ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В КАВЕРНАХ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ЧИСЛОМ КАВИТАЦИИ

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
АВТОКОЛЕБАНИЙ В КАВЕРНАХ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ЧИСЛОМ КАВИТАЦИИ
В.В.Прокофьев, А.К.Такмазьян
Московский Государственный Университет им. Ломоносова,
Институт Механики МГУ.
119992 Москва, Мичуринский пр., 1, e-mail: takmazian@gmail.com
Полученные экспериментально авторами автоколебательные режимы
существования вентилируемых каверн с давлением в полости большим
давления во внешней среде (т.н. каверны с отрицательными числами
кавитации) исследованы теоретически с помощью максимально упрощенных
систем ОДУ в плоскости двух фазовых переменных: расхода в жидкой завесе и
давления в газовой полости. Теоретически получены нелинейные режимы
самоподдерживающихся колебаний.
Ключевые слова: автоколебания, поддуваемая каверна, предельный
цикл, нелинейные колебания, струйные завесы.
В настоящей работе экспериментально и теоретически моделируется течение в
искусственной вентилируемой каверне с повышенным по отношению к окружающему
пространству давлением (каверна с отрицательным числом кавитации).
Рисунок 1. Струя, ограничивающая поддуваемую газом (справа) каверну
Экспериментальные исследования (см. Рисунок 1) проводились на плоской струйной
установке. Все течение было ограничено с боков двумя прозрачными параллельными
пластинами, расстояние между которыми равно h. Вода из накопителя с полным давлением
р0 попадала в трубопровод длиной L заканчивающийся форкамерой с сужающимся плоским
соплом шириной D (см. Рисунок 21). Струя воды истекала из сопла и ударялась
перпендикулярно в экран, расположенный на расстоянии H от среза сопла. Жидкость имела
возможность свободно вытекать вдоль экрана в атмосферу, с давлением рa<р0 (слева на
Соединение трубопровода с форкамерой осуществлялось так, что плоскость форкамеры была
перпендикулярна оси трубы. Таким образом, в месте стыка присутствовало существенное гидравлическое
сопротивление.
1
плоскости рисунка), и была ограничена справа замкнутой областью повышенного давления,
рk, примыкающей к струе. Вентилируемая каверна создавалась путем подачи воздуха в
область повышенного давления.
При указанном виде течения ускорение жидкости на внешней границе струи (т.е. на
малом радиусе) направлено по радиусу из жидкости в газ, а на границе каверны, наоборот, из
газа в жидкость. Таким образом, граница каверны (большой радиус струи) подвержена
неустойчивости Рэлея-Тейлора.
В зависимости от соотношения расходов подаваемой жидкости и поддуваемого газа,
возможны три качественно различных вида стационарного истечения струи: 1) струя не
касается экрана, 2) струя растекается на две: струю направленную вне, и вовнутрь каверны,
3) граничный, или критический режим, когда струя касается экрана, но вытекает целиком
вовне каверны. При сверхкритическом режиме течения, помимо нестационарности,
связанной с развитием рэлей-тейлоровских волн, в экспериментах наблюдался существенно
нестационарный автоколебательный режим течения.
H
pa

Qg (t )
Rk (t )
pk
D
p'
L
Ql (t )
p0

Рисунок 2. Схема течения
С нестационарными режимами при практической реализации течений с
отрицательным числом кавитации сталкивались в Институте механики МГУ в 60-х и 70-х
годах (исследования, проводимые под руководством академика Л.И. Седова профессорами
В.Ф. Шушпановым, В.П. Карликовым и их сотрудниками).
Проведем здесь теоретический анализ возможности существования автоколебаний в
исследуемом течении, следуя гидравлическому подходу, использованному в работе [1].
1) Выпишем уравнения сохранения количества движения для жидкости в подводящей
системе в одномерном (гидравлическом) приближении в дифференциальной форме:
u ( x, t )
u ( x, t ) 1 p( x, t )
u ( x, t ) 2
 u ( x, t )

  ( x)
0
t
x
 x
2 DH ( x)
(1.1)
q
Dh
DH  2
u l
D  h – гидравлический диаметр сопла,
S , S  Dh , t – время, ql (t) –
где
мгновенный расход жидкости в трубопроводе, p (x,t) – давление в потоке,  (x) – погонный
коэффициент сопротивления трубопровода. Ось x направлена вдоль подводящей трубы.
Проинтегрируем соотношение (1.1) вдоль x от входа до выхода из подводящей системы:
L
dx  1 ql2
p  ql2
 ( x )dx



0 S ( x)  2 S ( x)2    2 0 S ( x)2 DH ( x)  0;
0

используя закон сохранения массы ql t  u( x, t ) S ( x) и, вводя обозначения
L
L
dx
 ( x )dx
2
I 
  S0 
S ( x)
S ( x )2 DH ( x )
0
0
имеем
dq
p'  p
ql2
I l  * 0 
 0,
dt

2( Dh ) 2
(1.2)
2
 ql
p'*  p'
2 D 2h 2 – полное давление на выходе из сопла. Уравнение (1.2) требует
где
дополнения предположением о связи давления на выходе из сопла с давлением в каверне.
Например, предположение об отсутствии потерь в свободной струе, вытекающей из сопла
подводящей системы:
ql
t
L
L
  ql  1
2
p'*  pa 


2  Dh  K p2
(1.3)

Kp 
D – коэффициент сужения струи,  – ширина струи при вытекании ее в атмосферу.
где
В результате, получаем из (1.2), (выражая все через ql), ОДУ для расхода жидкости в сопле,
в котором зависимость от давления в каверне входит через коэффициент сужения струи Kp:
2
dql
p0  p a
ql2 1  K p 

 2 

dt
I
2 S I  K p2 
(1.4)
При стационарном режиме (в отсутствие колебаний), из (1.2) следует:
dql
2( po  p' )
 0  ql  S
,
dt

А если известно полное давление на выходе из сопла (давление в форкамере) p*', то:
2 S 2 ( p0  p* ' )
 
ql2
.
2) Уравнение баланса массы газа в каверне:
dM
 mG  m RT  m J
dt
(2.1)
где M   K VK – масса газа в каверне,  K – (средняя) плотность газа в каверне, VK – объем
каверны, mG – массовый расход газа, поддуваемого в каверну, m RT – расход газа за счет
Рэлей-Тейлоровской неустойчивости, m J – расход газа за счет струйного истечения из
2
каверны. Объем каверны можно считать постоянным: VK  [ LK H  H (1   / 4)] h .
В предположении, что газ ведет себя изотермически, а температура соответствует
нормальным условиям, для плотности газа в каверне можем написать  K  pK  a / pa и
уравнение (2.1) перепишется как
d pK
 F1 (Cm  m J  m RT )
dt
(2.2)
p
F1  a
 aVk , Cm  mG
где
Внешний радиус закругления жидкой струи истекающей из трубы в каверну
описывается приближенной формулой [2]:
K p (v 0 ) D
RK 
,
v0 | ln v0 |
здесь, – так называемое число кавитации,
q
2( p a  p K )

,
V  l ,
2
  K p (v0 ) D,
V
v0  1   ,
h
(2.3)
Предположим, что геометрические параметры струи изменяются гораздо медленнее
скорости истечения газа из открытой полости. В предположении адиабатичности истечения
газа из каверны, получаем [3, гл. 4, п.33]:
 2   a  pa 

mJ  ( H  RK )h 
 
   1  pa  p K 
2/
 1




pa  
2 

pK 1  
  pK  


(2.4)

   1   1
pK  
 pa  1.89 pa
2


при
и
 1
m J  ( H  RK ) h p K
 2   1  a


pa
  1
(2.5)

   1   1
pK  
 pa  1.89 pa
2


при
.
Здесь ( H  RK ) ширина истекающей газовой струи (расстояние от наружной границы

 2   1
 p K
p*  


1


жидкой струи до стенки), и использована формула (52) из [3]:
Унос газа из полости из-за роста пузырей Рэлея-Тейлора описывается формулами [4]:
mRT
a
v R 

pk ql 0*  k 
pa
v0  H 
3/ 2

0.5  0.5 tanh 106 Rk  H  

2
H
H
*
 =  0.01  + 0.1778   0.9813
*
*
*
*
K r  K r ( ) , v  1   ,
D
D
f ( Rk )  1 
H
arccos 

 Rk
K r* 2
f ( Rk )
Kr
2


3) Уравнения (1.4) и (2.1) составляют двумерную систему ОДУ для расхода жидкости
p
q

и давления в каверне. В безразмерных переменных qˆl  l
, pˆ k  K для случая
pa
S 2( p0  pa )
докритического истечения из полости (выражение (2.4)), эти уравнения приобретают вид:

1  K p2 (  1)  
dqˆ l
2
(3.1)
 G 1  qˆ l 

dtˆ
K p2


 
 1
1 
dpˆ k
C 
 1m/ 2 Cqg  (1  Rˆ K ) pˆ k  K  1  pˆ k  
dtˆ D pl 

где
C qg
mG

 a Hh
a
pa
, Cm 
H 2h 
Vk 2  a
,
 K p (v0 )
D
 2 
Rˆ K 
;   , K   

H
v0 | ln v0 |
  1
1/ 2
, D pl 
p0  p a
pa
H
2 SI .
Система (3.1) замыкается, если известна зависимость коэффициента сужения струи от
искомых переменных – расхода в трубе и давления в каверне. Используя известное
теоретическое решение (см. например [4]) можно построить полиномиальную
аппроксимацию зависимости коэффициента сужения от числа кавитации. Но, поскольку
коэффициент сужения входит и в формулу для числа кавитации (2.3), такая зависимость
требует итеративного вычисления функции Kp(pk). Чтобы этого избежать, ту же
p? (t )  1
приближенную функцию можно разрешить относительно величины  (t )  k 2 :
Dpl q?l (t )
G
K p ( )  0.0173 2 - 0.2064  0.9832 .
Характерные наблюдаемые в эксперименте [5] колебания давления приведены на
Рисунок 3
1.5
P
1.0
0.5
0.0
0
10
20
T 30
Рисунок 3. Экспериментальные (обезразмеренные) осциллограммы давления в каверне pk
Поскольку квазистационарный подход, использованный при выводе уравнения
баланса газа в полости, уместен, по-видимому, только для околокритических режимов
истечения струи (конфигурация с касанием стенки), именно в этих режимах и была
исследована теоретическая модель (3.1).
Начальные условия выбирались вблизи точки равновесия системы, после чего
численным интегрированием методом повышенной точности строилась фазовая кривая,
выходящая из окрестности точки неустойчивого равновесия (фокуса или узла) и с течением
времени наматывающаяся на предельный цикл, существующий, как выяснилось, в большом
диапазоне параметров задачи. Кривые автоколебательных решений системы (3.1)
представлены на Рисунок 4: слева, в переменных расход жидкости (абсцисса) – давление в
каверне (ордината), представлена фазовая кривая, из неустойчивого фокуса наматывающаяся
на устойчивый предельный цикл; справа – интегральная кривая зависимости безразмерного
давления в каверне от времени.
Рисунок 4. Автоколебательные численные решения системы (3.1).
Итак, исследования показали, что
1) Система (3.1) обладает периодическим решением в виде предельного цикла.
2) Предельный цикл системы (3.1) – устойчив, то есть периодическое решение является
асимптотически притягивающим остальные решение системы в большом диапазоне
начальных данных – в системе возникают автоколебания.
Таким образом, в рамках представленной упрощенной модели, получены режимы
самоподдерживающихся колебаний. Это указывает на правомочность выбора модели и
основных физических механизмов, определяющих натурный колебательный процесс, и дает
основания для поиска количественно совпадающих с экспериментом решений данной (или
аналогичной) систем.
Работа поддержана грантом РФФИ № 12-08-00953
Список литературы
1. Пилипенко В.В. Кавитационные автоколебания // К.: Наукова думка, 1989 г.
2. Козлов И.И, Прокофьев В.В. Унос газа из вентилируемой каверны с отрицательным
числом кавитации // Изв. РАН. МЖГ. 2001. №5. C. 92-106.
3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003.
4. Козлов И.И, Прокофьев В.В., Пучков А.А. Исследование развития волновых структур на
неустойчивой границе каверны с помощью скоростной видеокамеры // Изв. РАН. МЖГ.
2008. №2. C. 137-148.
5. Козлов И.И., Очеретяный С.А., Прокофьев В.В. Экспериментальные исследования
автоколебательных режимов при истечении жидкой струи в плоский вентилируемый
канал // Изв. РАН. МЖГ. 2011. № 4. С. 47-58.