Логика высказываний

Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Нормальные формы
Неклассические логики и представление
знаний
Логика высказываний
Неклассические логики и представление знаний
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Синтаксис
Множество пропозициональных переменных Φ
p, q, r, . . .
Формула φ := p | ⊥ | ¬ψ | ψ ∨ χ
p∈Φ
ψ, χ — формулы
Неклассические логики и представление знаний
Нормальные формы
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Синтаксис
Множество пропозициональных переменных Φ
p, q, r, . . .
Формула φ := p | ⊥ | ¬ψ | ψ ∨ χ
p∈Φ
ψ, χ — формулы
φ & ψ := ¬(¬φ ∨ ¬ψ)
φ → ψ := ¬φ ∨ ψ
φ ↔ ψ := (φ → ψ) & (ψ → φ)
> := ¬⊥
Неклассические логики и представление знаний
Нормальные формы
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Нормальные формы
Семантика
Интерпретация (означивание переменных)
I : Φ → {0, 1}
pI = I(p), где p ∈ Φ
⊥I
(¬ψ)I
=0
= 1 − ψI
(ψ ∨ χ)I = max(ψ I , χI )
ψ
0
0
1
1
χ
0
1
0
1
⊥
0
0
0
0
¬ψ
1
1
0
0
ψ∨χ
0
1
1
1
Интерпретация I является моделью формулы φ, если φI = 1.
Интерпретация I является моделью множества формул Γ,
если она является моделью каждой формулы из Γ.
Неклассические логики и представление знаний
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Нормальные формы
Выполнимость
Определение
Формула называется выполнимой, если она истинна при
некоторой интерпретации.
Определение
Множество формул называется выполнимым, если
существует интерпретация, при которой истинна каждая
формула из этого множества.
Неклассические логики и представление знаний
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Нормальные формы
Выполнимость
Определение
Формула называется выполнимой, если она истинна при
некоторой интерпретации.
Определение
Множество формул называется выполнимым, если
существует интерпретация, при которой истинна каждая
формула из этого множества.
Выполнимое множество
¬p → ¬q
¬q → ¬r
¬r → t
Неклассические логики и представление знаний
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Нормальные формы
Выполнимость
Определение
Формула называется выполнимой, если она истинна при
некоторой интерпретации.
Определение
Множество формул называется выполнимым, если
существует интерпретация, при которой истинна каждая
формула из этого множества.
Выполнимое множество
Невыполнимое множество
¬p → ¬q
¬p → ¬q
¬q → ¬r
¬p ∨ ¬q
¬r → t
q
Неклассические логики и представление знаний
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Нормальные формы
Общезначимость
Определение
Формула называется общезначимой (или тавтологией), если
она истинна при любой интерпретации.
Пример
p ∨ ¬p
Неклассические логики и представление знаний
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Нормальные формы
Общезначимость
Определение
Формула называется общезначимой (или тавтологией), если
она истинна при любой интерпретации.
Пример
p ∨ ¬p
p→p
Неклассические логики и представление знаний
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Нормальные формы
Общезначимость
Определение
Формула называется общезначимой (или тавтологией), если
она истинна при любой интерпретации.
Пример
p ∨ ¬p
p→p
>
Неклассические логики и представление знаний
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Нормальные формы
Логическое следование
Определение (Γ |= φ)
Формула φ логически следует из множества формул Γ, если
всякая модель Γ является моделью φ.
Пример
{¬p → ¬q, ¬p ∨ ¬q} |= ¬q
Неклассические логики и представление знаний
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Нормальные формы
Логическое следование
Определение (Γ |= φ)
Формула φ логически следует из множества формул Γ, если
всякая модель Γ является моделью φ.
Пример
{¬p → ¬q, ¬p ∨ ¬q} |= ¬q
∅ |= p ∨ ¬p
(Пишут: |= p ∨ ¬p.)
Неклассические логики и представление знаний
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Нормальные формы
Логическое следование
Определение (Γ |= φ)
Формула φ логически следует из множества формул Γ, если
всякая модель Γ является моделью φ.
Пример
{¬p → ¬q, ¬p ∨ ¬q} |= ¬q
∅ |= p ∨ ¬p
(Пишут: |= p ∨ ¬p.)
{p & ¬p} |= r
Неклассические логики и представление знаний
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Нормальные формы
Рассуждение при помощи перебора моделей
Верно ли, что
Γ |= φ?
Перебрать все интерпретации.
Оставить только те, которые являются моделями Γ.
Проверить, что каждая из них является моделью φ.
Неклассические логики и представление знаний
Синтаксис и семантика
Выполнимость и общезначимость
Вывод
Нормальные формы
Нормальные формы
Литерал: p и ¬p, где p ∈ Φ
Дизъюнктивное выражение: l1 ∨ · · · ∨ ln ,
где все li — литералы
Конъюнктивная нормальная форма (к.н.ф.): D1 & · · · & Dk ,
где все Di — дизъюнктивные выражения
Конъюнктивное выражение: l1 & · · · & ln ,
где все li — литералы
Дизъюнктивная нормальная форма (д.н.ф.): C1 ∨ · · · ∨ Ck ,
где все Ci — конъюнктивные выражения
Неклассические логики и представление знаний