delimostx

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА
С. КАЗЫМ БЕЛОЯРСКОГО РАЙОНА, ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО
АВТОНОМНОГО ОКРУГА-ЮГРЫ
Проект в номинации № 2 «Математика»
Тема проекта:
«Признаки делимости»
Автор проекта:
Хрушкова Анастасия Викторовна
Класс 7
Научный руководитель проекта:
Канева Ирина Николаевна
СОШ с.Казы
Учитель математики
Казым
2014 год
1
Оглавление
Введение………………………………………………………………………………………2
1. Понятие делимости…………………………………………………………………...3
2. Признаки делимости в десятичной системе счисления……………………………5
2.1. Признаки делимости чисел на 4, 6………………………………………………….5
2.2. Признаки делимости чисел на 7, 8, 9……………………………………………….6
2.3. Признаки делимости чисел на 11…………………………………………………...7
3. Признак делимости на 2n, 5n,10n, 10n – 1, 10n + 1…………………………………...9
4. Признаки делимости в других системах счисления………………………………10
Заключение…………………………………………………………………………………..11
Список использованной литературы……………………………………………………….12
Тезисы………………………………………………………………………………………..13
2
Введение
Иногда возникает ситуация, когда нужно быстро определить, делится одно
число на другое, или нет. Для некоторых делителей существуют простые, легко
запоминающиеся
признаки,
знания
которых
позволяют
быстро
выполнять
математические операции. Именно этим определяется актуальность данной темы. Для
меня эта тема особенно актуальна – в этом году я буду сдавать единый экзамен, где
пригодятся навыки быстрого счета.
Проблема:
учащиеся
знают
только
самые
распространенные
признаки
делимости: на 2, 3, 5 и 10, а другим признакам делимости в школе на уроках
математике уделяют мало времени.
Цель данной работы – изучить признаки делимости на некоторые натуральные
числа. В ходе написания работы были поставлены следующие задачи:
1.Составить программу написания работы;
2.Отобрать литературу по теме;
3.Выявить признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 7, 8, 9, 11;
4. Сформулировать вывод;
5. Использовать работу на практике.
Методы: изучение литературы, практические проверки описанных способов; на
последнем этапе - обобщение.
Справочные и учебные издания, используемые при написании работы:
энциклопедия «Аванта+» дает первое представление об изучаемой теме, на сайтах
Интернета (в т. ч. «Википедии») описаны некоторые признаки делимости, примеры и
задания взяты из дополнительной литературы по математике.
Практическая значимость: собранный и обобщенный материал дает доступное
объяснение данной темы, что может быть использовано на уроках математики и при
подготовке к экзаменам.
Обработанный материал собран в четыре главы, вторая глава разделена на три
параграфа. В первой главе дается характеристика понятию делимости, вторая и третья
глава дает представление о признаках делимости в десятичной системе счисления, в
четвертой главе описываются признаки делимости в других системах счисления.
3
Глава 1. Понятие делимости
Делимость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное
с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел
является отношением, определённым на множестве целых чисел.[4]
Если для некоторого целого числа a и целого числа b существует такое целое
число q, что bq = a, то говорят, что число a делится нацело на b или, что b делит a.
При этом число b называется делителем числа a, делимое a будет кратным числа b, а
число q называется частным от деления a на b.
Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно
рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества
делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.
Обозначения:
a : b означает, что a делится на b
b | a или b \ a означает, что b делит a, или, что то же самое: b — делитель a.
Связанные определения[4]
У каждого натурального числа, большего единицы, имеются по крайней мере
два натуральных делителя: единица и само это число. При этом натуральные числа,
имеющие ровно два делителя, называются простыми, а имеющие больше двух
делителей — составными. Единица имеет ровно один делитель и не является ни
простым, ни составным.
У каждого натурального числа, большего 1, есть хотя бы один простой делитель.
Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от
самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель —
единица.
Вне зависимости от делимости целого числа a на целое число b≠0, число a
всегда можно разделить на b с остатком, то есть представить в виде:
a=bq+r, где 0 ≤ r ≤ |b|.
В этом соотношении число q называется неполным частным, а число r —
остатком от деления a на b. Как частное, так и остаток определяются однозначно.
Число a делится нацело на b тогда и только тогда, когда остаток от деления a на
b равен нулю.
Всякое число, делящее как a, так и b, называется их общим делителем;
максимальное из таких чисел называется наибольшим общим делителем. У всякой
4
пары целых чисел есть по крайней мере два общих делителя: +1 и -1. Если других
общих делителей нет, то эти числа называются взаимно простыми.
Два целых числа a и b называются равноделимыми на целое число m, если либо
и a, и b делится на m, либо ни a, ни b не делится на него.
Свойства:
Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что a, b, c — целые числа.
Любое целое число является делителем нуля, и частное равно нулю:
0 : a=0
Любое целое число делится на единицу:
a : 1=a
На ноль делится только ноль: 0:0, причём частное в этом случае не определено.
Единица делится только на единицу: 1:1
Для любого целого числа a≠0 найдётся такое целое число b≠a, для которого b:a.
Если a : b и |b|>a, то |a|≥ |b|. Отсюда же следует, что если a : b и a≠0, то |a|≥ |b|.
Для того чтобы a : b необходимо и достаточно, чтобы |a|: |b|.
Если a1 : b, a2 : b,…, an : b, то (a1 + a2 +…an) : b
Свойство делимости является отношением нестрогого порядка и, в частности, оно:
1. рефлексивно, т.е. любое целое число делится на себя же: a:a
2. транзитивно, т.е. если a:b и b:c, то a:c
3. антисимметрично, т.е. если a:b и b:a то либо a=b либо a=-b
Вывод: 1. Делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве
целых чисел
2. Свойства делимости: рефлексивность, транзитивность, антисимметричность
3. У каждого натурального числа, большего единицы имеются, как минимум, два
натуральных делителя: единица и само это число.
5
Глава 2. Признаки делимости в десятичной системе счисления
Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить,
является ли число кратным заранее заданному. [4]
§2.1. Признаки делимости чисел на 4, 6
Теперь, когда мы дали определение делимости и охарактеризовали ее свойства,
перейдем непосредственно к теме работы.
Признаки делимости на 4
Первый признак делимости числа на четыре: число делится на 4 тогда и только тогда,
когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4. Проверим это
утверждение - возьмем два числа: 336 и 746.
746:4=161.5, т. е. данное число на 4 не делится.
336:4=24, число на 4 делится.
Исходя из вышеизложенного, данные примеры подтверждают признак делимости числа
на 4. Первое число оканчивается числом 46, не делящимся на 4, следовательно, и все
число 746 делиться на 4 не будет. А вот второе число 336 оканчивается числом 36,
которое делится на 4. Значит, и все число делится на 4.
Второй признак делимости числа на 4: двузначное число делится на 4 тогда и только
тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4. [6]
Например, число 76 будет делиться на четыре, т. к.:
7*2+6 =14+6=20. Двадцать делится на четыре, следовательно, и 76 делится на 4.
Кстати, этим же признаком можно проверить не только двузначные числа, но и числа с
большим разрядом.
Третий признак делимости числа на четыре: если при делении на 2 частное – четное
число, значит, исходное число делится на 4. Проверим это утверждение на практике:
328:2=164 (четное число), 328:4=82, т. е. исходное число делиться на 4.
Признаки делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если
оно четное и сумма его цифр делится на 3). Пример: 642 – четное число, Ʃ = 6+4+2=12,
т. е. сумма цифр делится на 3. Значит, 642:6=17.
Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда
учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6. Например,
число 324: 2*4+4=8+4=12, т. е. это число делится на 6.
Выводы:
1. Число делится на 4, когда две его последние цифры составляют число,
которое делится на 4.
6
2. Число делится на 6, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.
§2.2. Признаки делимости чисел на 7, 8, 9
Признаки делимости чисел на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной
последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7. Пример, 364
делится на 7, так как 36 − (2 ∙ 4) = 28 делится на 7.[1]
Второй способ узнать, делиться ли число на 7 - использовать модификацию
признака деления на 1001=10³+1, которое само делится на 7.
Для того, чтобы
натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая
сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых
со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на семь. Например, число 689255.
Первая группа со знаком «+» (255), вторая со знаком «-» (689). Отсюда 255 + (-689) =
−434. В свою очередь 434:7 = =62.
Ещё один признак — берём первую цифру, умножаем на 3, прибавляем
следующую (здесь можно взять остаток от деления на 7 от получившегося числа). И
далее — сначала: умножаем на 3, прибавляем следующую… Для 364: 3 * 3 + 6 = 15.
Остаток - 1. Далее: 1 * 3 + 4 = 7.
Признак делимости чисел на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его
последними цифрами, делится на 8. Пример: 546816:8=68352.
Чтобы узнать, делится ли трёхзначное число на 8, можно половину единиц
прибавить к десяткам. У получившегося числа также половину единиц прибавить к
десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8. Например,
952: 95 + 1 = 96, далее 9 + 3 = 12. Значит, 952 делится на 8. [5]
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Пример: 6381 делится на 9, т. к. 6+3+8+1=18, 18 делится на 9, значит, и 6381 делится на
9.
Вывод:
1. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
2. Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами,
делится на 8.
3. Число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из
этого числа без последней цифры делится на 7.
7
§2.3. Признаки делимости чисел на 11
Разность цифр на чётных и нечётных позициях
На 11 делятся только те числа, у которых разность между суммой цифр,
занимающих нечётные места, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на
11.
Примеры. Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечётные
места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих чётные места 0+7+5=12. Число 9 163
627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечётные места, есть 9 + 6 + 6 + 7
= 28, а сумма цифр, занимающих чётные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между
числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461025 не делится на 11, так
как 4+ 1 + 2 = 7 и 6 +0 + 5=11 а их разность 11 —7 = 4 на 11 не делится.
Признак обобщается на группы цифр нечётной длины. При необходимости, к числу
можно приписать нули
Примеры: число 103785 делится на 11, так как разбивается на блоки 103 и 785, и сумма
чисел в нечётных блоках (103) отличается от суммы чисел в чётных блоках (785) на
число 682, делящееся на 11. Число 9 163 627 делится на 11, так как 9+627=636
отличается от 163 на число 636-163=473, делящееся на 11. Число 461025 не делится на
11, так как 461-025=436 не делится на 11.
Разность единиц и десятков
Ещё один признак делимости числа на 11: отнимайте единицы от десятков. Если
результат делится на 11, то и само число тоже.
Например, 103785 10378-5=10373; 1037-3=1034; 103-4=99; 9-9=0
Признак обобщается на нечётные степени 10.
Например, 103785 делится на 11, так как число тысяч (103) минус число единиц равно
103-785=-682 делится на 11.
Сумма блоков по две цифры
Число разделяется на группы по две рядом стоящие цифры (если необходимо,
добавляется нуль в конец или начало числа). Если сумма полученных чисел делится на
11, то и само число делится на 11. Примеры: число 103785 делится на 11, так как
10+37+85=132 делится на 11. Число 9 163 627 делится на 11, так как 9+16+36+27=88
делится на 11 (или потому что 91+63+62+70=286 делится на 11). Число 461025 не
делится на 11, так как 46+10+25=81 не делится на 11.
8
Вывод: существует несколько признаков делимости числа на 11:
1. На 11 делятся только те числа, у которых разность между суммой цифр,
занимающих нечётные места, и суммой цифр, занимающих чётные места,
делится на 11.
2. Если отнять единицы от десятков и результат делится на 11, то и само число
тоже делится на 11.
3. Число разделяется на группы по две рядом стоящие цифры. Если сумма
полученных чисел делится на 11, то и само число делится на 11.
9
Глава 3. Признаки делимости на 2n, 5n,10n, 10n – 1, 10n + 1
Признак делимости на 2n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное
его последними n цифрами, делится на ту же степень. (n>0)
Признак делимости на 5n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное
его последними n цифрами, делится на ту же степень. (n>0)
Признак делимости на 10n-1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть
от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма
делится на 10n − 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n − 1.
Признак делимости на 10n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних
цифр — нули.
Признак делимости на 10n+1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть
от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их nзначными числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само
число делится на 10n + 1.
Выводы:
данные признаки делимости используются в заданиях факультативного курса и в
олимпиадных заданиях.
10
Глава 4. Признаки делимости в других системах счисления
Признаки делимости в других системах счисления аналогичны таковым в
десятичной. [4] В частности, в любой системе счисления (числа записаны в той
системе, в которой мы работаем в данный момент):
1. Число делится на 10n, если оно оканчивается на n нулей.
2. Если основание системы счисления равно k, то любое число делится на k-1
тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на k-1 без остатка. В
частности:
 число делится на 10−1, если сумма его цифр делится на 10−1;
 если основание системы счисления нечётное, то число делится на 2, если
сумма его цифр делится на 2.
3. Если основание системы счисления равно k, то любое число делится на k+1
тогда и только тогда, когда сумма цифр, занимающих нечётные места,
отличается от суммы цифр на чётных местах на число, делящееся на k+1. В
частности:
 число делится на 11, если сумма цифр, занимающих нечётные места, либо
равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на
число, делящееся на 11.
4. Если основание системы счисления делится на некоторое число k, то любое
число делится на k тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится
на k. В частности:
 если основание системы счисления чётное, то число делится на 2, если
его последняя цифра делится на 2.
Вывод: во
делимости.
всех системах счисления существуют аналогичные признаки
11
Выводы
Каждый человек должен владеть навыками быстрого счета. Этот навык может
пригодиться не только в школе при решении задач, но и в повседневной жизни. Данный
проект может быть использован при проведении факультативов и уроков по
математике, а так же при подготовке к экзаменам. В ходе написания работы были
реализованы поставленные задачи, т. е. был создан учебный проект, имеющий как
практическую, так и теоретическую направленность.
Основные выводы, сформулированные по теме:
1. Делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве
целых чисел.
2. Число делится на 4, когда две его последние цифры составляют число, которое
делится на 4.
3. Число делится на 6, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.
4. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
5. Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами,
делится на 8.
6.
Число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из
этого числа без последней цифры делится на 7.
7. Существует несколько признаков делимости числа на 11, один из них: на 11
делятся только те числа, у которых разность между суммой цифр, занимающих
нечётные места, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11.
8. Признаки делимости на 2n, 5n,10n, 10n – 1, 10n + 1 используются в заданиях
факультативного курса и в олимпиадных заданиях.
9. Познакомились с признаками делимости в других системах исчисления.
10. Во всех системах счисления существуют аналогичные признаки делимости.
Перспектива: данная работа может быть дополнена другими признаками делимости
или признаками равноостаточности.
12
Список литературы
1. Аванта+. Математика. - М., 1999.
2. Готовимся к олимпиаде по математике – М.: Феникс, 2010.
3. Задачи по математике - М.: Просвещение, 1992.
Сайты:
4. Признаки делимости. Википедия. Режим доступа: //http: ru.Wikipedia org./wiki/
5. Признаки делимости. Режим доступа: //http:www.math.com.ua
6. Признаки
делимости
натуральных
чисел.
Режим
доступа:
//http:
shkolo.ru›priznaki-delimosti-naturalnyih-chisel.ru/
7. Вся элементарная математика - Арифметика - Признаки делимости. Режим
доступа: //http: www.bymath.net.
13
Тезисы
Иногда возникает ситуация, когда нужно быстро определить, делится
одно число на другое, или нет. Для некоторых делителей существуют
простые, легко запоминающиеся признаки, знания которых позволяют
быстро выполнять математические операции. Именно этим определяется
актуальность данной темы. Для меня эта тема особенно актуальна – в
этом году я буду сдавать единый экзамен, где пригодятся навыки быстрого
счета.
Проблема:
учащиеся
знают
только
самые
распространенные
признаки делимости: на 2, 3, 5 и 10, а другим признакам делимости в
школе на уроках математике уделяют мало времени.
Цель данной работы – изучить признаки делимости на некоторые
натуральные числа. В ходе написания работы были поставлены следующие
задачи:
1.Составить программу исследования;
2.Отобрать литературу по теме;
3.Выявить признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 7, 8, 9, 11;
4. Сформулировать вывод;
5. Использовать работу на практике.
Методы: изучение литературы, практические проверки описанных
способов; на последнем этапе - обобщение.
Справочные и учебные издания, используемые при написании
работы: энциклопедия «Аванта+» дает первое представление об изучаемой
теме, на сайтах Интернета (в т. ч. «Википедии») описаны некоторые
признаки делимости, примеры и задания взяты из дополнительной
литературы по математике.
Практическая значимость: собранный и обобщенный материал дает
доступное объяснение данной темы, что может быть использовано на
уроках математики и при подготовке к экзаменам.
14
Обработанный материал собран в четыре главы, вторая глава
разделена на три параграфа. В первой главе дается характеристика
понятию делимости, вторая и третья глава дает представление о признаках
делимости
в
десятичной
системе
счисления,
в
четвертой
главе
описываются признаки делимости в других системах счисления.
Основные выводы к главам:
1. Делимость целых чисел является отношением, определённым на
множестве целых чисел
2. Число делится на 4, когда две его последние цифры составляют
число, которое делится на 4.
3. Число делится на 6, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.
4. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
5. Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними
цифрами, делится на 8.
6. Число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней
цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
7. Существует несколько признаков делимости числа на 11, один из
них: на 11 делятся только те числа, у которых разность между суммой
цифр, занимающих нечётные места, и суммой цифр, занимающих
чётные места, делится на 11.
8. Признаки делимости на 2n, 5n,10n, 10n – 1, 10n + 1 используются в
заданиях факультативного курса и в олимпиадных заданиях.
9. Во
всех системах счисления существуют аналогичные признаки
делимости.
Каждый человек должен владеть навыками быстрого счета. Этот
навык может пригодиться не только в школе при решении задач, но и в
повседневной жизни. Данный проект может быть использован при
проведении факультативов и уроков по математике, а так же при
подготовке к экзаменам. В ходе написания работы были реализованы
15
поставленные задачи, т. е. был создан учебный проект, имеющий как
практическую, так и теоретическую направленность.
Перспектива: данная работа может быть дополнена другими
признаками делимости или признаками равноостаточности.