ИЛЛЮЗИЯ ОБМАНА (НЕВОЗМОЖНЫЕ ФИГУРЫ)

Управление образования администрации осинниковского
городского округа
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Лицей №36» (г. Осинники)
ПРОЕКТ
ИЛЛЮЗИЯ ОБМАНА
(НЕВОЗМОЖНЫЕ ФИГУРЫ)
ВыполнилА:
Плотникова Татьяна Олеговна,
ученица 5 класса «Б»
Руководитель:
Смирнова Вера Владимировна,
учитель математики
ОСИННИКИ
2015
1
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………….…..…….2
1. Теоретическая часть………………………………..………………..7
1.1.
Историческая справка………………………………...…….7
1.2.
Невозможные объекты в искусстве…………………..…...8
2. Практическая часть…………………………………….…………..11
2.1.
Невозможные фигуры – возможны!...................................11
Заключение……………………………………………………….14
Список литературы……………………………………………...15
Приложения……………………………………………….………16
2
ВВЕДЕНИЕ
Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура,
кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при
внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые
соединения
элементов
фигуры.
Создаётся
иллюзия
невозможности
существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.
На самом деле все невозможные фигуры могут существовать в
реальном мире. Однако при этом могут возникать иллюзии. Таким образом,
все объекты, изображаемые на бумаге, являются проекциями трёхмерных
объектов, следовательно, можно создать такой трёхмерный объект, который
при проецировании на плоскость будет выглядеть невозможным. При взгляде
на такой объект из определённой точки он также будет выглядеть
невозможным, но при обзоре с любой другой точки эффект невозможности
будет теряться.
Мы привыкли верить фотографиям (и несколько в меньшей степени чертежам и рисункам), наивно полагая, что они всегда соответствуют какойто действительности (реальной или вымышленной). Отсутствие эльфов в
наблюдаемой нами области пространства/времени еще не означает, что они
не могут существовать. Еще как могут (в чем легко убедиться с помощью
гипса, пластилина или папье-маше). А вот можно ли нарисовать то, чего
вообще не может быть?! Что вообще нельзя сконструировать?!
Существует огромный класс так называемых "невозможных фигур",
ошибочно или умышленно нарисованных с ошибками передачи перспективы,
в результате чего возникают забавные визуальные эффекты.
В своей работе я хочу показать тот мир, который на первый взгляд
парадоксален, его не сразу можно понять.
Тема моей работы актуальна ведь понимание
парадоксов является
одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают
3
лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с нереальными
объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм».
Моделировать подобный мир можно только с помощью математических
формул, человек представить его просто не в состоянии. И для развития
пространственного воображения
оказываются полезными невозможные
фигуры. Человек неустанно мысленно создает вокруг себя то, что для него
будет просто и понятно. Он даже не может себе представить, что некоторые
объекты, окружающие его, могут быть «невозможными». На самом деле мир
един, но рассматривать его можно с разных сторон.
Целью данного проекта является:
 исследовать невозможные фигуры, изображенные на бумаге и попытаться
смоделировать их в реальном мире;
 Создание новых невозможных фигур на плоскости и в трехмерном
пространстве.
Задачи проекта:
 Изучить литературу и интернет-источники по теме;
 Познакомиться
с
родоначальником
невозможных
фигур
и
его
последователями;
 Изучить понятие «невозможные фигуры», с целью, чтобы выяснить,
возможны ли они в реальном мире;
 Сконструировать невозможную фигуру в трёхмерном пространстве;
 Создать новые (свои) невозможные фигуры на плоскости и в трехмерном
пространстве.
 Обобщить полученные результаты исследований, сделать выводы.
Объект исследования: несуществующие фигуры.
Предмет
исследования:
свойства
несуществующих
объектов,
возможность их существования и составления.
Гипотеза: В нашей жизни нет ничего невозможного, главное знать под
каким «углом» смотреть!
4
Методы исследования:
 сбор информации;
 анализ собранной информации;
 опытно - поисковые;
 обработка опытных данных.
Ожидаемый результат: самостоятельное составление несуществующих
объектов
Я выбрали эту тему, потому что она очень заинтересовала меня. И долго
думала, как же назвать свою работу. Было рассмотрено много предложений,
но самым удачным из всех вариантов показался этот: «Иллюзия обмана
(невозможные фигуры)». Раньше мы никогда не задумывались над тем, как
можно изображать на листе бумаги объемный предмет, как же можно его,
имеющего три измерения / длину, ширину и высоту / втиснуть в бумагу,
которая имеет всего два измерения.
Точно также и невозможная фигура - на первый взгляд, это
обыкновенная фигура, но при более пристальном рассмотрении, а точнее
после того, как вы начинаете ее представлять в трехмерном пространстве,
сразу, же ощутите, что она необычна и что - то не вписывается в ваше
привычное представление.
Невозможная фигура – это выполненный на бумаге трехмерный
объект, который не может существовать в действительности, но
который, однако можно видеть как двухмерное изображение. Как
правило, их называют так, потому что они не могут существовать в реальном
мире. Или невозможными фигурами называют геометрические объекты,
нарисованные на бумаге, которые производят впечатление обычной
проекции трехмерного объекта, однако, при внимательном рассмотрении
становятся видны противоречия в соединениях элементов фигуры. Это один
из видов оптических иллюзий. Фигура кажется на первый взгляд проекцией
обычного трёхмерного объекта, но на самом деле она не существует в
реальном мире. Создаётся иллюзия существования такой фигуры в
трёхмерном пространстве.
5
Этапы проекта:
1 этап.
 Постановка проблемы, постановка целей, задач информационноисследовательской работы;
 Проведение бесед о невозможных фигурах;
 Постановка проблемного вопроса, мотивация к реализации проекта;
 Проведение предварительной работы по теме «Невозможные фигуры»;
 Обсуждение и составление поэтапного плана работы, создание банка
идей и предложений. Выбор источников информации.
2 этап. Деятельность по реализации проекта.
 Информационно-образовательные беседы;
 Информационно-поисковая работа;
 Экспериментальная работа;
 Обзор литературы;
 Создание макетов невозможных фигур;
 Создание новых невозможных фигур.
6
1.
Теоретическая часть.
1.1.
Историческая справка.
Оскар Реутерсвард (1915 - 2002 ) - «отец невозможных фигур»,
шведский
художник,
специализировавшийся
в
изображении невозможных фигур, то есть таких,
которые можно изобразить (учитывая неизбежные
нарушения перспективы при представлении 3-мерного
пространства на бумаге), но нельзя создать.
В 1934 году Оскар Реутерсвард случайно создал
свою первую невозможную фигуру — треугольник,
Рис. 1
составленный из девяти кубиков, но вместо того чтобы
исправить свой баг, врубился, что это тема, и принялся штамповать другие
невозможные фигуры одну за другой. (Приложение 1).
Знакомство
с
невозможными
фигурами
перевернуло
жизнь
голландского графика Мориса Эшера, вдохновив его
на
серию
работ
(типа
«Водопада»),
часто
встречающихся в различных математических книгах
и журналах в качестве объекта серьезных научных
исследований.
Морис
Корнелис
Эшер
(1898—1972)
—
нидерландский художник-график. Известен, прежде
всего, литографиями, гравюрами на дереве и металле,
Рис. 2
в которых он мастерски исследовал пластические аспекты
понятий бесконечности и симметрии, а также особенности
психологического
восприятия
сложных
трёхмерных
объектов.
Сэр Роджер Пенроуз (род. 8 августа 1931 года) —
английский ученый, активно работающий в различных
7
Рис. 3
областях математики, общей теории относительности и квантовой теории.
В 1954 году Роджер Пенроуз после лекции голландского графика М. К.
Эшера открыл заново невозможный треугольник и нарисовал его в более
привычной форме (Приложение 1). В отличие от треугольника Реутерсварда,
треугольник Пенроуза нарисован с использованием линейной (а не
параллельной, как у Реутерсварда) перспективы, что придает ему больше
невозможности.
В средневековой японской и персидской живописи невозможные
объекты являются неотъемлемой частью восточного художественного стиля,
дающего лишь общий набросок картины, детали которой приходится
додумывать
зрителю
самостоятельно,
в
соответствии
со
своими
предпочтениями.
Несмотря на то, что невозможные фигуры известны чуть ли не со
времен наскальной живописи, их систематическое изучение началось лишь в
середине XX века, то есть практически на наших глазах, а до этого
математики отмахивались от них, как от досадного недоразумения.
1.2.
Невозможные объекты в искусстве.
Рассмотрим невозможные объемные фигуры на
примере работ Эшера.
Бельведер (1958). Литография
На полу нижней площадки, то есть внутри, стоит
лестница, на которую взбираются двое. Однако,
достигнув верхней площадки, они снова окажутся
снаружи, под открытыми небом, и снова им придется
входить внутрь бельведера. Удивительно ли, что
никому из присутствующих нет дела до человека с
Рис. 4
невозможным кубом в руках, который сидит на
лавочке?
8
Человек с кубом (1958). Гравюра на дереве.
Рассмотрим персонажа картины «Бельведер»
подробнее.
увидеть
В
трехмерном
переднюю
одновременно,
и
мире невозможно
заднюю
поэтому
их
стороны
невозможно
изобразить. Однако есть возможность нарисовать
предмет, передающий иную реальность, если
смотреть на него сверху и снизу. Сидящий на скамье
Рис. 5
юноша держит в руках именно такое абсурдное подобие куба.
Водопад (1961). Литография.
Конструкция
составлена
из
перекладин,
положенных одна на другую под прямым углом.
Следя глазами за ее элементами поочередно, мы
не заметим несоответствия между ними. Однако
перед нами – совершенно невозможное целое,
поскольку в интерпретации расстояния между
объектами
Рис. 6
неожиданные
и
наблюдателем
изменения.
Эта
возникают
немыслимая
конструкция трижды "вмонтирована" в картину. Падающая вода приводит в
движение мельничное колесо и течет по наклонному зигзагообразному
желобу между двумя башнями, возвращаясь к точке, где водопад начинается
снова. Кажется, что обе башни одинаковой высоты; тем
не менее, та, что справа, оказывается этажом ниже, чем
башня слева.
Дом лестниц (1951). Литография.
Верхняя
зеркальное
половина
отражение
литографии
нижней.
представляет
Верхний
пролет
лестницы, по которому существо ползет вниз, слева
Рис. 7
9
направо, дважды представлен в зеркальном повороте – один раз в середине и
один раз – в нижней части листа. На лестнице, в правом верхнем углу, мы не
отличим поднимающихся от спускающихся: оба ряда движутся бок о бок,
только один ряд ползет вверх, а другой – вниз.
На всех гравюрах Эшера прослеживается оптический обман. Эти
иллюзии положили начало новому направлению в искусстве - оп-арту1.
Самостоятельным направлением в оп-арте является так называемый
имп-арт (imp-art), использующий для достижения оптических иллюзий
особенности отображения трёхмерных объектов на плоскости. Здесь мы
видим изображения объектов, не существующих в пространстве – элементы
изображения
трехмерного
объекта
расположены
во
взаимосвязи,
препятствующей их однозначному восприятию. Подобные невозможные
фигуры
прекрасно
демонстрируют
особенности
нашего
восприятия
пространства, ведь любая картина в сущности представляет собой набор
линий и цветовых пятен, расположенных на плоскости. От художника
требуется определённое мастерство, чтобы убедить зрителя в наличии
объёма, перспективы, создать иллюзию пространства в своём произведении.
О. Реутерсвард был одним из представителей авангардистского
направления в живописи – пуризм, в рамках которого использовались только
чистые геометрические формы. Поэтому на большинстве его работ
изображены геометрически точные фигуры на белом фоне. Кроме этого
почти все фигуры представлены в изометрической проекции.
1
Оп-арт (оптическое искусство) — художественное течение второй половины XX века, использующее
различные оптические иллюзии, основанные на особенностях восприятия плоских и пространственных фигур.
10
2. Практическая часть.
2.1. Невозможные фигуры – возможны!
Для подтверждения гипотезы я провела ряд исследований, с помощью
которых я хотела доказать, что невозможные фигуры возможны в реальном
мире.
Исследование №1. Конструирование «Треугольника Пенроуза».
Это одна из основных невозможных фигур, известная также под
названиями невозможный треугольник и трибар. Скульптуру невозможного
треугольника можно встретить в городе Перт, Австралия и других городах.
Используемые материалы и алгоритм построения фигуры:
1) Из дерева (береза) вырезаем бруски с размерами (15см х 3см) и
кубы с размерами (3см х 3см). Для крепления я использовала
проволоку длиной 55 см (Приложение 2).
2) В каждом бруске просверливаем одно сквозное отверстие в
центре двух противоположных граней. В 2 кубах просверливаем
по одному сквозному отверстию на двух соседних гранях, а в 2
кубах
по
одному
сквозному
отверстию
в
центре
двух
противоположных граней.
3) С помощью проволоки насаживаем, чередуя между собой 3
бруска и 4 куба таким образом, чтобы начиналась фигура и
заканчивалась
кубом.
Получили
невозможную
фигуру
«Треугольник Пенроуза». (Приложение 2). Однако при таком
угле зрения с трудом можно увидеть треугольник. Видно, что
одна из сторон треугольника направлена к нам, а другая – от нас,
т. е. они не могут соединиться в пространстве.
4) Для того, чтобы перед нами предстал «Треугольник Пенроуза»,
как замкнутая фигура, на него необходимо смотреть под
определенным углом зрения. Опытным путем, поворачивая саму
фигуру
на
движущейся
поставке,
или
перемещаясь
с
11
фотоаппаратом
против
часовой
стрелки,
мне
удалось
зафиксировать нужный угол зрения и увидеть замкнутую
невозможную фигуру в виде треугольника. (Приложение)
5) Само движение и процесс наложения линий невозможной
фигуры представлены в видеоролике, прилагающемся к работе.
Вывод:
В результате данного опыта мне удалось построить
невозможный «Треугольник Пенроуза». С помощью исследования угла
зрения на фигуру, мне также удалось найти такую точку просмотра, в
которой одна сторона
накладывается на другую и в точке наложения
образуют вершину треугольника, тем самым образуя целостную фигуру треугольник.
Исследование №2. Еще один способ конструирования
треугольника Пенроуза в реальности.
Используемые материалы и алгоритм построения фигуры:
1) Из цветного пластилина трех цветов (чёрный, красный, жёлтый)
скатываем «колбаски»:
желтые -
длиной 8,5 см и 10,5 см;
красные - длиной 10 см и 9,5 см; черные - длиной 9 см и 11 см
(Приложение 3).
2) Соединяем
полученные
разноцветные
«колбаски»
в
определённом порядке (Приложение 3).
Вывод: С помощью «игры цветом», в результате данного опыта мне
удалось
построить
невозможный
треугольник
Пенроуза.
Визуальная
объемность фигуры создается путем наложение цветных «колбасок» друг на
друга в определенной последовательности.
Исследование №3: Конструирование «Невозможных цифр».
Используемые материалы и алгоритм построения фигуры:
1) Из цветного пластилина скатываем «колбаски», для одной цифры
две заготовки.
12
2) Сгибаем
полученные
«колбаски»
определенные
образом
(Приложение 4).
Вывод: В результате данного исследования мне удалось построить
невозможные числа. С помощью исследования угла зрения на фигуру, мне
также удалось найти такую точку просмотра, при которой видна задуманная
цифра.
13
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате исследований мне удалось создать три невозможные
фигуры: «Треугольник Пенроуза» из деревянных брусков и кубов,
«Треугольник Пенроуза» посредством цветовой иллюзии и «Невозможные
числа». Через созданные мной невозможные фигуры мне
удалось
подтвердить выдвинутую гипотезу и установить, что
1. Невозможные фигуры возможны в реальном мире.
2. Невозможные фигуры можно сконструировать из подручных
материалов.
3. Если смотреть на фигуру не учитывая определенный угол зрения, то
она не будет выглядеть как целостная объемная фигура, а лишь как
конструкция состоящая из несвязанных между собой элементов.
Однако, как
только найти определенную точку просмотра,
невозможная фигура сразу преобразовывается и предстает в
удивительном целостном виде, образуя знакомые нам предметы,
такие как треугольник, куб или ящик.
Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур
чрезвычайно интересен и многообразен. Изучение невозможных фигур имеет
довольно важное значение с точки зрения геометрии. Работа может быть
использована на занятиях по математике для развития пространственного
мышления учащихся. Для творческих людей, склонных к изобретательству,
невозможные фигуры являются своеобразным рычагом для создания чего-то
нового, необычного.
14
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левитин Карл Геометрическая рапсодия. - М.: Знание, 1984, -176 с.
2. Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26
3. Реутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат,1990, 206 с.
4. Ткачева М.В. Вращающиеся кубики. – М.: Дрофа, 2002. – 168 с.
5. Интернет ресурсы:
 http://wikipedia.tomsk.ru
 http://www.konenko.net/imp.htm
 http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/
15
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1.
Невозможный треугольник О. Реутерсварда
(рис.1.)
Невозможный треугольник Р.Пенроуза
(рис.2.)
16
Приложение 2.
Конструирование «Треугольника Пенроуза».
(фото.1.)
(фото.3.)
(фото.2.)
(фото.4.)
17
Приложение 3.
Еще один способ конструирования треугольника Пенроуза в
реальности.
(фото.1.)
(фото.2.)
(фото.3.)
18
Приложение 4.
Конструирование «Невозможных цифр».
19
20
21