Оценка региональных кривых распределения максимальных

Экстремальные гидрологические события в Арало-Каспийском регионе
Труды международной научной конференции Москва, 19-20 октября 2006 г.
Оценка региональных кривых распределения максимальных расходов воды
дождевых паводков методом обеспеченности обеспеченностей (на примере
Каспийского региона).
Осипова Н.В.
Институт водных проблем РАН, 119991, Москва, ул. Губкина, д.3
Соответствие теоретического закона распределения вероятностей эмпирическому
материалу наблюдений может быть оценено как визуально (качественное сравнение
кривых), так и по известным критериям (Пирсона, каппа, Фишера, КолмагороваСмирнова и др.). Согласно исследованиям различных отечественных и зарубежных
авторов [1,2,4] все эти критерии можно применять в зоне средних обеспеченностей
рядов стока. Для «хвостовых» частей распределений эти критерии оказываются
нечувствительными вследствие недостаточности данных. Для оценки поведения
типа распределения в экстремальных зонах рекомендуется применять кривые
обеспеченности обеспеченностей [2, 3].
Такой анализ позволяет проверять соответствие получаемых расчетных значений
экстремумов стока наблюдаемым в природе по группам гидрологически сходных
бассейнов [1].
Положим, что по нескольким пунктам наблюдений имеются независимые ряды
наблюдений численностью каждый n лет и выберем самые высокие в каждом ряду
величины. Если для рядов построены кривые обеспеченности, то, пользуясь ими,
можно для каждого экстремума найти приписываемую ему теоретическую
ежегодную вероятность превышения. Закон распределения этих вероятностей среди
множества выборок по n членов определяется на основании правила умножения
вероятностей зависимостью:
P = 1 − (1 − p) n
(1)
где P – вероятность того, что ежегодная вероятность превышения экстремума
выборки, состоящей из n членов, превысит величину p. Кривую, отвечающую этому
закону можно назвать кривой вероятности вероятностей [1]. Сопоставляя с ней
значения p, оцененные по экстремумам отдельных рядов, получаем возможность
проверить степень соответствия наблюдаемой в природе повторяемости
экстремумов теоретическим предположениям.
Если эмпирические точки отклоняются в одну сторону от теоретической кривой, то
это указывает на систематическое отклонение принятого закона распределения от
истинного. Если точки располагаются выше теоретической кривой распределения, то
это означает, что обеспеченность наблюденного максимума систематически
завышается, если ниже – занижается.
Следует отметить, что критерий применим, когда длины рядов для совместно
анализируемых объектов мало отличаются друг от друга.
Погрешность в оценках теоретической вероятности превышения, вызываемая
искажением оценок параметров, наиболее сильно отражается на оценке
повторяемости исключительно высоких максимумов, выдающихся во всем ансамбле
101
Секция 2
совместно исследуемых бассейнов. Вероятность их преувеличивается, вследствие
чего рассеяние вероятностей экстремумов преуменьшается. Это ограничивает
возможности проверять рассматриваемым методом соответствие верхних участков
кривых распределения в области малых вероятностей превышения (порядка 1/1000)
[1].
Описанный выше критерий использовался для проверки соответствия эмпирических
и теоретических кривых обеспеченности для выделенных с помощью методики
совместного анализа данных однородных районов в верхней части водосборного
бассейна Каспийского моря. Для того чтобы учесть генетическое различие в
формировании высоких и низких паводочных расходах, все расчеты производились
для усеченных в медиане выборок. Карта-схема районов приведена на рисунке 1.
Сведения о районах приведены в таблице 1.
При исследовании вопроса о выборе типа распределения в зоне экстремальных
характеристик стока для районов 1-5,7,8 было рекомендовано использование
обобщенного распределения экстремумов (так называемое GEV -распределение).
Для районов № 6, 9 при применении GEV-распределения наблюдалось плохое
соответствие теоретической и эмпирической кривой. Эти выводы, сделанные на
основе качественного сравнения графиков, проверялись с помощью критерия
обеспеченности обеспеченностей.
Таблица 1. Сведения о районах верхней части водосборного бассейна Каспийского
моря.
№ района
Число
постов
Период наблюдений, лет
(min-max)
Площади водосборов, км2
(min-max)
1
19
30-63
667-46300
2
15
25-48
143-22600
3
27
29-98
353-48300
4
18
31-82
460-34300
5
25
28-85
185-27500
6
7
30-90
1230-4950
7
13
31-84
21,5-54400
8
11
32-98
375-549000
9
6
36-44
1060-27900
В каждом однородном районе выбирались максимальные в ряду расходы воды для
каждого пункта наблюдений, затем, используя формулу (1), определялась
обеспеченность каждого члена ряда по обратной зависимости:
p = 1 − (1 − P )1 / n ,
(2)
где
P=
m
b+ 1
(3)
b-число пунктов в районе, n-средняя продолжительность наблюдений по всем
пунктам.
102
Экстремальные гидрологические события в Арало-Каспийском регионе
Труды международной научной конференции Москва, 19-20 октября 2006 г.
0
36
0
42
0
60
0
48
Ви
ше
ра
54
0
44
37
46
VI
45
42
60
39
161
20
27
162
18
НИЖНИЙ НОВГОРОД
Кил
ь ме
п
Че
за
Ва
156
КАЗАНЬ
112
12
ша
Вы
108
107
IX
106
111
11
0
70
71
78
76 Юрю
за
нь
62
115
УФА
61
67
116
66
к
Со
110
113
72
80
58
Дема
64
79
81
63
60
65
14
54
74
73
77
10
68
75
Ай
13
56
м
114
II
Сы
лв
а
69
32
9
104
50
26
я га
а
Мокш
105
52
33
158
138
57
55
III
ла
31
Теша
ца
53
19
139
МУРОМ
49
51
ПЕРМЬ
54
23
Сви
VIII
Кляз
ьма
140
VII
IV
160
157
ва
Усь
34
Пижма
152
ВЛАДИМИР
28
Си
155
151
36
40
Ур
ал
V
47
30
Вятка
96
131
154
24
КИРОВ
21
94
48
29
35
22
17
133
132
25
Вятка
Ветлуга
95 159
134
15
Бе
ла
я
16
ка
Л ет
129
Вели
к
92
Ме
жа
а
0
ма
130 ром
т
128 Кос
41
43
ая
91
93
38
Ка
жа
Ун
I
Мо
ло
ма
59
82
Са
м
а
ар
САРАТОВ
0
ОРЕНБУРГ
83
52
Рисунок 1 - Районирование водосборного Бассейна Каспийского моря по однородности коэффициентов изменчивости
максимального стока для усеченных в медиане рядов с использованием
методики совместного анализа.
103
Секция 2
район 1
-0,2
0
0,2
район 2
0,4
0,6
lg k
-0,4
0,8
0
0
-0,5
-0,5
-1
-1
-1,5
-1,5
-2
-2
Ряд1
-2,5
-0,2
0,2
-2,5
0,6
0,8
lg k
1
-3
-3
lg(p)
lg(p)
район 6
-0,2
0
0,2
район 9
0,4
0,6
lg k
-0,4
0,8
0
0
-0,5
-0,5
-1
-1
-1,5
-1,5
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
lg k
1
-2
-2
Ряд1
Ряд2
Ряд3
-2,5
-2,5
Ряд1
Ряд2
Ряд3
-3
-3
lg(p)
lg(p)
район 3'
район 3
-0,4
0,4
Ряд1
Ряд2
Ряд3
Ряд2
Ряд3
0
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
-0,4
0,8 lg k 1
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
lg k
0,8
0
0
-0,5
-0,5
-1
-1
-1,5
-1,5
-2
-2
-2,5
-3
-3,5
-2,5
Ряд1
-3
Ряд2
Ряд3
-4
Ряд1
Ряд2
Ряд3
-3,5
lg(p)
lg(p)
Рисунок 2. Кривые вероятности вероятностей превышения для районов
водосборного бассейна Каспийского моря
Ряд 1 – Эмпирическая кривая
Ряд 2 – Теоретическая кривая
Ряд 3 – Значения вероятности вероятностей превышения
104
Экстремальные гидрологические события в Арало-Каспийском регионе
Труды международной научной конференции Москва, 19-20 октября 2006 г.
Анализируя совмещенные кривые обеспеченности можно сделать следующий
вывод. Для районов 1, 2, 4, 5, 8 критерий соответствия обеспеченности
обеспеченностей выполняется, точки располагаются близко к теоретической кривой
и практически симметрично относительно ее, а, следовательно, выбранный
теоретический закон распределения может применяться для использования в зоне
экстремальных (максимальных) значений (рис. 2).
Для районов с малой продолжительностью исходных рядов (район № 6, 9)
возможность применения методики совместного анализа весьма условна, а
следовательно, и результат оценки по критерию обеспеченности обеспеченностей не
может быть однозначным (рис. 2).
В районе № 3 имеется один пост, где продолжительность наблюдений составила 98
лет, а на остальных постах продолжительность наблюдений колеблется от 29 до 52
лет. При построении кривых для всех хвостов видно, что точка с максимальным
значением существенно отклоняется от теоретической кривой (рис. 2 - район 3). Так
как критерии обеспеченности обеспеченностей применим в тех случаях, когда длины
рядов приблизительно одинаковы, то указанный пост был исключен из
рассмотрения. Полученные кривые приведены на рисунке 2 (район 3′ ). Видно, что в
этом случае наблюдается лучшее соответствие кривых обеспеченности и критерий
обеспеченности обеспеченностей выполняется. Аналогично и в районе №7 (на
одном посту ряд наблюдений – 90 лет, на остальных 30-42 года)
Таким образом использование критерия обеспеченности обеспеченностей позволяет
получать достоверные выводы об однородности рассматриваемой территории и
рекомендовать обобщенные (объединенные) параметры кривых распределения
максимальных расходов воды дождевых паводков.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Крицкий С.Н. О направлении исследований в области теории использования
водных ресурсов. // Проблемы изучения и комплексного использования водных
ресурсов. М.: Наука, 1978, С.4-44.
2. Крицкий С.Н., Менкель М.Ф. Гидрологические основы управления речным
стоком. М.: Наука, 1981. 270 с.
3. Сотникова Л.Ф. Совместный анализ наблюдений за максимальным стоком
гидрологически однородных бассейнов различных районов СССР // Проблемы
изучения и комплексного использования водных ресурсов. М.: Наука, 1978, С.
45-79.
4. Moon Y., Lall U., Bosworth K. A comparision of tail probability estimators for flood
frequency analysis.// J. of Hydrology, №151, 1993, p.343-363.
105