Элементы математической статистики. Пример 1. Для определения точности измерительного прибора, систематическая ошибка которого практически равно нулю, было произведено пять независимых измерений, результаты которых представлены в таблице. № измерения x j, м 1 2 3 4 2781 2836 2807 2763 Таблица 5 2858 Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерительного прибора, если: значение измеряемой величины а) известно и равно 2800 м; б) неизвестно. Решение. Значение измеряемой величины равно x . Поэтому в случае а) несмещенная оценка дисперсии определяется по формуле 1 n 6439 2 2 ~ D[X] = ∑ ( x j − x ) = = 1287,8 м . n j=1 5 Когда значение измеряемой величины неизвестно, ее оценка 1 n ~ x = ∑ x j = 2809 м. n j=1 Поэтому в случае б) несмещенная оценка дисперсии 1 n 6034 2 2 ~ D[X] = (x j − ~ x) = = 1508,5 м . ∑ n − 1 j=1 4 Пример.2. Среднее значение расстояния до ориентира, полученное по четырем независимым измерениям, равно 2250 м. Срединная ошибка измерительного прибора Е=40 м, систематическая ошибка отсутствует. Найти с надежностью 95% доверительный интервал для измеряемой величины. Решение. Вероятность накрыть истинное значение измеряемой величины x интервалом ( ~ x − ε, ~ x + ε) со случайными концами при известном Е определяется формулой P{~ x − x ≤ ε} = где E1 = E n ρ π E1 ε ∫e −ε −ρ 2 z 2 2 E1 ε dz = Ф̂ , E1 n 1 - срединное отклонение случайной величины ~x = ∑ x j . n ε n = 0,95 , из таблицы [2] находим Решая уравнение Ф̂ E ε n = 2,91 , E 2,91 2,91 ⋅ 40 = 58,2 м. ε= E= 2 n j =1 Отсюда искомые границы доверительного интервала будут: верхняя 2250 м + 58,2 м =2308,2 м, нижняя 2250 м - 58,2 м =2191,8 м. Таблица 2. Приведенная функция Лапласа Ф̂(z) = z 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0,0 0 5000 8227 9570 9930 9992 0,1 538 5419 8533 9635 9943 9994 0,2 1073 5817 8622 9691 9954 9995 2ρ z 2 2 −ρ x ∫e π0 0,3 1603 6194 8792 9740 9963 9996 dx = Ф(zρ 2 ) . 0,4 2127 6550 8945 9782 9970 9997 0,5 2641 6883 9082 9818 9976 9998 0,6 3143 7195 9205 9848 9981 9998 0,7 3632 7485 9314 9874 9985 9999 0,8 4105 7753 6410 9896 9988 9999 4 В таблице приведены значения Ф̂(z) ⋅ 10 . В первом столбце указаны целые, а в верхней строке - десятые доли аргумента z. Пример 3. Радиоактивное вещество наблюдалось в течение 2608 равных интервалов времени (по 7,5 сек. каждый). Для каждого из этих интервалов регистрировалось число частиц, попавших в счетчик. В таблице приведены числа mi интервалов времени, в течение которых в счетчик попало ровно i частиц. i 0 1 2 3 4 5 mi 57 203 383 525 532 408 i 6 7 8 9 10 Итого: mi 273 139 45 27 16 n = ∑ m i = 2608 Проверить, используя критерий x2, гипотезу о согласии наблюденных данных с законам распределения Пуассона P(i, a) = e −a i a . i! Уровень значимости α принять равным 0,05. Решение. На основании наблюденных данных вычисляем оценку a~ параметра а закона распределения Пуассона по формуле ∞ a~ = ∞ где n = ∑ m i = 2608, a~ =3,870. i =0 ∑ imi i =0 n , 0,9 4562 8000 9495 9915 9990 9999 Вычисляем теоретические вероятности pi попадания в счетчик i при наличии закона Пуассона, используя таблицу 3 для функции P(i, a~) = pi . В результате интерполирования по а=3 и а=4 получим значения pi и npi, приведенные в таблице. (mi - npi) npi 0,088 0,318 1,392 0,001 1,007 0,512 1,581 0,023 7,667 0,101 0,289 2 i pi npi (mi - npi) (mi - npi) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,021 0,081 0,156 0,201 0,195 0,151 0,097 0,54 0,026 0,011 0,007 1,000 54,8 211,2 406,8 524,2 508,6 393,2 253,0 140,8 67,8 28,7 18,3 2,2 -8,2 -23,8 0,8 23,4 14,2 20,0 -1,8 -22,8 -1,7 -2,3 4,84 67,24 566,44 0,64 547,56 201,64 400,00 3,24 519,84 2,89 5,29 2 2 xq = 13,049 2 Вычисляем значение xq , 2 xq 2 (m − npi ) =∑ i =13,05. npi i =0 10 Так как число степеней свободы k = l-r-1, где общее число интервалов l=11, а число параметров, определенных на основании наблюденных данных, r = 1 (параметр а), то k = 11-1-1 =9. 2 По таблице 4, входя в нее с величинами k =9 и xq =13,05, находим 2 2 вероятность Р(x2 ≥ xq ) того, что величина x2 превзойдет значение xq . Получаем 2 αq= Р(x2 ≥ xq ) = 0,166. Так как αq>α=0,05, то отклонения от закона Пуассона не значимы. Таблица 3. Закон распределения Стьюдента k +1 k + 1 Г t 2 − k x 2 ⋅ ∫ 1 + P ( t; k ) = dx k k Г kπ −∞ 2 t\k 0,0 0,1 1 500 532 2 500 535 3 500 537 4 500 537 6 500 538 8 500 539 10 500 539 12 500 539 14 500 539 16 500 539 18 500 539 ∞ 500,00 539,83 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 563 593 621 648 672 694 715 733 750 779 803 822 839 852 874 891 904 914 922 570 604 636 667 695 722 746 768 789 823 852 875 893 908 931 946 957 965 971 573 608 642 674 705 733 759 783 804 842 872 896 915 930 952 966 975 982 986 574 610 645 678 710 739 766 790 813 852 883 908 927 942 963 976 984 989 992 576 613 648 683 715 745 773 799 822 862 894 920 939 954 973 984 991 993 996 577 614 650 685 717 748 777 803 827 868 900 926 945 960 978 988 993 996 998 577 615 651 686 719 750 779 805 830 871 904 930 949 963 981 991 995 998 999 578 615 652 687 720 751 780 807 832 873 907 932 951 966 983 992 996 998 999 578 616 652 688 721 752 781 808 833 875 908 934 953 967 985 993 997 999 999 578 616 653 688 722 753 782 809 834 876 910 935 955 969 986 994 997 999 999 578 616 653 688 722 754 783 810 835 877 911 936 956 970 986 994 997 999 999 В таблице приведены значения P(t; k)⋅103. Таблица 4. Закон распределения x2 2 P(x ≥ 2 xq 1 )= k Г 2 2 2 xq \ k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 25 30 2 6065 3679 2231 1353 821 498 302 183 111 67 25 9 3 1 0 4 9098 7358 5578 4060 2873 1992 1359 916 611 404 174 73 30 12 5 1 0 6 9856 9197 8088 6767 5438 4232 3208 2381 1736 1246 620 296 138 62 28 3 0 8 9982 9810 9344 8571 7576 6472 5366 4335 3423 2650 1512 818 424 212 103 16 2 ∞ ∫x k 2 2 xq k x −1 − 2 2 e 10 9998 9963 9814 9474 8912 8153 7254 6288 5321 4405 2851 1730 996 550 292 54 9 2 dx 12 15 20 25 10000 9994 9955 9834 9580 9161 8576 7851 7029 6160 4457 3007 1912 1157 671 148 28 10000 10000 9996 9977 9921 9798 9576 9238 8775 8197 6790 5255 3821 2627 1719 499 119 10000 10000 10000 10000 9997 9989 9967 9919 9829 9682 9161 8305 7166 5874 4579 2014 698 10000 10000 10000 10000 10000 10000 9998 9995 9986 9966 9866 9617 9148 8424 7468 4624 2243 В таблице приведены значения Р(x2 ≥ xq )⋅104. 579,26 617,91 655,42 691,46 725,75 758,04 788,14 815,94 841,34 884,93 919,24 945,20 964,07 977,25 991,80 997,44 999,31 999,84 999,97 Задачи. 7.1.1 Даны результаты 8 независимых измерений одной и той же величины прибором, не имеющим систематических ошибок: 369, 378, 315, 420, 385, 401, 372, 383 м. Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений, если: а) длина измеряемой базы известна: x =375 м; б) длина измеряемой базы неизвестна. 7.1.2. Определение скорости снаряда было проведено на 5 испытаниях, в результате которых вычислена оценка v~ =870,3 м/сек. Найти 95%-ый доверительный интервал, если известно, что рассеивание скорости подчинено нормальному закону со срединным отклонением Ev=2,1 м/сек. 7.1.3. Произведен выбор 200 деталей из текущей продукции прецизионного токарного автомата. Проверяемый размер деталей измерен с точностью до 1 мк. В таблице приведены отклонения xi от номинального размера, разбитые * на разряды, численности разрядов mi и их частоты pi . Таблица. № разряда i 1 2 3 4 5 Границы интервала xi ÷ xi+1 -20÷-15 -15÷-10 -10÷-5 -5÷0 0÷5 mi pi 7 11 15 24 49 0,035 0,055 0,075 0,120 0,245 * № разряд аi 6 7 8 9 10 Границы интервала xi ÷ xi+1 5÷10 10÷15 15÷20 20÷25 25÷30 mi pi 41 26 17 7 3 0,205 0,130 0,085 0,035 0,015 * Оценить с помощью критерия x2 гипотезу о согласии выборочного распределения с законом нормального распределения при уровне значимости α=0,05. 7.1.4. Из таблицы случайных чисел выбрано 150 двузначных чисел (в совокупность двузначных чисел включается и 00). Результаты выборки приведены в таблице. Границы интервала 0÷9 10÷19 20÷29 30÷39 40÷49 Численность разряда mi 16 15 19 13 14 * Частота pi 0,107 0,100 0,127 0,087 0,093 Границы интервала 50÷59 60÷69 70÷79 80÷89 90÷99 Численность разряда mi 19 14 11 13 16 * Частота pi 0,127 0,093 0,073 0,087 0,107 Проверить, используя критерий x2, гипотезу о согласии наблюдений с законом равномерного распределения при уровне значимости α=0,05.