Г.Т. Аюбов, Д.М. Усаров

ДИНАМИЧЕСКИЙ ИЗГИБ ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
ПЛАСТИНЫ
Г.Т. Аюбов, Д.М. Усаров
Институт сейсмостойкости сооружений АН РУз, г. Ташкент, Узбекистан
ayubov.1984@mail.ru
Уточненные теории изгиба, колебания
пластин и оболочек широко
принимаются при динамических и статических расчетах элементов конструкции. Обзор
и общие методики построения уточненной теории можно найти в [1]. Динамическая
задача изгиба пластин при воздействии нестационарной нагрузки с учетом
поперечного сдвига изучена недостаточно.
В данной статье рассматриваются колебания пластины под действием внешней
динамической нагрузки с учетом поперечного сдвига. Рассмотрим пластину
постоянной толщины H=2 h и размерами a и b в плане. Для описания процесса
изгибных колебаний пластины введем декартовую систему координат с переменными
x1 , x 2 и z . Ось oz направлена вниз. Предположим, что на пластину действуют
внешняя равномерно распределенная поверхностная нормальная нагрузка q 3 в
направлении оси оz в виде функции Хевисайда:
0, при t  0;
где q0 -параметры нагрузки, t - время.
(1)
q3  
 q 0 , при t  0,
Уравнения колебаний пластины запишутся в виде:
E11H 2
 2 1
 2 2
 2 1
 ( E12  G12 ) H 2
 G12 H 2

2
x1
x1x2
x22

W 
  H 21 ,
 12k G13  1  H
x1 

2
2
2
 2
 1
 2
E22 H 2
 ( E12  G12 ) H 2
 G12 H 2

2
x2
x1x2
x12
(2.а)
2

W 
  H 22 ,
 12k 2G23  2  H

x
2 

2
2


W
W
 1
 2 
 ,
  2 Hq3  H 2W
k 2  G31H 2 2  G32 H 2 2   k 2  G31H
 G32 H
x1
x2 
x1
x2 


(2.б)
(2.в)
 12 Е1
, E1 , E2 - модули упругости,
1   12 21
1   12 21
1   12 21
G12 , G13 , G23 - модули сдвига и  12 ,  21 - коэффициенты Пуассона материала пластины,
 - плотность материала пластины.
Здесь k 2 - коэффициент, характеризующий поперечный сдвиг пластины,  1 ,  2
- функции сдвига, W - прогиб пластины. Значение коэффициента k 2 зависит от закона
распределения поперечных касательных напряжений по толщине пластины. В
уточненной теории пластинок С.А. Амбарцумяна и Э. Рейсснера [1] k 2  5 / 6 , по
теории пластин С.П Тимошенко k 2  2 / 3 и k 2  8 / 9 , по Я.С. Уфлянда k 2  2 / 3 , по
теории прямых нормалей k 2  1. Более подробной информацией об этом коэффициенте
можно ознакомиться в работе [2].
Пусть, края пластины жестко защемлены, тогда граничные условия иметь вид: и
Где E11 
Е1
, E22 
1   2  W  0 .
Е2
, E12 
(3)
Начальные условия при t  0 принимаем нулевыми:
    w  0 ,     w  0
Изгибающие и крутящие моменты
следующим образом:
(4)
перерезывающих сил определяются
,
 
   2 
 1  ,
 M 22  D22  2   12
 M 12  D12  1 

x1 
x1 

 x2
 x2
W
W
Q13  k 2G13 ( 1  H
), Q23  k 2G23 ( 2  H
).
x1
x2
 
 2
M 11  D11  1   12
x2
 x1
Где D11 
E1 H 3
,
12(1   12 21 )
D22 
E2 H 3
G H3
, D12  12
12(1   12 21 )
12
(5)
(6)
,
Уравнения колебаний (2) при граничных и начальных условиях (3) и (4), решим
методом конечных разностей.
Численные результаты получены для изотропной квадратной пластины a  b с
коэффициентом Пуассона   0,3 для двух значений отношения H / a .
Введем безразмерные функции:   E0 1 ,   E0 2 , W  E0W .
Hq 0
Hq 0
Hq 0
На рис. 1 приведены графики изменения безразмерных значений прогиба
EW
w
пластины от безразмерного времени  . Из графика видно, что центральная
q0 H
a
b
точка пластины x1  , y1  является максимальной, в который безразмерное
2
2
a
значение прогиба достигает значения w  34,984 (рис. 1 а) при H 
и w  305,679
5
a
при H 
(рис. 1 б).
10
а)
Рис.1 Графики изменения прогиба w во времени.
б)
Изгибающие моменты и перерезывающие силы представим в виде:
H2
Q13  Hm13 .
M 11 
m11 ,
12
На рис. 2 приведены графики изменения безразмерного изгибающего момента
пластины m11 от безразмерного времени. Из графика видно, что центральная точка
a
b
, y1 
является максимальной, в которой безразмерное значение
2
2
a
a
момента равно m11  17,946 при H  (рис.2 а) и m11  56,306 при H 
(рис. 2 б).
5
10
пластины x1 
б)
а)
Рис.2 Графики изменения изгибающего момента m11 во времени
На рис. 3 приведены графики изменения безразмерной перерезывающей сил
пластины m13 от безразмерного времени. Из графика в следует, что в центральная точка
a
b
пластины x1  , y1 
является максимальной, в которой перерезывающая сила
2
2
a
a
достигает значения m13  1,864 при H 
(рис.3 а) и m13  2,842 при H 
(рис. 3
5
10
б).
а)
б)
Рис.3 Графики изменения перерезывающей силы m13 от времени
Нормальное напряжение на верхнем волокне пластины  11 и касательное
напряжение на срединной поверхности пластины  13 определяются по формулам:
11  m11 / 2 ,
 13  m13 / k x .
В таблицах 1 и 2 приведены значения максимального прогиба w ,
максимального нормального напряжения  11 и касательного напряжения срединной
поверхности пластины  13 для различных значений коэффициента k 2 .
В расчетах шаг вычисления по безразмерным координатам
приняты
х  у  0.05 . Устойчивость итерации по безразмерному времени обеспечена по
явной схеме при шаге   0.0002 .
Таблица 1. Максимальные значения прогиба и напряжений при H  a / 5
w
 13
 11
k2
34,984
8,973
2,796
2/3
31,247
8,652
2,154
5/ 6
30,292
8,58
2,06
8/ 9
28,779
8,497
1,789
1
Таблица 2. Максимальные значения прогиба и напряжений при H  a / 10
w
 13
 11
k2
305,679
28,153
4,263
2/3
289,522
27,252
3,422
5/ 6
284,588
27,120
3,200
8/ 9
275,538
26,842
2,809
1
Литература
1. Амбарцумян А.С. Теория анизотропных пластин.-М.: Наука. Физ.-мат. лит.,
1987.-360С.
2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика оболочек и пластин. М. изд. Наука.
1972г. 432С.