Реляционные структуры Модальные языки Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры и модальные языки Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Реляционные структуры и модальные языки Языки модальной пропозициональной логики — пропозициональные языки с модальными операторами Пригодны для описания реляционных структур Реляционная структура — непустое множество с определенным на нем набором отношений Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки План на ноябрь Реляционные структуры — определения и примеры Модальные языки — синтаксис базового модального языка и некоторых его расширений Модели и фреймы — как использовать модальные языки для рассуждения о реляционных структурах Общие фреймы — между моделями и фреймами Нормальные модальные логики — аксиоматика и вывод Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Реляционные структуры Определение (Реляционная структура) F = hW, R1 , R2 , . . . , Rn i W — универсум (домен) структуры F R1 , R2 , . . . , Rn — отношения на W n≥1 Элементы W — точки, состояния, узлы, миры и т.д. Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Реляционные структуры Пример (Строгий частичный порядок) (W, R) со следующими свойствами: иррефлексивность: ∀x(¬Rxx) транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz) Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Реляционные структуры Пример (Строгий частичный порядок) (W, R) со следующими свойствами: иррефлексивность: ∀x(¬Rxx) транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz) Например: Rxy ⇔ x 6= y и x — делитель y Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Реляционные структуры Пример (Строгий частичный порядок) (W, R) со следующими свойствами: иррефлексивность: ∀x(¬Rxx) транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz) Например: Rxy ⇔ x 6= y и x — делитель y Пример (Линейный (полный) порядок) (W, R) — строгий частичный порядок со следующим свойством: трихотомия: ∀xy(Rxy ∨ x = y ∨ Ryx) Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Реляционные структуры Пример (Строгий частичный порядок) (W, R) со следующими свойствами: иррефлексивность: ∀x(¬Rxx) транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz) Например: Rxy ⇔ x 6= y и x — делитель y Пример (Линейный (полный) порядок) (W, R) — строгий частичный порядок со следующим свойством: трихотомия: ∀xy(Rxy ∨ x = y ∨ Ryx) Например: (N, <), (Z, <), (Q, <), (R, <) Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Реляционные структуры Пример (Частичный порядок) рефлексивное замыкание строгого частичного порядка: (W, R), где R = T ∪ {(u, u) | u ∈ W }, (W, T ) — строгий частичный порядок рефлексивность: ∀x(Rxx) антисимметричность: ∀xy(Rxy & Ryx → x = y) транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz) Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Реляционные структуры Пример (Частичный порядок) рефлексивное замыкание строгого частичного порядка: (W, R), где R = T ∪ {(u, u) | u ∈ W }, (W, T ) — строгий частичный порядок рефлексивность: ∀x(Rxx) антисимметричность: ∀xy(Rxy & Ryx → x = y) транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz) Например: Rxy ⇔ x = y или x — делитель y Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Реляционные структуры Пример (Частичный порядок) рефлексивное замыкание строгого частичного порядка: (W, R), где R = T ∪ {(u, u) | u ∈ W }, (W, T ) — строгий частичный порядок рефлексивность: ∀x(Rxx) антисимметричность: ∀xy(Rxy & Ryx → x = y) транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz) Например: Rxy ⇔ x = y или x — делитель y Пример (Рефлексивный линейный (полный) порядок) (W, R) — частичный порядок со следующим свойством: связность: ∀xy(Rxy ∨ Ryx) Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Реляционные структуры Пример (Частичный порядок) рефлексивное замыкание строгого частичного порядка: (W, R), где R = T ∪ {(u, u) | u ∈ W }, (W, T ) — строгий частичный порядок рефлексивность: ∀x(Rxx) антисимметричность: ∀xy(Rxy & Ryx → x = y) транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz) Например: Rxy ⇔ x = y или x — делитель y Пример (Рефлексивный линейный (полный) порядок) (W, R) — частичный порядок со следующим свойством: связность: ∀xy(Rxy ∨ Ryx) Например: (N, ≤), (Z, ≤), (Q, ≤), (R, ≤) Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Реляционные структуры Пример (Система помеченных переходов) (W, {Ra | a ∈ A}) W — непустое множество состояний A — непустое множество меток ∀a ∈ A Ra ⊆ W × W Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Реляционные структуры Пример (Система помеченных переходов) (W, {Ra | a ∈ A}) W — непустое множество состояний A — непустое множество меток ∀a ∈ A Ra ⊆ W × W Абстрактная модель вычислений Состояния — состояния компьютера Метки — программы (u, v) ∈ Ra — в начале выполнения программы a компьютер находится в состоянии u, а в конце — в состоянии v Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Реляционные структуры Пример (Семантические сети) Способ представления знаний в искусственном интеллекте Граф: Узлы — объекты Дуги — отношения между объектами Маша прочитала книга Неклассические логики и представление знаний любит Петя написал Реляционные структуры Модальные языки Реляционные структуры Пример (Конечные деревья) S S — предложение NP — группа существительного VP NP PN NP TV VP — группа глагола PN — имя собственное PN Неклассические логики и представление знаний TV — транзитивный глагол Реляционные структуры Деревья Определение (Транзитивное замыкание) W — непустое множество R ⊆ W × W — бинарное отношение на W Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Деревья Определение (Транзитивное замыкание) W — непустое множество R ⊆ W × W — бинарное отношение на W R+ — транзитивное замыкание R: T R+ = {R0 | R ⊆ R0 ⊆ W × W и R0 транзитивно} Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Деревья Определение (Транзитивное замыкание) W — непустое множество R ⊆ W × W — бинарное отношение на W R+ — транзитивное замыкание R: T R+ = {R0 | R ⊆ R0 ⊆ W × W и R0 транзитивно} R∗ — рефлексивное транзитивное замыкание R: T R∗ = {R0 | R ⊆ R0 ⊆ W × W и R0 рефлексивно и транзитивно} Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Деревья Определение (Транзитивное замыкание) W — непустое множество R ⊆ W × W — бинарное отношение на W R+ — транзитивное замыкание R: T R+ = {R0 | R ⊆ R0 ⊆ W × W и R0 транзитивно} R∗ — рефлексивное транзитивное замыкание R: T R∗ = {R0 | R ⊆ R0 ⊆ W × W и R0 рефлексивно и транзитивно} uR+ v ⇔ есть последовательность элементов u = w0 , w1 , . . . , wn = v из W , такая что wi Rwi+1 для всех i<n Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Деревья Определение (Дерево) Дерево T — реляционная структура (T, S), такая что 1 Множество узлов T содержит единственный корень r ∈ T : ∀t ∈ T (S ∗ rt) 2 У каждого узла t 6= r существует единственный S-предшественник t0 ∈ T : St0 t 3 Отношение S ациклично: ∀t(¬S + tt) Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Деревья Определение (Дерево) Дерево T — реляционная структура (T, S), такая что 1 Множество узлов T содержит единственный корень r ∈ T : ∀t ∈ T (S ∗ rt) 2 У каждого узла t 6= r существует единственный S-предшественник t0 ∈ T : St0 t 3 Отношение S ациклично: ∀t(¬S + tt) NB: S иррефлексивно Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Деревья Дерева может быть недостаточно S (T, S, LEFT-OF, S, NP, VP, PN, TV) — древовидная структура VP NP PN NP TV S, NP, VP, PN, TV — унарные отношения — бинарное отношение (порядок слов в предложении имеет значение) LEFT-OF PN Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Стрелочные структуры В системах помеченных переходов переходы — сущности «второго рода» В логике первого порядка переходам соответствуют предикатные символы, тогда как состояниям — константы Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Стрелочные структуры В системах помеченных переходов переходы — сущности «второго рода» В логике первого порядка переходам соответствуют предикатные символы, тогда как состояниям — константы В стрелочных структурах переходы рассматриваются как сущности «первого рода» Объекты в стрелочных структурах — все, что можно изобразить в виде стрелок вектора функции программы действия ... Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Стрелочные структуры Определение (Стрелочный фрейм) F = (W, C, R, I) Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Стрелочные структуры Определение (Стрелочный фрейм) F = (W, C, R, I) C ⊆W ×W ×W Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Стрелочные структуры Определение (Стрелочный фрейм) F = (W, C, R, I) C ⊆ W × W × W — композиция Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Стрелочные структуры Определение (Стрелочный фрейм) F = (W, C, R, I) C ⊆ W × W × W — композиция R⊆W ×W Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Стрелочные структуры Определение (Стрелочный фрейм) F = (W, C, R, I) C ⊆ W × W × W — композиция R ⊆ W × W — обратное отношение Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Стрелочные структуры Определение (Стрелочный фрейм) F = (W, C, R, I) C ⊆ W × W × W — композиция R ⊆ W × W — обратное отношение I⊆W Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Стрелочные структуры Определение (Стрелочный фрейм) F = (W, C, R, I) C ⊆ W × W × W — композиция R ⊆ W × W — обратное отношение I ⊆ W — тождественные стрелки Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Стрелочные структуры Определение (Стрелочный фрейм) F = (W, C, R, I) C ⊆ W × W × W — композиция R ⊆ W × W — обратное отношение I ⊆ W — тождественные стрелки Пример (Квадратный стрелочный фрейм над U ) SU = (U × U, C, R, I), где Cabc ⇔ Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Стрелочные структуры Определение (Стрелочный фрейм) F = (W, C, R, I) C ⊆ W × W × W — композиция R ⊆ W × W — обратное отношение I ⊆ W — тождественные стрелки Пример (Квадратный стрелочный фрейм над U ) SU = (U × U, C, R, I), где Cabc ⇔ a0 = b0 , a1 = c1 , b1 = c0 Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Стрелочные структуры Определение (Стрелочный фрейм) F = (W, C, R, I) C ⊆ W × W × W — композиция R ⊆ W × W — обратное отношение I ⊆ W — тождественные стрелки Пример (Квадратный стрелочный фрейм над U ) SU = (U × U, C, R, I), где Cabc ⇔ a0 = b0 , a1 = c1 , b1 = c0 Rab ⇔ Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Стрелочные структуры Определение (Стрелочный фрейм) F = (W, C, R, I) C ⊆ W × W × W — композиция R ⊆ W × W — обратное отношение I ⊆ W — тождественные стрелки Пример (Квадратный стрелочный фрейм над U ) SU = (U × U, C, R, I), где Cabc ⇔ a0 = b0 , a1 = c1 , b1 = c0 Rab ⇔ a0 = b1 , a1 = b0 Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Стрелочные структуры Определение (Стрелочный фрейм) F = (W, C, R, I) C ⊆ W × W × W — композиция R ⊆ W × W — обратное отношение I ⊆ W — тождественные стрелки Пример (Квадратный стрелочный фрейм над U ) SU = (U × U, C, R, I), где Cabc ⇔ a0 = b0 , a1 = c1 , b1 = c0 Rab ⇔ a0 = b1 , a1 = b0 Ia ⇔ Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Стрелочные структуры Определение (Стрелочный фрейм) F = (W, C, R, I) C ⊆ W × W × W — композиция R ⊆ W × W — обратное отношение I ⊆ W — тождественные стрелки Пример (Квадратный стрелочный фрейм над U ) SU = (U × U, C, R, I), где Cabc ⇔ a0 = b0 , a1 = c1 , b1 = c0 Rab ⇔ a0 = b1 , a1 = b0 Ia ⇔ a0 = a1 Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Упражнение антисимметричность: ∀xy(Rxy & Ryx → x = y) асимметричность: ∀xy(Rxy → ¬Ryx) Приведите пример асимметричного отношения, не являющегося антисимметричным, или докажите, что такого отношения не существует. Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Упражнение антисимметричность: ∀xy(Rxy & Ryx → x = y) асимметричность: ∀xy(Rxy → ¬Ryx) Приведите пример асимметричного отношения, не являющегося антисимметричным, или докажите, что такого отношения не существует. Приведите пример антисимметричного отношения, не являющегося асимметричным, или докажите, что такого отношения не существует. Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Упражнение Какими свойствами обладает отношение, заданное следующей таблицей? a b c d a × Неклассические логики и представление знаний b × × × c × d × × × Реляционные структуры Упражнение Квазипорядок (W, R) со следующими свойствами: рефлексивность: ∀x(Rxx) транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz) Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Упражнение Квазипорядок (W, R) со следующими свойствами: рефлексивность: ∀x(Rxx) транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz) Определим отношение ∼ на W : s ∼ t ⇔ Rst и Rts. Обозначим [s] = {t | s ∼ t}. Определим отношение ≤ на множествах [s] для s ∈ W : [s] ≤ [t] Неклассические логики и представление знаний ⇔ Rst. Реляционные структуры Модальные языки Упражнение Квазипорядок (W, R) со следующими свойствами: рефлексивность: ∀x(Rxx) транзитивность: ∀xyz(Rxy & Ryz → Rxz) Определим отношение ∼ на W : s ∼ t ⇔ Rst и Rts. Обозначим [s] = {t | s ∼ t}. Определим отношение ≤ на множествах [s] для s ∈ W : [s] ≤ [t] ⇔ Rst. Докажите, что ≤ — частичный порядок. Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Базовый модальный язык Модальные языки произвольного типа сходства Базовый темпоральный язык Язык пропозициональной динамической логики Язык логики стрелок Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Реляционные структуры и модальные языки Определение (Базовый модальный язык) Множество пропозициональных переменных Φ p, q, r, . . . Унарный модальный оператор ♦ Формула φ := p | ⊥ | ¬ψ | ψ ∨ χ | ♦ψ p∈Φ ψ, χ — формулы Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Реляционные структуры и модальные языки Определение (Базовый модальный язык) Множество пропозициональных переменных Φ p, q, r, . . . Унарный модальный оператор ♦ Формула φ := p | ⊥ | ¬ψ | ψ ∨ χ | ♦ψ p∈Φ ψ, χ — формулы Модальный оператор , двойственный оператору ♦: φ := ¬♦¬φ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Реляционные структуры и модальные языки Определение (Базовый модальный язык) Множество пропозициональных переменных Φ p, q, r, . . . Унарный модальный оператор ♦ Формула φ := p | ⊥ | ¬ψ | ψ ∨ χ | ♦ψ p∈Φ ψ, χ — формулы Модальный оператор , двойственный оператору ♦: φ := ¬♦¬φ φ & ψ := ¬(¬φ ∨ ¬ψ) φ → ψ := ¬φ ∨ ψ φ ↔ ψ := (φ → ψ) & (ψ → φ) > := ¬⊥ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные операторы Пример ♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’ Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные операторы Пример ♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’ φ — Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные операторы Пример ♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’ φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ — Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные операторы Пример ♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’ φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ — ‘необходимо φ’ Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные операторы Пример ♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’ φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ — ‘необходимо φ’ φ → ♦φ — Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные операторы Пример ♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’ φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ — ‘необходимо φ’ φ → ♦φ — ‘если φ необходимо, то оно возможно’ Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные операторы Пример ♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’ φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ — ‘необходимо φ’ φ → ♦φ — ‘если φ необходимо, то оно возможно’ φ → ♦φ — Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Модальные операторы Пример ♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’ φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ — ‘необходимо φ’ φ → ♦φ — ‘если φ необходимо, то оно возможно’ φ → ♦φ — ‘если φ имеет место, то оно возможно’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Модальные операторы Пример ♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’ φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ — ‘необходимо φ’ φ → ♦φ — ‘если φ необходимо, то оно возможно’ φ → ♦φ — ‘если φ имеет место, то оно возможно’ φ → ♦φ — Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Модальные операторы Пример ♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’ φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ — ‘необходимо φ’ φ → ♦φ — ‘если φ необходимо, то оно возможно’ φ → ♦φ — ‘если φ имеет место, то оно возможно’ φ → ♦φ — ‘если φ имеет место, то необходимо, что оно возможно’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Модальные операторы Пример ♦φ — ‘возможно, что имеет место φ’ φ — ‘невозможно, что имеет место ¬φ’ — ‘необходимо φ’ φ → ♦φ — ‘если φ необходимо, то оно возможно’ φ → ♦φ — ‘если φ имеет место, то оно возможно’ φ → ♦φ — ‘если φ имеет место, то необходимо, что оно возможно’ ♦φ → ♦φ — ‘если φ возможно, то необходимо, что оно возможно’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Модальные операторы Пример (Эпистемическая логика) Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Модальные операторы Пример (Эпистемическая логика) Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’ Kφ → φ — Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Модальные операторы Пример (Эпистемическая логика) Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’ Kφ → φ — ‘если субъект знает φ, то оно истинно’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Модальные операторы Пример (Эпистемическая логика) Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’ Kφ → φ — ‘если субъект знает φ, то оно истинно’ φ → Kφ — Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Модальные операторы Пример (Эпистемическая логика) Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’ Kφ → φ — ‘если субъект знает φ, то оно истинно’ φ → Kφ — ‘если φ истинно, то субъект об этом знает’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Модальные операторы Пример (Эпистемическая логика) Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’ Kφ → φ — ‘если субъект знает φ, то оно истинно’ φ → Kφ — ‘если φ истинно, то субъект об этом знает’ ‘Если субъект знает φ, то он знает, что он это знает’ — Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Модальные операторы Пример (Эпистемическая логика) Kφ вместо φ — ‘субъект знает, что φ имеет место’ Kφ → φ — ‘если субъект знает φ, то оно истинно’ φ → Kφ — ‘если φ истинно, то субъект об этом знает’ ‘Если субъект знает φ, то он знает, что он это знает’ — Kφ → KKφ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные операторы Пример (Логика доказуемости) φ — ‘φ доказуемо (в рамках некоторой формальной теории)’ (p → p) → p — формула Лёба Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Обобщение базового модального языка Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Обобщение базового модального языка Более одного ♦ Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Обобщение базового модального языка Более одного ♦ Не только унарные модальные операторы Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Обобщение базового модального языка Более одного ♦ Не только унарные модальные операторы Определение (Модальный тип сходства) τ = (O, ρ) O — непустое множество модальных операторов 4, 40 , 41 , . . . ρ — функция O → N, указывающая арность для каждого оператора 4 ∈ O Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Обобщение базового модального языка Более одного ♦ Не только унарные модальные операторы Определение (Модальный тип сходства) τ = (O, ρ) O — непустое множество модальных операторов 4, 40 , 41 , . . . ρ — функция O → N, указывающая арность для каждого оператора 4 ∈ O Унарные операторы обозначаются ♦a или hai, где a — индекс из некоторого множества Предполагая арность операторов известной, не различаем τ и O Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Определение (Модальный язык) M L(τ, Φ) τ = (O, ρ) — модальный тип сходства Φ — множество пропозициональных переменных Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Модальные языки Определение (Модальный язык) M L(τ, Φ) τ = (O, ρ) — модальный тип сходства Φ — множество пропозициональных переменных F orm(τ, Φ) — множество модальных формул над τ и Φ: φ := p | ⊥ | ¬φ1 | φ1 ∨ φ2 | 4(φ1 , . . . , φρ(4) ) p∈Φ φi — формулы Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Модальные языки Определение (Модальный язык) M L(τ, Φ) τ = (O, ρ) — модальный тип сходства Φ — множество пропозициональных переменных F orm(τ, Φ) — множество модальных формул над τ и Φ: φ := p | ⊥ | ¬φ1 | φ1 ∨ φ2 | 4(φ1 , . . . , φρ(4) ) p∈Φ φi — формулы Определение (Двойственные операторы) O(φ1 , . . . , φn ) := ¬4(¬φ1 , . . . , ¬φn ) Унарный O — a , [a] Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Базовый темпоральный язык O = {hF i, hP i} hF iφ — ‘φ будет истинным в какой-то момент времени в будущем’ hP iφ — ‘φ было истинным в какой-то момент времени в прошлом’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Базовый темпоральный язык O = {hF i, hP i} hF iφ — ‘φ будет истинным в какой-то момент времени в будущем’ hP iφ — ‘φ было истинным в какой-то момент времени в прошлом’ Обычно пишут F и P вместо hF i и hP i Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Базовый темпоральный язык O = {hF i, hP i} hF iφ — ‘φ будет истинным в какой-то момент времени в будущем’ hP iφ — ‘φ было истинным в какой-то момент времени в прошлом’ Обычно пишут F и P вместо hF i и hP i Gφ — ‘φ всегда будет истинным’ Hφ — ‘φ всегда было истинным’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Базовый темпоральный язык Примеры утверждений P φ → GP φ — Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Базовый темпоральный язык Примеры утверждений P φ → GP φ — ‘то, что случилось, всегда будет случившимся’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Базовый темпоральный язык Примеры утверждений P φ → GP φ — ‘то, что случилось, всегда будет случившимся’ Fφ → FFφ — Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Базовый темпоральный язык Примеры утверждений P φ → GP φ — ‘то, что случилось, всегда будет случившимся’ F φ → F F φ — ‘между любыми двумя моментами времени есть третий’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Базовый темпоральный язык Примеры утверждений P φ → GP φ — ‘то, что случилось, всегда будет случившимся’ F φ → F F φ — ‘между любыми двумя моментами времени есть третий’ GF p → F Gp — Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Базовый темпоральный язык Примеры утверждений P φ → GP φ — ‘то, что случилось, всегда будет случившимся’ F φ → F F φ — ‘между любыми двумя моментами времени есть третий’ GF p → F Gp — ‘если p всегда будет истинным в какой-то момент в будущем, то оно в конце концов станет истинным навсегда’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Базовый темпоральный язык Примеры утверждений P φ → GP φ — ‘то, что случилось, всегда будет случившимся’ F φ → F F φ — ‘между любыми двумя моментами времени есть третий’ GF p → F Gp — ‘если p всегда будет истинным в какой-то момент в будущем, то оно в конце концов станет истинным навсегда’ Можно ли на базовом темпоральном языке записать следующее утверждение? φ когда-нибудь станет истинным, а до тех пор будет истинно ψ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Бесконечное множество модальных операторов hπi π — (недетерминированная) программа hπiφ — ‘некоторое выполнение программы π в текущем состоянии приведет к состоянию, в котором истинно φ’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Бесконечное множество модальных операторов hπi π — (недетерминированная) программа hπiφ — ‘некоторое выполнение программы π в текущем состоянии приведет к состоянию, в котором истинно φ’ [π]φ — ‘любое выполнение программы π в текущем состоянии приведет к состоянию, в котором истинно φ’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Бесконечное множество модальных операторов hπi π — (недетерминированная) программа hπiφ — ‘некоторое выполнение программы π в текущем состоянии приведет к состоянию, в котором истинно φ’ [π]φ — ‘любое выполнение программы π в текущем состоянии приведет к состоянию, в котором истинно φ’ Выбор: программа π1 ∪ π2 недетерминированно выполняет π1 или π2 Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Бесконечное множество модальных операторов hπi π — (недетерминированная) программа hπiφ — ‘некоторое выполнение программы π в текущем состоянии приведет к состоянию, в котором истинно φ’ [π]φ — ‘любое выполнение программы π в текущем состоянии приведет к состоянию, в котором истинно φ’ Выбор: программа π1 ∪ π2 недетерминированно выполняет π1 или π2 Композиция: программа π1 ; π2 выполняет сначала π1 , затем π2 Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Бесконечное множество модальных операторов hπi π — (недетерминированная) программа hπiφ — ‘некоторое выполнение программы π в текущем состоянии приведет к состоянию, в котором истинно φ’ [π]φ — ‘любое выполнение программы π в текущем состоянии приведет к состоянию, в котором истинно φ’ Выбор: программа π1 ∪ π2 недетерминированно выполняет π1 или π2 Композиция: программа π1 ; π2 выполняет сначала π1 , затем π2 Итерация: программа π ∗ выполняет π конечное (возможно, нулевое) число раз Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Пропозициональная динамическая логика Если hπ1 i и hπ2 i — модальные операторы, то hπ1 ∪ π2 i — модальный оператор hπ1 ; π2 i — модальный оператор hπ1∗ i — модальный оператор Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Пропозициональная динамическая логика Если hπ1 i и hπ2 i — модальные операторы, то hπ1 ∪ π2 i — модальный оператор hπ1 ; π2 i — модальный оператор hπ1∗ i — модальный оператор Пример hπ ∗ iφ ↔ φ ∨ hπ; π ∗ iφ Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Если hπ1 i и hπ2 i — модальные операторы, то hπ1 ∪ π2 i — модальный оператор hπ1 ; π2 i — модальный оператор hπ1∗ i — модальный оператор Пример hπ ∗ iφ ↔ φ ∨ hπ; π ∗ iφ — ‘оказаться в состоянии, в котором истинно φ, выполнив программу π конечное число раз, можно тогда и только тогда, когда или в текущем состоянии φ истинно, или в такое состояние можно попасть, выполнив программу π конечное число раз, но не менее одного раза’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Если hπ1 i и hπ2 i — модальные операторы, то hπ1 ∪ π2 i — модальный оператор hπ1 ; π2 i — модальный оператор hπ1∗ i — модальный оператор Пример hπ ∗ iφ ↔ φ ∨ hπ; π ∗ iφ — ‘оказаться в состоянии, в котором истинно φ, выполнив программу π конечное число раз, можно тогда и только тогда, когда или в текущем состоянии φ истинно, или в такое состояние можно попасть, выполнив программу π конечное число раз, но не менее одного раза’ Пример (Аксиома Сегерберга) [π ∗ ](φ → [π]φ) → (φ → [π ∗ ]φ) Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет π1 и π2 hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние, достижимое из текущего состояния обеими программами, в котором истинна формула φ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет π1 и π2 hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние, достижимое из текущего состояния обеими программами, в котором истинна формула φ Проверка: программа φ? проверяет истинность φ если φ истинна, продолжаем работу если φ ложна, завершаем работу неудачей Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет π1 и π2 hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние, достижимое из текущего состояния обеими программами, в котором истинна формула φ Проверка: программа φ? проверяет истинность φ если φ истинна, продолжаем работу если φ ложна, завершаем работу неудачей Пример hφ?iψ — Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет π1 и π2 hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние, достижимое из текущего состояния обеими программами, в котором истинна формула φ Проверка: программа φ? проверяет истинность φ если φ истинна, продолжаем работу если φ ложна, завершаем работу неудачей Пример hφ?iψ — ‘φ & ψ’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет π1 и π2 hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние, достижимое из текущего состояния обеими программами, в котором истинна формула φ Проверка: программа φ? проверяет истинность φ если φ истинна, продолжаем работу если φ ложна, завершаем работу неудачей Пример hφ?iψ — ‘φ & ψ’ (p?; a) ∩ (¬p?; b) — Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет π1 и π2 hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние, достижимое из текущего состояния обеими программами, в котором истинна формула φ Проверка: программа φ? проверяет истинность φ если φ истинна, продолжаем работу если φ ложна, завершаем работу неудачей Пример hφ?iψ — ‘φ & ψ’ (p?; a) ∩ (¬p?; b) — ‘if p then a else b’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Пропозициональная динамическая логика Выбор, композиция, итерация — регулярная ПДЛ Пересечение: программа π1 ∩ π2 параллельно выполняет π1 и π2 hπ1 ∩ π2 iφ — есть, по крайней мере, одно состояние, достижимое из текущего состояния обеими программами, в котором истинна формула φ Проверка: программа φ? проверяет истинность φ если φ истинна, продолжаем работу если φ ложна, завершаем работу неудачей Пример hφ?iψ — ‘φ & ψ’ (p?; a) ∩ (¬p?; b) — ‘if p then a else b’ В ДПДЛ рассматриваются детерминированные программы Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Язык стрелок τ→ — тип логики стрелок Не только унарные модальные операторы Формула φ := p | ⊥ | ¬ψ | ψ ∨ χ | ψ ◦ χ | ⊗ψ | 10 p∈Φ ψ, χ — формулы Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Язык стрелок τ→ — тип логики стрелок Не только унарные модальные операторы Формула φ := p | ⊥ | ¬ψ | ψ ∨ χ | ψ ◦ χ | ⊗ψ | 10 p∈Φ ψ, χ — формулы 10 ⊗φ φ◦ψ тождественное обратное композиция ‘пропустить’ ‘φ в обратном направлении’ ‘сначала φ, затем ψ’ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Feature Logic Логика категорий (?) Feature structures — ориентированные ацикличные графы, кодирующие лингвистическую информацию Матрицы «атрибут – значение» используются для описания feature structures Пример AGREEMENT CASE Неклассические логики и представление знаний PERSON 1st NUMBER plural dative Реляционные структуры Модальные языки Feature Logic Логика категорий (?) Feature structures — ориентированные ацикличные графы, кодирующие лингвистическую информацию Матрицы «атрибут – значение» используются для описания feature structures Пример AGREEMENT CASE PERSON 1st NUMBER plural dative hAGREEM EN T i(hP ERSON i1st&hN U M BERiplural)&hCASEidative Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Описательная логика Язык описания онтологий Пример ‘убийца на зарплате у бандита’ Killer u ∃employer.Gangster Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Описательная логика Язык описания онтологий Пример ‘убийца на зарплате у бандита’ Killer u ∃employer.Gangster killer & hemployerigangster Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Описательная логика Язык описания онтологий Пример ‘убийца на зарплате у бандита’ Killer u ∃employer.Gangster killer & hemployerigangster Используются числовые модальности «не более трех переходов требуется, чтобы перейти в состояние, где истинно φ» Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Подстановка Определение Подстановка — отображение σ : Φ → F orm(τ, Φ) Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Подстановка Определение Подстановка — отображение σ : Φ → F orm(τ, Φ) σ индуцирует отображение (·)σ : F orm(τ, Φ) → F orm(τ, Φ) ⊥σ = ⊥ pσ = σ(p) (¬ψ)σ = ¬ψ σ (ψ ∨ θ)σ = ψ σ ∨ θσ (4(ψ1 , . . . , ψn ))σ = 4(ψ1σ , . . . , ψnσ ) Неклассические логики и представление знаний Модальные языки Реляционные структуры Модальные языки Подстановка Определение Подстановка — отображение σ : Φ → F orm(τ, Φ) σ индуцирует отображение (·)σ : F orm(τ, Φ) → F orm(τ, Φ) ⊥σ = ⊥ pσ = σ(p) (¬ψ)σ = ¬ψ σ (ψ ∨ θ)σ = ψ σ ∨ θσ (4(ψ1 , . . . , ψn ))σ = 4(ψ1σ , . . . , ψnσ ) χ — (подстановочный) пример ψ, если существует подстановка τ , такая что ψ τ = χ Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Подстановка Пример σ: σ(p) = p & q σ(q) = ♦♦q ∨ r Неклассические логики и представление знаний σ(r) = r Реляционные структуры Модальные языки Подстановка Пример σ: σ(p) = p & q (p & q & r)σ σ(q) = ♦♦q ∨ r = Неклассические логики и представление знаний σ(r) = r Реляционные структуры Модальные языки Подстановка Пример σ: σ(p) = p & q (p & q & r)σ σ(q) = ♦♦q ∨ r σ(r) = r =(p & q) & (♦♦q ∨ r) & r Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Упражнение Запишите следующие утверждения, используя модальные операторы K (‘знает’) и B (‘убежден’): 1 Если субъект знает что-то, из чего, как он знает, следует нечто другое, то он знает, что это другое истинно. 2 Никто не может знать, что нечто является одновременно истинным и ложным. 3 Если субъект что-то знает, то это что-то истинно. 4 Если субъект что-то знает, то он знает, что он об этом знает. 5 Если субъект чего-то не знает, то он знает, что он об этом не знает. 6 Если субъект убежден в чем-то, из чего, как он убежден, следует нечто другое, то он убежден в этом другом. Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Упражнение Запишите следующие утверждения, используя модальные операторы K (‘знает’) и B (‘убежден’): 7 Никто не может быть убежден, что нечто является одновременно истинным и ложным. 8 Если субъект в чем-то убежден, то он убежден в том, что он в этом убежден. 9 Если субъект в чем-то не убежден, то он убежден в том, что он в этом не убежден. 10 Любой субъект убежден в том, что он знает. 11 Любой субъект убежден в том, что он знает то, в чем убежден. 12 Субъект убежден в чем-то тогда и только тогда, когда он это знает. Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Упражнение Житель страны, населенной рыцарями (говорящими только правду) и плутами (которые всегда лгут), заявляет: Вы не знаете и никогда не узнаете, что я рыцарь. Как записать эту информацию на языке модальной логики? Неклассические логики и представление знаний Реляционные структуры Модальные языки Упражнение из домашнего задания по описательным логикам Введем оператор 4 и будем использовать его для записи понятий вида 4(r1 . . . rn )(s1 . . . sm ), где r1 . . . rn , s1 . . . sm — роли. Например, понятие 4(brother f riend)(sister enemy) описывает индивидов, все друзья братьев которых являются врагами их сестер. Вопрос Как это можно записать на языке модальной логики? Неклассические логики и представление знаний