Аэродинамический расчет ветротурбин пропеллерного типа

А. И. Яковлев, М. А. Затучная
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ВЕТРОТУРБИН
ПРОПЕЛЛЕРНОГО ТИПА
2001
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. Н. Е. ЖУКОВСКОГО
«Харьковский авиационный институт»
А. И. Яковлев, М. А. Затучная
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
ВЕТРОТУРБИН ПРОПЕЛЛЕРНОГО ТИПА
Учебное пособие по курсовому проектированию
ХАРЬКОВ «ХАИ» 2001
УДК 621.311.24
Аэродинамический расчет ветротурбин пропеллерного типа/ А. И. Яковлев,
М. А. Затучная. — Учеб.пособие по курсовому проектированию. — Харьков:
Нац. аэрокосмический ун-т «Харьк. авиац. ин-т». 2001. — 78 С.
На основании модифицированной струйной теории ветродвигателей с горизонтальной осью вращения разработана методика построения численным
методом аэродинамических характеристик ветротурбин пропеллерного типа
с заданными геометрическими параметрами профиля лопасти. Приведен алгоритм построения ветроколеса, создающего аэродинамические параметры
рабочей точки характеристики и отвечающего заданным номинальной мощности и скорости ветра. Показан путь получения регулировочных характеристик ветроколес. На примере расчета ветроколеса с выбранным типом профиля лопасти проиллюстрирована последовательность расчета по предлагаемой методике.
Для студентов Национального аэрокосмического университета
им. Н. Е. Жуковского «ХАИ», обучающихся по специальности «Нетрадиционные источники энергии».
Ил. 7. Табл. 20. Библиогр.: 8 назв.
Под редакцией д-ра техн. наук, проф. Ю. А. Крашаницы
Рецензенты: д-р техн. наук, проф. В. Г. Данько,
д-р техн. наук, проф. В. В. Кузьмин
 Национальный аэрокосмический университет
им. Н. Е. Жуковского
«Харьковский авиационный институт», 2001 г.
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................. 6
Принятые обозначения .............................................................................. 9
1. МЕТОДИКА АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА ВЕТРОКОЛЕСА С ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ОСЬЮ ВРАЩЕНИЯ ................................................. 11
1.1. Исходные данные расчета ..................................................................
1.2. Методика расчета геометрии лопасти ...............................................
1.2.1. Расчет оптимального коэффициента торможения потока ...........
1.2.2. Методика расчета относительных параметров геометрии
лопасти ..............................................................................................................
1.3. Методика построения характеристик ветроколеса ..........................
1.3.1. Определение массива значений, следующих через равный
14
17
17
19
21
шаг, независимого переменного — угла атаки αцикл ................................. 21
1.3.2. Определение массивов
C ya цикл и µa цикл , соответствую-
щих массиву αцикл .......................................................................................... 23
1.3.3. Углы притекания сечения при вариации угла атаки .................... 24
1.3.4. Число относительных модулей каждого сечения ......................... 24
1.3.5. Определение коэффициента торможения из первого уравнения связи ............................................................................................................ 24
1.3.6. Приведенный элементарный относительный крутящий
момент ............................................................................................................... 28
1.3.7. Коэффициент быстроходности конца лопасти, создаваемый
элементарными лопастями, расположенными на радиусах rк при различных
углах атаки ........................................................................................................ 29
1.3.8. Итог построения трех матриц ......................................................... 29
1.3.9. Построение одномерного массива коэффициентов быстроходности Zh конца лопасти .................................................................................... 29
1.3.10. Построение моментной характеристики ..................................... 31
1.3.11. Построение мощностной характеристики ................................... 33
1.3.12. Итог построения моментной и мощностной характеристик ..... 33
1.3.13. Выбор рабочей точки характеристик Cm(Z) и Cp(Z) ............. 33
1.3.14. Коэффициент силы лобового давления при расчетной скорости ветра ........................................................................................................ 34
1.3.15. Коэффициент силы лобового давления при порыве ветра ........ 35
1.3.16. Коэффициент перегрузки .............................................................. 36
1.4. Расчет размерных параметров ветроколеса ...................................... 37
1.4.1. Исходные данные расчета размерных параметров ....................... 37
1.4.2. Расчетные параметры ветроколеса ................................................. 37
1.5. Построение регулировочных характеристик ветроколеса .............. 38
4
2. ПРИМЕР РАСЧЕТА ВЕТРОКОЛЕСА С ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ
ОСЬЮ ВРАЩЕНИЯ И ИСХОДНЫМИ ДАННЫМИ В СООТВЕТСТВИИ С ТАБЛ. 1.1 — 1.3 ...................................................................................
2.1. Расчет оптимального коэффициента торможения потока ..............
2.1.1. Коэффициент торможения потока ..................................................
2.1.2. Коэффициент идеальной мощности ...............................................
2.1.3. Коэффициент концевых потерь ......................................................
2.1.4. Коэффициент профильных потерь .................................................
2.1.5. Коэффициент потерь на кручение струи .......................................
2.1.6. Предварительный коэффициент мощности ...................................
2.1.7. Значения параметров, зависящих от коэффициента торможения e ...............................................................................................................
2.1.8. Выбор максимального значения C p
и определение
38
38
38
38
39
40
40
41
41
предв
соответствующего ему значения e — eопт ...................................................
2.2. Расчет относительных параметров геометрии лопасти ..................
2.2.1. Относительный радиус расположения сечения лопасти ..............
2.2.2. Коэффициент быстроходности сечения лопасти ..........................
2.2.3. Число относительных модулей сечения лопасти ..........................
2.2.4. Коэффициент суммарной нагруженности лопастей, находящихся в зоне действия элементарной кольцевой струи ............................
2.2.5. Значения параметров для пяти сечений лопасти ..........................
2.2.6. Коэффициент подъемной силы периферийного сечения .............
2.2.7. Относительная хорда (в долях наружного радиуса колеса)
периферийного сечения ...................................................................................
2.2.8. Коэффициент подъемной силы корневого сечения ......................
2.2.9. Относительная хорда (в долях наружного радиуса колеса)
корневого сечения ............................................................................................
2.2.10. Относительная хорда (в долях наружного радиуса колеса)
промежуточного сечения .................................................................................
2.2.11. Коэффициент подъемной силы промежуточного сечения ........
2.2.12. Номер ik элемента на восходящей ветви исходных значений C y , ближайшего по величине к C y k и большего его ...................
a
a
2.2.13. Угол атаки промежуточного сечения ...........................................
2.2.14. Угол притекания сечения лопасти ................................................
2.2.15. Угол заклинения (установки) сечения лопасти ...........................
2.2.16. Итог расчета относительных параметров геометрии лопасти ..
2.3. Построение характеристик ветроколеса ...........................................
42
42
43
43
43
43
43
44
44
44
44
45
45
46
46
47
47
47
48
2.3.1. Определение массива углов атаки αцикл, следующих через
равный шаг ........................................................................................................ 48
5
2.3.2. Определение массивов
C ya цикл и µa цикл , соответствующих
массиву αцикл ..................................................................................................
2.3.3. Построение элементарного момента в зависимости от
коэффициента быстроходности для каждого сечения лопасти ...................
2.3.4. Построение коэффициентов быстроходности конца лопасти,
создаваемых элементарными лопастями, расположенными на радиусах rк ................................................................................................................
2.3.5. Построение одномерного массива коэффициентов быстроходности Zh ............................................................................................................
2.3.6. Построение моментной характеристики .......................................
2.3.7. Построение мощностной характеристики .....................................
2.4. Коэффициент силы лобового давления на колесо ...........................
2.4.1. Коэффициент силы лобового давления B при расчетной
скорости ветра ..................................................................................................
2.4.2. Коэффициент силы лобового давления Впор при порыве
ветра ...................................................................................................................
2.4.3. Сравнение В и Впор , определение коэффициента перегрузки .................................................................................................................
2.5. Графическое представление расчетных характеристик
ветроколеса .......................................................................................................
2.6. Выбор рабочей точки характеристики ..............................................
2.7. Расчет размерных параметров ветроколеса ......................................
2.7.1. Исходные данные расчета размерных параметров .......................
2.7.2. Расчетные параметры ветроколеса .................................................
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..........................................................................................
ПРИЛОЖЕНИЕ. Коэффициенты профильного сопротивления и
подъемной силы двадцатипроцентного профиля «Эсперо» в диапазоне
углов атаки от -10 до 20 градусов по данным работы [8] ............................
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ .................................................................................................
50
51
57
58
59
62
63
63
64
66
66
68
68
68
69
75
76
77
6
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время ни у кого уже нет сомнений в том, что использование
солнечной, ветровой и других видов энергии будет непрерывно возрастать. В
связи с этим подготовка специалистов в области возобновляемых нетрадиционных источников энергии становится важнейшим государственным делом.
Однако нужно признать, что такая подготовка сопряжена с определенными
трудностями, в числе которых следовало бы назвать недостаток опыта и отсутствие учебно-методической литературы.
Цель настоящего пособия — сделать первый шаг к устранению этих
трудностей и предоставить студентам возможность ознакомиться с одним из
упрощенных инженерных методов аэродинамического расчета современных
ветроагрегатов. Теория ветродвигателей, развивающаяся несколько десятилетий, еще далека от своего завершения. Более того, можно сказать, что не
существует достаточно точных и надежных методов аэродинамического расчета ветроагрегатов.
Следует отметить, что темпы развития ветроэнергетики далеко не соответствуют возможностям, достигнутым в области современного машиностроения, и, самое главное, далеки от удовлетворения запросов потребителей. Это обусловлено несколькими причинами. Среди причин технического
характера на первое место можно поставить общий недостаток всех ветроустановок: низкий запас кинетической энергии, приходящейся на единицу объема рабочего тела, т.е. атмосферного воздуха. Построение единичных ветроагрегатов большой мощности представляет собой сложную инженерную задачу. Более того, стоимость 1 кВт⋅ч энергии, производимого ветродвигателем, существенно выше стоимости энергии, получаемой за счет сжигания
жидкого топлива и энергии атомных электростанций.
Следующим отрицательным фактором в системе использования ветровой энергии является неравномерность ее поступления, обусловленная наличием периодов затишья. Есть и другие моменты негативного характера. Вместе с тем применение энергии ветра имеет много преимуществ. И прежде
всего ее потенциальные запасы соизмеримы, а теоретически превосходят
суммарную мощность всех работающих электростанций.
Для иллюстрации сказанного можно привести данные, касающиеся возможностей использования энергии ветра на территории Германии [1]. Исходя
из того, что ветроэнергетические ресурсы составляют 1,5 … 2,5 % солнечной
энергии, поступающей на Землю, на территории 2,5⋅105 км2 это соответствует
примерно 1,5⋅104 ТВт⋅ч/г. И хотя из этого количества практически можно извлечь только около 220 ТВт⋅ч/г, уже этого было бы достаточно для того, чтобы удовлетворить до 65% потребностей страны в электроэнергии.
7
Энергия ветра относится к числу возобновляемых. Источник данной
энергии неисчерпаем до тех пор, пока существуют солнечная радиация и атмосфера.
Важным достоинством ветроагрегатов является то, что они относятся к
числу наиболее чистых с экологической точки зрения источников энергии.
Современные ветродвигатели довольно просты в обслуживании. Они
могут быть установлены в любых отдаленных районах, куда трудно доставить топливо или другие источники энергии. Все перечисленные выше факторы могут стать решающими в определении перспектив энергетики будущего. Дальнейшее развитие ветроэнергетики невозможно без широкого развития научных исследований в данном направлении.
Вплоть до конца XIX века исследования Д. Бернулли, Л. Эйлера,
д’Аламбера и других известных ученых не выходили за рамки общего рассмотрения течения воздуха в окрестности ветроколеса. Первые попытки аналитического описания течения, близкого по характеру к тому, которое реализуется при обтекании лопасти ветроколеса, были связаны с исследованиями
гребного винта.
В начале XX века бурно развивавшиеся кораблестроение и воздухоплавание потребовали совершенных и надежных теоретических и экспериментальных данных от аэрогидродинамиков. Основным аэродинамическим элементом ветродвигателя является, как известно, лопасть с характерным поперечным сечением (профилем). В связи с этим развитие теории профиля крыла, начало которому было положено в работах Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, помогло создать прочную основу современной аэродинамики ветродвигателей.
В 1912 году вышла из печати работа Н. Е. Жуковского «Вихревая теория
гребных винтов». Это была одна из первых основополагающих работ, построенных на прочной теоретической базе. В дальнейшем теория гребного
винта в приложении к расчету ветродвигателей была изложена в основополагающих работах Н. Е. Жуковского (1919 г.), Г. Х. Сабинина (1923 г.), А. Бетца (1927 г.). Трудами этих выдающихся ученых была создана теория так называемой идеальной модели ветроколеса, опиравшаяся на общие законы механики.
В дальнейшем исследования были сосредоточены на поиске способов
учета очень сложных реальных явлений, связанных с процессами обтекания
ветроколеса, таких как трение, концевые эффекты и т.п. В послевоенное время активное развитие вертолетостроения способствовало расширению знаний в теории винта.
В последней четверти двадцатого столетия вопросы аэродинамики ветродвигателей были обобщены и изложены в ряде публикаций [2, 3]. Развитию теоретических исследований способствуют регулярно проводимые конференции по возобновляемым источникам энергии.
8
Можно считать, что к настоящему времени классическая теория ветродвигателя близка к своему завершению. Ее использование позволило решить
ряд новых задач, включая отдельные вопросы оптимального проектирования.
Тем не менее классическая теория идеального и реального ветродвигателя
может рассматриваться только первым приближением в изучении сложной
физической картины течения газа в окрестности рабочих элементов ветроагрегата. Она не применима для исследования ортогональных ветродвигателей.
Наиболее эффективным путем дальнейшего изучения проблемы является применение численных методов решения и анализа системы исходных
дифференциальных уравнений и соответствующих начально-краевых задач,
отражающих нестационарный характер течения газа и его взаимодействия с
основными рабочими органами. При этом, зачастую, уже нельзя ограничиваться предположениями о том, что поток является потенциальным, невязким и т.п.
В данном учебном пособии описана приближенная инженерная методика аэродинамического расчета ветротурбины пропеллерного типа, которая в
ветроустановке с горизонтальной осью вращения (см. рис. 1) преобразует
энергию ветра в механическую и электрическую энергию.
Ветротурбина содержит рабочие лопасти, имеющие в сечениях соответствующий аэродинамический профиль крыла самолета. Следуя струйной
теории идеального винта [4], разработан метод расчета, в основе которого
лежит решение нелинейных уравнений и определенных интегралов численными методами. В результате расчета при заданных мощности и скорости
ветра находятся основные размеры ветротурбины, включая геометрические
параметры лопастей — углы установки профилей и координаты узловых точек их контуров.
В пособии также изложен метод автоматизированного определения
энергетических характеристик ветротурбин при различных углах установки
лопастей.
Приведен пример расчета.
Пособие дает возможность студенту спроектировать ветротурбину для
ветроэлектрической установки мощностью 0,5 … 100 кВт.
9
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
D — внешний диаметр колеса (рис. 1), м;
R — внешний радиус колеса (рис.1), м;
r — радиус расположения промежуточного сечения лопасти (рис. 1), м;
dr — приращение радиуса (рис. 1), м;
r0 — радиус расположения начального (корневого) сечения лопасти
(рис.1), м;
r
r
V = V ⋅ V 0 — скорость ветра, м/с;
r
r
V 0 — единичный вектор в направлении V ;
r
r
r
u = u ⋅ u 0 = ω r ⋅ u 0 — окружная скорость, м/с;
r
r
u 0 — единичный вектор в направлении u ;
ω — угловая скорость ветроколеса, 1/с;
r
W
— относительная скорость, м/с;
u ω r — коэффициент быстроходности на промежуточном радиусе;
z= =
V V
U ω R — коэффициент быстроходности на конце лопасти;
zR = =
V
V
z u = ctgβ =
u + u1 — число относительных модулей (рис. 2);
V − v1
v1 — уменьшение (потеря) осевой скорости потока (рис.2), м/с;
u1 — окружная скорость кольцевой струи в плоскости ветроколеса
(рис.2), м/с;
r
β — угол притекания, т.е. угол относительной скорости W с плоскостью
вращения колеса (рис.2), град.;
α — угол атаки (рис. 2), град.;
ϕ — угол заклинения (установки) лопасти (рис.2), град.;
b — хорда лопасти (рис. 3), мм;
cr— максимальная толщина профиля (рис.3), мм;
Rr —rаэродинамическая сила вrоздействия на лопасть (рис. 2), H;
X a ,Ya — проекции силы R на оси скоростной системы координат
X a OYa (рис. 2), H;
r
r r
Qoc , Rокр — проекции силы R соответственно на ось колеса и на ок-
ружное направление (рис. 2), H;
C y1
r
2Qос — коэффициент осевой составляющей силы R (рис. 2);
=
Sρ V 2
10
C xa =
2 X a — коэффициент профильного сопротивления;
Sρ V 2
C ya =
2Ya — коэффициент подъемной силы;
SρV 2
S = b⋅l — площадь лопасти в плане, м2;
l — длина лопасти (рис. 1), м;
ρ — плотность воздуха, кг/м3;
µa =
C xa
C ya
— коэффициент обратного аэродинамического качества;
v1 — коэффициент торможения потока;
V
Sэл = b⋅dr — площадь элементарной лопасти в плане, м2;
n — частота вращения колеса, об/мин;
N — мощность ветроколеса, Вт;
M — крутящий момент, Н⋅м;
Cp — коэффициент мощности;
Cm — коэффициент момента;
P — сила лобового давления на колесо, Н;
e=
8P
— коэффициент лобового давления;
2
2
ρV πD
iл — число лопастей;
ЦСП — центр совмещения профилей (рис. 3);
ЦТ — центр тяжести профиля (рис. 3);
B=
r=
r
— относительный радиус расположения сечения;
R
r0 =
сти;
r0 — относительный радиус расположения корневого сечения лопаR
d 0 = r0 =
лопасти;
d 0 — относительный диаметр расположения корневых сечений
D
d0 — диаметр расположения корневых сечений лопастей, м;
b — относительная в долях радиуса хорда профиля;
R
C нагр = i л b C y — коэффициент суммарной нагруженности сечений
b=
a
лопастей, находящихся в зоне действия элементарной кольцевой струи.
11
1. МЕТОДИКА АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА ВЕТРОКОЛЕСА
С ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ОСЬЮ ВРАЩЕНИЯ
Физическая картина возмущенного течения в окрестности ветроколеса
довольно сложная. При прохождении через плоскость вращения воздушный
поток получает значительные возмущения. При этом появляется окружная
скорость U, которая равна нулю в набегающем потоке, а продольная скорость
V уменьшается. Вообще говоря, можно выделить и другие режимы работы
ветроколеса или винта, например режим пропеллера. В этом случае, наоборот, продольная скорость в возмущенном течении за винтом будет больше за
счет подвода к потоку механической энергии. Свои особенности имеет поле
течения около винта вертолета. Мы же фактически будем иметь дело только
с такими режимами, когда винт или ветроколесо получает энергию от набегающего потока. При этом давление изменяется скачкообразно при переходе
через плоскость вращения ветроколеса, что связано с потерей механической
энергии потока и передачей ее винту. На большом удалении вверх и вниз по
потоку давление совпадает с атмосферным. Элементарными вычислениями
можно показать, что подводимая к ветроколесу энергия в единицу времени
пропорциональна кубу скорости набегающего потока:
ρV03
N0 =
F1 ,
2
где V0 – скорость набегающего потока; F1 – площадь, ометаемая винтом.
За колесом образуется сложная вихревая система. В этой системе можно
выделить, по крайней мере, три ярко выраженные группы вихрей: присоединенные вихри на лопастях, свободный геликоидный вихрь, образующийся
при перетекании потока через концы лопастей, и осевой вихрь, возникающий
за счет закрутки течения на ветроколесе. В реальном течении вся возмущенная область заполнена вихрями, что представляет значительные трудности
при физическом анализе и математическом расчете течения.
Первые теоретические разработки в области исследования ветродвигателей базировались на так называемой импульсной теории, так как определение сил и моментов, действующих на ротор, основывалось на законах сохранения массы, количества движения и энергии. Понятно, что такая теория не
могла дать информацию о геометрических параметрах ветроколеса, его конструкции и режимах работы, однако с ее помощью была получена оценка
КПД ветроколеса и скорости потока.
В дальнейшем была создана теория элементарных струй, представившая
собой объединение результатов импульсной теории идеального ветроколеса
и достаточно развитой в настоящее время теории крыла [4]. На этой основе
удается значительно расширить изучение и описание физических процессов
обтекания ветроколеса. Для этого, с одной стороны, силы, действующие на
ветроколесо, определяются путем изучения течения в следе на базе импульс-
12
ной теории идеального ветродвигателя, а с другой – эти же силы определяются из соотношений для профиля каждой лопасти. Выражения для этих сил
содержат неизвестные индуктивные скорости. Приравнивание соотношений
для сил, полученных обоими методами, приводит к замкнутой системе уравнений относительно индуктивных скоростей.
Зная индуктивные скорости u1 и v1 в потоке, вычисляются:
- коэффициент осевой силы
1
C y = 8 ∫ 1 − v 1 v 1 r dr ,
a
rk
(
)
- коэффициент движущего момента
1
2
C M = 8 ∫ 1 − v 1 u1 r dr ,
rk
(
)
- коэффициент мощности ветроколеса
1
2
C P = 8z R ∫ (1 − v 1 )u1 r dr ,
rk
v
u
где v1 = 1 ; u1 = 1 ,
V
V
что позволяет проектировать ветродвигатели с необходимыми параметрами.
Таким образом, теория элементарных струй учитывает неравномерное
распределение скоростей протекания воздушного потока через ветроколесо,
связь этих скоростей с геометрическими параметрами лопастей и их аэродинамическими характеристиками.
В настоящем пособии предлагается метод расчета, основанный на двух
уравнениях связи, описанных в работах [5, 6] и вытекающий из схематично
описанного выше метода элементарных струй. Первое уравнение связи вытекает из того, что осевая составляющая силы реакции потока на элементарные
лопасти, находящиеся в зоне действия элементарной кольцевой струи (рис.1),
равна силе от воздействия разности давлений перед и за колесом на площадь
сечения элементарной кольцевой струи плоскостью вращения колеса. Следствием этой связи является уравнение
i л b C ya =
−
8π r e
2
(1 + e )(1 − e ) ( zu + µ a ) 1 +
zu2
.
(1)
Второе уравнение связи отражает теорему об изменении момента количества движения, которая в применении к ветроколесу формулируется сле-
13
дующим образом: момент относительно оси ветряка аэродинамических сил,
действующих на элементарные лопасти (рис. 1, 2), равен по величине и противоположен по знаку моменту количества движения, получаемого элементарной кольцевой струёй, увлеченной ветряным колесом. Следствием второго уравнения связи является
z = zu (1 − e ) −
e 1 − µ a zu
.
⋅
1 + e zu + µ a
(2)
Уравнения связи (I) и (2) — основа для аэродинамического расчета ветроколеса.
2
1
D
V
dr
r
5
R
3
b
l
H
Рис. 1. Ветроколесо пропеллерного типа:
1 – промежуточное сечение;
2 – элементарная лопасть;
3 – корневое сечение;
4 – периферийное сечение;
5 – элементарная кольцевая струя
4
14
U
-U
Скорость
ветра
V1 U1
α
β
Окружная
V
скорость
V
X1
Xa
W Rокр
0
Ya
Qос
Xa
φ
β
R
Y1
1
Ya
2
Рис. 2. Профиль лопасти, план скоростей и силы реакции:
1 – плоскость вращения;
2 – ось колеса
1.1. Исходные данные расчета
К исходным данным расчета относятся задаваемые ниже параметры
(табл.1), а также координаты выбранного профиля (рис. 3) и его аэродинамические характеристики. В качестве примера был выбран профиль типа «Эсперо» пятнадцатипроцентной толщины, его аэродинамические и геометрические параметры приведены в табл. 1 и 2.
15
Y
Yцсп
Yцт
Yв
Xцсп
C
0
Xцт
X
b Yн
Рис. 3. Геометрические параметры профиля лопасти
Таблица 1
Условные обозначения исходных данных расчета
и их величины для конкретного примера
Наименование параметра
Номинальная мощность
Расчетная скорость ветра
Скорость ветра при порыве
Количество лопастей
КПД электрический
КПД механический
Плотность воздуха при нормальных
атмосферных условиях
Предварительно заданный коэффициент быстроходности на конце лопасти в рабочей точке характеристики ветроколеса
Относительный радиус расположения корневого сечения лопасти
Число сечений лопасти
Число точек деления задаваемого
интервала коэффициента торможения для выбора его оптимального
значения
Точность при решении первого
уравнения связи
Обозначение
N
V
Vnop.
iл
ηэл
ηмех
Единицы
измерения
Вт
м/с
м/с
о.е.
о.е.
о.е.
Величина
ρ
кг/ м3
1,2
zR
о.е.
6,5
r− 0
n
о.е.
0,2
о.е.
5
ne
о.е.
6
ε
о.е.
0,1
1000
7,5
25
3
0,6
0,9
16
Таблица 2
Аэродинамические характеристики профиля типа «Эсперо»
пятнадцатипроцентной толщины (по данным Г. Х. Сабинина [7])
Угол атаки
Коэффициент
подъемной силы
Коэффициент обратного аэродинамического качества
Обозначение
α
C ya
µa
Единицы
измерения
град.
о.е.
о.е.
- 6о
- 4о
- 2о
0о
1о
2о
4о
6о
8о
10о
12о
14о
16 о
18 о
20 о
0,10
0,30
0,50
0,65
0,76
0,85
1,03
1,12
1,16
1,18
1,16
1,13
1,10
1,05
0,99
0,1250
0,0417
0,0250
0,0192
0,0197
0,0182
0,0194
0,0268
0,0410
0,0593
0,0862
0,1217
0,1568
0,2071
0,2626
Номера точек характеристик
Наименование
параметров
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Таблица 3
Безразмерные координата профиля типа "Эсперо"
Номера точек
x = ( x b) ⋅ 100% yв = ( yв c ) ⋅ 100% yн = ( yн c ) ⋅ 100%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
1,25
2,5
5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
97,5
100
41,7
53,8
60,6
69,4
82,2
96,0
100,6
100
94,5
83,2
69,4
51,0
30,7
11,6
2,3
41,7
27,9
22,9
16,6
11,1
5,5
2,3
0
0
0
0
0
0
0
0
17
Координаты центра тяжести (ЦТ):
 ( x ЦТ b ) ⋅ 100% = 35 ,2%;
 x ЦТ = 0 ,352b ;
⇔

=
y
,
c
;
0
4
 ( y ЦТ с ) ⋅ 100% = 40% .
 ЦТ
Координаты центра совмещения профилей (ЦСП):
 ( x ЦСП b ) ⋅ 100% = 35 ,2%;
 x ЦСП = 0 ,352b ;
⇔

=
y
,
c
;
0
5
 ( y ЦСП с ) ⋅ 100% = 50% .
 ЦСП
Для выбранного профиля «Эсперо» пятнадцатипроцентной толщины величина c = 0,15b .
1.2. Методика расчета геометрии лопасти
1.2.1. Расчет оптимального коэффициента торможения потока
Задаем несколько значений коэффициента торможения потока е через
равный шаг от 0,27 до 0,42:
k −1
,
e к = 0,27 + 0,15 ⋅ e
ne − 1
(3)
где ne — число точек деления интервала определения e ; k e = 1, 2,.., ne.
Определяем значения коэффициента идеальной мощности, соответствующие найденным e к :
C Pид = 4e(1 − e ) /(1 + e ) .
Находим значения коэффициента концевых потерь
(4)
Tj ,
соответствую-
щих e к :
2


1− e 




8
1
+
 z 

e 
1


R
.

−
Tj =
2
1 − e  (1 + e )i л z R
 iлzR  

1+ 
 

π
−
(
1
/
2
)
e

 

(5)
18
Определяем значения коэффициента профильных потерь, соответствующих eк :
1− e
zR 
 ,
T p = 2µ amin 
+
 z R 3(1 − e ) 
где
µ amin -
минимальное значение
µ a из
(6)
таблицы аэродинамических
характеристик профиля (см. табл. 2).
Вычисляем коэффициент потерь на кручение струи.
Средний по высоте лопасти коэффициент быстроходности
zcp =
1 + r0
zR .
2
(7)
Средний по высоте лопасти относительный КПД элементарного ветряка
ηотн =
1 − µ amin ⋅ zср /(1 − e )
1 + µ amin (1 − e ) / zср
,
(8)
где величина ηотн определяется для каждого e к .
Итак, коэффициент потерь на кручение струи
2
⋅
Tm = C Pид ⋅ ηотн
ln(1 / r0 )
2
2z R
,
(9)
где величина Tm вычисляется для каждого eк.
Опредилим предварительный коэффициент мощности:
C pпредв = C Pид ((1 − d 02 ) − T j − T p − Tm ) ,
где величина
C pпредв
(10)
определяется для каждого eк.
С помощью сравнения найденных величин
C pпредв
вычисляем их мак-
симальный элемент и соответствующий этому значению элемент eк из заданного ряда значений eк , идущих через равный шаг. Этот элемент и является
оптимальным значением eк , т. е. таким образом мы определили eopt .
19
1.2.2. Методика расчета относительных параметров геометрии лопасти
Принимается, что коэффициент торможения е равен eopt
Относительный радиус расположения сечения лопасти
rк = r0 + (1 − r0 )( к − 1) /( n − 1) ,
.
(11)
где п — число сечений лопасти; к — номер сечения.
Коэффициент быстроходности сечения
z к = z R ⋅ rк .
(12)
Число относительных модулей сечения
1 + 1 + C Pид / zк2
z uк = z к ⋅
2(1 − e )
где
e = eopt
, а под
Cр ид подразумевается
(13)
,
значение
Cр ид
, вычисленное
для e = eopt по формуле (4).
Выражение (13) является следствием второго уравнения связи (2) и получено путем разрешения уравнения (2) относительно Zu с учетом малости
величины µa.
Коэффициент суммарной нагруженности
C нагрк
сечений лопасти, на-
ходящихся в зоне действия элементарной кольцевой струи, определяется по
первому уравнению связи (1). С учетом принятого обозначения
C нагр = i л bC ya
имеем
C нагр =
к
8π rк e
2
(1 + e )(1 − e ) ( z u + µ a ) 1 +
z u2
,
(14)
где e = eopt ; µa = µa min .
Принимается, что коэффициент подъемной силы периферийного сечения равен значению
C ya
при
µa min , взятом из аэродинамических характе-
ристик профиля (см. табл. 2 для выбранного профиля):
C ya периф = C ya (µ amin ) .
(15)
20
Относительная хорда (в долях наружного радиуса колеса) периферийного сечения
bпериф = C нагрпериф /( i л ⋅ C y a периф ) ,
(16)
где индекс "периф" означает номер сечения, равного п (п — число сечений).
Коэффициент подъемной силы корневого сечения принимается обычно
C y a корн = (0,9...1,0) ⋅ C y a max ,
где
C ya max
(17)
— максимальное значение коэффициента подъемной силы,
выбранное из табл. 2.
Относительная хорда (в долях наружного радиуса колеса) корневого сечения
bкорн =
C нагркорн
i л C ya корн
,
(18)
где индекс "корн" означает номер сечения, равного 1.
Задаемся линейным законом изменения относительной хорды вдоль
лопасти
bк = bкорн + (bпериф − bкорн ) ⋅ ( к − 1) /( n − 1) ,
(19)
где п — число сечений лопасти.
Коэффициент подъемной силы промежуточного сечения
C ya к = C нагрк /( i л ⋅ bк ) .
Определим угол атаки
αк
(20)
, соответствующий найденному значению
C ya к .
По табл. 2 (см. столбец
(C y
a
≤ C ya max )
находим
C ya )
C ya ,
на восходящей ветви значений
ближайшее по величине к
C ya к ,
но
большее его. Пусть его номер в столбце таблицы будет iк, тогда номер пре-
21
дыдущего элемента — iк тервале C y iк − 1 , C y
(
a
(
)
1. Произведем линейную интерполяцию на ин(i ) для определения αк:
a к
)
αк = α (iк - 1) + (α (iк) - α (iк-1))⋅
C ya к − C ya (iк − 1)
C ya (iк ) − C ya (iк − 1)
.
(21)
Угол притекания сечения лопасти
β к = arctg (1 / zuк ) .
(22)
Угол установки (заклинения) лопасти
ϕк = βк - αк.
(23)
Итак, для каждого сечения лопасти имеем следующие параметры: относительный радиус расположения сечения, относительную (в долях наружного
радиуса) хорду профиля, коэффициент подъемной силы, угол притекания,
угол атаки, угол заклинения (угол установки) профиля.
Размерные параметры могут быть получены при построении характеристики ветроколеса и выборе рабочей точки на этой характеристике (см. подразд. 1.3 и 1.4).
1.3. Методика построения характеристик ветроколеса
1.3.1. Определение массива значений, следующих через равный шаг,
независимого переменного — угла атаки αцикл
Последнее значение в массиве αцикл
αкон = α(nтабл),
(24)
где nтабл — число точек в табл. 2.
Целое число, близкое к αкон:
α концел = E1 (α кон ⋅ 0 ,99 ) ,
(25)
где функция E1 — означает целую часть от числа.
Начальное значение массива варьируемого угла атаки α
αнач = 3 - ϕn .
(26)
22
Целая часть от αнач
α начцел = E1 (α нач ).
Рассмотрим вариант αнач < 0.
Пусть ∆1 означает разность
∆1 = α начцел − α нач > 0 .
(26а)
∆1 с величиной 0,5 и если ∆1 > 0,5, вычитаем 0,5 из
α начцел . Назовем полученную величину α нач0 , 5 :
Затем сравниваем
α нач0 , 5 = α начцел − 0,5 .
(27)
Рассмотрим вариант αнач > 0.
Пусть ∆2 означает разность
∆ 2 = α нач − α начцел > 0 .
(27а)
Сравниваем ∆2 с величиной 0,5 и если ∆2 > 0,5, добавляем 0,5 к
α нач . Назовем полученную величину так же, как и в варианте для
цел
αнач < 0, то есть α нач0 , 5 :
α нач0 , 5 = α начцел + 0,5 .
Определим
[α нач0, 5 ; α концел
число
):
точек
в
полуоткрытом
nшаг = Е1 ((α концел − α нач0 , 5 ) / Н al ) + 1 .
(28)
интервале
(29)
Общее число точек массива
nш = nшаг + 1.
Последняя точка массива
(30)
23
αцикл(nш) = αкон.
(31)
Для точек массива αцикл , идущих через равный шаг Hal :
α цикл ( j ) = α нач0 , 5 + H al ⋅ ( j − 1) , j = 1, 2, …, nшаг.
(32)
Оцениваем разность
∆ = αцикл(nш) - αцикл(nшаг).
(33)
Если ∆
> Hal , то сдвигаем влево последнюю точку, если ∆ < Hal , то
оставляем последнюю точку на месте. Итак, если ∆ > Hal , то
αцикл(nшаг) = αцикл(nш) + Hal.
Таким образом, построен массив αцикл(iц), где iц
1.3.2. Определение массивов
С у a цикл
(34)
= 1, 2, …, nш .
и
µ a цикл ,
соответствующих массиву αцикл
αцикл(iц) сравниваем с массивом α в таблице аэродинамических характеристик (см. табл. 2). Пусть номер элемента из массива α,
ближайшего к αцикл(iц), но больший его, будет iT . Тогда номер предыдущего элемента из массива α — iT – 1.
Произведем линейную интерполяцию для определения С у цикл (i ц ) и
a
Каждое значение
µ a цикл (iц ):
C ya цикл(iц ) = C ya ( iT − 1 ) +
µaцикл( iц ) = µa ( iT − 1 ) +
αцикл( iц ) − α( iT − 1 )
α( iT ) − α( iT − 1 )
⋅ ( C ya ( iT ) − C ya ( iT − 1 )); (35)
αцикл( iц ) − α( iT − 1 )
α( iT ) − α( iT − 1 )
⋅ ( µa ( iT ) − µa ( iT − 1 )). (36)
24
1.3.3. Углы притекания сечения при вариации угла атаки
Угол притекания β равен
β к , j = ϕ к + α цикл j ,
где ϕк — угол заклинения к-го сечения;
α цикл
(37)
— элемент в построенном
j
массиве αцикл.
Таким образом, βк, j — матрица значений, к — номер строки матрицы,
соответствующий номеру сечения лопасти, j — номер столбца матрицы, со-
ответствующий номеру элемента из массива αцикл .
1.3.4. Число относительных модулей каждого сечения
Число относительных модулей
z uк , j = ctgβ к , j
.
(38)
1.3.5. Определение коэффициента торможения из первого уравнения
связи
Преобразуем уравнение (1) к виду
е
(1 + е )(1 − е )
2
= А,
(39)
где
( z u + µ a ) 1 + z и2
А = С уа
8πr /( i л b )
—
(40)
правая часть преобразованного первого уравнения связи. Учитывая то, что
µa — это элемент из одномерного массива
С уа
— элемент из одномерного массива
µ a цикл
с элементами
µ aцикл j
,
С у цикл
с элементами
С у цикл j
,
25
zu — элемент матрицы zu с элементами zuк , j , r
— элемент из одномерно-
го массива с элементами rк , выражение (40) для А перепишем так:
Aк , j = С уa цикл j
( z uк , j + µ aцикл j ) 1 + z u2
к,j
−
−
.
(41)
8π rк /( i л bк )
Все величины, входящие в выражение для Aк,j , определены, поэтому
Aк,j – известные числа и образуют некоторую матрицу с элементами Aк,j .
Уравнение (39) запишем в виде
е
(1 + е )(1 − е )
2
− А=0
(42)
(пока опустим индексы к, j).
Уравнение (42) решается методом деления отрезка пополам. Задается
погрешность приближенного решения ε > 0. Определим нижнюю и верхнюю
границы корней. Так как по определению коэффициент торможения е всегда
больше нуля, то принимаем, что левой границей корней будет
eлев = 0.
(43)
В качестве правой границы корней примем
eправ =
A
.
1+ A
(44)
Выражение (44) для eправ получено путем решения уравнения
вая часть которого представляет собой функцию f1 (e ) =
же корень
e=0
и ту же особенность при
же функции f 2 ( e ) =
e
(1 + e ) ⋅ (1 − e )
2
e
= A , ле1− e
e , имеющую тот
1− e
e → 1 − 0 , но проходящую ни-
(рис.4), входящей в уравнение (42), так
f 2 ( e ) путем умножения на выражение 1 − e 2 ,
меньшее единицы (0 < e < 1). Соответственно точки пересечения горизонкак
f1 ( e )
получено из
26
Рис. 4. Пример оценки границы корней уравнения
при определении коэффициента торможения
тальной прямой f 3 ( e ) = A графиков функций f 2 ( e ) и f1 ( e ) расположены: первая — левее, а вторая — правее (рис. 4). Назовем абсциссу точки
решения уравнения (42) e x (рис. 4). Обозначим через F (e ) левую часть
уравнения (42):
F (e ) =
e
(1 + e ) ⋅ (1 − e )
Определяем знаки функции
Fe
2
− A.
(45)
на левом и правом концах интервала
[e лев ; e прав ] . Знак меняется с минуса на плюс,
F ( 0) = − A <0, поскольку А > 0, а при e = eправ
так как при
F ( eправ ) = f 2 (eправ ) − А = f1 (eправ ) + ∆ 1 − A = ∆ 1 ,
e=0
27
так как f1(eправ) = A — по условию, а ∆1 — положительная разница между
f2(eправ) и f1(eправ) (см. рис. 4).
Вычисляем разность d между правым и левым концами интервала:
d = eправ – eлев .
(46)
Сравниваем d с заданной погрешностью ε. Если d >ε, делим интервал
пополам. Первое приближение искомого корня
e1 x = 0,5 ⋅ ( eправ + e лев ) .
(47)
F(e) при e = e1 x . Сравниваем знак F (e1 x ) со знаконце интервала, то есть с минусом. Если F (e1 ) <
x
Определяем знак
ком
F(e)
< 0,
на левом
то присваиваем левому концу нового интервала значение
e1 x
, т.е.
e лев = e1 x , а правый оставляем прежним. Сравниваем величину разности
d по (46) с заданным ε. Если точность не достигнута, идем на новое дробление интервала и получаем второе приближение:
e2 x = 0,5 ⋅ (eправ + e лев ) .
(48)
Если же знак
F (e1 x )
совпадает со знаком функции на правом конце
интервала, то есть
F (e1 x )
> 0, тo присваиваем правому концу нового ин-
тервала значение
e прав = e1 x ,
а левый оставляем прежним. Строим раз-
ность d по (46), сравниваем ее с погрешностью ε и если требуемая точность
не достигнута, идем на новое деление отрезка [e лев ; e прав ] пополам в соответствии с (48).
Процесс прерывается, когда заданная точность достигнута. Тогда корню
можно присвоить левое либо правое значение концов интервала. Обычно
точность такого типа соотношений при ε порядка 0,1 достигается за две–три
итерации. Итак, найден корень уравнения (42) — ex , однако, учитывая то,
что A — это элемент матрицы Aк, j , решение уравнения (42) ex также является матрицей коэффициентов торможения с элементами eк, j , где к — номер
сечения лопасти, j — номер элемента массива варьируемого параметра α.
28
1.3.6. Приведенный элементарный относительный крутящий момент
Используя выражение для элементарного окружного усилия dQокр ,
создаваемого суммарной аэродинамической силой, действующей на элементарные лопасти (см. рис. 1 и 2),
ρ
dQокр = i л ⋅ b ⋅ dr ⋅ W 2 ⋅ (C ya ⋅ sin β − C x a ⋅ cos β ) ,
2
выражение C x через C y C x = µ a ⋅ C y , зависимость для
a
a
a
a
(
тельной скорости W
)
(49)
относи-
2
2
W =
(V − v1 )2
2
sin β
2
=V ⋅
(1 − e ) 2
2
sin β
,
(50)
связь между ctgβ и числом zu (zu = ctgβ), а также выражение sinβ и cosβ
через ctgβ для элементарного момента относительно оси ветряка, имеем
dM = dQокр ⋅ r = 4πr 2 ⋅ ρ ⋅
1 − µ a zu
e
⋅V 2 ⋅
⋅ dr .
zu + µ a
1+ e
(51)
Здесь использовано также первое уравнение связи (1) для исключения из
соотношения (49) выражения i л bC y .
В относительных единицах
dM =
e 1 − µ a zu −
−2
=
⋅
⋅
⋅d r.
8
r
2
+
+
µ
1
e
z
V
u
a
πR 3ρ
2
dM
(52)
Назовем приведенным относительным элементарным моментом величину отношения d M к dr :
−
M∗ =
dM
e 1 − µ a zu
2
.
= 8r ⋅
⋅
1 + e zu + µ a
dr
(53)
29
Приведенный относительный элементарный момент представляет собой
*
матрицу с элементами M к , j , так как в правой части выражения (53) величины зависят от к и j .
1.3.7. Коэффициент быстроходности конца лопасти, создаваемый
элементарными лопастями, расположенными на радиусах rк ,
при различных углах атаки
По второму уравнению связи (2) и с учетом того, что
zR =
ем
z uк , j ⋅ ( 1 − e к , j ) −
z Rк , j =
z
, получаr
eк , j
z uк , j ⋅ ( 1 + e к , j )
r−
(54)
,
k
где z u
определено по выражению (38).
к, j
Имеем матрицу элементов z R .
к, j
1.3.8. Итог построения трех матриц
− ∗
Итак, построены три матрицы с элементами eк,j , М к , j и
z Rк , j , где
первый индекс к, означает номер сечения лопасти, а второй j — номер элемента из массива варьируемого угла атаки α.
1.3.9. Построение одномерного массива коэффициентов
быстроходности zh конца лопасти
Для получения зависимости суммарного относительного момента от коэффициента zR для всех сечений лопасти необходимо иметь значения вели*
при одном и том же zR . Для этого прежде всего строится одночины M
мерный массив zh величин, идущих через равный шаг в диапазоне значений
элементов матрицы z R к , j .
30
Определяются минимальное и максимальное значения zR из всех элементов матрицы z R к , j :
z R min = min( z Rк , j ) ;
z R max = mах ( z Rк , j ) .
Присваиваем первому элементу одномерного массива
значение элементов матрицы zR:
минимальное
z h (1) = z Rmin .
Определяется целое число, ближайшее к
(55)
z R min , но большее его:
zmin цел = Е1 ( z R min ) + 1 ,
(56)
где E1 означает целую часть числа.
Принимаем, что zmin цел — вторая точка массива, т. е.
z h ( 2) = zmin цел .
Находим целое число, ближайшее к
(57)
z R max , но меньшее его:
zmax цел = Е1 ( z R max ) .
В полуоткрытом интервале
массива
zh
[ zmin цел ; zmax цел ) расположим элементы
, идущие через постоянный шаг
zmin цел .
(58)
Hz
, начиная с элемента
Количество точек, находящихся в этом интервале,
пкон = Е1 (( zmax цел − zmin цел ) / H z ) + 1 .
Величины элементов в полуоткрытом интервале [ zmin
цел
z h ( iц + 1 ) = z min цел + H z ⋅ ( iц − 1 ) ,
где iц
= 1, 2, …, nкон .
(59)
; zmax цел ) :
(60)
31
= 1 имеем вторую точку массива z h ( 2) = zmin цел , что соответствует требованию построения точек интервала. При iц = nкон всё завии шага Hz: если шаг укласит от соотношения разности zmax
− zmin
цел
При iц
цел
дывается в интервале zmax
цел
− zmin цел целое число раз, то
E1 (( zmax цел − zmin цел ) H z ) = ( zmax цел − zmin цел ) H z ,
так как десятичная часть отсутствует (число целое) и выражение (60) для
iц = nкон дает:
zh (пкон + 1) = zmin цел + H z ⋅ ( zmaxцел − zmin цел ) H z = zmaxцел .
Если же шаг не укладывается целое число раз в интервале
zmax цел − zmin цел ,
то точка
z h ( пкон + 1)
лежит левее точки
zmax цел .
Последняя точка одномерного массива
z h ( пкон + 2) = z Rmax .
(61)
Общее число точек одномерного массива
nz = пкон + 2 .
(62)
1.3.10. Построение моментнoй характеристики
Суммарный относительный теоретический момент, или коэффициент
теоретического момента:
1
C mтеор ( Z h ) = ∫ M * (z h , r ) dr ,
r0
или переводя на язык суммы, например, по методу трапеций
(63)
32
С ттеор ( z h ) =
−
∗
∗
( z h ) + М инт
( z h )) +
∆ r ⋅ (0,5 ⋅ ( М инт
1
n
п−1
∗
∑ М инт
к =2
к
( z h )) , (64)
где п — число сечений лопасти;
∆r = (1 − r0 ) ( n − 1) —
*
шаг между сечениями; M инт
(65)
∗
М
z
—
это
величина
, полученная с
(
)
h
к
помощью интерполяции для заданного zh и для каждого к-го сечения (см.
формулу (66)).
Чтобы найти номера двух последовательных элементов, определяющих
интервал интерполяции, необходимо найти эти номера в каждой к-й строке
матрицы z R . В силу того что элементы каждой строки, как показывает
кj
расчетный опыт, монотонно убывают, то, как следствие, однозначно определяется номер элемента строки, ближайшего к заданному zh , но меньшего
его. Пусть это будет номер it , тогда номер предыдущего элемента — it –1.
Этим же номерам соответствуют подлежащие интерполяции элементы
матриц
∗
М кj
и
екj .
Величины
∗
М инт
и eинт ,
к
k
соответствующие за-
данному элементу zh из одномерного массива:
∗
(z) =
М инт
к
М к∗,it −1
+ ( М к∗,it
− М к∗,it −1 ) ⋅
z − z Rк , i
t −1
z Rк , i − z Rк , i −1
t
t
,
(66)
где zh для простоты заменено на z,
e инт k ( z ) = e k ,it + ( e k ,it − e k ,it −1 ) ⋅
z − z Rк , i
t −1
z Rк , i − z Rк , i
t
.
(67)
t −1
Затем определяется среднеарифметическое интерполяционных значений
eинт по всем сечениям:
к
1 n
eср ( z ) = ∑ eинт k ( z ) .
n k =1
Коэффициент концевых потерь
(68)
33








2


 1 − еср 

 8 1 + 

2
4еср
z
 (69)

1
 −

M конц ( z ) =
⋅
.
z ⋅ ( 1 + еср )
( 1 + еср ) ⋅ i л ⋅ z








i
z
⋅
л

1+

2 

 
еср  

  

1
π
−
 

2
  
 

Коэффициент момента с учетом концевых потерь
С т ( z ) = C m теор ( z ) − M конц ( z ) .
(70)
1.3.11. Построение мощностной характеристики
Коэффициент мощности
ношением
Cp связан с коэффициентом момента Cm соот-
Cp(z)= Cm(z)⋅z .
(71)
1.3.12. Итог построения моментной и мощностной характеристик
По приведенным выше формулам строятся функциии Cm(z) и Cp(z)
для каждого значения z из одномерного массива с элементами, идущими через постоянный шаг.
1.3.13. Выбор рабочей точки характеристики Cm(z) и Cp(z)
Имея зависимости Cm(z) и Cp(z), выбирают значение zр.т, при котором Cp(z) достигает максимального значения. Обычно кривая Cp(z) имеет
плавный характер с резко выраженным максимумом. Итак,
C p p . m = max(C p ( z )) ; z p.т = zopt .
При этом же значении z определяют и Cm(z):
34
С т р . т = C p р . т / zopt
.
Эти значения Cp и Cm считаем расчетными и присваиваем им индекс
«расч». А принимаемое уточнённое для практических расчетов Cp выражас некоторым понижающим коэффициентом, в частности,
ется через С р
расч
С р = 0 ,85 ⋅ С р расч ,
С т = C p / z p .т ,
где
z p.т = zopt
— значение
z , при котором Cp(z) достигает максимума.
1.3.14. Коэффициент силы лобового давления при расчетной
скорости ветра
В общем виде коэффициент лобового давления B может быть записан
так:
B=
Р
2
ρV πD
⋅
2
4
2
,
(74)
где
R
W 2( r )
—
Р = i л ∫ С уa ( r ) ⋅ b( r ) ⋅ dr ⋅ ρ
2
(75)
r0
сила лобового давления на колесо, Н.
Учитывая связь модуля относительной скорости ветра W и модуля абсолютной скорости ветра V через угол натекания β и коэффициент торможения e
W=
V (1 − e ) ,
sin β
(76)
имеем в относительных единицах
1
iл
(1 − e ) 2
B = ∫ С у (r ) ⋅ b (r ) ⋅
dr
2
a
π
sin β
r0
.
(77)
35
Переходя от интеграла к сумме, например, по методу трапеций, для коэффициента силы лобового давления при расчетной скорости ветра получаем
i л  f1 + f n n −1 
+ ∑ fk ,
B = ∆r ⋅


π 2

k =2
(78)
где
f k = С у a k ⋅ bk ⋅
(1 − e ) 2
2
sin β
(79)
.
Величины относительной хорды сечений лопасти определяются при
расчете геометрии лопасти, а величины
C ya k , ek и βk — это интерполяци-
онные значения этих величин для заданного z — в зависимости от номера
k сечения. Номера двух последовательных элементов в матрице z Rk , j при
заданном
z
для каждого
k
it
выше были обозначены через
(см. подразд. 1.3.10). Тогда аналогично тому, как это сделано для
для C y и β имеем
a
C y a инт k ( z ) = C ya
k ,it
+ (C y a
k , it
− C ya
k , i t −1
β инт k ( z ) = β k , i t −1 + (β k , i t − β k , i t −1 ) ⋅
)⋅
z − z Rк ,i −1
t
z Rк ,i − z Rк ,i −1
t
из
C ya
j
— элемент из массива
массива
α цикл
βk, j = ϕk + α
(см.
C ya
цикл
t
z Rк ,i − z Rк ,i −1
выше),
при меняющемся
βk , j
—
;
(80)
t
z − z Rк ,i −1
t
где
it - 1
M ∗ и e,
и
(81)
t
αj
элемент
,
— элементе
из
массива
j (см. формулу (37)).
1.3.15. Коэффициент силы лобового давления при порыве ветра
Учитывая, что угол протекания при порыве ветра и сохранении постоянства окружной скорости
β пор = arctg(( tgβ k ) ⋅ k пор ) ,
(82)
36
где
k пор = Vпор /V
(83)
—
коэффициент порыва, получаем изменение по отношению к формулам (75) и
(76), выражающееся в том, что вместо относительной скорости W имеем
относительную скорость Wnop :
W nop =
Vnop ⋅ ( 1 − e )
sin β nop
=
K nop ⋅V ⋅ ( 1 − e )
sin β nop
.
(84)
Коэффициент силы лобового давления при порыве ветра
Bnop =
где
β nop
2 1
C yа ( r ) ⋅ b ( r ) ⋅ ( 1 − e )2
i л ⋅ K nop
∫
π
2
sin β nop
r0
⋅ dr ,
(85)
— угол притекания относительной скорости при порыве, опреде-
K nop — коэффициент порыва, определенный по (83); остальные величины C y , b , e совпадают с этими величинами в случае раса
ленный по (82);
четной скорости.
Переходя к сумме по методу трапеций, имеем:
Bnop =
2
K nop
 f nop1 + f nopn n −1
iл
⋅ ⋅ ∆r ⋅ 
+ ∑ f nopk

2
π

k =2

,


(86)
где
_
f порk =
С yа k ⋅ b k ⋅ ( 1 − e k ) 2
sin 2 β nopk
.
(87)
1.3.16. Коэффициент перегрузки
Коэффициент перегрузки определяем из соотношения
nперегр =
Bnop
B
.
(88)
37
1.4. Расчет размерных параметров ветроколеса
1.4.1. Исходные данные расчета размерных параметров
Исходными данными для расчета размерных параметров являются следующие: номинальная мощность, Вт, КПД электрический, КПД механический, плотность воздуха, кг/м3, скорость ветра расчетная, м/с, скорость ветра
при порыве, м/с, найденные расчетным путем, а затем уточненные параметры
характеристик в рабочей точке: С р , С т , z p.т , безразмерные координаты
выбранного профиля.
1.4.2. Расчетные параметры ветроколеса
Наружный диаметр D, м, ветроколеса
D=
8N
3
C p ⋅ ρ ⋅ V ⋅ π ⋅ η эл ⋅ η мех
.
(89)
Внутренний диаметр d, м, ветроколеса
d = d0 ⋅ D.
(90)
Радиус R, м, ветроколеса
R=
D
.
2
(91)
Радиус расположения сечения лопасти rk , м
rk = rk ⋅ R.
Шаг между сечениями лопасти ∆r, м
∆r = ∆r ⋅ R .
(92)
(93)
Хорда сечения bk , м
bk = bk ⋅ R.
(94)
Толщина профиля ck , м (см. рис. 3)
ck = ck ⋅ bk ,
где ck — задаваемая максимальная относительная (в долях хорды
щина профиля.
(95)
bk) тол-
38
Координаты профилей сечений лопасти строятся в соответствии с
табл. 1.3.
1.5. Построение регулировочных характеристик ветроколеса
Для получения регулировочных характеристик [6, 7], т. е. для получения
характеристик ветроколеса с измененным (по сравнению с расчетным) углом
заклинения (установки) на величину ∆ϕ , следует к величинам ϕ k для всех
сечений лопасти добавить одну и ту же величину
для новых углов заклинения
∆ϕ
и далее вести расчет
ϕ k нов :
ϕ k нов = ϕ k + ∆ϕ
(96)
в той же последовательности, что и для полученных в расчете геометрии лопасти углов ϕ k , заменив их на ϕ k нов .
2. ПРИМЕР РАСЧЕТА ВЕТРОКОЛЕСА С ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ОСЬЮ
ВРАЩЕНИЯ И ИСХОДНЫМИ ДАННЫМИ В СООТВЕТСТВИИ С
ТАБЛ. 1.1 — 1.3
2.1. Расчет оптимального коэффициента торможения потока
2.1.1. Коэффициент торможения потока
Задаем шесть значений коэффициента торможения потока
ный шаг от 0,27 до 0,42 по формуле (3):
ek = 0,27 + 0,15 ⋅
При пе = 6
e k = 0,27 + 0,15 ⋅
e
через рав-
ke − 1 .
пе − 1
ke − 1
= 0,27 + 0,03 ⋅ ( k e − 1) ;
6−1
kе = 1; 2; 3; 4; 5; 6;
е1 = 0,27 ; е2 = 0,3 ; е 3 = 0,33 ; е4 = 0,36 ; е5 = 0,39 ; е6 = 0,42 .
2.1.2. Коэффициент идеальной мощности
По формуле (4) определяем шесть значений коэффициента идеальной
мощности С р , соответствующих шести значениям е k :
ид
С рид = 4е ⋅
1−е
;
1+ е
39
1 − е1
1 − 0 ,27
= 0 ,621 .
= 4 ⋅ 0 ,27 ⋅
1 + 0 ,27
1 + е1
значений е k величины С р
представлены
ид
С рид = 4е1 ⋅
1
Для остальных
k
ниже в
табл. 4.
2.1.3. Коэффициент концевых потерь
По формуле (5) определяем шесть значений коэффициента концевых потерь Т j , соответствующих е k :



2



1
е
−
8 1+


е 
1
 zR 
Тj =
⋅
−
2
1 − е  (1 + е) ⋅ i л ⋅ z R





i
z
⋅

1+ л R 
 
е 

π
1
−




2




Приведем вычисление
Тj
для
е1 ,





 .







остальные значения представим в
табл. 4:
Тj
1




2
 8 1 +  1 − 0,27 
0,27 
1
 6,5 
=
⋅
−
2
1 − 0,27  (1 + 0,27) ⋅ 3 ⋅ 6,5





⋅
3
6,5


1+
 
0,27  

−
π
1




2  
 







 = 0,069.






40
2.1.4. Коэффициент профильных потерь
По формуле (6) определяем шесть значений коэффициента профильных
потерь Т р , соответствующих е k :
1− е

zR
 .
Т р = 2µ а min ⋅ 
+
3
1
z
⋅
(
−
е
)
 R

Приведем вычисление Т р для е1 , остальные значения даны в табл. 4:
6,5
 1 − 0,27

Т р1 = 2 ⋅ 0,0182 ⋅ 
+
 = 0,112 .
3 ⋅ (1 − 0,27 ) 
 6,5
2.1.5. Коэффициент потерь на кручение струи
По формуле (7) определяем средний по высоте лопасти коэффициент
быстроходности:
z ср =
1 + r0
1 + 0, 2
⋅ zR =
⋅ 6,5 = 3,9 .
2
2
По формуле (8) вычисляем средний по высоте лопасти относительный
КПД элементарного ветряка ηотн для е1 , остальные значения даны в табл.
4:
ηотн =
1−
1+
µ a min ⋅ zср
1−е
µ a min ⋅ (1 − е )
;
zср
0 ,0182 ⋅ 3 ,9
1 − 0 ,27
η отн1 =
= 0 ,8997 ≈ 0 ,900 .
0 ,0182 ⋅ ( 1 − 0 ,27 )
1+
3 ,9
1−
По формуле (9) определяем коэффициент потерь на кручение струи для
е1 , остальные значения приведены в табл. 4:
41
2
⋅
Т т = С рид ⋅η отн
Т т1 = 0 ,621 ⋅ 0 ,9 2 ⋅
ln( 1/r0 )
ln(1/0 ,2 )
2 ⋅ 6 ,5
2
2
2z R
;
= 0 ,0096 ≈ 0 ,010
.
2.1.6. Предварительный коэффициент мощности
По формуле (10) вычисляем предварительный коэффициент мощности
С рпредв для е1 , остальные значения С рпредв даны в табл. 4:
(
С рпредв = С рид ⋅ (1 − d02 ) − Т j − Т р − Т т
);
С рпредв 1 = 0 ,621 ⋅ (( 1 − 0 ,22 ) − 0 ,069 − 0 ,112 − 0 ,010 ) = 0 ,477 .
2.1.7. Значения параметров, зависящих от коэффициента торможения е
В табл. 4 приводим величины найденных параметров при различных
значениях e.
Таблица 4
Величины найденных параметров при различных значениях e
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
Наименование
параметров
Обозначение
Номера точек
1
2
3
4
5
6
Коэффициент торможения потока
Коэффициент идеальной
мощности
Коэффициент концевых
потерь
Коэффициент профильных потерь
Средний по высоте лопасти относительный КПД
Коэффициент потерь на
кручение струи
Предварительный коэффициент мощности
е
0,27
0,3
0,33
0,36
0,39
0,42
С рид
0,621 0,646 0,665 0,678 0,685 0,686
Тj
0,069 0,078 0,087 0,097 0,107 0,119
Тр
0,112 0,117 0,121 0,127 0,133 0,139
ηотн
0,900 0,896 0,891 0,886 0,881 0,875
Тт
0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010
С рпредв
0,477 0,488 0,493 0,492 0,486 0,475
42
2.1.8. Выбор максимального значения
С рпредв
соответствующего ему значения
и определение
е — еopt
Из строки 7 табл. 4 видно, что максимальным значением
ется число 0, 493, т.е.
С рпредв
max
С рпредв явля-
= 0,493 , а еopt = 0,33 .
2.2. Расчет относительных параметров геометрии лопасти
Для
е = еopt = 0,33
при числе сечений лопасти
п=5
определяем
геометрию лопасти при выбранных пяти сечениях.
2.2.1. Относительный радиус расположения сечения лопасти
п = 5:
(1 − r0 ) ⋅ ( k − 1)
rk = r0 +
, k = 1, 2,..., 5.
( 5 − 1)
k −1
;
При r0 = 0,2 rk = 0,2 + 0,8 ⋅
4
r1 = 0,2 — корневое сечение;
r2 = 0,4 ; r3 = 0,6 ; r4 = 0,8 ; r5 = 1 .
По формуле (11) вычислим rk для
2.2.2. Коэффициент быстроходности сечения лопасти
По формуле (12) находим zk = z R ⋅ rk = 6,5 ⋅ rk ;
z 1 = 1,3; z 2 = 2,6; z 3 = 3,9; z 4 = 5,2; z5 = 6,5
.
2.2.3. Число относительных модулей сечения лопасти
По формуле (13) вычисляем
1+
1 + C Pид
1+
1 + 0 ,665
zk2
zk2
= zk ⋅
zuk = zk ⋅
2 ⋅ ( 1 − eopt )
2 ⋅ ( 1 − 0 ,33 )
.
43
Для k=1




1
0
,
665
+
1,3 ⋅ 1 +
2

1,3 

 = 2,115 .
zu1 =
2 ⋅ (1 − 0,33 )
Остальные значения z u представлены в табл. 5.
2.2.4.
Коэффициент
суммарной
нагруженности
сечений
лопастей,
находящихся в зоне действия элементарной кольцевой струи
По формуле (14) определяем
C нагрk =
8 ⋅ π ⋅ rk ⋅ eopt
1
⋅
(1 + eopt )⋅ (1 − eopt ) (z u
2
k
Для k=1
C нагр1 =
8 ⋅ π ⋅ 0,2 ⋅ 0,33
1
⋅
(1 + 0,33) ⋅ (1 − 0,33) (2,115 + 0,0182) ⋅
2
)
+ µ amin ⋅ 1 +
z u2
k
1 + 2,115
2
.
= 0,557
.
Остальные значения C нагр приведены в табл. 5.
2.2.5. Значения параметров для пяти сечений лопасти
Таблица 5
Значения параметров для пяти сечений
№
п/п
1
2
3
4
Наименование
параметров
Относительное расстояние сечения лопасти от
оси колеса
Коэффициент быстроходности сечения лопасти
Число относительных
модулей сечения лопасти
Коэффициент суммарной
нагруженности
Обозначение
Номера сечений лопасти
1
(корневое)
2
3
4
5
(периферия)
rk
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
zk
1,3
2,6
3,9
5,2
6,5
z uk
2,115
3,974
5,884
7,809
9,740
C нагрk
0,557
0,340
0,237
0,180
0,145
44
2.2.6. Коэффициент подъемной силы периферийного сечения
= С у ( µ a min ) .
a
Из исходных данных (см. табл. 2) имеем µ a min = 0,0182 , соответствующее ему C y —
a
По формуле (15) —
Итак,
С уa
периф
Су
a периф
C y ( µ a min ) = 0,85 .
a
= 0,85 .
2.2.7. Относительная хорда (в долях наружного радиуса колеса)
периферийного сечения
Из формулы (16) имеем
bпериф =
C нагрпериф
i л ⋅ C уa
=
периф
C нагр5
i л ⋅ C уa
= 0 ,145 /( 3 ⋅ 0 ,85 ) = 0 ,057 ≈ 0 ,06 .
периф
Относительная хорда в долях диаметра колеса равна
bпериф = bпериф / 2 ≈ 0 ,06 / 2 = 0 ,03 (т.е. около 3 %).
D
2.2.8. Коэффициент подъемной силы корневого сечения
По уравнению (17) определяем
С уa
корн
= 0,9 ⋅ С уa
Из исходных данных (см. табл. 2) имеем
тельно,
С уa
корн
max
С уa
.
max
= 1,18 , следова-
= 0,9 ⋅ 1,18 = 1,062 .
2.2.9. Относительная хорда (в долях наружного радиуса колеса)
корневого сечения
По уравнению (18) определяем
−
b корн =
C нагркорн
i л ⋅ C yкорн
=
0,557
= 0,175 .
3 ⋅ 1,062
45
−
Принимаем b корн = 0,18 .
Относительная хорда в долях диаметра колеса
−
b корн 0 ,18
=
= 0 ,09 .
b корнD =
2
2
−
2.2.10. Относительная хорда (в долях радиуса колеса)
промежуточного сечения
По формуле (19) вычисляем
−
−
−
−
b к = b корн + ( b периф − b корн ) ⋅
Для
k = 1 (корневое сечение)
−
k −1
n−1
.
−
b1 = b корн = 0,18 (см. выше),
для k = 2
−
b 2 = 0,18 + ( 0,06 − 0,18) ⋅
для
−
2−1
= 0,15 ,
5−1
−
−
k = 3 b 3 = 0,12 , для k = 4 b 4 = 0,09 , для k = 5 b 5 = 0,06
(периферия).
2.2.11. Коэффициент подъемной силы промежуточного сечения
По формуле (20) —
C ya =
C нагрk
, тогда
i л ⋅ bk
C ya 1 = 0,557 /( 3 ⋅ 0,18) = 1,062 ,
C ya 2 = 0,340 /( 3 ⋅ 0,15) = 0,779 ,
k
C ya 3 = 0,237 /( 3 ⋅ 0,12) = 0,681 ,
C ya 4 = 0,180 /( 3 ⋅ 0,09) = 0,696 ,
C ya 5 = 0,146 /( 3 ⋅ 0,06 ) = 0,85 .
46
2.2.12. Номер ik элемента на восходящей ветви исходных значений
C y , ближайшего по величине к C ya k и большего его
a
Сравниваем
C ya k
с восходящей частью массива исходных данных
(см. табл. 2, второй столбец).
Для первого сечения
табл. 2 (для
C ya 1 = 1,062 и, сравнивая его с элементами
C ya k < 1,18 ), имеем i1 = 8
для второго сечения —
C ya 2 = 0,779
;
и
i2 = 6 ;
C ya 3 = 0,681 и i3 = 5 ;
для четвертого сечения — C y 4 = 0,696 и i4 = 5 ;
a
для третьего сечения —
для пятого сечения —
C ya 5 = 0,85
(для пятого сечения значение
сива
C ya
C ya 5
и i5
=6
совпадает со значением элемента мас-
в табл. 2).
2.2.13. Угол атаки промежуточного сечения
По уравнению (21) определяем
α k = α( ik − 1) + (α ( ik ) − α( ik − 1)) ⋅
Приведем вычисление α к , например, для
пишем результаты вычислений:
C ya k − C ya ( ik − 1)
C ya ( ik ) − C ya ( ik − 1)
k = 3 , а для
остальных за-
k = 3 i3 = 5 , тогда i3 − 1 = 4 ; α( 4 ) = 0o ; α( 5 ) = 1o ;
C ya ( 4) = 0,65 ;
C ya ( 5) = 0,76 .
для
k = 3 C ya 3 = 0,681 (см. выше).
Итак, для k = 3
При
.
47
α 3 = α( 4 ) + ( α( 5 ) − α( 4 )) ⋅ ( 0 ,681 − C ya ( 4 )) /( C ya ( 5 ) −
− C ya ( 4 )) = 0o + ( 1o − 0o ) ⋅ ( 0 ,681 − 0 ,65 ) /( 0 ,76 − 0 ,65 ) =
= 0 ,28o .
Аналогично получим остальные α k :
α 1 = 4 ,71o ; α 2 = 1 ,22o ; α 3 = 0 ,28o ; α 4 = 0 ,41o ; α 5 = 2o .
2.2.14. Угол притекания сечения допасти
По формуле (22) определяем
β к = arctg(1 / zuк ) .
zuк ,
В соответствии с полученными значениями
приведенными
в табл. 5,
β1 = arctg (1 / 2,115) = 25,3o ;
β 2 = 14 ,1o ; β 3 = 9,6o ; β4 = 7,3o ; β5 = 5,9o .
2.2.15. Угол заклинения (установки) сечения лопасти
ϕк = βк − α к ;
ϕ1 = β1 − α1 = 25,3o − 4,7o = 20,6o ;
По формуле (23) —
ϕ 2 = 12,9o ; ϕ 3 = 9,4o ; ϕ 4 = 6,9o ; ϕ5 = 3,9o .
2.2.16. Итог расчета относительных параметров геометрии лопасти
В табл.2.3 приведены относительные параметры расчета геометрии лопасти.
Таблица 6
Относительные параметры геометрии лопасти
№
п/п
1
2
Наименование параметров, единицы измерения
Относительный
радиус
расположения сечения сечения лопасти,о.е.
Относительная (в долях
наружного радиуса колеса) хорда сечения лопасти,
о.е.
Обозначе1
ние (корень)
Номера сечений
2
3
4
5
(периферия)
rk
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
−
0,18
0,15
0,12
0,09
0,06
bk
48
Окончание табл. 6
№
п/п
Наименование параметров, единицы измерения
Обо
значение
1
(корень)
2
3
4
5
(периферия)
C ya k
1,062
0,779
0,681
0,696
0,85
Номера сечений
3
Коэффициент подъемной силы
4
Угол притекания, град.
βk
25,3
14,1
9,6
7,3
5,9
5
Угол заклинения (установки) сечения лопасти, град.
ϕk
20,6
12,9
9,4
6,9
3,9
2.3. Построение характеристик ветроколеса
2.3.1. Определение массива углов атаки
α цикл
,
следующих через равный шаг
H al = 2,5o .
По табл. 2 определяем α ( nтабл ) , то есть последнее значение в масси-
Примем шаг
ве, заданном таблично:
α( nтабл ) = α(15) = 20o .
По уравнению (24) вычисляем
α кон = α ( nтабл ) = 20o .
По формуле (26) определим α нач — начальное предварительное значение массива:
α нач = 3 − ϕ n = 3 − ϕ 5 = 3 − 3,9 = −0,9 < 0
(значения ϕк см. в табл. 6).
Определим целую часть от α нач :
α нач
цел
= E 1 ( −0,9) = 0 .
∆1 для варианта αнач < 0 по формуле (26а):
∆1 = αначцел − αнач = 0 − ( −0,9) = 0,9 .
Вычислим разность
Так как
∆1 > 0,5 , для получения начальной точки массива значений α,
идущих через равный шаг, вычитаем 0,5 из α нач
. По формуле (27) —
цел
αнач0,5 = αнач цел − 0,5 = 0 − 0,5 = −0,5 .
49
По уравнению (25) определим целое число
α концел
α концел = Ε1 (α кон ⋅ 0,99 ) = Ε1 (20 ⋅ 0,99 ) = Ε1 (19,8 ) = 19 .
По формуле (29) вычислим число точек в полуоткрытом интервале
[α нач0 , 5 ; α концел ) :
nшаг
 α концел − α нач0 ,5 
 + 1 == Ε1  19 − ( −0 ,5 )  + 1 =
= Ε1 


H al
2 ,5




 19 ,5 
= Ε1 
 + 1 = Ε1 (7 ,8 ) + 1 = 7 + 1 = 8.
 2 ,5 
Общее число точек массива найдем по формуле (30):
= 8 + 1 = 9.
nш = nшаг+ 1 =
Последнюю точку массива определим по уравнению (31):
α цикл nш = α кон , или α цикл 9 = 20o .
Для точек массива, идущих через равный шаг, из формулы (32 ) имеем
α цикл j = α нач + H al ⋅ j − 1 ,
(
)
( )
( )
где j=1, 2, ... , nшаг .
В нашем случае
0,5
(
)
α цикл ( j ) = −0,5 + 2,5 ⋅ ( j − 1) ,
где j = 1, 2, ... , 8.
По формуле (33) найдем разность
∆ = α цикл (nш ) − α цикл (nшаг ) = α цикл (9 ) − α цикл (8 ) =
= 20o − 17o = 3o > H al = 2 ,5o .
Следовательно, (см. (34)), сдвигая влево последнюю точку, получаем
α цикл (nш ) = α цикл (nшаг ) + H al = α цикл (8 ) + 2,5 = 17 + 2,5 = 19,5 .
Итак, построен массив
чения элементов
α цикл
α цикл
, состоящий из девяти элементов. Зна-
приведены в табл. 7.
50
2.3.2. Определение массивов
C ya цикл
и
µ a цикл ,
соответствующих массиву αцикл
Каждое значение αцикл(j) сравниваем с массивом значений α, заданных
таблично (см. табл. 2).
Например, первый элемент αцикл(1)
= - 0,5.
α, ближайшего к числу – 0,5, но большего
его, — это: iT = 4, тогда iT - 1= 3, при этом α (4) = 0°; α (3) = - 2° .
Соответственно в массиве C y
a
В табл. 2 номер элемента
C ya ( 4) = 0,65; C ya ( 3) = 0,5;
в массиве µa
µ a ( 4) = 0,0192; µ a ( 3) = 0,025.
Произведем линейную интерполяцию соответственно по (35) и по (36)
для определения первого элемента массива C y цикл и первого элемента
массива
a
µ a цикл :
C ya цикл ( iц ) = C ya ( iT − 1) +
При iц
α цикл ( iц ) − α ( iT − 1)
= 1; iT = 4; iT –1 = 3
C y a цикл (1) = C y a ( 3) +
α ( iT ) − α ( iT − 1)
α цикл (1) − α ( 3)
(
)
⋅ C ya ( iT ) − C ya ( iT − 1) .
(
)
⋅ C y a (4) − C y a ( 3) =
α (4) − α ( 3)
− 0,5 − ( − 2 )
= 0 ,5 +
⋅ (0,65 − 0,5 ) = 0,612.
0 − ( −2 )
α цикл ( i ц ) − α ( iT − 1)
µ a цикл ( iц ) = µ a ( iT − 1) +
⋅ (µ a ( iT ) − µ a ( iT − 1) ).
α ( iT ) − α ( iT − 1)
При iц
= 1; iT = 4; iT –1 = 3
µ a цикл (1) = µ a ( 3) +
= 0,025 +
α цикл (1) − α ( 3)
α ( 4) − α ( 3)
⋅ (µ a ( 4) − µ a ( 3) ) =
− 0 ,5 − ( − 2 )
⋅ (0,0192 − 0,025 ) = 0,02065 ≈ 0,0207.
0 − ( −2)
51
Аналогично определяются остальные элементы массивов
µ aцикл .
В табл. 7 приведены элементы массивов αцикл ,
C ya цикл
и
C ya цикл и µ a цикл .
Таблица 7
C ya цикл и µ a цикл .
µ aцикл
C ya цикл
Значения элементов массивов αцикл
Номера точек
αцикл
1
2
3
4
5
6
7
8
9
- 0,5°
2,0°
4,5°
7,0°
9,5°
12,0°
14,5°
17,0°
19,5°
,
0,612
0,850
1,053
1,140
1,175
1,160
1,122
1,075
1,005
0,0207
0,0182
0,0213
0,0339
0,0547
0,0862
0,1305
0,1820
0,2487
2.3.3. Построение элементарного момента в зависимости от
коэффициента быстроходности для каждого сечения лопасти
Угол притекания сечения при вариации угла атаки α
Как следует из формулы (37), матрица значений углов притекания
β kj = ϕ k + α цикл ,
j
где k — номер сечения лопасти; j - номер элемента в массиве αцикл.
В табл. 6 приведены
ϕk
для k= 1, 2,..., 5. Изменение
= 1, 2,..., 9 дано в табл. 7. Таким образом, матрица
β kj
α цикл j
при j =
определена. Напри-
мер, для второго сечения и седьмого элемента из массива αцикл имеем
β 2,7 = ϕ 2 + α цикл7 = 12,9o + 14,5o = 27,4o .
Аналогично определяются остальные элементы матрицы
β kj
(табл. 8).
Число относительных модулей каждого сечения вычисляется по (38):
52
z ukj = ctgβ kj .
Например, для второго сечения и седьмого элемента из массива αцикл
z u2 , 7 = ctgβ 2,7 = ctg 27,4o = 1,93 .
Элементы z u даны в табл.8.
kj
Таблица 8
β
Значения
Первое
сечение
(корень)
Номер
точек
массива
β
20,090
22,590
25,090
27,590
30,090
32,590
35,090
37,590
40,090
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Второе
сечение
zu
2,73
2,40
2,14
1,91
1,73
1,56
1,42
1.30
1.19
β
12,410
14,910
17,410
19,910
22,410
24,910
27,410
29,910
32,410
и
zu
Третье
сечение
zu
β
4,55
3,76
3,19
2,76
2,43
2,15
1,93
1,74
1,58
8,870
11,370
13,870
16,370
18,870
21,370
23,870
26,370
28,870
Четвертое
сечение
zu
zu
β
6,380
8,880
11,380
13,880
16,380
18,880
21,380
23,880
26,380
6,41
4,98
4,05
3,41
2,93
2,56
2.26
2.02
1,81
8,94
6,40
4,97
4,05
3,40
2,92
2,55
2,56
2,02
Пятое
сечение
(периферия)
β
3,360
5,860
8,360
10,860
13,360
15,860
18,360
20,860
23,360
zu
17,02
9,74
6,80
5,21
4,21
3,52
3,01
2,62
2,32
Строки табл. 8 соответствуют столбцам матриц βkj и Zkj.
Правая часть преобразованного уравнения связи
По формуле (41) вычисляем
Α kj = C ya j ⋅
где rk , bk приведены в табл. 6,
µ aцикл
и
(zu
kj
+ µa j
) 1 + zu2
8π rk / (i л ⋅ bk )
µ a j и C ya j
kj
,
даны в табл. 7 и обозначены
C ya цикл ; iл - число лопастей, iл = 3.
Например, для корневого сечения, т.е. при k = 1 и r1 = 0,2, вычислим
Α1, j , соответствующий первому элементу массива αцикл, т.е. j = 1:
Α1,1 = C ya цикл1 ⋅
(zu
1 ,1
53
)
+ µ a цикл 1 1 + zu2
8π r1 / (i л ⋅ b1 )
(
2,73 + 0,0207 ) 1 + 2,732
= 0,612 ⋅
8π ⋅ 0,2 (3 ⋅ 0,18 )
(значения
µ aцикл
и
C ya цикл
Α1, j
для сечений лопасти при k=2, 3, 4, 5. Величины
Значения параметра
αцикл
1
2
3
4
5
6
7
8
9
=
= 0,51
взяты из табл. 7, значение
из табл. 8, значение b1 — из табл. 6).
Аналогично определяются остальные
Номера
точек массива
1 ,1
z u 1 ,1
для k = 1, а также
Α kj
—
Α kj
приведены в табл. 9.
Таблица 9
Α kj
Первое
сечение
(корень)
Второе
сечение
Третье
сечение
Четвертое
сечение
Пятое
сечение
(периферия)
0,51
0,56
0,56
0,50
0,44
0,37
0,32
0,27
0,26
0,56
0,54
0,49
0,41
0,33
0,27
0,22
0,18
0,17
0,59
0,50
0,41
0,32
0,25
0,19
0,15
0,12
0,12
0,64
0,46
0,34
0,25
0,19
0,14
0,11
0,08
0,08
1,21
0,55
0,34
0,22
0,15
0,10
0,08
0,06
0,06
Строки табл. 9 соответствуют столбцам матрицы
Α kj .
Определение корня уравнения (42)
Уравнение
e
(1 + e ) ⋅ (1 − e )
2
− Α = 0 решается методом деления от-
резка пополам. Заданная погрешность ε = 0,1.
Приведем пример для корневого сечения (k = 1) и первого элемента
массива αцикл , т. е. из табл. 9 A = 0,51.
54
Как видно из формул (43) и (44), левая граница корней
e лев = 0 ,
правая граница корней — eправ
=
A
1+ А
= 0,51/(0,51+1) = 0,34.
(
)
По формуле (45) строим функцию F eправ =
e
(1 + e )(1 − e )
2
−A и
сравниваем ее знаки на левой и правой границах интервала [e лев ; eправ ] :
F (e лев ) = − A = −0,51 < 0 ;
0 ,34
F eправ =
− 0 ,51 = 0 ,072 > 0.
2
(1 + 0,34) ⋅ (1 − 0,34)
(
)
Величину разности вычисляем по выражению (46):
d = eправ − e лев =
0,34 - 0 = 0,34 > 0,1, т.е. точность не достигнута и мы делим отрезок
[e лев ; eправ ] пополам. Первое приближение искомого корня — полусумма
=
левого и правого концов интервала:
e1 x = 0,5 ⋅ ( eправ + e лев ) = 0,5⋅(0+0,34) = 0,17.
Определяем знак F(e) при
F ( 0 ,17 ) =
Знак функции
e =eлев
e
= e1
x
= 0,17:
0 ,17
2
− 0 ,51 = −0 ,30 < 0.
(1 + 0,17) ⋅ (1 − 0,17)
в точке e = e1 совпадает
x
со знаком функции при
, поэтому левому концу интервала приписываем значение
e1 x ,
т. е. eлев = e1 = 0,17, а правый остается прежним eправ .= 0,34 .
x
Находим разность
d = eправ - eлев = 0,34 - 0,17 = 0,17 > 0,1,
т.е. точность не достигнута и мы идем на новое дробление интервала пополам.
Второе приближение — полусумма новых значений eлев и eправ:
e2 x = 0,5 ⋅ (eправ + e лев ) = 0,5⋅(0,17 + 0,34) = 0,254.
Определяем знак F(e) при e = e 2 = 0,254:
x
55
( )
F e2 x =
При
0 ,254
(1 + 0,254) ⋅ (1 − 0,254)
e = e2 x
знак функции
F(e)
2
− 0 ,51 = −0 ,148 < 0.
снова совпадает со знаком функции
на левом конце интервала, следовательно, заменяем eлев на
те чего имеем eлев
т.е. eправ = 0,34.
e 2 x , в результа-
= 0,254,
правый конец интервала оставляем прежним,
Оцениваем разность
d = eправ – eлев = 0,34 –
– 0,254 = 0,086 < 0,1.
Таким образом, точность достигнута на втором шаге процесса приближений, и мы принимаем, что приближенным значением искомого корня является e x = e x = 0,254 ≈ 0,25.
2
Итак, найден коэффициент торможения e для первого (корневого) сечения и для первогo элемента массива α цикл (варьируемого угла атаки). Аналогично получаем
e
для других элементов
α цикл
и других сечений.
В табл. 10 приведены эти значения.
Таблица 10
Значения коэффициента торможения e
Номер
точек
массива
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Первое
сечение
(корень)
0,25
0,27
0,27
0,25
0,23
0,20
0,18
0,16
0,10
Второе
сечение
Третье
сечение
Четвертое
сечение
0,27
0,26
0,25
0,22
0,19
0,16
0,09
0,08
0,07
0,28
0,25
0,22
0,18
0,10
0,08
0,07
0,06
0,05
0,29
0,24
0,19
0,10
0,08
0,06
0,05
0,04
0,03
Строки табл. 10 соответствуют столбцам матрицы ekj.
Пятое
сечение
(периферия)
0,48
0,27
0,19
0,09
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
Определение приведенного относительного элементарного момента
По уравнению (53)
56
∗
Μ kj
2
1 − µ a цикл j ⋅ zukj
8rk
,
=
⋅ ekj ⋅
zukj + µ a цикл j
1 + ekj
где k — номер сечения: k = 1, 2, …, 5; j — номер элемента варьируемого параметра
α
в массиве α цикл ; значения
rk ,
µ a цикл j , z ukj
и
ekj
даны в
табл. 5, 7, 8 и 9.
Дадим пример вычисления приведенного элементарного момента для
корневого сечения (k =1) и первого элемента варьируемого параметра
α цикл :
М1∗,1
2
1 − µ a цикл 1 ⋅ zu1,1
8r1
=
⋅ e1,1 ⋅
=
1 + e1,1
zu1,1 + µ aцикл 1
8 ⋅ 0,22
1 − 0,0207 ⋅ 2,73
=
⋅ 0,25 ⋅
= 0,022.
1 + 0,25
2,73 + 0,0207
В табл. 11 приведены значения
тов
α цикл
Μ∗
для остальных значений элемен-
и остальных сечений.
Таблица 11
Значения приведенного относительного элементарного момента
Номер
точек
массива
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Первое
сечение
(корень)
0,022
0,027
0,030
0,031
0,030
0,028
0,026
0,023
0,014
Второе
сечение
Третье
сечение
0,054
0,066
0,074
0,074
0,070
0,064
0,038
0,032
0,026
0,085
0,105
0.116
0,114
0,074
0,064
0,053
0,043
0,033
Четвертое
сечение
0,105
0,134
0,148
0,098
0,088
0,073
0,058
0,046
0,034
∗
Строки табл. 11 соответствуют столбцам матрицы Μ kj .
Пятое
сечение
(периферия)
0,099
0,142
0,159
0,102
0,087
0,070
0,053
0,040
0,027
57
2.3.4. Построение коэффициентов быстроходности конца лопасти,
создаваемых элементарными лопастями, расположенными на
радиусах rk
Коэффициенты быстроходности конца лопасти определяются по второму уравнению связи (см. формулу (2)) при различных углах атаки αцикл :
z
где
R
kj
z ukj

=  z


u
kj
(
⋅ 1 − e
kj
)−
e
z
u
kj
kj
(
⋅ 1 + e
)
kj




rk ,
— коэффициент относительных модулей, приведенный в табл. 8;
— коэффициент торможения (см. табл. 10); rk — относительное расстояние сечения от оси колеса (см. табл. 6).
В качестве примера вычислим z R для корневого сечения (k=1) и номера j = 1, соответствующего первому элементу массива варьируемого па-
ekj
раметра αцикл:


e 1 ,1
 r =
z R 1 ,1 =  z u 1 ,1 ⋅ (1 − e 1 ,1 ) −
1

z u 1 ,1 ⋅ (1 + e 1 ,1 ) 


0 , 25


=  2 , 73 ⋅ (1 − 0 , 25 ) −
 0 , 2 = 9 ,8 .
(
)
⋅
+
,
,
2
73
1
0
25


В табл. 12 приведены значения z R для всех сечений лопасти
(k= 1, 2, ... , 5) и всех элементов массива αцикл (j = 1, 2,..., 9).
Таблица 12
Значения коэффициентов быстроходности конца лопасти z R
Номер точек Первое сечение
масива
(корень)
1
9,8
2
8,3
3
7,3
4
6,7
5
6,1
6
5,7
7
5,3
8
4,9
9
5,0
Второе
сечение
8,2
6,8
5,9
5,2
4,8
4,4
4,3
3,9
3,6
Третье
сечение
7,7
6,2
5,2
4,6
4,3
3,9
3,5
3,1
2,8
Четвертое Пятое сечение
сечение
(периферия)
7,9
8,8
6,1
7,1
5,0
5,5
4,5
4,7
3,9
3,9
3,4
3,3
3,0
2,9
2,7
2,5
2,4
2,3
Строки табл. 12 соответствуют столбцам матрицы
Z Rkj
.
58
2.3.5. Построение одномерного массива коэффициентов быстроходности z h
Определяем минимальный и максимальный элементы одномерного массива z h .
На основании табл. 12 с убывающими элементами строк, представляющей собой транспонированную матрицу элементов коэффициента z R , находим минимальный элемент матрицы
него (девятого) столбца матрицы
мальный элемент матрицы
матрицы
zR
zR
как минимальный элемент послед-
z R , или девятой строки табл. 12, и макси-
как максимальный элемент первого столбца
z R , или первой строки табл. 12:
z Rmin =min(5,0; 3,6; 2,8; 2,4; 2,3) = 2,3;
z Rmax = max(9,8; 8,2; 7,7; 7,9; 8,8) =9,8 .
Таким образом, одномерный массив z h расположен между числами
z R =2,3 и z R =9,8.
min
max
Присвоим первому элементу одномерного массива
z h минимальное
z R в соответствии с формулой (55):
z h (1) = z Rmin =2,3 .
значение элементов матрицы
Пo формуле (56) вычисляем целое число, ближайшее к
шее его:
(
z Rmin , но боль-
)
zmin цел = Ε1 z Rmin + 1 = Ε1 (2,3 ) + 1 = 2 + 1 = 3 .
Как следует из уравнения (57), это вторая точка массива z h :
zh (2)= zmin
= 3.
цел
Определим целое число, ближайшее к
(
В
z R max , но меньшее его:
= Ε 1 (9,8) = 9.
)
zmax цел = Ε1 z Rmax
полуоткрытом интервале [ zmin ; zmax
),
цел
цел
[3;9) расположим элементы массива
то есть в интервале
z h , идущие через постоянный шаг, на-
чиная с элемента z h = 3. Количество этих точек по формуле (59)
nкон = Е1 (( zmin цел - zmax цел ) / HZ )+1,
59
или при выбранном шаге
HZ = 1,5
и для полученных выше
z minцел
и
z max цел
nкон= Е1  9 − 3  + 1 = Е1(4)+1 = 4+1 = 5.
 1,5 
Величины элементов в полуоткрытом интервале [ zmin , zmax
)
цел
цел
определяем по формуле (60):
z h ( iц +1)= zmin цел + HZ ⋅( iц -1)=3+1,5⋅( iц -1),
где iц
=1, 2, 3, 4, 5.
Для iц = 1, zh (2) = zmin = 3;
цел
(3) = zmin цел + 1 ⋅ 1,5 = 3 + 1,5 = 4,5;
iц = 2,
zh
iц = 3,
iц = 4,
iц = 5,
zh (4)
= 3 + 2⋅1,5 = 6;
zh (5) = 3 + 3⋅1,5 = 7,5;
zh (6) = 3 + 4⋅1,5 = 9.
В данном частном случае правый конец интервала также вошел в число
точек, идущих через равный шаг, — это зависит от конкретного соотношения
шага HZ и длины интервала ( zmax
; zmin ) — см. подразд .1.3.9.
цел
цел
Последняя точка одномерного массива z h :
z h (7) = zmax = 9,8.
Итак, общее число точек массива z h , (см. (62)).
nZ = nкон +2 = 5 + 2 = 7.
Одномерный массив zh :
zh (1)= 2,3; zh (2) = 3; zh (3) = 4,5; zh (4) = 6; zh (5) = 7,5;
zh (6) = 9; zh (7) = 9,8 .
2.3.6. Построение моментной характеристики
Для примера построим коэффициент суммарного теоретического момента для пятогого элемента одномерного массива z h , т. е. для z h (5)=7,5.
60
B табл. 12 для каждого столбца (k= 1, 2, 3, 4, 5), соответствующего строке
матрицы ZR , т. е. сечению лопасти, определяем номер it элемента столбца,
ближайшего к данному числу 7,5, но меньшего его:
k = 1 (корень)
7,3 < 7,5 < 8,3; it = 3;
k=2
6,8 < 7,5 < 8,2; it = 2;
k=3
6,2 < 7,5 < 7,7; it = 2;
k=4
6,1 < 7,5 < 7,9; it = 2;
k = 5 (периферия) 7,1 < 7,5 < 8,8; it = 2.
По формуле (66) и с помощью табл. 11 и 12 для приведенного относи*
тельного элементарного момента ∆ Μ и коэффициента быстроходности ZR
*
находим интерполяционное значение ∆ Μ инт при Z = 7,5 в интервале между
номерами it и it – 1 для сечения с номером k:
*
*
*
*
Μ инт k ( z ) = Μ k ,i t − 1 +  Μ k ,i t − Μ k ,i t − 1  ×


  z
×  z − z R
− zR
R k ,i
k ,i t − 1  
k ,i t − 1

t −1
 .

Для k = 1 (корневое сечение):
*
*
it = 3, it - 1 = 2; Μ 1,2 = 0,027; Μ 1,3 = 0,030;
z R1, 2 = 8,3; z R1, 3 = 7,3;
*
Μ инт 1 (7,5)= 0,027 + (0,030 – 0,027)⋅
Для k = 2
7 ,5 − 8 ,3
= 0,029.
7 ,3 − 8 ,3
*
*
it = 2; it - 1 = 1; Μ 2,1 = 0,054; Μ 2,2 = 0,066;
z R2 ,1 = 8,2; z R2 , 2 =6,8;
*
Μ инт 2 (7,5) = 0,054 + (0,066 - 0,054)⋅
Для
k=3
it = 2; it - 1 = 1;
z R3 , 1
*
*
7 ,5 − 8 ,2
= 0,060.
6 ,8 − 8 ,2
*
Μ 3,1 = 0,085; Μ 3,2 = 0,105;
= 7,7; z R3 , 2 = 6,2;
Μ инт 3 (7,5) = 0,085 + (0,105 - 0,085) ⋅
7 ,5 − 7 ,7
6 ,2 − 7 ,7
= 0,088.
61
Для k = 4
it=2,
*
*
it -1=1; Μ 4,1 = 0,105; Μ 4, 2 = 0,134;
z R4 ,1 =7,9; z R4 , 2 =6,1;
*
Μ инт 4 ( 7 ,5 ) = 0 ,105 + ( 0 ,134 − 0 ,105 ) ⋅
7 ,5 − 7 ,9
= 0 ,110.
6 ,1 − 7 ,9
Для k = 5 (периферия)
it=2,
*
*
it -1=1; Μ 5,1 = 0,099; Μ 5, 2 = 0,142;
z R5 ,1 = 8,8;
z R5 , 2 = 7,1;
7,5 − 8,8
= 0,132 .
7,1 − 8,8
Коэффициент суммарного теоретического момента для z = 7,5.
*
Μ инт 5 (7,5) = 0,099 + (0,142 − 0,099) ⋅
По формуле (64) определяем
C mтеор ( z ) ≡ Μ сум ( z ) =
n −1
 ∗

∗
∗


= ∆ r ⋅  Μ инт1 ( z ) + Μ интn ( z )  2 + ∑ Μ интk ( z )  ,





k =2
где n — число сечений.
Из уравнения (65)
∆ r =(1- d 0 ) / ( n -1) — относительный шаг между
d 0 = r0 приведено в исходных данных.
В нашем случае d 0 = 0,2, n = 5 и ∆ r = 0,2, тогда
сечениями, где
((
)
*
*
C т теор ( 7 ,5 ) = M сум ( 7 ,5 ) = 0 ,2 ⋅ M инт
(
7
,
5
)
M
( 7 ,5 ) 2 +
+
инт
1
5
)
 0 ,029 + 0 ,132
*
*
*
(
7
,
5
)
M
(
7
,
5
)
M
(
7
,
5
)
0
,
2
+ M инт
+
+
=
⋅
+

инт
инт
2
3
4
2

+ 0 ,060 + 0 ,088 + 0 ,110 ) = 0 ,0677.
Из коэффициента суммарного теоретического момента должен быть
вычтен коэффициент концевых потерь, зависящий от среднеарифметического коэффициента торможения по сечениям лопасти eср (см. формулу (68)).
Коэффициент eср находим с помощью интерполяционных значений
e — Ε инт k
для каждого сечения. Для
z = 7,5 получаем Ε инт k
анало-
62
гично тому, как это выполнялось для
Μ
*
*
Μ инт k ,
только вместо значений
(см. табл. 11) используются значения e из табл. 10.
Ε инт1 = 0,269; Ε инт 2 = 0,267; Ε инт 3 =
= 0,275; Ε инт 4 = 0,280; Ε инт 5 = 0,314 (их округленные значения
В итоге имеем:
приведены в табл. 14). Среднеарифметическое значение этих величин находим по (68):
eср = ( Ε инт1 + Ε инт 2 + Ε инт 3 + Ε инт4 + Ε инт5 )/n =
= (0,269 + 0,267 + 0,275 + 0,280 + 0,314)/5 = 0,281.
Итак, eср = 0,281.
Коэффициент концевых потерь определяем по уравнению (69):

2
2

4ecp
 8 1 + 1 − ecp z
iл ⋅ z
Μ конц =
⋅
−1
1+ 
 π ⋅ 1 − ecp 2
z ⋅ 1 + ecp  ( 1 + ecp ) ⋅ i л ⋅ z


В нашем случае z = 7,5; eср = 0,281; iл = 3, тогда
(
Μ конц
)
((
) )
(

2

 1 − 0 ,281 
8⋅ 1+ 

1
4 ⋅ 0 ,2812
 7 ,5 

−
⋅
=
2
7 ,5 ⋅ (1 + 0 ,281)  (1 + 0 ,281) ⋅ 3 ⋅ 7 ,5


3
7
5
⋅
,


1+

 π ⋅ (1 − 0 ,281 2 )2 



)
2
 
 .

 




 = 0 ,0052 .




Следовательно, коэффициент момента (см. (70))
Cт = C теор - Μ конц = 0,0677 - 0,0052 = 0,0625,
или приближенно: Cт = 0,063.
Аналогично строятся значения Cт для остальных шести значений z.
2.3.7. Построение мощностной характеристики
Как следует из формулы (71), коэффициент мощности Cp = Cт⋅z. В нашем случае Cт = 0,063; z = 7,5.
Следовательно,
Cp = 0,063⋅7,5 ≅ 0,47.
Аналогично строятся значения Cp для остальных шести значений z.
В табл. 13 приведены параметры мощностной и моментной характеристик.
63
Таблица 13
Номер
точек
1
2
3
4
5
6
7
Мощностная и моментная характеристики
Коэффициент
Коэффициент
Коэффициент
быстроходности, z
мощности, Сp
момента, Сm
2,3
- 0,17
- 0,078
3,0
0,008
0,003
4,5
0,28
0,060
6,0
0,45
0,075
7,5
0,47
0,063
9,0
0,43
0,048
9,8
0,38
0,039
2.4. Коэффициент силы лобового давления на колесо
2.4.1. Коэффициент силы лобового давления B при расчетной
скорости ветра
По формуле (78) приближенная величина коэффициента лобового давления на колесо при расчетной скорости ветра
 f1 + f n n − 1 
Β = ∆r ⋅ 
+ ∑ fk  iл π .
 2


k −1 
В нашем случае (см. (65)
∆ r = (1 − r0 ) (n − 1) = (1 − 0,2) (5 − 1) = 0,2 ; n=5; iл =3.
Из формулы (79) имеем
fk = С ya k ⋅ b k ⋅ (1 − ek )2 sin 2 β k ,
где k — номер сечения.
Величины
величинами
bk
(относительных хорд сечений) приведены в табл. 6. Под
С ya k , ek, β k
этих величин для заданного
подразумеваются интерполяционные значения
zh
в зависимости от номера k сечения. B част-
ности, ek= Ε инт подсчитано выше, а
k
C ya k
и
βk
для найденного номера
it , зависящего от номера сечения, находятся с помощью интерполяции элементов C y j (см. табл. 7) и βkj (см. табл. 8) по формулам (80) и. (81) и вмеa
сте с ek приведены в виде таблицы в зависимости от номера сечения при заданном коэффициенте быстроходности z h = 7,5 (табл. 14).
64
Таблица 14
Интерполяционные значения параметров для пяти сечений лопасти
Параметры
Коэффициент
торможения
Eинт
Угол притекания
β
Коэффициент
подъемной силы
C ya
Первое
сечение
(корень)
Второе
сечение
Третье
сечение
Четвертое
сечение
Пятое
сечение
(периферия)
0,27
0,27
0,28
0,29
0,31
24,6°
13,6°
9,1°
6,9°
5,3°
1,02
0,73
0,64
0,66
0,80
Для примера
f1= C y 1 ⋅ b1 ⋅ (1 − e1 ) sin β1 =
a
= 1,02⋅0,18⋅(1-0,27)2 / sin2 24,6° = 0,565.
2
2
Аналогично получаем
f2 = 1,055; f3= 1,592; f4 = 2,075; f5 = 2,678 .
Определяем величину коэффициента лобового давления B на колесо
при расчетной скорости ветра (см.формулу (78)):
0,565 + 2,678

B = 0,2⋅ 
+ 1,055 + 1,592 + 2,075  ⋅ 3 / π= 1,17.
2


Аналогично могут быть найдены B для остальных значений z . Значения
B приведены в табл. 15.
2.4.2. Коэффициент силы лобового давления Bпор при порыве ветра
Коэффициент порыва ветра
По формуле (83) определяем
Kпор:
Kпор =Vпор / V =25 / 7,5 = 3,33.
Угол притекания при порыве
По уравнению (82) вычисляем
β порk = arctg((tgβk)⋅Κпор) .
65
Следовательно:
β пор1 = arctg((tg24,6°) - 3,33) =56,7°;
β пор2 = arctg((tg13,6°) - 3,33) =38,9°;
β пор3 = arctg((tg9,1°) - 3,33) = 28,1°;
β пор4 = arctg((tg6,9°) - 3,33) = 21,9°;
β пор5 = arctg((tg5,3°) - 3,33) = 17,2°.
Коэффициент силы лобового давления при порыве
Из формулы (86) находим
Β пор =
где по ( 87)
ek

+ f порn n −1
+ ∑ f порk  i л π ,

2


k =2
C ya k ⋅ b k ⋅ (1 − e k )2 sin 2 β порk ; C ya k , b k ,
 f пор1
2
K пор ∆ r ⋅ 

f порk =
B при расчетной скорости ветра
(cм.табл. 6 и табл. 14), а величины угла притекания при порыве β пор подk
— те же, что и для случая определения
считаны выше.
В качестве примера определим
f пор1 :
f пор1 = C ya 1 ⋅ b1 ⋅ (1 − e1 )2 sin 2 β пор1 =
= 1,02 ⋅ 0,18 ⋅ (1-0,27)2 / sin2 56,7°= 0,140.
Аналогично вычисляются:
f пор2 = 0,148; f пор3 = 0,179; f пор4 = 0,215; f пор5 = 0,261 .
Определяем Впор :
0 ,140 + 0 ,261

+ 0 ,148 + 0 ,179 + 0 ,215  ⋅3/π =
2


Впор = (3,33)2⋅0.2⋅ 
= 1,53.
66
2.4.3. Сравнение B и Впор , определение коэффициента перегрузки
При заданном коэффициенте быстроходности z
величины B и Впор равны: B = 1,17, Впор = 1,53.
Итак, коэффициент перегрузки (см. формулу (88))
= 7,5
найденные
nперегр=Впор / B = 1,3 / 1,17 = 1,3.
То есть, при увеличении скорости ветра с 7,5 до 25 м/с коэффициент
силы лобового давления увеличивается на 30 %.
Значения B и Впор для остальных величин z приведены в табл. 15.
Таблица 15
Коэффициент лобового давления
Коэффициент Коэффициент лобового
Номера быстроходности давления при расчетной
точек
z
скорости ветра B
1
2,3
0,38
2
3,0
0,53
3
4,5
0,77
4
6,0
1,03
5
7,5
1,17
6
9,0
1,32
7
9,8
1,53
Коэффициент лобового
давления при порыве
ветра Впор
1,56
1,32
1,46
1,54
1,53
1,55
1,68
2.5. Графическое представление расчетных
характеристик ветроколеса
Расчетные зависимости коэффициентов мощности Сp, момента Сm и
лобового давления B от коэффициента быстроходности z (см. табл. 13 и 15)
представлены в виде графиков на рис. 5 — 7 для расчетного угла установки,
т. е. ∆ϕ = 0°. Там же в качестве примера нанесены регулировочные кривые
для ∆ϕ =
го задания.
4° и ∆ϕ = 8° . Их расчет предлагается в виде самостоятельно-
67
Рис. 5. Коэффициент мощности
Рис. 6. Коэффициент момента
68
Рис. 7. Коэффициент лобового давления
2.6. Выбор рабочей точки характеристики
В табл. 13 даны параметры Сp и Сm в зависимости от коэффициента
быстроходности z. Определяем точку, где коэффициент мощности является
максимальным. Это
C p расч = 0,47 при z = 7,5;
С m расч = 0,063,
при этом
zр.т = 7,5.
По формуле (72) уменьшенное значение Сp:
Сp = 0,85 ⋅ C p
= 0,85 ⋅ 0,47
расч
= 0,4;
Сm = Сp / zр.т = 0,4/7,5 = 0,053.
2.7. Расчет размерных параметров ветроколеса
2.7.1. Исходные данные расчета размерных параметров
Исходными данными для расчета размерных параметров являются (см.
табл. 1):
номинальная мощность N = 1000 Вт;
КПД электрический η эл = 0,6;
КПД механический
η мех = 0,9;
69
= 1,2 кг/м3;
скорость ветра расчетная V = 7,5 м/с;
скорость ветра при порыве Vпор = 25 м/с ,
плотность воздуха ρ
найденный расчетным путем коэффициент быстроходности в рабочей точке
zр.т = 7,5, а также коэффициенты C p расч и С m расч в рабочей точке
C p расч = 0,47; С m расч = 0,063.
Уточненные по (72) и (73) коэффициенты
Сp и Сm таковы:
Сp = 0,85 ⋅ C p расч = 0,85 ⋅ 0,47 = 0,4;
Сm = Сp /zр.т = 0,4/7,5 = 0,053.
К исходным данным расчета относятся также безразмерные координаты
профиля типа «Эсперо» пятнадцатипроцентной толщины (см. табл. 3).
2.7.2. Расчетные параметры ветроколеса
Наружный диаметр ветрсколеса
По формуле (89) определяем
D расч =
8N
3
C p ⋅ ρ ⋅ V ⋅ π ⋅ ηэл ⋅ ηмех
Принимаем
=
8 ⋅ 1000
3
0,4 ⋅ 1,2 ⋅ 7,5 ⋅ π ⋅ 0,6 ⋅ 0,9
D = 5 м.
Радиус ветроколеса
R=D / 2 = 5 / 2 = 2,5 м = 2500 мм.
Внутренний диаметр ветроколеса
d0 = d 0 ⋅
D =0,2 ⋅ 5 = 1 м.
= 4,8 м.
70
Радиус расположения сечения лопасти
Из формулы (92) имеем
rk = rk ⋅R ;
r1 = 0,2 ⋅ 2500 мм = 500 мм;
r2 = 0,4 ⋅ 2500 мм = 1000 мм;
r3 = 0,6 ⋅ 2500 мм = 1500 мм;
r4 = 0,8 ⋅ 2500 мм = 2000 мм;
r5 = 1 ⋅ 2500 мм = 2500 мм.
Расстояние между сечениями лопасти (шаг)
Из уравнения (93) находим ∆ r = ∆ r
⋅ R = 0,2 ⋅ 2,5 = 0,5 м = 500 мм.
Хорда сечения
По формуле (94) определяем
bk = bk ⋅R .
bk должны быть
скорректированы. В связи с тем, что полученная величина b корнR = 0,18
очень велика, а общепринятым значением является b корнR = 0,12 или
b корнD = 0,06, получим значения b k R для всех промежуточных сечений,
считая, как и раньше, что bk меняется по линейному закону от rk . При
этом на периферийном сечении b перифR = 0,06, то есть на периферии осНайденные и представленные в табл. 6 величины
тавляем старое значение:
b k R = b корнR +( b перифR - b корнR ) ⋅ (k-1) / (5-1) ,
или, учитывая, что b корнR = 0,12, а b перифR = 0,06:
b k R = 0,12+(0,06-0,12) ⋅ (k-1)/4,
или
b k R = 0,12-0,015 ⋅ (k-1).
Безразмерные и размерные величины хорды в зависимости от номера
сечения лопасти даны соответственно в табл. 16 и 17.
71
Таблица 16
Безразмерные величины хорды
Номер
сечения
Первое
сечение
(корень)
Второе
сечение
Третье
сечение
Четвертое
сечение
Пятое
сечение
периферия
bk R
0,12
0,105
0,09
0,075
0,06
Таблица 17
Размерная хорда при R
Номер
сечения
bk ,мм
Первое
сечение
(корень)
300
= 2,5 м = 2500 мм
Второе
сечение
Третье
сечение
Четвертое
сечение
262,5
225
187,5
Пятое
сечение
периферия
150
Толщина профиля
Толщина профиля k-го сечения (см. формулу (95)) ck= сk ⋅bk. Для профилей пятнадцатипроцентной толщины ck
Для пяти сечений:
= 0,15, т. е. ck =0,15 ⋅ bk.
c1 = 0,15 ⋅ b1 = 0,15 ⋅ 300 мм = 45 мм;
c2 = 0,15 ⋅ b2 = 0,15 ⋅ 262,5 мм = 39,4 мм;
c3 = 0,15 ⋅ b3 = 0,15 ⋅ 225 мм = 33,8 мм;
c4 = 0,15 ⋅ b4 = 0,15 ⋅ 187,5 мм = 28,1 мм;
c5 = 0,15 ⋅ b5 = 0,15 ⋅ 150 мм =22,5 мм.
Координаты профилей
Для выбранного профиля "Эсперо" безразмерные координаты верхней
( x , yв ) и нижней ( x , y н ) дуг приведены в табл. 3.
С помощью пересчета для размерных хорд bk и толщин ck получаем
таблицы размерных координат профилей.
Приводим табл. 18 координат профиля для первого (корневого) сечения,
полученных по формулам (см. обозначения в табл. 3):
72
b1
c
c
;
yвi = y в ⋅ 1 ;
yнi = y н ⋅ 1 , или
i
i
100
100
100
xi = x i ⋅ 300 / 100; yв = y в ⋅ 45 / 100; yн = y н ⋅ 45 / 100.
i
i
i
i
xi = x i ⋅
Таблица 18
Координаты профиля первого (корневого) сечения лопасти
Номер точек
x , мм
y в , мм
yн , мм
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
3,8
7,5
15
30
60
90
120
150
180
210
240
270
292,5
300
18,8
24,2
27,3
31,2
37,0
43,2
45,3
45,0
42,5
37,4
31,2
23,0
13,8
52,2
1,0
18,8
12,6
10,3
7,5
5,0
2,5
1,0
0
0
0
0
0
0
0
0
Координаты центра совмещения профилей (ЦСП)
В соответствии с подразд. 1.1 имеем:
xцсп = bk ⋅ 0 ,352 ;
yцсп = ck ⋅ 0 ,5.
Для первогого сечения
xцсп1 = b1 ⋅ 0 ,352 = 300 мм ⋅ 0 ,352 = 105 ,6 мм;
yцсп1 = c1 ⋅ 0 ,5 = 45 мм ⋅ 0 ,5 = 22 ,5 мм.
73
Аналогично для остальных сечений
 xцсп 2

 yцсп 2
 xцсп4

 yцсп4
= 92 ,4 мм;  xцсп 3

= 19 ,7 мм;  yцсп 3
= 66 ,0 мм; xцсп5

= 14 ,1 мм;  yцсп5
= 79 ,2 мм;
= 16 ,9 мм;
= 52 ,8 мм;
= 11 ,3 мм.
Частота вращения ветроколеса в рабочей точке характеристики
При z
= 7,5 и D = 5 м
60 ⋅ V ⋅ Z 60 ⋅ 7,5 ⋅ 7,5
=
= 215 об/мин .
n=
π⋅ D
π⋅5
Крутящий момент
Крутящий момент, создаваемый ветроколесом на валу электрогенератора:
ρ ⋅V 2 π ⋅ D2 D
⋅
⋅ ⋅ η эл ⋅ η мех =
М кр = С m ⋅
2
4
2
2
3
= 0,053 ⋅ 1,2 ⋅ 7,5 / 16 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 0,6 ⋅ 0,9 = 47,4 Н⋅м.
Угловая скорость вращения ветроколеса
Угловая скорость вращения ветроколеса, выраженная через частоту
вращения:
ω = π ⋅ n / 30 = π ⋅ 215 / 30 = 22,5 1/с.
Для сравнения определим крутящий момент через мощность на валу
и угловую скорость ω :
N
М к р = N / ω =1000 / 22,5 = 44,4 Н⋅м .
Имеем отличие от
М кр
, вычисленного выше, на 6 %, что связано с ок-
руглением принимаемого диаметра (D = 5 м вместо D
При D = 4,8 м величины М кр совпадают.
= 4,8 м).
74
Сила лобового давления на колесо
Размерная сила лобового давления на колесо определяется по формулам
ρ ⋅V 2 π ⋅ D 2
P = B⋅
, H;
⋅
2
4
ρ ⋅V 2 π ⋅ D2
Pпор = Bпор ⋅
,
⋅
2
4
H.
Величины B и Bпор. даны в табл. 15 в зависимости от Z.
В табл. 19 приведены величины Р и Pпор в зависимости от Z .
Таблица 19
Лобовое давление на колесо
Номер
точек
1
2
3
4
5
6
7
Коэффициент
быстроходности
z, o.e.
2,3
3
4,5
6
7,5
9
9,8
Лобовое давление при
расчетной скорости ветра
P, H
252
351
510
683
775
875
1014
Лобовое давление
при порыве ветра
P, H
1034
875
968
1021
1014
1027
1113
75
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
По представленной методике могут быть получены энергетические характеристики и спроектированы ветроколеса для различного типа профилей,
на которые имеются табличные или графические зависимости коэффициентов C x и C y от угла атаки α . В частности, в приложении приводятся
a
a
зависимости коэффициентов профильного сопротивления и подъемной сипы
от угла атаки в диапазоне его изменения от -10 до 20 градусов для профиля
"Эсперо" двадцатипроцентной толщины по данным испытаний кафедры аэрогидродинамики Национального аэрокосмического университета "ХАИ"
[8].
76
ПРИЛОЖЕНИЕ
Коэффициенты профильного сопротивления и подъемной силы
двадцатипроцентного профиля «Эсперо» в диапазоне углов атаки
от – 10 до 20 градусов по данным работы [8]
Таблица П.1
Номера точек
α, град.
C xa
C ya
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
- 9,51
- 7,66
- 5,79
- 3,95
- 1,78
- 0,24
1,61
3,45
5,30
7,15
9,02
10,92
12,86
14,83
16,83
18,83
20,85
0,02417
0,02036
0,01686
0,01586
0,01297
0,01967
0,02462
0,03352
0,04414
0,05627
0,06856
0,08386
0,10335
0,12675
0,15307
0,18240
0,21402
- 0,46203
- 0,28682
- 0,13211
0,05415
0,23697
0,40753
0,58611
0,77160
0,95200
1,13201
1,28061
1,40484
1,47176
1,50139
1,51091
1,50173
1,48039
77
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ярас Л., Хоффман Л., Ярас А., Обермайер Г. Энергия ветра. Пер. с
англ./Под ред.Я.И.Шефтера. — М.: Мир, 1982. — 256 с.
2. Wilson R.E. Wind turbine aerodynamics// J. of Ind. Aerod. 1980, v.5.
P.357 – 372.
3. Preuss R.O., Sussiu E.O., Morino L. Potential Aerodynamic analysis of
horizontal – axis windmills // AIAA Paper. 1977, № 132. P. 1132 – 1140.
4. Wilson R.E., Lissaman R.B.S., Walker S.N. Aerodynamic performance of
wind turbines. Washington, 1976. — 194 p.
5. Фатеев Е.М. Ветродвигатели и ветроустановки. М., 1957.—544 с.
6. Яковлев А.И., Затучная М.А. Рабочие и регулировочные характеристики ветротурбин пропеллерного типа// Авиационно-космическая техника и
технология: Сб.науч.тр., Харьков, 1999. Вып. 8. С. 39 – 43.
7. Сабинин Г.Х. Теория регулирования быстроходных ветродвигателей
поворотом лопастей центробежным регулятором. Труды ЦАГИ. М., 1957.
№ 8. С. 5 – 77.
8. Отчет о НИР кафедры аэрогидродинамики ХАИ № 297 (заключительный). Харьков, 1991.— 222 с.
Александр Иванович Яковлев
Маргарита Авадьевна Затучная
Аэродинамический расчет ветротурбин
пропеллерного типа
Редактор С. П. Гевло
Св. план, 2001
Подписано в печать 22.08.2001
Формат 60×84 1/16. Бум. Офс. № 2. Офс. печ.
Усл. печ. л. 4,3. Уч.-изд. л. 4,88. Т. 75 экз. Заказ 341. Цена свободная
Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского
«Харьковский авиационный институт»
61070, Харьков–70, ул. Чкалова, 17
Ротапринт типографии «ХАИ»
61070, Харьков–70, ул. Чкалова, 17