgl 1−cos mgl [ 1−cos 1−cos  ]
Система
не
линейна,
поэтому рассматриваем малые колебания

mg
mgl 2 mgl 2 2 1
П=

  = c11 2 2c12 c 22 2 
2
2
2
mg
Коэффициенты жесткости системы
c 11=2 mgl c12 =0 c 22=mgl
Кинетическую энергию вычисляем в положении равновесия
1
1
1
T = m l 2 2 ml ̇l ̇2 = a 11 ̇22 a 12 ̇ ̇a 22 ˙2 
2
2
2
Отсюда коэффициенты инертности системы
a 11 =2 m l 2 a 12=m l 2 a 22 =ml 2
Частотное уравнение:
g
g2
k 4−4 k 2 2 2 =0
l
l
дает собственные частоты
g
k 1,2 =2±  2
l
Им соответствуют коэффициенты формы:
1,2=∓  2
Положительный коэффициент формы 1=  2 соответствует синфазным
колебаниям системы, когда оба маятника в данный момент отклоняются в одну и
ту же сторону. Если оба маятника отклонить в одну сторону, но нижний в больше,
чем верхний, и отпустить без начальной скорости, то система будет совершать 1ое
главное колебание с частотой
g
k 1 =2−  2
l
Отрицательный коэффициент формы 2 =− 2 соответствует противонфазным
колебаниям системы, когда маятники в данный момент отклонены в
противоположные стороны. Если маятники отклонить в разные стороны,
нижний в  2 больше, чем верхний, и отпустить без начальной скорости, то
система будет совершать 2ое главное колебание с частотой
g
k 2=2 2
l