4. Схема Бернулли-1

4. Ñõåìà Áåðíóëëè-1
4.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ
Ñõåìà Áåðíóëëè ñëóæèò ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ
n
íåçàâèñèìûõ ñëó-
÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò äâà èñõîäà, íàçûâàåìûõ
(óñëîâíî) ¾óñïåõîì¿ è ¾íåóäà÷åé¿. Âåðîÿòíîñòü ¾óñïåõà¿ íå ìåíÿåòñÿ îò
ýêñïåðèìåíòà ê ýêñïåðèìåíòó è ðàâíà
ñòîÿííà è ðàâíà
p.
Âåðîÿòíîñòü ¾íåóäà÷è¿ òàêæå ïî-
q = 1 − p.
Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ñåðèè èç
íûõ¿ îáîçíà÷àåòñÿ
Pn (k)
n ýêñïåðèìåíòîâ áóäåò ðîâíî k ¾óñïåøCnk pk q n−k .
â ñåðèè èç n ýêñïåðèìåíòîâ áóäåò îò k1 äî k2
k2
P
Cnk pk q n−k .
Pn (k1 , k2 ) è ðàâíà
è ðàâíà
Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
¾óñïåøíûõ¿ îáîçíà÷àåòñÿ
k=k1
Íàèáîëåå âåðîÿòíîå ÷èñëî óñïåøíûõ èñõîäîâ â ñåðèè èç
n èñïûòàíèé
[np + p], åñëè np + p íå ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì, è ïàðà np − q è np + p,
np + p öåëîå ÷èñëî.
ðàâíî
åñëè
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ðåêîìåíäóåòñÿ ÷åòêî ñôîðìóëèðîâàòü â ÷åì ñîñòîèò
îòäåëüíûé ýêñïåðèìåíò, êàêîé èç äâóõ èñõîäîâ âû íàçûâàåòå ¾óñïåõîì¿, è
òîëüêî ïîñëå ýòîãî ïðèñòóïàòü ê âû÷èñëåíèÿì.
4.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå
1.
Ïðè ïåðåäà÷å ñîîáùåíèÿ âåðîÿòíîñòü èñêàæåíèÿ îäíîãî çíàêà ðàâíà 1/10.
Êàêîâû âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ñîîáùåíèå èç 10 çíàêîâ
1) íå áóäåò èñêàæåíî;
2) ñîäåðæèò ðîâíî òðè èñêàæåíèÿ;
3) ñîäåðæèò íå áîëåå òðåõ èñêàæåíèé?
Îòâåò.
2.
1)
≈ 0.349;
2)
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
3.
≈ 0.057;
3)
≈ 0.987.
Âåðîÿòíîñòü óñïåõà â êàæäîì èñïûòàíèè ñõåìû Áåðíóëëè ðàâíà p. Íàéòè
k -é
ïî ïîðÿäêó óñïåõ ïðîèñõîäèò ïðè l-ì èñïûòàíèè.
Êàæäóþ ñåêóíäó ñ âåðîÿòíîñòüþ
p
íåçàâèñèìî îò äðóãèõ ìîìåíòîâ âðå-
ìåíè ïî äîðîãå ïðîåçæàåò àâòîìîáèëü. Ïåøåõîäó äëÿ ïåðåõîäà äîðîãè íåîáõîäèìî 3 ñåêóíäû. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîäîøåäøèé ê äîðîãå ïåøåõîä áóäåò îæèäàòü âîçìîæíîñòè ïåðåõîäà
1) 3 ñåêóíäû;
2) 4 ñåêóíäû;
3) 5 ñåêóíä?
Îòâåò.
4.
1)
pq 3 ;
2)
(1 − q 3 )pq 3 ;
3)
(1 − q 3 − pq 3 )pq 3 .
Äëÿ òîãî, ÷òîáû óçíàòü, ñêîëüêî â îçåðå ðûá, îòëàâëèâàþò 1000 ðûá,
ìåòÿò èõ è âûïóñêàþò îáðàòíî â îçåðî. Ïðè êàêîì ÷èñëå ðûá â îçåðå áóäåò
1
íàèáîëüøåé âåðîÿòíîñòü âñòðåòèòü ñðåäè âíîâü ïîéìàííûõ 150 ðûá 10 ïîìå÷åííûõ? Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïîñëå ïîèìêè ðûáà âíîâü îòïóñêàåòñÿ â îçåðî.
13728 ≤ N ≤ 15100.
S = {1, 2, . . . , N } ñëó÷àéíî è íåçàâèñèìî âûáèðàþòñÿ äâà
ïîäìíîæåñòâà A1 è A2 òàê, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò èç S íåçàâèñèìî îò äðóãèõ
ýëåìåíòîâ ñ âåðîÿòíîñòüþ p âêëþ÷àåòñÿ â ïîäìíîæåñòâî Ai è ñ âåðîÿòíîñòüþ q = 1 − p íå âêëþ÷àåòñÿ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî A1 ∩ A2 = ∅.
Óêàçàíèå. Íàéòè P(x 6∈ A1 ∩ A2 ).
2 N
Îòâåò. (1 − p ) .
Îòâåò.
5.
Èç ìíîæåñòâà
4.3. Äîìàøíåå çàäàíèå
6. Ïðîáëåìà Äæîíà Ñìèòà, 1693 ã.
Îäèíàêîâû ëè øàíñû ó òðåõ ÷åëî-
âåê, åñëè ïåðâîìó íóæíî ïîëó÷èòü õîòÿ áû îäíó øåñòåðêó èç 6 áðîñàíèé
èãðàëüíîé êîñòè, âòîðîìó õîòÿ áû äâå øåñòåðêè èç 12 áðîñàíèé, òðåòüåìó íå
ìåíåå òðåõ øåñòåðîê â 18 áðîñàíèÿõ? Íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè.
Îòâåò.
7.
≈ 0.665, ≈ 0.619, ≈ 0.597.
 æþðè, ñîñòîÿùåì èç íå÷åòíîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ, êàæäûé íåçàâèñèìî îò
îñòàëüíûõ ïðèíèìàåò ïðàâèëüíîå ðåøåíèå ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.7. Êàêîâî ìèíèìàëüíîå ÷èñëî ÷ëåíîâ æþðè, ïðè êîòîðîì îáùåå ðåøåíèå, âûíîñèìîå
áîëüøèíñòâîì ãîëîñîâ, áóäåò âåðíûì ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøåé 0.9?
8. Çàäà÷à Áàíàõà.
Íåêèé êóðÿùèé ìàòåìàòèê íîñèò ñ ñîáîé äâå êîðîáêè
ñïè÷åê. Ïåðâîíà÷àëüíî â êàæäîé èç íèõ áûëî ïî
n
ñïè÷åê. Êàæäûé ðàç,
êîãäà îí õî÷åò äîñòàòü ñïè÷êó, îí âûáèðàåò íàóãàä îäíó èç êîðîáîê. Íàéòè
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîãäà ìàòåìàòèê âûíåò â ïåðâûé ðàç ïóñòóþ êîðîáêó,
â äðóãîé êîðîáêå îñòàíóòñÿ
Óêàçàíèå.
r
ñïè÷åê.
Ìàòåìàòèê âûíóë
2n − r
ñïè÷åê; ñòîëüêî æå ðàç âûáèðàëàñü
îäíà èç êîðîáîê.
9.
Ñòîèìîñòü ïðîåçäà â àâòîáóñå ðàâíà
x
ðóáëåé, à êîíòðîëåð ïîïàäàåòñÿ â
ñðåäíåì 3 ðàçà â ìåñÿö. Êàêîâ äîëæåí áûòü øòðàô çà áåçáèëåòíûé ïðîåçä,
÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå 0.9 ¾çàÿö¿, åçäÿùèé áåç áèëåòà åæåäíåâíî
(60 ðàç â ìåñÿö), èìåë áû ðàñõîäû íå ìåíüøèå, ÷åì ó ¾÷åñòíîãî ÷åëîâåêà¿?
Îòâåò.
60x.
2