А.И.Маркушевич ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ТОМ II
реклама
А.И.Маркушевич ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ТОМ II. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму тому Глава пятая Конформные отображения. Применение к вопросам приближения функций многочленами § 1. Отображения посредством аналитических функций. Критерии однолистности § 2. Теоремы существования Римана и Гильберта. Свойства однолистных функций § 3. Соответствие границ. Строение границы односвязной области § 4. Теорема С. Н. Мергеляна. Многочлены Фабера и теорема С. Н. Бернштейна. Многочлены, ортогональные по площади области Глава шестая Гармонические и субгармонические функции. Гидромеханический смысл аналитических функций. Функции ограниченного вида § 1. Гармонические функции. Задача Дирихле и функция Грина для односвязной области § 2. Гидромеханический смысл аналитических функций комплексного переменного. Профили Жуковского — Чаплыгина § 3. Субгармонические функции. Обобщенный принцип максимума модуля и его приложения § 4. Формула Пуассона — Иенсена § 5. Функции ограниченного вида § 6. Граничные свойства функций ограниченного вида Глава седьмая Целые и мероморфные функции § 1. Рост целой функции. Порядок и тип § 2. Разложение в бесконечное произведение. Связь между ростом целой функции и ее нулями § 3. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби § 4. Гамма-функция § 5. Периодические функции § 6. Эллиптические функции и функции, связанные с ними. Тета-функции § 7. Характеристическая функция T (p) Глава восьмая Понятие римановой поверхности. Аналитическое продолжение § 1. Понятие поверхности. Абстрактная риманова поверхность § 2. Триангуляция поверхности. Внутренние отображения § 3. Риманова поверхность в собственном смысле слова § 4. Аналитическое продолжение. Полная аналитическая функция и аналитический образ 5 7 27 62 92 143 171 193 214 226 235 243 272 290 303 324 337 406 436 446 457 474 § 5. Продолжение вдоль кривой. Теорема о монодромии. Прямолинейная 484 звезда элемента. Аналитический образ как риманова поверхность § 6. Особые точки. Алгебраические функции 520 § 7. Принцип симметрии. Отображение полуплоскости на произвольный 543 многоугольник § 8. Модулярная функция. Критерий нормальности. Большая теорема 562 Пикара и прямые Жюлиа Приложение. О базисе в пространстве аналитических функций 574 Литература ко второму тому 618 Предметный указатель 621 Предметный указатель — теорема 272 Абеля метод суммирования 166 — —, обобщение 301 Абстрактная риманова поверхность Векторное топологическое 441 пространство 501 Адамара теорема 282 Верхняя подобласть 91 — — о трех кругах 202 Вихрь скорости 173 Алгебраическая точка разветвления Внутреннее отображение 449 524 Вращения теоремы 50 Алгебраические функции 541 Выделенная окрестность 440 Аналитическая функция, Гамма-функция 303 гидромеханический смысл 171 Гармоническая мажоранта 198 — —, полная 477 Гармонические функции 144 — —, элемент 476 — — сопряженные 144 Аналитические отображения, Гармонический многочлен степени п теорема о сохранении области 7 145 Аналитический образ 483 Гарнака теорема 158 Аналитическое продолжение 475 Гаусса формула 310 — — непосредственное 474 Гидромеханический смысл Аргумента обобщенный принцип 88 аналитических функций 171 Базис в пространстве аналитических Гильберта теорема 60 функций 574 Граничные значения функции — — узком смысле слова 580 радиальные 236 — — широком смысле слова 570 — — — угловые 238 Бернштейна теорема 123 Граничный элемент 77 Бернштейна — Уолша лемма 121 — — второго рода 82 Бесконечного порядка функция 214 — — первого рода 82 — типа функция 245 — — третьего рода 83 Бибербаха гипотеза 58 — — четвертого рода 83 Бляшке произведение 226 Грина функция 168 — функция 226 Двойные логарифмические спирали Большая теорема Пикара 569 183 Бореля преобразование 581 Двойственности принцип в задачах — теорема 285 полноты и единственности 583 Вейерштрасса дзета-функция 372 Двоякопериодическая функция 327 Двумерное многообразие 438 Двухсторонняя поверхность 450 Дефект значения 412 Дефектное значение 411 Дзета-функция Вейерштрасса 372 — — Римана 372 Дирихле проблема 160 Дополнительный модуль функции Якоби 398 Достижимая дуга границы 90 — точка границы 72 Дроби простейшие 294 Дуга жорданова свободная 90 Единственности теорема для конформных отображений 36 — — — радиальных граничных значений 239 Естественная граница функции 479 Жорданов интервал 78 — криволинейный полуинтервал 62 Жуковского теорема 193 Жуковского — Чаплыгина профиль 190 Жюлиа лучи 572 Звезда элемента прямолинейная 491 Значение дефектное 411 Иенсена неравенство 220 Иенсена — Пуассона формула 215 Инварианты функции V(z) 358 Индикатриса роста функции 257 — функции 263 Интеграл Пуассона 151 — —, ядро 151 Интегральная теорема Коши обобщенная 100 Исключительное значение 411 Каратеодори область 125 — теорема об областях с переменными границами 39 Келдыша теорема 100 k-листная функция 10 Комплексный потенциал 174 Конец простой 77 Конечного порядка функция 244 — типа функция 245 Конформный радиус области 36 Криволинейный полуинтервал 62 — — жорданов 62 — —, предельное множество 62 Круг элемента 482 Куранта теорема 92 Лаврентьева теорема 104 Лапласа уравнение 144 Лежандра соотношения 374 Линделефа — Фрагмена теорема 206 Линия тока 175 Лист Мёбиуса 439 Логарифмическая точка разветвления 524 Логарифмические спирали двойные 183 Локальный параметр 440 Лучи Жюлиа 572 Мажоранта гармоническая 198 Максимального типа функция 245 Максимум модуля целой функции 243 Малая теорема Пикара 565 Мёбиуса лист 439 Мергеляна теорема 105 Мероморфная функция 290, 292, 302 — — первая основная теорема 410 — —, разложение на простейшие дроби 290 — —, характеристическая функция 411 Минимального типа функция 245 Миттаг-Леффлера разложение в прямолинейной звезде 495 — — теорема 294 — — —, обобщение 300 m-листная поверхность 462 Многолистная функция 10 Многообразие двумерное 438 Многочлен гармонический степени» я 145 Многочлены Фабера 114 Модель римановой поверхности 460 Модуля обобщенный принцип максимума 197 Модулярная функция 565 Монодромии теорема 488 Неориентируемая поверхность 451 Непосредственное аналитической продолжение 474 Неразветвленный элемент 482 Неразрывности уравнение 173 Нижняя подобласть 91 Нормального типа функция 245 Норма, соответствующая равномерной сходимости внутри области 501, 574 Нормальное семейство 567 — —, критерий 567 Области с переменными границами,. теорема Каратеодори 39 Область Каратеодори 125 — существования полной аналитической функции 477 — элемента 476 Обобщенная интегральная теорема Коши 100 Обобщенный принцип аргумента 88 — — максимума модуля 197 Обращение эллиптического интеграла 363 Ограниченного вида функция 228, 240 Однозначная ветвь функции 477 Однолистная функция 10 — —, предел равномерно сходящейся последовательности 26 Однолистности условия 13 Однопериодическая функция 325 Односторонняя поверхность 451 Окрестность выделенная 440 Ориентация треугольника 446 Ориентированный треугольник 446 Ориентируемая поверхность 450 Ортогональные и нормированные по площади многочлены 133 Основной параллелограмм периодов 327 Особые точки 520 Особый недостижимый граничный элемент 529 Отображение внутреннее 449 Параметр локальный 440 Парсеваля равенство 136 Пенлеве метод 495 Период основной 325, 327 — функции 324 Периодическая функция 324 Периодов основной параллелограмм 327 — полоса 329 Пикара теорема большая 569 — — малая 565 Площадей теорема 43 Поверхности триангуляция 447 Поверхность двухсторонняя 450 — m-листная 462 — неориентируемая 451 — односторонняя 451 — ориентируемая 450 — риманова 459, 462 — — абстрактная 441 — топологическая 438 Подчиненные элементы 483 Подчиненный элемент 477 Показатель сходимости последовательности 278 Полная аналитическая функция 477 — — —, область существования 477 Полнота системы аналитических функций 579 Полоса периодов 329 Полуинтервал криволинейный 62 — — жорданов 62 Порядок целой функции 244 Последовательность областей, ядро 38 Потенциал комплексный 174 — скоростей 174 Потенциала равного кривые 175 Поток 172 Правильная аналитическая кривая 462 Предельное множество криволинейного полуинтервала 62 Продолжение аналитическое 475 — — вдоль кривой 484 Простейшие дроби 294 Простой конец 77 Простопериодическая функция 325 Пространство аналитических функций, базис 574 — векторное топологическое 501 Профиль Жуковского — Чаплыгина 190 Прямолинейная звезда элемента 491 Пуассона — Иенсена формула 215 Пуассона интеграл 151 — метод суммирования 166 Радиус области конформный 36 — элемента 482 Разветвления точка 461 — — алгебраическая 524 — — логарифмическая 524 — — трансцендентная 524 Разветвленный элемент 482 Разложение рациональной функции на простейшие дроби 294 Решетка параллелограммов 326 Римана дзета-функция 372 Римана — Шварца принцип 543 Риманова поверхность 459, 462 — — абстрактная 441 — —, модель 460 — — функции 468 Род целой функции 288 Ряд сверхсходящийся 500 Свободная жорданова дуга 90 Семейство нормальное 567 Сигма-функция 374 Симметрии принцип 543 Соотношение дефектов 412 Сопряженные гармонические функции 144 Спирали логарифмические двойные 183 Стирлинга формула 323 Субгармоническая функция 193 Суммирование, метод Пуассона (ил» Абеля) 166 — ряда 166 Существования теорема Римана 32 Сходимость в среднем 132 Счетная база 437 Тета-функции Якоби 394 Течение, характеристическая функция 174 Тока линия 175 Тока функция 175 Топологическая поверхность 438 Топологическое пространство 436 Трансцендентная точка разветвления 524 Треугольника ориентация 446 Треугольник ориентированный 446 Триангуляция поверхности 447 Тригонометрический многочлен 333 Уолша — Бернштейна лемма 121 Усиленная линейная независимость 577 —Фабера многочлены 114 — —, производящая функция 117 Фату теорема 237 Фрагмена — Линделёфа теорема 206 Функции максимального типа 245 — с интегрируемым квадратом модуля 132 — Функция бесконечного порядка 244 — — типа 245 — Бляшке 226 — гармоническая 144 — — сопряженная 144 — Грина 168 — двоякопериодическая 327 — n-мерная 10 — конечного порядка 244 — — типа 245 — мероморфная 290, 292, 302 — минимального типа 245 — многолистная 10 — модулярная 565 — нормального типа 245 — ограниченного вида 228, 240 — однолистная 10 — однопериодическая 325 — периодическая 324 — простопериодическая 325 — субгармоническая 193 — тока 175 — экспоненциального типа 252 Функция эллиптическая 327 Фурье коэффициенты 134 — разложение 136 — — целой периодической функции 333 Характеристическая функция мероморфной функции 411 — — течения 174 Христоффеля — Шварца формула 549 Центр элемента 482 Целая функция, порядок 244 — —, род 288 Цепь элементов 476 Циркуляция скорости 173 Чаплыгина — Жуковского профиль 190 Чаплыгина формула 192 Чебышева многочлены 116 Шварца формула 153 Шварца — Римана принцип 543 Шварца — Христоффеля формула 549 Эйлера постоянная 306 — формула 310 Эйлеров интеграл 310 Экспоненциального типа функция 252 Элемент аналитической функции 476 — граничный 77 — круговой 481 —, прямолинейная звезда 491 — функции 477 Эллиптическая функция 327 Ядро интеграла Пуассона 151 — последовательности областей 38 Якоби тета-функции 394 — эллиптические функции 387
