Избранные вопросы математики 6 класс МКОУ «Средняя общеобразовательная

Избранные вопросы
математики 6 класс
МКОУ «Средняя общеобразовательная
школа №4»
I. Решение задач с использованием признаков делимости
Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.
2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность
делится на это число.
3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число.
4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и
первое число делится на третье.
Признаки делимости
Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять
деление. Рассмотрим несколько основных признаков деления:
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на
2, то есть является чётной
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его
цифр
нули
или
делится
на
4.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то
есть
равна
0
или
5).
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной
последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например,
259 делится на 7, так как 25 — (2 ·9) = 7 делится на 7).
Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули
или образуют число, которое делится на 8
Признак делимости на 9
1
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися
знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 =
-22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11
дают в остатке (-1)n.
Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.
Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с
учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как
84
+
(4
·
5)
=
104
делится
на
13).
Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с
увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например,
29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72= 102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится
на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→32825=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с
удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 +
(6
·
2)
=
76
делится
на
19).
Пример:
1422169 142216 + 18 142234
142234 14223 + 8 14231
2
14231
1425
152
1423 + 2
142 + 10
15 + 4
1425
152
19
Число 1422169 делится на 19
Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с
утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как
288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).
Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.
Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на
99.
Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 5905+47=101 делится на 101).
Признак делимости на 2n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 5n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.
Признак делимости на 10n-1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может
быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами.
Эта сумма делится на 10n - 1 тогда и только тогда, когда само число делится на
10n - 1.
Признак делимости на 10n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр - нули.
Признак делимости на 10n+1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может
быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая
их n-числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само
число делится на 10n + 1.
3
Задачи
1. Найти наименьшее число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 - 2, на 4 - 3, на 5 - 4, на 6 - 5, на 7 - 6, на 8 - 7, на 9 - 8, на 10 – 9
Решение Если прибавить к искомому числу единицу, тогда полученное
число будет делиться на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8, на 9, на 10. Таким наименьшим число является 10 * 9 * 4 * 7 = 2520, а искомое число на 1
меньше, т.е. 2519.
2. При делении данного числа на 225 в остатке получилось 150. Разделится ли
данное число нацело на 75 и почему?
Решение: Да, так как 225 делится на 75 и 150 делится на 75, следовательно,
остаток равен нулю. Данное число можно записать так: 225x+150, где x частное. На основании делимости суммы ясно, что данное число делится на
75.
3. Найти все числа, большие 25000, но меньшие 30000, которые как при делении на 393, так и при делении на 655 дают в остатке 210.
Решение: НОК (131,1965)=1965
4. На складе имеются ножи и вилки. Общее число тех и других больше 300,
но меньше 400. Если ножи и вилки вместе считать десятками или дюжинами, то в обоих случаях получается целое число десятков и целое число дюжин. Сколько было ножей и вилок на складе, если ножей было на
160 меньше, чем вилок?
Решение: Так как число ножей и вилок (вместе) кратно 10 и 12, значит,
оно делится на НОК (10 и12) = 60. .Между числами 300 и 400 только 360
делится на 60.
Ответ: Ножей 100, вилок 260.
5. Изменяется ли при делении с остатком частное и остаток, если делимое и
делитель увеличить в 3 раза (ответ подтвердить примером) ?
Ответ: Частное не изменится, а остаток увеличится в 3 раза.
6. Даны три последовательных натуральных числа, из которых первое - четное. Докажите что произведение их кратно 24.
Доказательство Из трех последовательных натуральных чисел обязательно одно кратно 3, а из двух последовательных четных одно кратно 4. Следовательно, произведение этих трех чисел делится и на 3, и на 2, и, кроме того, на 4, т.е. на 3 * 2 * 4 = 24.
4
7. Отец и сын решили перемерить шагами расстояние между двумя деревьями, для чего отошли одновременно от одного и того же дерева. Длина шага
отца – 70 см, сына - 56 см. Найти расстояние между этими деревьями, если
известно, что следы их совпали 10 раз.
Решение: 70 = 2 * 5 * 7, 56 = 2 * 7 * 4.
1) НОК(70, 56) = 70 * 4 = 280. Через каждые 280 см следы отца и сына совпадают.
2) 280 * 10 = 2800 (см), 2800 см = 28 м - расстояние между деревьями.
8. Для устройства елки купили орехов, конфет и пряников - всего 760 штук.
Орехов взяли на 80 штук больше, чем конфет, а пряников на 120 штук
меньше, чем орехов. Какое наибольшее число одинаковых подарков для
детей можно сделать из этого запаса?
Решение Из рисунка видно, что пряников было 200 штук, орехов 320, а
конфет 240. НОД (200, 240, 320) = 40. Наибольшее количество подарков 40.
пряников
|------------------------------|
конфет
Всего - 760 |------------------------------|-----------|
40
орехов
120
|------------------------------|-----------------------------------------|
9. Если сложить несократимую дробь с единицей, то вновь полученная дробь
будет также несократима. Почему?
Решение: НОД числителя и знаменателя несократимой дроби равен 1, значит, НОД суммы числителя со знаменателем равен 1, т.е. и вновь полученная дробь несократима.
10. Доказать, что произведение НОД и НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел.
Доказательство: Так как НОК это произведение первого числа на недостающие множители из второго числа, то во втором числе невзятыми оказались множители, которые уже есть в первом числе (т.е. их НОД). Значит,
произведение НОК на НОД равно произведению данных чисел.
11. Витя сказал своему другу Коле: “ Я придумал пример на деление, в котором делимое, делитель, частное и остаток оканчиваются соответственно на 1, 3, 5, 7 “. Подумав, Коля ответил: “Ты путаешь что – то”. Прав ли
Коля?
5
12. Решение: Пусть делимое - a, делитель - b, частное – q ,остаток - r. Тогда а
= b * q + r. Т. к. b и q оканчиваются на 3 и 5, то они нечетные и их произведение нечетно. Так как r оканчивается на 7, оно нечетно, следовательно, b
* q + r - четно, но a оканчивается на 1 и нечетно. Поэтому Коля прав.
13. Какую цифру надо поставить вместо буквы А в запись числа А37, чтобы
оно делилось: а) на 6 , б) на 9?
Ответ а) Какую бы цифру мы не поставили вместо А, число А37 на 6 делиться не будет, так как оно не делится на 2. б) Чтобы число А37 делилось
на 9, надо чтобы сумма его цифр делилась на 9, т.е. А + 3 + 9 должно делиться на 9, а А + 10 делится на 9 только если А = 8.
14.
По периметру звезды в кружки впишите все
числа от 1 до 10 так, чтобы суммы чисел в любых двух
соседних кружках не делились ни на 3, ни на 5, ни на
7.
Ответ:1, 10, 7, 4, 9, 2, 6, 5, 8, 3 (по часовой стрелке, начиная с любого
кружка).
15. Четыре числа попарно сложили и получили шесть сумм. Известно четыре
наименьшие из этих сумм 1, 5, 8 и 9. Найдите две остальные суммы и сами
исходные числа.
Ответ: Две остальные суммы равны 12 и 16, а сами числа равны либо (-1),
2, 6, 10, либо (-3 / 2), 5/2, 13/2, 19/2.
16. Шарик умножил первые 10 простых чисел и получил число
6469693250. - Ты не прав, - сказал Матроскин. Почему?
17. Ответ: Например, потому, что получившееся у Шарика число не делится
на 3 или поскольку делится на 25. Ни того, ни другого быть не может.
18. Напишите наибольшее пятизначное число, кратное 9, такое, чтобы его первой цифрой была 3, а все остальные цифры были бы различны.
Решение: Наибольшее пятизначное число, первая цифра которого 3,
а остальные цифры различные, это 39876. Оно не делится на 9, но делится
на 3, так как сумма его цифр равна 33. Из 9 идущих подряд чисел одно
обязательно делится на 9. Если из числа 39876 вычесть 6, то получим
39870. Это число и является искомым, так как 39873 на 9 не делится.
19. НОК двух чисел, не делящихся друг на друга, равно 630, а НОД их равен
18. Найти эти числа.
Решение: 630 : 18 = 35 (5 * 7 - произведение различных множителей данных чисел). Так как одно число не делится на другое, то эти числа могут
быть только 5 * 18 = 90 и 7 * 18 = 126.
6
20. Доказать, что если сумма двух чисел есть число нечетное, то произведение
этих чисел всегда будет числом четным.
Решение: Сумма двух чисел - число нечетное, следовательно, одно слагаемое - четное, а другое - нечетное. Произведение четного числа на любое
целое число есть число четное.
21. Даны дроби 8 / 15 и 18 / 35. Найти наибольшее из всех чисел, при делении
на которое каждой из данных дробей получаются целые числа.
Решение: НОК (15 и 35) = 105. НОД (8 и 18) = 2, значит, 2 / 105 - наибольшее число, при делении на которое 8 / 15 и 18 / 35 дают в частных целые
числа. Действительно, (8/15):(2/105) = 28 (целое), (18/35):(2/105) = 27 (целое).
22. Произведение четырех последовательных чисел равно 1680. Найдите эти
числа.
Ответ: 1680 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 5 * 6 * 7 * 8.
23. В египетской пирамиде на гробнице начертано число 2520. Почему именно
этому числу выпала “такая честь”? Одна из версий: данное число делится на
все без исключения натуральные числа от 1 до 10.Проверьте это.
Ответ: 2520 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 7, т.е. данное число делится на 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10.
24. Записав шесть различных чисел, среди которых нет 1, в порядке возрастания и перемножив, Оля получила в результате 135135. Запишите числа, которые перемножила Оля.
Ответ: 135135 =1001 * 135, 135 = 3 * 5 * 9, 1001 = 7 * 11 * 13, значит,
135135 =3*5*7*9*11*13.
25. Доказать, что если сумма двух чисел есть число нечетное, то произведение
этих чисел всегда будет числом четным.
Доказательство: Сумма двух чисел - число нечетное, следовательно, одно
слагаемое - четное, а другое - нечетное. Произведение четного числа на
любое целое число есть число четное.
26. Делится ли число 101996 + 8 на 9? Ответ обоснуйте.
Решение: Заметим, что 101996 + 8 = 100...008 (всего 1995 нулей). Сумма
цифр этого числа делится на 9, следовательно, и само число делится на 9
27. Среди четырех утверждений: "число а делится на 2", "число а делится на 4",
"число а делится на 12", "число а делится на 24" – три верных, а одно неверное. Какое?
Ответ. Заметим, что "число а делится на 24" ⇒ "число а делится на 12" ⇒
"число а делится на 4" ⇒ "число а делится на 2". Следовательно, неверным
может быть только утверждение "число а делится на 24".
7
28. Ковбой Джо зашел в бар. Он купил бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6
долларов три пачки табака и девять коробок непромокаемых спичек. Бармен
сказал: "С вас 11 долларов 80 центов за все". Вместо ответа Джо выхватил
револьвер. Почему он решил, что бармен собирается его надуть?
Ответ. Из условия следует, что общая стоимость всей покупки должна делиться на 3, а 11,8 долларов на 3 не делится.
29. На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с
табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкино, а на другой — до Палкино. Боря заметил, что на каждом столбе сумма
всех цифр равна 13. Каково расстояние от Ёлкино до Палкино
30. Если n > 49, то сумма цифр на 49-ом столбе будет больше 13. Значит, для n
есть только такие возможности: 19, 29, 39, 49.Если n =19, то на 9-ом столбе
сумма цифр будет равна 9 + 1 + 0 = 10 — противоречие. Если n = 29, то на
9-ом столбе сумма цифр будет равна 9 + 2 + 0 = 11 — противоречие. Если n
= 39, то на 9-ом столбе сумма цифр будет равна 9 + 3 + 0 = 12 — противоречие. Остаётся только одна возможность: n = 49. Легко проверить, что в этом
случае на всех столбах сумма цифр будет равна 13 (достаточно проверить
это только для 9, 19 , 29, 39, и 49 столбов; подумайте, почему).
Решение Пусть расстояние от Ёлкино до Палкино n километров (по условию, n – целое). Занумеруем столбы от Ёлкино до Палкино по порядку. Рассмотрим 9-й столб, т. е. столб, отстоящий от Ёлкино на 9 километров (ясно,
что n ≥ 10). Тогда с одной его стороны написано 9, а с другой: n – 9. На следующем столбе с одной стороны написано 10, а с другой: n – 10. Если бы n
оканчивалось не на 9, то n – 9 оканчивалось бы не на 0, а значит суммы
цифр чисел n – 9 и n – 10 были бы равны, но тогда на 9-ом столбе сумма
цифр была бы на 8 больше, чем на 10-ом, что невозможно. Значит, n заканчивается
на
9.
Если n > 49, то сумма цифр на 49-ом столбе будет больше 13. Значит, для n
есть только такие возможности: 19, 29, 39, 49.Если n =19, то на 9-ом столбе
сумма цифр будет равна 9 + 1 + 0 = 10 — противоречие. Если n = 29, то на
9-ом столбе сумма цифр будет равна 9 + 2 + 0 = 11 — противоречие. Если n
= 39, то на 9-ом столбе сумма цифр будет равна 9 + 3 + 0 = 12 — противоречие. Остаётся только одна возможность: n = 49. Легко проверить, что в этом
случае на всех столбах сумма цифр будет равна 13 (достаточно проверить
это только для 9, 19 , 29, 39, и 49 столбов; подумайте, почему).
31. Подряд без пробелов выписали все четные числа от 12 до 34. Получилось
число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?
Решение: Данное число не делится на 4, поскольку число, составленное из
двух его последних цифр — 34 — не делится на 4. А, значит, указанное в
условии число не делится и на 24.
32. Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы:
чётные и нечётные. В какой из групп сумма всех цифр, используемых для
записи чисел, больше и на сколько?
8
Решение Сумма цифр числа 1 равна сумме цифр числа 1000; остальные
числа разобьём на пары: 2-3, 4-5, 6-7, 8-9, ..., 998-999. В каждой паре единицы нечётного числа больше на 1, чем чётного, а десятков и сотен у них поровну. Всего таких пар 499.
33. Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны
и которое делится на 2, 5, 9 и 11
Решение У чисел 2, 5, 9 и 11 нет общих делителей, поэтому если число делится на каждое из них, то оно делится и на их произведение. То есть искомое число делится на 2*5*9*11 = 990. Выпишем все четырёхзначные числа,
которые делятся на 990. 1980, 2970, 3960, 4950, 5940, 6930, 7920, 8910, 9900.
Наибольшее из них равно 9900, но у него есть совпадающие цифры. А
наибольшее из них, у которого все цифры различны — это 8910.
34. Найдутся ли натуральные числа x, y и z, удовлетворяющие уравнению 28x +
30y + 31z = 365?
Решение: В году — 12 месяцев. Один из них — февраль — состоит из 28
дней, четыре месяца (апрель, июнь, сентябрь, ноябрь) состоят из 30 дней,
остальные 7 месяцев — из 31 дня. Так как всего в году 365 дней, получаем
28 . 1 + 30 . 4 + 31 . 7 = 365. Есть и другое решение: x = 2, y = 1, z = 9.
35. На доске написаны числа 0, 1, 0, 0. За один шаг разрешается прибавлять
единицу к любым двум из них. Можно ли, повторяя эту операцию, добиться, чтобы все числа стали равными?
Решение За каждый шаг, независимо от того, какие числа мы увеличиваем,
сумма всех написанных чисел увеличивается на 2. Поскольку вначале сумма
равна 1, то она всегда будет оставаться нечетной. А сумма четырех одинаковых чисел, очевидно, четна. Поэтому, добиться, чтобы все числа стали
равными невозможно.
Задачи для самостоятельного решения
36. Найдите десять последовательных натуральных чисел, среди которых: а)
нет ни одного простого числа; б) одно простое число; в) два простых числа;
г) три простых числа; д) четыре простых числа; е) сколько вообще простых
чисел может быть среди десяти последовательных натуральных чисел?
37. Какую последнюю цифру имеет произведение всех нечётных чисел от 1 до
99? А от 1 до 199?
38. Какую цифру нужно приписать к числу 97 справа и слева, чтобы полученное число делилось на 27?
39. Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?
40. Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 дает в
остатке 6, а при делении на 9 остаток равен 8.
9
41. Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые не делятся
ни на 5 ни на 7?
42. Коля и Вася живут в одном доме, на каждой лестничной клетке которого 4
квартиры. Коля живет на пятом этаже, в квартире 83, а Вася - на 3-ем этаже
в квартире 169. Сколько этажей в доме ?
43. Женщина несла на базар корзину яиц. Прохожий нечаянно толкнул женщину, корзина упала и яйца разбились. Виновник несчастья, желая возместить
потерю, поинтересовался, сколько яиц было в корзине. Точно не помню, ответила женщина, - но знаю, что когда я вынимала из корзины по 2, по 3, по
4, по 5, по 6 яиц, в корзине оставалось одно яйцо, а когда я вынимала по 7, в
корзине ничего не оставалось. Сколько яиц было в корзине ?
44. Покупатель взял в магазине пакет молока, стоимостью 3,45 гривны, коробку
творога, стоимостью 3,6 гривны, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда
кассирша выбила чек на 29,6 гривны, покупатель потребовал проверить
расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счет неверен ?
45. Костин дедушка очень любит давать ему задачи на числа. Вот одна из его
задач: Дано пятизначное число 25762. Какую цифру и на каком месте надо
дописать, чтобы полученное число делилось на 36 ?
46. Готовя подарки на Новый год для детей, мы быстро разложили по пакетам
конфеты и печенья. Но когда дело дошло до мандаринов, мы натолкнулись
на забавное затруднение: сначала хотели разложить все мандарины по 10
штук в пакет (а в оставшиеся пакеты - яблоки) - не получилось: на один из
пакетов осталось 9 мандаринов; если бы положили по 9 мандаринов, осталось бы 8 мандаринов на один из пакетов; попробовали раскладывать по 8
мандаринов, осталось 7; стали раскладывать по 7, осталось 6; положили по
6, осталось 5. Что за история? Неужели и дальше так будет продолжаться?
Взяли бумагу, карандаш и начали рассчитывать. И что бы вы думали: делим число имеющихся у нас мандаринов на 5, остаётся 4; делим на 4, остаётся 3; делим на 3, остаётся 2, делим на 2, остаётся 1. Вот такое удивительное число мандаринов мы имели. А сколько всё-таки?
47. Если от задуманного мной трёхзначного числа отнять 7, то оно разделится
на 7, а если отнять от него 8, то оно разделится на 8, если отнять от него 9,
то оно разделится на 9. Какое число я задумал?
48. В порту пришвартовались 4 теплохода. В полдень 2 января 1953 г. они одновременно покинули порт. Известно, что первый теплоход возвращается в
этот порт через каждые 4 недели, Второй - через каждые 8 недель, третий через каждые 12 недель, а четвертый - через каждые 16 недель. Когда в первый раз теплоходы снова сойдутся вместе в этом порту?
49. Сколько делителей у числа а) 100? б) 1000? в) 100…000 (100 нулей)?
50. Среди 4 последовательных чисел всегда найдется число, делящееся на 2 и
число, делящееся на 3. Верно ли, что всегда найдется число, делящееся на
6?
51. Чему может быть равен НОД(a,a+10)?
10
52. Можно ли найти 100 последовательных составных чисел?
53. Ковбой Билл зашёл в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара
и шесть коробков непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен
потребовал с него 11 долларов 80 центов (1 доллар = 100 центов), и в ответ
на это Билл вытащил револьвер. Тогда бармен пересчитал стоимость покупки и исправил ошибку. Как Билл догадался, что бармен пытался его обсчитать?
54. Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом каждый
второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий
— ездить в магазин за продуктами, а каждый пятый день — решать задачи
по математике. (В первый день Петя сделал и первое, и второе, и третье и
очень устал.) Сколько будет у Пети «приятных» дней, когда нужно будет
купаться, но не нужно ни ездить в магазин, ни решать задачи? Сколько
«скучных», когда совсем не будет никаких дел?
55. Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны
и которое делится на 2, 5, 9 и 11.
56. В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные
числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться
ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами,
ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?
57. Двое по очереди расставляют цифры (возможно, повторяющиеся) в таблицу
1x9. Если получившееся девятизначное число делится на а) 9 б) 11, то выигрывает первый игрок, иначе выигрывает второй. Кто выиграет при правильной игре.
58. Является ли простым число 12345678987654321?
59. На три склада был доставлено некоторое количество продуктов. Известно,
что всего на первый и второй склады было доставлено 400 кг, на второй и
третий – 300 кг, а на первый и третий – 440 кг. Сколько килограммов продуктов было доставлено на каждый склад в отдельности?
60. От потолка комнаты вертикально вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с
одной и той же скоростью, а вторая, хотя и поднималась вдвое медленней
первой, но зато спускалась вдвое быстрее. Какая из мух раньше приползет
обратно?
61. Ученики двух шестых классов купили 737 учебников, причем каждый купил
одинаковое количество учебников. Сколько было шестиклассников и сколько учебников купил каждый из них?
62. На доске выписаны все натуральные числа от 1 до 99. Каких цифр на доске
написано больше – четных или нечетных?
11
63. Как вы считаете, какой — чётной или нечётной — будет сумма: а)двух чётных чисел ;б)двух нечётных чисел; в)чётного и нечётного чисел?
г)нечётного и чётного чисел?
64.Как вы читаете, какой — чётной или нечётной — будет сумма: а)чётного
числа чётных чисел; б)чётного числа нечётных чисел; в)нечётного числа
чётных чисел; г)нечётного числа нечётных чисел?
65.Как вы читаете, каким — чётным или нечётным — будет произведение:
а)двух чётных чисел; б)двух нечётных чисел; в)чётного и нечётного чисел;
г)нечётного и чётного чисел?
66.Как вы читаете, каким — чётным или нечётным — будет произведение:
а)чётного числа чётных чисел; б)чётного числа нечётных чисел; в)нечётного
числа чётных чисел; г)нечётного числа нечётных чисел?
67.Попробуйте разменять 25-рублёвую купюру одиннадцатью купюрами достоинством 1,3 и 5 руб.
68.Можно ли решить предыдущую задачу, если число купюр будет не одиннадцать, а десять? Почему?
69.Петя и Миша играют в такую игру. Петя берёт в каждую руку по монетке: в
одну — коп., а в другую — После этого содержимое левой руки он умножает на 4,10,12 или 26,а одержимое правой руки — на 7,13,21 или 35.Затем Петя складывает два получившихся произведения и называет Мише результат.
Может ли Миша, зная этот результат, определить, в какой руке у Пети —
правой или левой — монета достоинством в 10 коп.? Почему?
II.Решение текстовых задач нестандартными методами
Задачи на «рассуждения» очень часто включаются в задания математических олимпиад разного уровня. Цель данной статьи - разобрать основные типы
задач, решаемые при помощи рассуждений с минимальным привлечением вычислений. Рассматриваются задачи, которые можно решать и при помощи элементарных алгебраических выкладок, но, учитывая, что учащиеся пятого класса
не владеют алгебраическими приемами, предлагается решение задач только при
помощи рассуждений.
Задача 1.
Десяти собакам и кошкам скормили 56 котлет. Каждой собаке досталось 6
котлет, а каждой кошке 5 котлет. Сколько было собак, а сколько кошек?.
Решение. Будем рассуждать следующим образом: Скормим каждому животному по 5 котлет. После этого у нас останется 6 котлет. По условию, каждой
кошке досталось по 5 котлет, а значит, они уже получили причитающуюся им
долю. Поэтому все оставшиеся котлеты надо скормить собакам, причем дать
каждой по одной котлете. А значит, мы можем оставшиеся котлеты скормить
шестерым псам. Это значит, что собак было 6, а поэтому кошек было 4, если всего животных было 10.
12
Задача 2.
В зоомагазине продают голубей и синиц. Голубь стоит в два раза дороже
синицы. Школьники, зашедшие в магазин, купили для живого уголка 5 голубей и
3 синицы. Если бы они купили 3 голубя и 2 синицы, то потратили бы на 200 рублей меньше. Сколько стоит каждая птица?
Решение. Решим задачу как и предыдущую, используя только рассуждения.
Так как цена одного голубя равна цене одной синицы, то 5 голубей стоят столько
же сколько и 10 синиц. Значит, 5 голубей и три синицы стоят столько же, сколько и 13 синиц. С другой стороны, цена 3 голубей и 5 синиц равняется цене 11
синиц. Таким образом, разница между ценой 5 голубей и 3 синиц оказывается
равной разнице между ценой 13 и11 синиц, а значит равна цене 2 синиц. Поскольку две синицы стоят 200 рублей, то одна стоит 100 рублей. Так как голубь в
два раза дороже синицы, то он стоит 200 рублей.
Задача 3.
Масса 10 ящиков болтов и 7 ящиков гвоздей – 366 кг, а 5 ящиков шурупов и
3 ящика навесов – 262 кг. Определите массу одного ящика гвоздей, шурупов,
болтов и навесов, если известно, что ящик с гвоздями в три раза легче ящика с
навесами, а с болтами – на 4 кг тяжелее, чем с шурупами.
Решение. Зная, что ящик с гвоздями в три раза легче ящика с навесами,
имеем, что 1 ящик с навесами весит столько же, сколько 3 ящика с гвоздями три
ящика, а значит 5 ящиков с шурупами и 9 ящиков гвоздей весят 262 кг. Теперь,
учитывая, что ящик с болтами тяжелее ящика с шурупами на 4 кг, видим, что 5
ящиков с болтами и 9 ящиков с гвоздями весят 282 кг. Учитывая первое условия
задачи, получаем, что 11 ящиков с гвоздями весят198 кг, а значит 1 ящик – 18 кг.
Теперь можно узнать массу ящика других материалов. Получается, что ящик
навесов весит 54 кг, шурупов – 20 кг, болтов – 24 кг.Из разбора решений видно,
что задачи 2 и 3 решаются аналогичным образом, рассуждением и заменой одних объектов в условии задачи другими.
Рассмотрим теперь решение задачи на нахождение трех неизвестных по
трем суммам этих неизвестных, взятых попарно. Задача легко решается при помощи алгебраической модели из трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Но пятиклассники не владеют этим методом и, по моему мнению, им более
понятны конкретные рассуждения по условию задачи.
Задача 4.
Английский и немецкий языки изучают 116 школьников, немецкий и испанский языки учат 46 школьников, а английский и испанский языки изучают 90
школьников. Сколько школьников изучают английский, немецкий и испанский
языки отдельно, если известно, что каждый школьник изучает только один язык.
Решение. Сложим все заданные числа. В полученную сумму количество
учащихся, изучающих какой-либо язык, войдут дважды, а значит, мы узнали
удвоенное количество школьников, изучающих один из иностранных языков.
Итак, 252 – это удвоенное количество учеников. Поэтому всего учеников, изучающих языки, будет 126. Вычитая из этого числа 116 школьников, изучающих
13
английский и немецкий языки, получим, что испанский язык учат 10 школьников. Поводя аналогичные рассуждения, получим, что английский язык учат 80
школьников, а немецкий 36.
Эту же задачу можно решить другим способом. Сложив первые два заданных числа, а именно 116 и 46, мы получим 162. По смыслу задачи, это будут все
ученики, изучающие иностранный язык плюс те, кто учит немецкий. И если теперь мы от этого количества отнимем тех, кто учит английский и испанский, а по
условию это 90 школьников, то получим 72 ученика, что в два раза больше изучающих немецкий язык. Значит, немецкий язык учат 36 школьников. Теперь из
первого и второго условия легко найти, что английский язык учат 80, а испанский 10 учеников.
Задача 5.
В математической олимпиаде участвовали 100 школьников. Было предложено четыре задачи. Первую задачу решили 90 человек, вторую – 80, третью –
70 и четвертую –60. При этом никто не решил все задачи. Награду получили
школьники, решившие и третью, и четвертую задачи. Сколько школьников было
награждено?
Решение. Так, как первую или вторую задачу или первую и вторую задачу
решили 90+80=170 человек, а всего в олимпиаде участвовали 100 человек, то как
минимум обе задачи решили 70 человек. Рассуждая аналогично, получаем, что
третью и четвертую. Задачу решили как минимум 30 человек. Но по условию, ни
один из участников олимпиады не решил все задачи, а значит, первую и вторую
решили 70, а третью и четвертую – 30 человек. Таким образом, награждены были 30 человек.
Задача 6.
Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину
своих монет и отдал второму, потом второй проиграл половину всех своих монет, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось15 монет, а у второго – 33. Сколько монет было у первого пирата до игры?
Решение. Проведем наши рассуждения с конца игровой ситуации. Перед
последней игрой у первого пирата было 30 монет, потому что после проигрыша
половины у него осталось 15 монет, а у второго, который выиграл в последней
игре, до этой игры было 18. Рассуждая аналогичным образом, получим, что перед второй игрой у первого было 12 монет, а у второго – 36. А значит, вначале
игры у каждого пирата было по 24 монеты.
Задачи
1. Задуманное число
Я задумала число, умножила его на два, прибавила три и получила 17. Какое
число я задумала?
Решение:17 – 3 = 14 – число до прибавления 3.
14 : 2 = 7 – искомое число.
Ответ: 7 – искомое число.
14
2.
3.
4.
5.
Алла Пугачева и Кристина Орбакайте
Алле Пугачевой и ее дочери Кристине Орбакайте вместе 98 лет. Кристина
родилась, когда Алле Пугачевой было 22 года. Какого возраста обе певицы?
Решение: Так как Кристина родилась тогда, когда Алле Пугачевой было 22
года, то разница в их возрасте будет 22 года. Тогда 98 – 22 = 76 (лет) – будет
удвоенный возраст Кристины, а значит, Кристине Орбакайте 38 лет, а Алле
Пугачевой 60 лет.
Ответ: Алле Пугачевой 60 лет, Кристине Орбакайте 38 лет.
Маша принесла своим друзьям медведям торт. Известно, что старший медведь съедает торт за 2 дня, средний медведь – за 3 дня, младший медведь –
за 6 дней. За сколько дней три медведя вместе съедят торт?
Решение: Так как старший медведь съедает торт за 2 дня, то за 1 день он
съедает 12 торта.
Так как средний медведь съедает торт за 3 дня, то за 1 день он съедает 13
торта.
Так как младший медведь съедает торт за 6 дней, то за 1 день она съедает 16
торта.
Вместе все три медведя за 1 день съедят 12+13+16=1, то есть один торт.
Ответ: За 1 день.
Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик
дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй
мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь
имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько,
сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков
оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика вначале?
Решение:
Номер мальчика
1
2
3
Число яблок в конце
8
8
8
Число яблок до передачи их третьим мальчиком
8:2=4
8:2=4
8+8+4=
16
Число яблок до передачи их вторым мальчиком
4:2=2
4+2+8=
14
16 : 2 = 8
Число яблок первоначально
2+4+7=
13
14 : 2 = 7
8:2=4
15
Таким образом, первоначально яблок у первого, второго и третьего мальчиков было соответственно 13, 7 и 4.
Ответ. 13 яблок, 7 яблок, 4 яблока.
6.
7.
8.
9.
Черт и бездельник
Однажды черт предложил бездельнику заработать. «Как только ты перейдешь через этот мост, - сказал он, - твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за
это 24 рубля». Бездельник согласился и … после третьего перехода остался
без денег. Сколько денег у него было сначала?
Решение: Задача решается с конца. Так как после третьего перехода у бездельника денег не осталось, то после перехода моста в третий раз у него
было 24 рубля, а до перехода третьего моста – 12 рублей. Тогда после перехода второго моста у бездельника было 12 + 24 = 36 (рублей), а до перехода
второго моста – 36 : 2 = 18 (рублей). Рассуждая аналогично, получим, что
после перехода первого моста у бездельника стало 18 + 24 = 42 (рубля), а
перед переходом первого моста – 42 : 2 = 21 (рубль). Таким образом, у бездельника сначала был 21 рубль.
Ответ. 21 рубль.
Туристы
Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути,
в второй - 1/3 остатка, в третий - 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов?
Решение: Решаем задачу с конца. Так как осталось 32 км, а в третий день
туристы прошли остаток, то 32 км будут составлять последнего 2/3 остатка,
тогда сам последний остаток будет равен 32 : 2/3 = 48 (км). Эти 48 км будут
составлять 2/3 длины маршрута, оставшегося пройти после первого дня. Тогда весь маршрут, который осталось пройти, будет равен 48 : 2/3 = 72 (км).
Эти 72 км составляют вновь 2/3, но уже всего маршрута туристов, а значит,
весь маршрут будет равен 72 : 2/3 = 108 (км). Задача решена.
Ответ. 108 км
Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще
полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было
гусей?
Решение: Так как на последнем озере сели оставшиеся гуси и больше не
осталось, то там сел 1 гусь. Если бы село 2, то 1 гусь бы остался еще (можно
решить уравнением). Тогда к шестому озеру подлетало 1+12∙2=3 (гуся). А к
пятому 3+12∙2=7, к четвертому 7+12∙2=15, к третьему - 15+12∙2=31, ко второму 31+12∙2=63, тогда к первому подлетело 63+12∙2=127 (гусей).
Ответ. 127 гусей
Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил
на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.
16
10.
11.
12.
13.
Решение
Решаем задачу с конца:
1) 2 ∙ 7 = 14 – число до деления на 7.
2) (14 + 6) : 4 = 5 – число до умножения на 4.
3) 5 ∙ 3 = 15 – число до деления на 3.
4) 15 – 5 = 10 – искомое число.
Ответ. 10 – задуманное число.
Крестьянин пришел к царю и попросил: «Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада». Царь ему разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит:
весь сад огорожен тройным забором. Каждый забор имеет только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому
стражу и сказал: «Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада». «Возьми,
но при выходе должен будешь отдать мне половину яблок, что возьмешь, и
еще одно», - поставил условие страж. Это же повторили ему второй и третий, которые охраняли другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как отдаст положенные части трем стражам, у него
осталось одно яблоко?
Решение: Решаем задачу с конца. Перед последними воротами у крестьянина должно остаться (1 + 1) ∙ 2 = 4 яблока, перед вторыми – (4 + 1) ∙ 2 = 10,
и перед первыми – (10 + 1) ∙ 2 = 22 яблока.
Ответ. 22 яблока.
В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо
одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся
лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?
Подсказка: Обратите внимание, за сутки число лотосов удваивается.
Решение: Если вы прочтёте условие задачи внимательно, то поймёте, что
озеро было заполнено наполовину через 29 суток. За сутки до того, как озеро заполнится, оно будет заполнено ровно наполовину.
Ответ: Через 29 суток.
Сундук, полный золота, весит 32 пуда, а сундук, заполненный золотом
наполовину, весит 17 пудов. Сколько весит пустой сундук?
Решение. Сундук и всё золото весят 32 пуда, а сундук и половина золота —
17 пудов. Поэтому другая половина золота весит 32 − 17=15 пудов. Тогда
масса всего золота равна 15·2=30 пудов. А, значит, сундук весит 32 − 30=2
пуда.
В 4 часа дня с первого до последнего удара часов прошло 6 секунд. Сколько
времени пройдет с первого до последнего удара в полдень?
Решение. В 4 часа часы пробили четыре раза. Значит, между любыми двумя
ударами проходит 6:3=2 секунды. (Между 4 ударами часов есть
3 промежутка.) Тогда в 12 часов между первым и последним ударом есть
11 промежутков по 2 секунды, а значит, между ними пройдёт 22 секунды.
Ответ. 22 секунды
17
14. Петин будильник испорчен: он спешит на 4 минуты в час. В 7 часов вечера
Петя установил на нем точное время и еще поставил звонок на 7 часов утра.
Во сколько Петя проснётся?
Решение: Пусть у нас есть правильные часы и такие же часы, как у Пети.
Будем отмерять время и по тем, и по другим. Если с 7 часов вечера до того
момента, когда зазвенел будильник, пройдёт x часов (или 60x минут), если
отмерять по правильным часам, то по Петиным часам пройдёт 64x минут.
Так как будильник зазвенит, когда Петины часы будут показывать 7 часов
утра, то по этим часам с 7 вечера прошло 12·60 минут. То есть, 64x=12·60.
12  60
Тогда. x 
64
Значит, от 7 часов вечера до того момента, когда зазвенит будильник, пройдёт 45/4 часа или 11 часов 15 минут. Легко посчитать, что будильник зазвенит в 6 часов 15 минут.
15. Двое рабочих за два часа разгрузили две машины. Сколько машин разгрузят
восемь рабочих за восемь часов?
16. Лошадь съедает копну сена за 2 суток, корова — за 3, овца — за 6 суток. За
какое время съедят копну сена лошадь, корова и овца вместе?
17. Четыре чёрненьких чумазеньких чертёнка чертили чёрными чернилами чертёж четыре часа. Если бы первый чертёнок чертил вдвое быстрее, а второй — вдвое медленнее, то им потребовалось бы столько же времени; если
бы, наоборот, первый чертил вдвое медленнее, а второй — вдвое быстрее,
то они управились бы за два часа сорок минут. За какое время начертили бы
чертёж первые три чертёнка без помощи четвёртого?
18. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо
сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее
Мышки. Дедка, Бабка, Внучка, Жучка и Кошка вместе с Мышкой могут вытащить Репку, а без Мышки — не могут. Сколько надо позвать Мышек,
чтобы они смогли сами вытащить Репку?
Подсказка: Скольких Мышек заменяет Кошка? А Внучка?
Решение: Кошка заменяет 6 Мышек. Жучка заменяет 5•6 Мышек. Внучка
заменяет 4•5•6 Мышек. Бабка заменяет 3•4•5•6 Мышек. Дедка заменяет
2•3•4•5•6 Мышек. Итого потребуется: (2•3•4•5•6) + (3•4•5•6) + (4•5•6) + (5•6)
+ 6 + 1 = 1237 Мышек.
Ответ: 1237 Мышек.
19. Крестьянин, покупая товары, уплатил первому купцу половину своих денег
и ещё 1 рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег да
ещё 2 рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся да
ещё 1 рубль. После этого денег у крестьянина не осталось. Сколько рублей
у него было первоначально?
Решение: Перед приходом к третьему купцу у крестьянина был 1 рубль и
ещё столько же - всего 2 рубля. Перед приходом ко второму купцу у него
было 2 + 2 = 4 рубля и ещё столько же - всего 8 рублей. Наконец, перед
18
приходом к первому купцу крестьянин имел 8 + 1 = 9 и ещё столько же;
значит, первоначально у крестьянина было 18 рублей.
Ответ: 18 рублей.
20. У Джона была полная корзина тремпончиков. Сначала он встретил Анну и
дал ей половину своих тремпончиков и еще пол-тремпончика. Потом он
встретил Банну и отдал ей половину оставшихся тремпончиков и еще полтремпончика. После того, как он встретил Ванну и снова отдал ей половину
тремпончиков и еще пол-тремпончика, корзина опустела. Сколько тремпончиков было у Джона вначале? Что такое тремпончики выяснить не удалось,
так как к концу задачи их не осталось.
Решение: Будем решать задачу с конца. Определим сначала, сколько тремпончиков было у Джона перед встречей с последней девушкой. Из условия
следует, что пол-тремпончика составляли половину этого количества. Значит, всего имелся один тремпончик. Аналогично, перед встречей с Банной
половину всех имевшихся тремпончиков составлял этот один и еще полтремпончика, то есть полтора. Поэтому всего имелось три тремпончика.
Они и еще пол-тремпончика составляли половину исходного количества.
Значит, изначально было 7 тремпончиков.
21. В 15-этажном доме имеется лифт с двумя кнопками: `` " и `` ". Можно
ли проехать с
этажа на
?
Ответ: Нет
22. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину
своих монет (отдал второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго — 33. Сколько монет было у первого пирата до
начала игры?
Подсказка: Попробуйте проследить ''с конца'', сколько у какого пирата было монет после каждой игры.
Решение: Попробуем проследить ''с конца'', сколько у какого пирата было
монет после каждой игры. В последней игре первый проиграл второму половину своих монет, после чего у него осталось 15 монет. Но это ровно
столько, сколько он только что отдал второму! Значит, перед этим у первого
было 15 . 2 = 30 монет, а у второго было 33 - 15 = 18 монет. Аналогично, во
второй игре второй пират проиграл ровно столько, сколько у него осталось
после второй игры, то есть 18 монет. Получаем, что перед второй игрой у
второго пирата было 18 . 2 = 36 монет, а у первого было 30 - 18 = 12 монет.
Проделав самостоятельно ещё один шаг рассуждения, вы найдёте, что вначале у пиратов было по 24 монеты.
23. Мальвина дала Буратино задание: "Сосчитай кляксы в своей тетрадке, прибавь к их числу 7 , раздели на 8 , умножь на 6 и отними 9 . Если сделаешь
всё правильно, получишь простое число". Буратино всё перепутал. Кляксы
он подсчитал точно, но потом умножил их количество на 7, вычел из ре19
зультата 8, затем разделил на 6 и прибавил 9. Какой ответ получился у Буратино?
Решение: Рассмотрим вычисления по плану Мальвины. Соседние операции
"раздели на 8" и "умножь на 6" заменим на одну операцию умножения на
6/8 = 3/4 . Если бы после умножения на 3/4 получалось дробное число, то,
вычтя из него 9, мы бы снова получили дробное число, а должны получить
простое (т. е. целое), значит при умножении на 3/4 мы получаем целое число. Причём это число будет делиться на 3 (при умножении на 3/4 тройке "не
с чем сократиться"). Тогда после вычитания 9 получится число, также делящееся на 3. И известно, что это число простое. Единственное простое
число, делящееся на 3, это само число 3. Значит, по плану Мальвины в конце должно было получиться 3. Произведя операции в обратном порядке,
найдём число клякс: (3 + 9) : 6 · 8 - 7 = 9. Буратино получил число (9 · 7 - 8)
: 6 + 9 = 18+ .
24.
25.
26.
27.
Ответ: Буратино получил 18 .
После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота
понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?
Решение: Поскольку половина персиков составляет одну треть от всего
компота, то половина от оставшихся персиков составляет одну шестую
часть от всего компота. Учитывая, что 2/3 = 4/6, получаем ответ — 1/4.
Ответ: На одну четверть.
Сколько фунтов зерна нужно смолоть, чтобы после оплаты работы — 10%
от помола, осталось ровно 100 фунтов муки? Потерь при помоле нет. Подсказка Подумайте, какую часть оплата будет составлять не от первоначальной выручки, а от окончательной.
Подсказка: Подумайте, какую часть оплата будет составлять не от первоначальной выручки, а от окончательной.
Решение: Оставшиеся 100 фунтов, составляют (100−10)%, т.е.90%. Значит
100 ф. есть 9/10. Отсюда можно найти исходное количество зерна
А = 100ф. × 10/9. Отсюда А = 1000/9 ф. или 111 + 1/9 ф. Действительно,
(9/10) × (111 + 1/9)ф. = (9/10) × (1000/9)ф. = 100 ф.
На лужайке росли 35 жёлтых и белых одуванчиков. После того как 8 белых
облетели, а 2 жёлтых побелели, жёлтых одуванчиков стало вдвое больше,
чем белых. Сколько белых и сколько жёлтых одуванчиков росло на лужайке
вначале?
Сколько было яиц? Это старинная народная задача.
Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила
у нее половину всех яиц и еще пол-яйца. Вторая покупательница приобрела
половину оставшихся яиц и еще пол-яйца. Третья купила всего одно яйцо.
После этого у крестьянки не осталось ничего. Сколько яиц она принесла на
базар?
20
28. В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая
часть учеников получила пятёрки, третья — четвёрки, половина — тройки.
Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было
таких работ?
29. В течение года цены на штрюдели два раза поднимали на 50%, а перед Новым Годом их стали продавать за полцены. Сколько стоит сейчас один
штрюдель, если в начале года он стоил 80 рублей?
30. После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота
понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?
31. "То" да "это", да половина "того" да "этого" — сколько это будет процентов
от трех четвертей "того" да "этого"?
32. Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось,
что в первом бидоне вода заняла половину его объёма, во втором бидоне
вода заняла 2/3, а в третьем бидоне — 3/4 его объёма. Бак и все три бидона
вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объёме бака
возможна такая ситуация?
33. На Нью-Васюковской валютной бирже за 11 тугриков дают 14 динаров, за
22 рупии — 21 динар, за 10 рупий — 3 талера, а за 5 крон — 2 талера.
Сколько тугриков можно выменять за 13 крон?
Подсказка: За 5 крон дают два талера, значит, за одну крону дают 2/5 талера или (2/5) . (10/3) рупии.
Решение: За 5 крон дают два талера, значит, за одну крону дают 2/5 талера.
Аналогично, за один талер дают 10/3 рупии, за одну рупию — 21/22 динара,
за один динар — 11/14 тугрика. Получается, что за одну крону дают
2/5 талера, или (2/5) . (10/3) рупии, или (2/5) . (10/3) . (21/22) динара, или (2/5) .
(10/3) . (21/22) . (11/14) тугрика. Вычислив, получаем, что
.
.
.
= 1.
Значит, за одну крону дают один тугрик, а за 13 крон, соответственно,
13 тугриков.
Ответ: 13.00
34. Под какой процент выгоднее положить деньги в банк на год: 6 процентов в
год или 1/2 процентов в месяц?
Подсказка: Если бы 1/2 процента каждый месяц начислялись от суммы, положенной в банк в начале года, то в конце года сумма увеличилась бы на 6
процентов.
Решение: Пусть в банке начисляется 1/2 процентов каждый месяц. Если бы
1/2 процента каждый месяц начислялись от суммы, положенной в банк в
начале года, то в конце года (через 12 месяцев) сумма увеличилась бы как
раз на (1/2)*12=6 процентов. Однако, начиная со второго месяца 1/2 процента будет начисляться от суммы, которая находится в банке к началу ме21
35.
36.
37.
38.
сяца, т.е. от суммы, которая больше, чем положенная в начале года. Поэтому в конце года сумма окажется больше в том случае, если каждый месяц
начисляется по 1/2 процента.
Ответ: выгоднее второй вариант.
В тесте к каждому вопросу указаны 5 вариантов ответа. Отличник отвечает
на все вопросы правильно. Когда двоечнику удается списать, он отвечает
правильно, а в противном случае - наугад (то есть среди несписанных вопросов он правильно отвечает на 1/5 часть). За год двоечник правильно ответил на половину вопросов. Какую долю ответов ему удалось списать?
Подсказка: Составьте соответствующее уравнение.
Решение: Пусть a - доля списанных двоечником ответов, а N - количество
заданных за год вопросов (N нужно мыслить очень большим, кратным пяти). Тогда aN ответов правильные, так как списаны. Из оставшихся (1-a)N
ответов верными являются (1-a)N/5. Составим уравнение, соответствующее
условию. Оно имеет вид aN+(1-a)N/5=N/2. Отсюда 4a/5=3/10 и a=3/8.
Ответ: 0.38
Экологи запротестовали против большого объема лесозаготовки. Председатель леспромхоза успокоил их следующим образом: "В лесу 99 процентов
сосен. Будут вырубаться только сосны, и после вырубок процент сосен
останется почти неизменным - сосен будет 98 процентов". Какая часть леса
отведена под вырубки?
Подсказка: Количество "не сосен" остается постоянным, а доля "не сосен"
увеличилась с одного процента до двух...
Решение: Обозначим через x число деревьев, не являющихся соснами. Тогда до вырубки x составляет 100-99=1 процент леса, а после вырубки x составляет 100-98=2 процента леса. Таким образом, до вырубки в лесу было
100x деревьев, а после вырубки должно остаться 50x деревьев, т.е. в два раза меньше.
Ответ: половина.
В дремучем Муромском лесу растут дубы и осины. Известно, что дубы составляют 99% всех деревьев. Илья Муромец вырубил часть дубов, так что в
лесу стало 98%дубов. Какую (в процентах) часть леса вырубил Илья Муромец?
Решение: Заметим, что количество осин в лесу не менялось. Вначале они
составляли 1% всех деревьев леса, а после вырубки стали составлять 2%
всех деревьев, то есть вдвое больше. Значит, количество деревьев уменьшилось вдвое.
Ответ: 50% леса.
На острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Какая доля
населения острова состоит в браке?
Решение: Пусть число супружеских пар на острове равно N, то есть замужем N женщин, женаты N мужчин. Замужние женщины составляют 3/5 всех
женщин острова, значит, на острове (5/3)N женщин. Женатые мужчины со22
ставляют 2/3 всех мужчин острова, значит, на острове (3/2)N мужчин. Всего
на острове (5/3)N+(3/2)N=(19/6)N жителей, а в браке состоит 2N жителей.
Искомая доля равна (2N)/((19/6)N)=12/19.
Ответ:12/19 населения острова.
39. На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло
99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%.
Сколько теперь весят ягоды?
Подсказка: Заметьте, вначале в ягодах содержался 1 кг "сухого вещества".
Решение: В начале хранения в ягодах был 1% (т.е. 1 кг) сухого вещества.
В конце хранения этот же 1 кг составлял уже 2% (т.е. 100%-98%) от всех
ягод. Значит, если 2% — 1 кг, то 100% — 50 кг. Следовательно, к концу
хранения на складе лежало 50 кг ягод.
Ответ: 50 кг.
40. В парке росли липы и клены. Кленов среди них было 60%. Весной в парке
посадили липы, после чего кленов стало 20%. А осенью посадили клены, и
кленов стало снова 60%. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в
парке за год?
Решение: Первое решение. До начала посадок липы составляли 2/5, а клёны
- 3/5 всех деревьев в парке. К лету число клёнов не изменилось, однако они
стали составлять 1/5 всех деревьев. Следовательно, количество всех деревьев в парке увеличилось втрое. При этом липы составляли 4/5 всех деревьев.
К зиме не изменилось количество лип, но они стали составлять 2/5 всех деревьев. Следовательно, количество всех деревьев увеличилось ещё вдвое.
Таким образом, за год количество деревьев увеличилось в 6 раз.
Второе решение. Сначала лип было в 1,5 раза меньше, чем клёнов, а потом
стало в 4 раза больше. При этом количество клёнов не менялось. Значит,
лип стало в 1,5 · 4=6 раз больше. Заметим, что к концу года отношение числа клёнов к числу лип стало таким же, как было в начале. Поскольку осенью
количество лип не менялось, количество клёнов тоже увеличилось в шесть
раз. То есть число деревьев в парке увеличилось в шесть раз.
Ответ: в 6 раз.
41. Приходя в тир, игрок вносит в кассу 100 рублей. После каждого удачного
выстрела количество его денег увеличивается на 10%, а после каждого промаха — уменьшается на 10%. Могло ли после нескольких выстрелов у него
оказаться 80 рублей 19 копеек?
Подсказка: 8019 = 9 . 9 . 9 . 11.
Решение: Увеличение на 10% означает умножение на 1,1. Уменьшение на
10% означает умножение на 0,9. Разложив 8019 на множители 8019 = 3 . 3 . 3 .
3 . 3 . 3 . 11, заметим, что 8019 = 9 . 9 . 9 . 11. Поэтому после трёх промахов и
одного попадания у игрока будет 100 руб. . 0, 9 . 0, 9 . 0, 9 . 1, 1 = 80, 19 руб. =
80 руб. 19 коп.
Ответ: Да, могло, если он попал только один раз, а три раза промахнулся
23
42. Два лесоруба, Иван и Прохор, работали вместе в лесу и сели перекусить.
У Ивана было 4 лепёшки, а у Прохора — 8. Тут к ним подошёл охотник. -Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется.
Пожалуйста, поделитесь со мной хлебом-солью! -- Ну что ж, садись, чем
богаты, тем и рады, — сказали лесорубы. Двенадцать лепёшек были разделены поровну на троих. После еды охотник пошарил в карманах, нашёл
гривенник и полтинник и сказал: -- Не обессудьте, братцы, больше при себе
ничего нет. Поделитесь, как знаете! Охотник ушёл, а лесорубы заспорили.
Прохор говорит: -- По-моему, деньги надо разделить поровну! А Иван ему
возражает: -- За 12 лепёшек — 60 коп., значит за каждую лепёшку по 5 коп.
Раз у тебя было 8 лепёшек — тебе 40 коп., у меня 4 лепёшки — мне
20 коп.! А как бы вы разделили эти деньги между лесорубами?
Подсказка: Обратите внимание, на каждого едока приходится
по 4 лепёшки.
Решение: Ошибаются и Иван, и Прохор. На каждого едока пришлось
по 4 лепёшки, следовательно, Иван съел все свои лепёшки сам, а Прохор
половину своих лепёшек отдал охотнику. Это означает, что все 60 коп. должен получить Прохор.
Ответ: Все деньги должен получить Прохор.
43. За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил в весе 20%, за
осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?
Задачи для самостоятельного решения
44. У Жени есть старшая сестра, которой сейчас 12 лет. Каждый год родители
берут её с собой в летний лагерь. Сколько раз сестра успела побывать в
этом лагере, если известно, что день рождения у неё в a) сентябре; b) мае?
45. Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте,
сто гусей!» А передний старый гусь ему и отвечает: «Нет, нас не сто гусей!
Вот, если б нас было еще столько, да еще полстолько, да еще четверть
столько, да ты, гусь, то было бы сто гусей, а теперь… Вот и рассчитай-ка,
сколько нас?» Гусь смог рассчитать, а Вы сможете?
46. На чудо-дереве растут 73 ананаса и 111 арбузов. Если сорвать два разных
плода, вырастет ещё один ананас, а если два одинаковых — арбуз. После
нескольких таких действий на чудо-дереве остался только один плод. Какой?
47. Имеются девять монет, среди которых есть одна фальшивая, весящая меньше настоящих. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без
гирь определить фальшивую монету? Можно ли найти фальшивую монету
за одно взвешивание?
48. Во сколько раз лестница на 16 этаж дома длиннее лестницы на 4 этаж?
24
49. В колбу пустили бактерию. Каждую минуту число бактерий удваивается.
Через три часа колба заполнилась бактериями. В какой момент бактериями
была заполнена четверть колбы?
50. В библиотеке за книжками выстроилась очередь шестиклассников. Библиотекарша Анна задерживалась, и в очередь в каждый промежуток между стоящими успело влезть по шестикласснику. Анны все еще не было, и во все
промежутки опять влезло по шестикласснику. Придя на работу, Анна обнаружила в очереди 101 шестиклассника. Сколько же их было первоначально?
51. По кругу расставлены 9 нулей и единиц, причём есть хотя бы одна единица
и хотя бы один нуль. За один ход между каждыми двумя соседними числами записывают 0 в случае, если числа равны, и 1 в противном случае. Далее
старые числа стираются. Могут ли через несколько ходов все числа стать
равными?
52. Все натуральные числа от 1 до 1000 выписали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем, также в порядке возрастания, числа с суммой цифр 2, потом —
числа, сумма цифр которых равна 3 и т. д. На каком месте оказалось число 997?
53. С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или
произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на
первое место). Можно ли с помощью таких операций из 1 получить 74?
54. Я задумал число, отнял 57, разделил на 2 и получил 27. Какое число я задумал (если вы знаете такое умное слово, как уравнение, то не используйте
его)?
55. На праздник купили торт. Но ели его очень интересно – к торту подходил
человек и съедал половину того, что осталось. Всего торт ели 5 человек, а
пришедшему последним (пятым) Стасу, отдали все, что осталось – полкило
торта. Сколько весил торт в начале (чтобы вы не удивлялись, гости были
очень большие и очень голодные)?
56. Некто прогулял ¼ урока. На следующий день он прогулял половину урока.
Каждый день количество прогулянных уроков увеличивалось в два раза. На
десятый день он впервые прогулял все уроки. На какой день он прогулял
четверть уроков, если их количество в каждый день одинаково.
57. Хулиган Лёша с занятия украл много спичек. По дороге другие ребята увидели его и каждый забрал у него несколько. Вова забрал треть, Вася – треть
оставшихся, Гриша – ещё треть оставшихся, Толя – тоже треть оставшихся.
В итоге Лёша сжёг 16 спичек, и у него после этого спичек не осталось.
Сколько у него их было?
58. На прямой отметили несколько синих точек. Петя отметил между каждыми
соседними точками еще по красной точке. А потом сделал так еще раз. В
результате оказались отмеченными 85 точек. Сколько среди них синих?
59. В один ужасный день у кружка оказался всего лишь двое принимающих.
Один из них куда-то ушёл, а второй отказался принимать задачи в одиноч25
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
ку. Чтобы быстрее затем сдать все задачи, ребята решили выстроиться в
очередь. Затем между каждыми двумя влезло по человеку. Затем – по 2 человека. Затем – по три. В итоге выстроились все. Сколько же было человек в
самой первой очереди, если всего на занятие пришло 49 человек?
Спортсмен решил поставить новый рекорд. Он установил гладкий столб высотой 57 км и начал на него залезать. Известно, что за день он проползает
вверх 5 км, но за ночь сползает вниз на 1 км. На какой день он доползёт до
конца?
Крыс Васька решил переплыть Волгу. Сначала он проплыл половину ширины реки и ещё полкилометра. Потом он проплыл половину того, что осталось и ещё полкилометра. А затем опять это повторил. В итоге ему осталось
полкилометра, которые он через некоторое время благополучно завершил.
Сколько всего проплыл крыс Васька?
Преподаватель придумал несколько задач. За первые пятнадцать минут
школьники решили две трети всех задач и ещё две трети задачи. За вторые –
три четверти всех оставшихся задач и ещё три четверти задачи. За оставшееся время школьники дорешали все его задачи, решив половину оставшихся
и ещё ползадачи. Сколько задач придумал преподаватель?
За булочками в столовой выстроилась очередь. Булочки задерживались, и в
каждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки
все ещё не начали выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку.
Тут наконец принесли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной.
Сколько человек стояло в очереди первоначально?
За круглым столом сидят A, B, C, D. У каждого из них есть по несколько
яблок. Сначала A дал каждому из остальных по столько яблок, сколько тот
уже имел (тем самым удвоив число яблок у всех, кроме себя). После этого B
сделал то же самое, и так далее до D. После этого у всех оказалось по 32 яблока. Сколько у кого было яблок в начале?
Путешественник в первый день прошёл 20% всего пути и ещё 2 км. Во второй день он прошёл 50% остатка и ещё 1 км. В третий день — 25% оставшегося расстояния и ещё 3 км. Остальные 18 км пришлись на четвёртый день.
Найдите длину пути.
Все натуральные числа от 1 до 1000 выписали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна
1, затем, также в порядке возрастания, числа с суммой цифр 2, потом —
числа, сумма цифр которых равна 3 и т. д. На каком месте оказалось число
996?
Ваня задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю
цифру результата, полученное число умножил на 7, зачеркнул последнюю
цифру результата и получил 21. Какое число задумал Ваня?
Из некоторого числа вычли сумму его цифр. Из полученного числа также
вычли сумму цифр (новую). После 11 таких вычитаний впервые получился
0. Какое число было первым?
26
69. Школьник прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 0,2 всей
книги и еще 16 страниц, во второй день – 0,3 остатка и еще 20 страниц, а в
третий – 0,75 нового остатка и последние 30 страниц. Сколько страниц в
книге?
70. Машина едет со скоростью 60 км/ч. На сколько надо увеличить ее скорость,
чтобы выигрывать на каждом километре по одной минуте?
71. За книгу заплатили один рубль и осталось заплатить столько, сколько осталось бы заплатить, если бы за нее заплатили столько, сколько осталось заплатить. Сколько стоит книга?
72. Племянник спросил дядю, сколько тому лет. Дядя ответил: "Если к половине моих лет прибавить 7, то узнаешь мой возраст 13 лет назад". Сколько
лет дяде?
73. Куплены две книги. Вторая из них на 50% дороже первой. На сколько процентов первая книга дешевле второй?
74. Рыночная цена картофели в связи с ненастной погодой повысилась на 20%.
Через некоторое время цена картофели понизилась на 20%. Когда картофель
стоил дешевле: до подорожания или после снижения цены?
75. Шурик, Боря и Володя собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше,
чем Шурик, но на 20% меньше, чем Володя. На сколько процентов больше,
чем Шурик, собрал грибов Володя?
76. Цену на яблоки подняли на 20%. Однако продавцу, для того чтобы изменить
ценник, оказалось достаточно поменять местами цифры в числе стоимости
килограмма яблок. Сколько стоили яблоки до их подорожания, если эта цена была меньше 100 рублей?
77. Три мальчика решили сообща купить мяч, но у одного из них не было с собой денег, поэтому первый его товарищ уплатил 12 рублей, а второй — 18
рублей. В тот же день он отдал им 10 рублей. Как надо разделить эти деньги?
78. Лев может съесть овцу за 2 часа, волк за 3 часа, а собака — за 8 часов. За
сколько времени они съедят овцу, если будут есть вместе?
III.Решение текстовых задач алгебраическими методами
Задачи
1.
Тетрадь, ручка, карандаш, книга стоят 37 р. Тетрадь, ручка, карандаш стоят
19 р. Книга, ручка, карандаш стоят 35р. Тетрадь и карандаш вместе стоят
5р. Сколько стоит каждая вещь в отдельности?
Решение:
(1) Т + Р + Кр + Кн = 37
(2)Т+Р+Кр = 19
(3) Кн + Р + Кр = 35
(4) Т + Кр = 5
(1)—(2): Кн=37— 19 = 18,
27
2.
3.
4.
5.
(2)—(4): Р= 19—5= 14,
(1)—(3): Т=37—35 =2,
(4): Кр=5—23.
Ответ: книга стоит 18, ручка — 14, тетрадь —2, карандаш—З р.
У мальчика было 10 монет достоинством 1 р. и 5 . Он насчитал 37 р. Не
ошибся ли?
Р е ш е н и е: пусть х — количество монет по 5 р., тогда (10— х) — количество монет по 1 р. Составим уравнение
5х+1 •(10—х)=37?
или
4х+10=37.
(4х + 10) при любом х — четное число, а 37 — нечетное. Значит, мальчик
ошибся.
По улице шла девочка. Встретив старичка, она поздоровалась. Старичок в
ответ сказал: «Добрый день, маленькая девочка!» Девочка возразила, что
она не маленькая и тогда старичок спросил, сколько ей лет. Она ответила:
я в три раза младше мамы, а мама на 2 года младше отца. Вместе нам 100
лет». Сколько лет девочке?
Решение: пусть х—возраст девочки, 3х—возраст мамьг, (3х+2)— возраст
отца.
Составим уравнение:
х+3х+(3х+2) =100,
х=14.
О т в е т: девочке 14 лет.
Мальчик и поросенок весят столько, сколько 5 ящиков. Поросенок весит
столько, сколько 4 кошки; 2 кошки и поросенок весят столько, сколько З
ящика. Сколько кошек уравновесят мальчика?
Р е ш е н и е: согласно условию,
М+П=5Я, (1)
П=4К, (2)
2К+П=ЗЯ. (З)
Подставим (2) в (З): 6К = 3Я или 2К=Я и (2) в (1): М+ 4К = 5Я. С учетом
Я= 2К
М+4К=10К или М=6К.
О т в е т: 6 кошек уравновесят мальчика.
Четыре чашки и один кувшин для воды весят столько, сколько 17 свинцовых шариков. Кувшин весит столько, сколько одна чашка и 7 шариков.
Сколько шариков уравновешивают кувшин?
Р е ш е н и е: если одна чашка весит столько, сколько х шариков, тогда
кувшин весит столько, сколько (х+7) шариков, и следовательно:
4х+(х+7)= 17,
5х = 10,
28
6.
7.
8.
9.
10.
х = 2,
кувшин уравновешивают 2 +7 =9 шариков.
О т в е т: 9 шариков.
На вопрос, сколько весит его рыба, рыбак ответил:
«Хвост весит 150 г, голова — столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище — сколько голова и хвост вместе». Сколько весит рыба?
Р е ш е н и е: согласно условию
Х=150,
Г=Х+½Т= 150+½Т,
Т=Г+Х=300+½Т.
Тогда ½Т=300, Т=600, Г =150+300=450.
Таким образом, Р=Х+Т+Г =150+600+450=1200(г).
О т в е т: рыба весит 1 кг 200 г.
Два торговца купили в городе одинаковое количество товара по одной и
той же цене и увезли каждый в свою деревню продавать. Первый продавал
товар в два раза дороже закупочной цены. Второй сначала поднял цену на
60% и продал четвертую часть товара, затем поднял цену еще на 40% и
продал остальную часть товара. Кто из них выручил больше?
Подсказка: Вспомните определение процента.
Решение: Если купцы приобрели товар по цене x, то легко подсчитывается
прибыль первого купца, она составляет тоже x. Аккуратнее приходится
считать прибыль второго купца. Вначале он поднял цену на 60% и если бы
так продавал весь товар, то выручил бы 1,6x, но он продал так только четверть товара, т.е. выручил 0,4x. Затем он вновь поднял цену на 40%, т.е.
если бы он продавал так весь товар, то он бы выручил 1,4*1,6x=2,24x, но
так он продавал оставшуюся часть, т.е. 3:4, товара и выручил 2,24x*3:4=
1,68x. Подсчитываем всю выручку второго купца 0,4x+1,68x=2,08x. Прибыль второго купца равна 1,08x. Ответ: второй купец выручил больше.
Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше,
чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася. На сколько процентов больше
Алика собрал грибов Вася?
Решение: Пусть Боря собрал x грибов. Тогда 20% от количества грибов,
собранных Борей, равно 0, 2x. Значит, Алик собрал x - 0, 2x = 0, 8x грибов,
а Вася собрал x + 0, 2x = 1, 2x грибов. Получаем, что Вася собрал грибов в
= 1, 5 раза больше, чем Алик, то есть на 50% больше количества грибов,
собранных Аликом.
Ответ: На 50%.
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила
четверть всего молока и шестую часть всего кофе. Сколько человек в семье?
29
Решение: Пусть n — количество чашек (число человек в семье), а x — количество выпитого молока (в чашках). Тогда количество выпитого кофе
равно n - x. Катя выпила одну чашку кофе с молоком, которая состояла из
одной четверти всего молока (x/4) и одной шестой всего кофе ((n - x)/6).
Получаем
+
= 1,
3x + 2(n - x) = 12,
x + 2n = 12.
Так как n — целое число, то из последнего равенства следует, что x — целое число, причём чётное (x = 12 - 2n). Кроме того, x n, так как количество выпитого молока, конечно, не больше, чем общее количество напитка.
Теперь небольшим перебором находим, что последнее уравнение имеет
три решения: n = 6, x = 0;
n = 5, x = 2;
n = 4, x = 4. При этом первое
и последнее решения отвечают случаю, когда все пили просто молоко или
просто кофе, а второе — когда пили действительно кофе с молоком.
Ответ: 5 человек.
11.
12.
Царь выделял на содержание писарского приказа 1000 рублей в год (все
писари получали поровну). Царю посоветовали сократить численность писарей на 50%, а оставшимся писарям повысить жалование на 50%. На
сколько изменятся при этом затраты царя на писарский приказ?
Решение: Пусть у царя было x писарей. Тогда один писарь получал 1000/x
рублей. Если царь послушается совета, то писарей станет x/2, a каждый писарь станет получать 1000/x*1,5 рублей. И затраты царя составят
1000/x*1,5*x/2 = 750 рублей, то есть затраты сократятся на 250 рублей или
на 25%.
Главное, что нужно для решения задачи, это знать, что сократить на 50%
— это означает сократить вдвое, увеличить на 50% означает увеличить в
1,5 раза, и, самое главное, нельзя складывать проценты, забывая от какой
величины эти проценты вычисляются.
М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли
на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той
же денежки хотя бы на квас, если цены еще раз вырастут на 20%?
Решение: Обозначим цену хлеба через x, а цену кваса — через y (до подорожания). Тогда, по условию: денежка = x + y. После повышения цен хлеб
стал стоить 1, 2x, а квас — 1, 2y. Поэтому денежка = 0, 5хлеба + квас = 0,
6x + 1, 2y. Из этих уравнений получаем: x + y = 0, 6x + 1, 2y.Упрощая, получим 2x = y. Выразим денежку через y: денежка = x + y = 1, 5y. После второго повышения цен квас стал стоить 1, 2 . 1, 2y = 1, 44y. Так как 1, 5y > 1,
44y, денежки на квас хватит.
30
13.
В банановой республике прошли выборы в парламент, в котором участвовали все жители. Все голосовавшие за партию ''Мандарин'' любят мандарины. Среди голосовавших за другие партии 90% не любят мандарины.
Сколько процентов голосов набрала партия ''Мандарин'' на выборах, если
ровно 46% жителей любят мандарины?
Подсказка: Найдите двумя способами, сколько человек любят мандарины.
Решение: Пусть всё население республики — N человек, из них за '' Мандарин'' проголосовало M человек. Тогда, с одной стороны, мандарины любят 0, 46 . N человек, а с другой стороны, это число равно числу проголосовавших за ''Мандарин'' плюс десять процентов от оставшихся (т. е. 0, 1 . (N M)). Получаем уравнение M + 0, 1(N - M) = 0, 46 . N, или M + 0, 1 . N - 0, 1 . M
= 0, 46 . N, или 0, 9 . M = 0, 36 . N, откуда
=
проголосовало 40% населения республики.
Ответ: 40%.
Задачи для самостоятельного решения
14.
15.
16.
17.
18.
19.
= 0, 4, т. е. за ''Мандарин''
Четверо купцов заметили, что если они сложатся без первого, то соберут
90 рублей, без второго — 85, без третьего — 80, без четвёртого —
75 рублей. Сколько у кого денег?
Аня и Таня вместе весят 40 кг, Таня и Маня — 50 кг, Маня и Ваня — 90 кг,
Ваня и Даня — 100 кг, Даня и Аня — 60 кг. Сколько весит Аня?
Из пункта А в пункт Б выезжает автомобиль со скоростью 50 км/ч. Через
час после него в том же направлении вылетает самолет, скорость которого
700 км/ч. Самолет догоняет автомобиль, поворачивает и летит назад в
пункт А, затем снова догоняет автомобиль и снова возвращается в пункт А,
т. е. непрерывно летает от А до движущегося автомобиля и обратно.
Сколько километров пролетит самолет, пока автомобиль не приедет в
пункт Б, если расстояние между пунктами 300 км?
Два пешехода идут по дороге в одном и том же направлении. Один из них
находится на 8 км впереди второго и идет со скоростью 4 км/ч. Скорость
второго 6 км/ч. Между ними безостановочно со скоростью 15 км/ч бегает
собака. Какой путь проделает собака к тому моменту, когда первый пешеход догонит второго?
Два пешехода идут по дороге навстречу друг другу. Расстояние между ними в начальный момент времени 10 км. Один из них идет со скоростью 4
км/ч. Скорость второго 6 км/ч. Между ними безостановочно со скоростью
15 км/ч бегает собака. Какой путь проделает собака к тому моменту, когда
пешеходы встретятся?
По дороге с постоянными скоростями движутся пешеход, а навстречу ему
— велосипедист и мотоциклист. В тот момент, когда велосипедист и мотоциклист находились в одной точке, пешеход был на расстоянии 8 км от
31
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
них. В тот момент, когда мотоциклист встретил пешехода, велосипедист
отставал от мотоциклиста на 4 км. На сколько километров мотоциклист
будет обгонять велосипедиста в тот момент, когда пешеход встретится с
велосипедистом?
Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону
с постоянными скоростями. В тот момент, когда мотоциклист и велосипедист находились в одной точке, пешеход был на расстоянии 10 км впереди
них. В тот момент, когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист отставал от них на 5 км. На сколько километров мотоциклист будет обгонять
пешехода в тот момент, когда пешехода настигнет велосипедист?
Обнаружив в 64 м от себя уползающую черепаху, Ахиллес начал ее преследовать. Сократив расстояние до черепахи в 8 раз и осознав свое превосходство, он прекратил погоню. Какой путь проделал Ахиллес с начала погони, если его скорость в 15 раз больше скорости черепахи, причем движение Ахиллеса и черепахи происходило по одной прямой?
Груша дороже яблока в два раза. Что дороже: четыре яблока или две груши
— и во сколько раз?
7 карандашей дороже 8 тетрадей. Что дороже: 8 карандашей или 9 тетрадей?
«Дай мне тысячу рублей, — говорит брат сестре, — и тогда денег у нас будет поровну». На сколько больше денег было у сестры первоначально?
Купец нанял работника на год за 12 рублей и кафтан. Работник ушел через
9 месяцев, взяв кафтан и 8 рублей. Сколько стоит кафтан?
Когда у Вани спросили, сколько ему лет, он подумал и ответил: «Я втрое
моложе папы, но зато втрое старше брата Сережи». А маленький Сережа
моложе папы на 40 лет. Сколько лет Ване?
Отцу 38 лет, а сыну 14. Во сколько раз отец был старше сына 6 лет назад?
Сын сейчас втрое моложе отца. Сын родился, когда отцу было 28 лет.
Сколько теперь лет отцу и сколько сыну?
Отцу 42 года, сыну 12 лет. Через сколько лет отец будет вдвое старше сына?
Отец втрое старше сына, а через 24 года отец будет старше сына лишь в 2
раза. Сколько лет каждому?
Сестра старше брата на столько лет, сколько месяцев брату. Во сколько раз
сестра старше брата?
Сестра старше своего брата во столько раз, сколько ей лет. Сколько лет
каждому?
Брат моложе сестры в 3 раза. Через 2 года он будет моложе ее в 2 раза. На
сколько лет брат моложе сестры?
Вова на восемь лет старше Саши. два года назад ему было втрое больше
лет, чем Саше. Сколько лет Вове?
Марии 24 года. Она вдвое старше, чем была Анна, когда Марии было
столько лет, сколько Анне теперь. Сколько лет Анне?
32
36.
37.
38.
39.
40.
Мне вдвое больше лет, чем было Вам тогда, когда мне было столько лет,
сколько Вам теперь. А обоим нам вместе 42 года. Сколько каждому лет?
У деда спросили, сколько лет его внуку. дед ответил, что мальчик прожил
столько будних дней, сколько мать его прожила воскресений; столько суток, сколько отец прожил недель; столько месяцев, сколько бабушка прожила лет. Всем вместе, не считая мальчика и деда, 100 лет. Сколько лет
мальчику? (Суббота — будний день!)
Один мальчик беседовал в парке со старушкой:
— Бабушка, сколько лет вашему внуку?
— Ему столько месяцев, сколько мне лет.
— Сколько же вам лет?
Мне с внуком вместе 91 год. А уж сколько лет внуку, сосчитай сам.
Сколько же лет внуку?
Когда Коля был молод, как Оля, столько лет было тетушке Поле, сколько
Коле теперь вместе с Олей. Сколько лет было Коле, когда тетушка Поля
была в возрасте Коли?
Три мальчика нашли 27 грибов.
— Коли, сколько ты нашел грибов? — спросил Вася.
— Я нашел грибов в 2 раза больше, чем ты и Гена вместе, — ответил Коля.
А Гена сказал:
— Я нашел грибов вдвое больше, чем Вася.
Сколько грибов нашел каждый мальчик?
33